Edo Ecuaciones de Riccati - Trayectorias Ortogonales

Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Escuela de Ingenieria Mecánica de Fluidos

Curso: Ecuaciones diferenciales ordinarias
Docente: Jose Quique Broncano
Tema: Ecuaciones Diferenciales de Riccati – Problemas geométricos y de trayectorias
ortogonales
La ecuación diferencial y ' = p ( x )+ q ( x ) y +r ( x ) y 2 … (1) , donde p , q , r : R → R son

funciones continuas en un cierto intervalo I C R se denomina ecuación diferencial de Riccati.
Esta ecuación diferencial no se puede resolver en términos de cuadratura r ( x ) y 2 , resultado

que fue demostrado por el matemático francés Loiuville en 1841.
Para resolver esta ecuación diferencial, previamente se tiene que conocer una solución
particular y=φ(x ) y la solución general puede tomar dos formas:
1.- y=φ ( x ) +u ; u=u( x) se reemplaza en (1)
La ecuación se reduce a una ecuación diferencial de Bernoulli en u respecto a x.
1
2.- y=φ ( x ) + , v=v (x) reemplazando en (1) , la ecuación se reduce a una ecuación lineal
v
en u respecto a x .
Problemas
1.- y ' =e 2 x + ( 1+2 e x ) y+ y 2 ; φ ( x )=−e x es una solución
2.- y ' =sec 2 x−¿ es una solución
3.- y ' =−cosec 2 x− ( cotx ) y + y 2 ; φ ( x )=cotx es una solución
4.- y ' + xy 2−2 x2 y + x 3=x+ 1; φ ( x )=x−1 es una solución
' 2 2 y 2
5.- y − y sen x + + cos x=0
senx cosx
Si φ ( x )=cot x es una solución
' −1 y 1
6.- y = + 2 − y 2 si φ ( x )= es una solución
3
x x x
7.- y ' =cosx + senx cosx− ( senx +cosx ) y + y 2 si φ ( x )=senx es una solución.
8.- y ' =e 6 x + ( 3−2 e3 x ) y + y 2
Si φ ( x )=e3 x es una solución

Trayectorias ortogonales en coordenadas rectangulares C1 ¿1
Sean C 1 :φ 1 ( x , y , c )=0 C 2 :φ 2 ( x , y , k ) =0 y
Familia de curvas en el plano. Decimos que la familia
de curvas C 1 y C 2 son mutuamente ortogonales si y solo si
en los puntos de intersección, las rectas tangentes
¿1 y ¿ 2 son perpendiculares.
Para hallar las trayectorias ortogonales, sigue los
Siguientes pasos: 0 x
1.- Se halla la ecuación diferencial de φ 1 ( x , y , c )=0 C2 ¿2
que lo denotaremos por F x , y , ( dy

dx
=0)
2.- Se escribe la ecuación diferencial de las trayectorias
ortogonales y lo denotaremos por
(
G x , y ,−
dx
dy )
=0
3.- Se resuelve la ecuación diferencial G x , y ,− ( dx

dy )
=0 y esta solución es la familia de las
trayectorias ortogonales.
Problemas
1.- Halle las trayectorias ortogonales a las familias cuyas ecuaciones son
a) x 2+ y 2=a2 , a>0 b) y 2 +2 ax=a 2 ; a> 0
c) y=ax n ;a ∈ R d) cos y=ae−x ; a>0
2 1 2 2
e) x + y =a f) x 2− y 2=a2 ; a>0
2
2 1 2 2
g) x 2+ y 2=2 ay h) x − y =a
3
2.- Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas C : x 2 y=k
3.- Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de círculos cuyos centros están en el eje X y
pasan por el origen
1.- Hallar una curva que pase por el punto (0; -3), de manera que la pendiente de la tangente
en cualquiera de sus puntos sea el doble de la ordenada en el mismo punto.
R : y=−3 e 2 x
2.- Hallar la ecuación de la curva tales que la parte de cada tangente comprendida entre el eje
Y, y el punto de tangencia queda dividido en 2 partes iguales por el eje X.
2
R : y=c x
3.- Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2;1) y para el cual el área del triángulo
que forman el eje x, la tangente de la curva en cualquiera de sus puntos y el radio vector en
dicho punto es igual a 4 unidades cuadradas.
2
R :2 y + xy −4=0
4.- Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1;2) y tal que la tangente en un punto
cualquiera P y la recta que une este punto con el origen, determinan el ángulo
complementario con el eje x.
2 2
R : y −x =3
5.- Determinar la ecuación de la familia de curvas, tal que la tangente en un punto cualquiera
M, forma un angulo θ con el eje X, mayor en 45° que el angulo que forma OM con el mismo
eje.
arctan ( yx )
R : c √ x + y =e
2 2
6.- La tangente en cada punto de una curva y el segmento que une ese punto con el origen
forma un triángulo isósceles con base en el eje X. Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que
pasa por (2,2).
R : xy=4
7.- Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4;8) y es tal que “la tangente a la curva
en un punto P(x,y) cualquiera de ella corta al eje X en un punto M equidistante en el punto P y
del pto. A(0,4)
x 2 16
R: + + y=c
y y
8.- Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:
a) x 2+ y 2=cx 3 b) x 2− y 2=cx c) y=cx 3
d) y 2=x 2 +c e) y=ln ⁡[ tan ( x + senx+ k ) ]
9.- Determinar la ecuación de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:

2 2
C 1 : x + y =ky , k constante
10.- Determinar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de

circunferencias con centro sobre el eje y que pasan por los puntos (-3,0) y (3,0).
11.- Hallar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas.
x 4 + y 4 + 2 x 2 y2 −2bx 2−by 2=0
12.- Hallar la ecuación de las curvas ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por
los puntos (2,0) y (4,0)
x3
13.- Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: y 2=
a−x

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La ecuación diferencial y ' = p ( x )+ q ( x ) y +r ( x ) y 2 … (1) , donde p , q , r : R → R son

Esta ecuación diferencial no se puede resolver en términos de cuadratura r ( x ) y 2 , resultado

1.- y=φ ( x ) +u ; u=u( x) se reemplaza en (1)

La ecuación se reduce a una ecuación diferencial de Bernoulli en u respecto a x.

1.- y ' =e 2 x + ( 1+2 e x ) y+ y 2 ; φ ( x )=−e x es una solución

2.- y ' =sec 2 x−¿ es una solución

3.- y ' =−cosec 2 x− ( cotx ) y + y 2 ; φ ( x )=cotx es una solución

4.- y ' + xy 2−2 x2 y + x 3=x+ 1; φ ( x )=x−1 es una solución

Si φ ( x )=cot x es una solución

8.- y ' =e 6 x + ( 3−2 e3 x ) y + y 2

Si φ ( x )=e3 x es una solución

Familia de curvas en el plano. Decimos que la familia

de curvas C 1 y C 2 son mutuamente ortogonales si y solo si

en los puntos de intersección, las rectas tangentes

Para hallar las trayectorias ortogonales, sigue los

1.- Se halla la ecuación diferencial de φ 1 ( x , y , c )=0 C2 ¿2

que lo denotaremos por F x , y , ( dy

2.- Se escribe la ecuación diferencial de las trayectorias

ortogonales y lo denotaremos por

3.- Se resuelve la ecuación diferencial G x , y ,− ( dx

a) x 2+ y 2=a2 , a>0 b) y 2 +2 ax=a 2 ; a> 0

c) y=ax n ;a ∈ R d) cos y=ae−x ; a>0

2.- Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas C : x 2 y=k

8.- Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:

a) x 2+ y 2=cx 3 b) x 2− y 2=cx c) y=cx 3

d) y 2=x 2 +c e) y=ln ⁡[ tan ( x + senx+ k ) ]

9.- Determinar la ecuación de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:

10.- Determinar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de

11.- Hallar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas.

x 4 + y 4 + 2 x 2 y2 −2bx 2−by 2=0

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