UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ÁLGEBRA I – TEMA 6: LA RECTA
DOCENTE: Dr. Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

MARCO TEORICO:

 La forma general de la recta tiene por ecuación: Ax + By + C =0

de donde se puede hallar la pendiente m con solo dividir los coeficientes A y B: m = - A/ B
y también hallar b (la ordenada en el origen), haciendo b = - C/ B.

 Si las ecuaciones de dos rectas son Ax + By + C =0 y A’x + B’y + C’ =0, las relaciones
siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:
 Paralelismo: A/ A’ = B/ B’ o AB’ – A’B = 0
 Perpendicularidad: AA’ + BB’ = 0
 Coincidencia: A = kA’, B = kB’, C = kC’ (k = 0)
 Intersección en uno y solamente un punto: AB’ – A’B = 0

 La Forma normal de la ecuación de la recta L, tiene por ecuación: x cos w + y sen w – p = 0

P w eje X

Donde p es la LONGITUD del segmento perpendicular (a 90º) que va del origen hasta la
Recta L, y w es el ángulo entre el eje X y el segmento.

 La distancia dirigida D de la recta L, dada : Ax + By + C = 0 al punto dado P1 (x 1,y1). Se

obtiene por la formula:
A x 1 + B y1 + C
D = -----------------------

+- A2 +B2

L P1 (x 1,y1).

 FAMILIA DE RECTAS: La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición
geométrica se llama familia o haz de rectas. De especial interés es la ecuación que representa a
la familia de todas las rectas que pasan por la intersección de dos rectas L y L 1:

A1x + B1y1 + C1 + K( A2 x + B2 y + C2 ) = 0

Donde K se determina de acuerdo a las condiciones del problema planteado, siendo un

numero real.
 PRACTICA 7

1.- Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa
por el punto (-6,7) y tiene una pendiente igual a -2.
2.- Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es
perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1,-3).
3.- Hallar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta
3x – 2y – 11 = 0
4.- Hallar la pendiente e intercepciones con los ejes, de la recta 7x – 9y + 2 = 0
5.- Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intercepciones de la recta que pasa por el
punto (2,3) y es perpendicular a la recta 2x – 7y + 2 = 0
6.- Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un
triangulo rectángulo de área igual a 2 ½ mts 2.
7.- En las ecuaciones ax + (2 – b)y – 23 = 0 y (a – 1)x + by + 15 = 0. hallar los valores de a y b
para que representen rectas que pasan por el punto (2, -3).
8.- Demostrar que la recta que pasa por los puntos A (4,-1) y B (7,2) bisecta al segmento cuyos
extremos son los puntos C (8,-3) y D (-4,-3)
9.- Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x + 2y – 7 = 0
10.- Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2,-1) y que forman cada una un
ángulo de 45 con la recta 2x – 3y +7 = 0.
11.- Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y – 8 = 0 y 6x – 7y + 8 = 0 son
concurrentes.
12.- Desde el punto (6,0) se trazan perpendiculares a los lados 5x – y – 4 = 0; y = 1 y
x – y – 4 = 0 de un triangulo. Demostrar que los pies de estas perpendiculares son
colineales.
13.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y por la intersección de las rectas:
x y x y
------ + ----- = 1 ------ + ----- = 1
2 3 3 2
14.- Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w = 120ª y p = 6.
15.- Una recta es tangente a un circulo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia
es (2, -5), hállese la ecuación de la tangente en la forma normal.
16.- La ecuación de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w – 5 = 0. Hallar el valor de
w para que la recta pase por el punto (-4,3).
17.- Reducir la ecuación 12 x – 5 y – 52 = 0 a la forma normal y hallar los valores de p y w.
18.- Hallar la distancia del origen a la recta 2 x – 3 y + 9 = 0
19.- Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + k y – 7 = 0 sea 3.
20.- Hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es 6 y que pasa por el punto A (4,-1)
21.- El ángulo de inclinación de una recta es de 45ª. Hallar su ecuación si su distancia del origen
es 4.
22.- La pendiente de una recta es –3. Hallar su ecuación si su distancia del origen es 3
23.- Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que es paralela a la recta x – 5 y + 11 = 0 y
pasa por el punto A (7,-2).
24.- Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la que tiene por ecuación 3 x + 2 y – 9 = 0 y
cuya distancia del origen es 8.
25.- Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 2x – 3 y + 7
= 0 y determina sobre el eje X el segmento –9.
26.- Hallar la distancia del origen a cada una de las rectas paralelas 2 x + 3 y – 4 = 0 y 6 x + 9 y
+ 11 = 0. A partir de esto calcular la distancia entre las dos rectas.
27.- La ecuación de una recta l es x + 3 y – 6 = 0 y las coordenadas de un punto P son (4,7).
Hallar la ecuación de la recta que pasa por P y es paralela a l. A partir de este resultado hallar
la distancia de P a l.
28.- Hallar la ecuación de la paralela a la recta 5 x + 12 y – 12 = 0 y distante 4 unidades de ella.
29.- La distancia de la recta 4 x – 3 y + 1 = 0 al punto P es 4. Si la ordenada de P es 3. Hallar su
abcisa.
30.- Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A (3,1) y tal que la distancia de esta
recta al punto B (-1,1) sea igual a 4.
31.- Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas x – 2 y – 4 = 0 y 4
x – y – 4 = 0.
32.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su
distancia de la recta x + 3 = 0 es siempre igual al triple de su distancia del punto (2, -4).
33.- Escribir la ecuación de la familia de rectas que son perpendiculares a la recta 3 x + 2 y – 7
= 0.
34.- Establecer una propiedad común para todas las rectas de la siguiente familia:
x y
------ + ----- = 1
3 k
35.- Determinar el valor del parámetro K de manera que la recta de la familia kx – y + 8 = 0 que
le corresponda pase por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la recta.
36.- Determinar el valor del parámetro c para que la recta de la familia cx + 3y - 9 = 0 que le
corresponda, determine sobre el eje X un segmento igual a –4. Hallar la ecuación de la recta.
37.- Determinar el valor del parámetro k correspondiente a la recta de la familia 5x - 12y + k = 0
cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parámetro. Hállese la ecuación de la recta.
38.- Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 3 x + 2 y + 8 = 0 y 2 x – 9 y –
5 = 0 . Hallar su ecuación sabiendo que es paralela a la recta 6 x – 2 y + 11 = 0.
39.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las dos rectas 3 x + y - 9 = 0 y
4 x – 3y + 1 = 0 y cuya distancia del origen es 2.
40.- Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 2 x – 3 y – 5 = 0 y x + 2 y –13 = 0
y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la
ecuación de dicha recta.
41.- Demostrar que la recta 5x – 2y – 1 = 0, es paralela a las rectas:
5x – 2y + 7 = 0 y 5x – 2y – 9 = 0 y divide por la mitad la distancia entre ellas.
42.- Dada la ecuación de un haz de rectas α (3x – 2y -1) + β (4x – 5y + 8) = 0. Hallar la recta de
este haz que pasa por la mitad del segmento de la recta x + 2y + 4 = 0 comprendida entre las
rectas 2x + 3y + 5 = 0 y x + 7y – 1 = 0.
43.- Dada la ecuación de un haz de rectas α (2x – y - 6) + β (x – y - 4) = 0; demostrar que no hay
entre las rectas de este haz una que este a la distancia d = 3 del punto P(3,-1).
44.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:
3x + y – 5 = 0 y x – 2y + 10 = 0 y esta a la distancia d = 5 del punto C(-1,-2).
Resolver el problema sin calcular las coordenadas del punto de intersección de las rectas
dadas.
45.- El centro del haz de rectas α (2x + 3y + 5) + β (3x – y + 2) = 0 es uno de los vértices de un
triangulo, dos de cuyas alturas se dan por las ecuaciones x – 4y + 1 = 0 y 2x + y + 1 = 0.
Hallar las ecuaciones de los lados de este triángulo.

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