2.

RENTAS

SUMARIO OBJETIVOS

1. Concepto y clasificación. Valor - Establecer el concepto financiero de

financiero de una renta renta y la terminología que se utiliza.

2. Rentas constantes e inmediatas - Indicar la forma de obtener el valor

financiero de una renta en el origen y
3. Rentas constantes y diferidas en el final de su duración.

4. Rentas constantes y anticipadas - Explicar el concepto de rentas

equivalentes.
5. Rentas fraccionadas
- Clasificar las rentas atendiendo a
6. Rentas constantes que se valoran con distintos criterios.
más de un tipo de interés
- Aprender a calcular el valor actual y
7. Rentas variables en progresión el final de los distintos tipos de rentas.
aritmética
- Aplicar los conocimientos adquiridos
8. Rentas variables en progresión a la valoración de inversiones,
geométrica utilizando los criterios VAN y TIR.

9. Aplicación a la valoración de
inversiones

10. Ejercicios de autocomprobación

11. Soluciones ejercicios

Autores: De la Fuente, D., Pra, I. y Hernández, M.

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El autor permite copiar, reproducir, distribuir, comunicar públicamente la obra, siempre y cuando se cite y
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Tema 2: Rentas

1. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA

Una renta se puede definir como un conjunto de capitales de manera que cada
uno de ellos corresponde a un intervalo de tiempo:

C1 C2 Cn
…………….

t0 t1 t2 ……………. tn-1 tn

Duración

Origen Figura 1 Final

A los capitales se les denomina también términos de la renta. El origen de la renta

es el momento t0, inicio del primer intervalo de tiempo, y el final de la renta es tn ,
donde concluye el último intervalo de tiempo. La duración de la renta es el
tiempo que media entre el origen y el final de ésta.

Dado que lo normal es que las rentas se utilicen en operaciones financieras de

duración superior al año, la ley financiera que se suele utilizar en su valoración es
la capitalización/descuento compuesto.

El valor financiero de una renta en un momento  es un capital cuya cuantía es la

suma financiera de los términos de la renta.

Aunque se puede obtener en cualquier momento del tiempo, es habitual que el

valor financiero se calcule en el origen o en el final de la renta.

En el primer caso, cuando  = t0 , el valor financiero se denomina valor actual. Se

obtiene sumando las cuantías equivalentes en el momento 0 de cada uno de los
capitales que componen la renta (figura 17).

n
V0  C1  (1  i ) 1  C2  (1  i ) 2  .....  Cn-1  (1  i )  ( n 1)  Cn  (1  i )  n   Cs  (1  i )  s
s 1

2
Tema 2: Rentas

C1 C2 ……………. Cn-1 Cn

t0 t1 t2 ……………. tn-1 tn

Valor actual (V0)

Figura 2

Cuando  = tn, el valor financiero se denomina valor final. Se obtiene sumando

en el momento n las cuantías equivalentes de cada una de los capitales que
componen la renta (figura 18).

n
Vn  C1  (1  i ) n 1  C2  (1  i ) n  2  .....  Cn -1  (1  i )1  Cn   Cs  (1  i ) n  s
s 1

C1 C2 ……………. Cn-1 Cn

t0 t1 t2 ……………. tn-1 tn

Figura 3
Valor final (Vn)

Ejemplo:

Obtener el valor actual y el valor final de la siguiente renta sabiendo que el tanto anual
de valoración es el 2%:

100 20 40 150

0 1 2 3 4

Solución:

3
 Tema 2: Rentas

El valor actual es:

Vo  100  (1  0, 02) -1  20  (1  0, 02) -2  40  1  0, 02 

3
 150  (1  0, 02) -4  293,53 euros

Y el valor final:

Vn  100  (1  0, 02)3  20  (1  0, 02) 2  40  1  0, 02   150  317, 73 euros

Se dice que dos rentas son equivalentes cuando tienen el mismo valor financiero,
cualquiera que sea el momento de valoración.

En el cuadro que aparece a continuación se resumen los principales tipos de

rentas y sus características, así como los diversos criterios de agrupación.

Clasificación de las rentas

Criterio Clases Características

Las cuantías de los capitales que forman la
Constantes
renta son iguales.

Cuantía de los capitales Las cuantías de los capitales son distintas

entre sí. En la práctica, lo habitual es que
Variables varíen en progresión aritmética o en
progresión geométrica.

Los capitales vencen al final de cada

Pospagables
intervalo de tiempo.
Momento en el que
vencen los capitales
Los capitales vencen al principio de cada
Prepagables
intervalo de tiempo.

La duración es finita, es decir, se conoce

Temporales
tanto el origen como el final de la renta.
Duración
La duración es indefinida, o lo que es lo
Perpetuas
mismo, se conoce el origen pero no el final.

Los períodos son finitos (mensuales,

Discretas
trimestrales, anuales, etc.)
Medida de los períodos
de maduración
Los períodos de maduración son
Continuas
infinitesimales.

La renta se valora en un momento que está

situado entre el origen y el final de la renta. Lo
Inmediatas
habitual es que ese momento coincida con el
origen (valor actual) o con el final (valor final).

Momento de valoración
La renta se valora en un momento anterior a
Diferidas
su origen.

La renta se valora en un momento posterior a

Anticipadas
su final.

4
Tema 2: Rentas

2. RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

2.1.- Renta pospagable

La representación gráfica de una renta constante unitaria, temporal, inmediata y

pospagable es la siguiente:

1 1 ……………. 1 1

0 1 2 ……………. n-1 n

Figura 4

El valor actual de la renta, que se representa mediante el símbolo an¬i , se

obtiene sumando las cuantías equivalentes en el momento 0, de cada una de las

unidades monetarias que componen la renta:

1 1 ……………. 1 1

0 1 2 ……………. n-1 n

1ꞏ(1+i)-1

1ꞏ(1+i)-2
………
1ꞏ(1+i)-(n-1)

1ꞏ(1+i)-n
Figura 5

an i  1 (1  i) 1  1 (1  i) 2  ....  1 (1  i)  n

En la expresión anterior aparece la suma de n términos que varían en progresión

geométrica decreciente de razón (1+i)-1, por lo que el valor actual de la renta
queda de la siguiente forma1:

La suma de n términos en progresión geométrica de razón decreciente es:

1

Primer término - Ultimo término  razón

1 - razón

5
Tema 2: Rentas

1
 (1  i )  n  (1  i ) 1 n n
1- (1  i )  n
an i  (1  i)  (1  i ) 1 1- (1  i )

1
 (1  i ) 1 1- (1  i )

1  i -1

1- (1  i ) 1 1- i
(1  i ) (1  i )

De igual forma, el valor final se calcula sumando los valores equivalentes en el

momento n de las cuantías unitarias que forman la renta. Se representa mediante

el símbolo s n ¬i .

1 1 ……………. 1 1

0 1 2 ……………. n-1 n

1ꞏ(1+i)0

1ꞏ(1+i)1
………
1ꞏ(1+i)n-2

1ꞏ(1+i)n-1

Figura 6

sn i  1 (1  i)0  1 (1  i)1  ....  1 (1  i)n-2  1 (1  i)n-1

Se observa que el valor final de la renta es la suma2 de n términos que varían en
progresión geométrica de razón (1+i):

( n 1)
sn i  (1  i)  (1  i )1  1 (1  i ) n -1

1  i 1 i

Tanto el valor actual como el valor final de la renta han sido obtenidos como
suma financiera de la renta en dos momentos distintos del tiempo, el origen y el
final de la misma. Ambos capitales son financieramente equivalentes, por lo que
es posible obtener uno a partir del otro.

2 Ultimo término  razón - Primer término

La suma de n términos en progresión geométrica creciente es:
1 - razón

6
Tema 2: Rentas

ꞏ (1+i)n

n n
1  (1  i ) (1  i )  1
an i  sn i 
i ꞏ (1+i)-n i

1 1 ……………. 1 1

0 1 2 ……………. n-1 n

Figura 7

En el caso de que la renta en vez de ser unitaria sea de cuantía C, las expresiones
correspondientes al valor actual y al valor final serán las siguientes:

1  (1  i )  n
V0  C  an i  C 
i
(1  i ) n  1
Vn  C  sn i  C 
i

Ejemplo:

Obtener el valor actual y final de una renta de 100.000 euros anuales y pospagables, de 5
años de duración sabiendo que se valora en capitalización compuesta al 7% anual.

Solución:

El valor actual es:

5
1  1  0, 07 
V0  100.000  a5 0,07  100.000   410.019, 74 euros
0, 07

Y el valor final:
5
Vn  100.000  S5 0,07  100.000 
1  0, 07  1
 575.073,9 euros
0, 07

2.2.- Renta prepagable

La representación gráfica de una renta constante unitaria, temporal, inmediata y

prepagable es la siguiente:

1 1 …………………………. 1

0 1 2 ……………. n-1 n

Figura 8

7
Tema 2: Rentas

Utilizando una metodología similar a la empleada en la valoración de la renta

pospagables, obtenemos el valor actual de una renta prepagable, que se

representa mediante el símbolo än¬i:

n i  1 (1  i)0  1 (1  i )1  ....  1ꞏ(1  i ) ( n-1)

a

Se trata de la suma de n términos que varían en progresión geométrica de razón

(1+i)-1:

 ( n -1)
n i  1  (1  i )  (1  i ) 1 1- (1  i )  n 1- (1  i )  n 1- (1  i )  n
a    (1  i ) 
1- (1  i ) 1 1 1  i -1 i
1-
(1  i ) 1
(1  i )1

En cuanto al valor final, tendremos la suma de n términos que varían en

progresión geométrica de razón creciente (1+i):

sn i  1 (1  i)1  ....  1 (1  i)n-1  1ꞏ(1  i)n  (1  i)  (1  i )1  (1  i )1 (1  i ) n  1

n
  (1  i ) 
(1  i )1  1 i

Al comparar las expresiones obtenidas en las rentas pospagables y prepagables,

se observa que el valor actual y el valor final de la renta prepagable es igual al
valor actual y al valor final de la renta pospagable multiplicado por el factor
(1+i):

 n i  (1 i)a n i
a

sn i  (1 i)sn i
En el supuesto de que la renta en vez de ser unitaria sea de cuantía C, las
expresiones correspondientes al valor actual y al valor final serán las siguientes:

n
n i  C  (1  i)  1  (1  i )
V0  C  a
i
 (1  i ) n  1
Vn  C  sn i  C  (1  i ) 

i

Ejemplo:

Obtener el valor actual y final de la renta del ejemplo anterior si fuera prepagable.

Solución:

El valor actual es:

8
Tema 2: Rentas

1  1  0, 07 
5
5 0,07  100.000  1  0, 07  
V0  100.000  a  438.721,13 euros
0, 07

Y el valor final:

1 0,07
5
1
V  100.000 
n s 50,07  100.000  1 0,07   615.329,07 euros
0,07

2.3.- Renta perpetua

La renta perpetua se caracteriza porque su duración es indefinida. En este tipo

de rentas se conoce su origen, pero no su final, por lo que sólo tiene sentido
obtener su valor actual.

La forma más sencilla de obtener el valor actual de una renta perpetua y

pospagable es calculando el límite de la correspondiente renta temporal cuando
n tiende a infinito.

1
n 1  lim(1  i )  n 1  lim
1  (1  i ) n  (1  i ) n 1
a i  lim an i  lim  n 
 
n  n  i i i i

Si los términos de la renta son de cuantía C, el valor actual será igual a:

V0  C  a i  C  1
i
Al igual que ocurría con las rentas temporales, el valor actual de la renta
prepagable y perpetua se puede obtener a partir del de la pospagable
perpetua:

 i  (1  i )  1
a
i

En el supuesto de la renta de cuantía constante C, el valor actual será igual a:

V0  C  a i  C  (1  i)  1
i

Ejemplo:

Obtener el valor actual de una renta de 15.000 euros anuales que se valora al 8% anual,
en los siguientes casos:

a) La renta tiene una duración de 10 años y es prepagable.

b) La renta es perpetua y pospagable.

9
Tema 2: Rentas

Solución:

a) El valor actual en este caso es:

1  1  0, 08 
10
10 0,08  15.000  1  0, 08 
V0  15.000  a  108.703,32 euros
0, 08

b) Si la renta es perpetua y pospagable, el valor actual es:

1
V0  15.000  a 0,08  15.000   187.500 euros
0, 08

3. RENTAS CONSTANTES Y DIFERIDAS

Decimos que una renta está diferida cuando su valoración se efectúa en un

momento anterior a su origen.

El esquema gráfico de una renta constante unitaria, temporal, pospagable y

diferida d períodos es la siguiente:

1 1 ………………. 1

0 …………….. d d+1 d+2 …………….. d+n

Diferimiento Duración

Origen Final
Figura 9

La renta tiene su origen en el momento d y al ser pospagable, el vencimiento del

primer capital se sitúa en el momento d+1 y el del último en d+n. La duración de la
renta es de n períodos y se valora en el momento 0.

El valor actual de esta renta (que se expresa mediante el símbolo d /an i ) se

puede calcular obteniendo primero el valor actual de la renta pospagable en el
origen de la misma (en el momento d) y después trasladando el resultado
obtenido hasta el momento de valoración (momento 0) multiplicando por el
factor de descuento (1+i)-d.

10
Tema 2: Rentas

/a n i  (1  i )
d
 a n i an i
d

1 1 ……... 1 1

0 …………….. d d+1 d+2 ……... d+n-1 d+n

Figura 10

1  (1  i )  n
d
/an i  (1  i )  d  an i  (1  i )  d 
i
Si los términos de la renta son de cuantía constante C, el valor actual será igual a:

1  (1  i )  n
d / V0  C  d /an i  C  (1  i )  an i  C  (1  i )
d d

i

Ejemplo:

Calcular el valor actual de una renta anual constante, pospagable de 30.000 euros y
quince años de duración, si se valora cuatro años antes de su origen a un tanto de
valoración del 5% anual.

V0  30.000 4 /a15 0,05  30.000  1  0, 05   a15 0,05  256.181,11 euros

4

4. RENTAS CONSTANTES Y ANTICIPADAS

Decimos que una renta está anticipada cuando su valoración se realiza en un

momento posterior al final de la misma.

El esquema gráfico de una renta constante unitaria, temporal, pospagable y

anticipada en k períodos es la siguiente:

1 1 …………….. 1 1

0 1 2 …………….. n-1 n ………………. n+k

Duración Anticipamiento

Origen Final
Figura 11

La duración de la renta es de n períodos, pero su valoración se hace en el

momento n+k, es decir, k períodos después de final.

11
Tema 2: Rentas

El valor final (que se expresa mediante el símbolo k /Sn i ) se puede obtener

calculando primero el valor final de la renta pospagable en el final de la misma
(en el momento n) y después trasladando el resultado obtenido hasta el
momento de valoración (momento n+k) multiplicando por el factor de
capitalización (1+i)k.

1 1 ……..... 1 1

0 1 2 ………… n-1 n ……... n+k

Figura 12 s n i k /sn i  (1  i )  sn i
k

(1  i ) n  1
k /sn i  (1  i )  sn i  (1  i ) 
k k

i
Si la renta es de cuantía constante C, la expresión del valor final será:

(1  i ) n  1
Vn  C k / sn i  C  (1  i ) k  sn i  C  (1  i ) k 
i

Ejemplo:

Calcular el valor final de una renta anual constante, pospagable de 80.000 euros y cinco
años de duración, si se valora dos años después del vencimiento del último capita a un
tanto de valoración del 7% anual.

Vn  80.000 2 /S5 0,07  80.000  1  0, 07   S5 0,07  526.721, 69 euros

2

5. RENTAS FRACCIONADAS

La valoración de rentas de periodicidad distinta del año, por ejemplo, rentas

semestrales, trimestrales, mensuales, etc. se puede hacer de dos formas distintas:

a) Considerándola como una renta en la que todas las magnitudes se

refieren a subperíodos de amplitud 1/m (renta mensual, renta trimestral,
etc.)

b) Tratándola como una renta fraccionada en la que todas las magnitudes

se refieren a períodos anuales (renta anual fraccionada en meses, en
trimestres, etc.)

12
Tema 2: Rentas

En el caso a), se toma como unidad de medida del tiempo el sub-período en que
se ha fraccionado el año. Para guardar la necesaria concordancia entre la
unidad de medida del tiempo y del tipo de interés, tenemos que utilizar en su
valoración el tipo de interés que se aplica a esa fracción del año (im).

En el caso b), el valor actual y el valor final de la renta constante unitaria

fraccionada (expresada por el símbolo a(nm ) i ) será igual a:

i
a n i  a n i
(m)

Jm

i
s(nm ) i  sn i
Jm
En el supuesto de que las cuantías de los términos sean C/m, las cantidades
equivalentes al final de cada año serán:

C C (1  im ) m  1 C i i
X  sm i     C
m m m im m Jm Jm

y el valor actual y final de la renta será:

i
(m)
V0  C a n i C  J a n i
m

i
Vn  C s n
(m)
i C  s n  i
Jm
El valor actual y el valor final de la renta tratada como no fraccionada tienen
que ser los mismos que los que se obtengan en el tratamiento como fraccionada.
La diferencia entre ambas radica en la unidad de medida del tiempo elegida,
como se muestra en el siguiente cuadro:

13
Tema 2: Rentas

Tratamiento de Expresión del valor

Descripción de las variables
la renta actual

C 
C = Cuantía anual  m  C
m 
Renta
C  an
(m)
i n = Número de años
fraccionada
i = Tipo de interés anual

m = Fraccionamiento del año

C
= Cuantía de cada subperíodo
m
Renta no C
 a n m i nꞏm = Número de subperíodos
fraccionada m m

im = Tipo de interés aplicable a cada

subperíodo

6. RENTAS CONSTANTES QUE SE VALORAN CON MAS DE UN TIPO DE INTERES

Hasta ahora hemos considerado que para toda la duración de la renta se

aplicaba un solo tipo de interés. Sin embargo, puede ocurrir que en algunos
casos se aplique un tipo de interés para un tramo de la duración de la renta y
otro (u otros) para el resto.

C C …………. C C ……… C C

0 1 2 ………… s s+1 ……… n-1 n

i1 i2

Figura 13

Para obtener el valor actual de esta renta tenemos que descomponerla en dos
sub-rentas: la primera es una renta inmediata, de s períodos de duración y se
valora a un tipo de interés i1. La segunda es una renta diferida, de n-s períodos de
duración y se valora con un tipo de interés i2. El valor actual total será la suma de
los valores actuales de las rentas mencionadas:

V0  C  as i 1
 C  (1  i1 )  s  an  s i2

14
Tema 2: Rentas

El mismo razonamiento se puede aplicar cuando lo que queremos es obtener el

valor final de una renta en la que cambia el tipo de interés:

Vn  C  (1  i2 )n-s  ss i 1
 C  sn  s i2

En este caso el primer tramo de los s primeros años comprende una renta
anticipada n-s períodos respecto al momento de valoración. El tipo de interés i1 se
aplica para el tramo de s períodos y el tipo de interés i2 se aplica para el período
de anticipamiento. La segunda renta es pospagable, temporal e inmediata de n-
s períodos de duración que se valora a un tipo de interés i2.

7. RENTAS VARIABLES EN PROGRESION ARITMETICA

En una renta en progresión aritmética, cada término se obtiene en función del

anterior sumándole una cuantía constante d (razón). El esquema gráfico de una
renta pospagable cuyos términos varían en progresión aritmética de razón d es el
siguiente:

C C+d C+2d C+(n-1).d

0 1 2 3 n

Figura 14

El valor actual de una renta en progresión aritmética viene dado por la

siguiente fórmula:

d  n  (1  i )  n
A(C ; d )n i   C 
d
a 
 n i 
 i i
y el valor final:

d n
S (C; d )n i   C    sn i 
d
 i i
donde:

C = primer término de la renta

d = razón de la progresión
i = tanto de valoración
n = número de términos

15
Tema 2: Rentas

Ejemplo:

Obtener el valor actual de una renta anual que se valora al 7% anual, sabiendo que el
primer término es 5.000 euros y los restantes crecen a razón de 500 euros cada año, en los
siguientes casos:

a) La renta es pospagable, está diferida dos años y tiene una duración de 10

años.
b) La renta es inmediata, prepagable y de cuatro años de duración.

Solución:

a) El esquema gráfico de la renta es:

5.000 5.500 6.000………………………..9.500

0 1 2 3 4 5……………………………12
n

 500  
500  10  1  0, 07 
10

V0  2/A(5.000;500)10 0,07   5.000  a  

 10 0,07
  1  0, 07 2

 42.777,26 euros
 0,07  0, 07
 

b) En este caso el valor actual es:

(5.000;500)   (1  0, 07 )  A(5.000;500)  
A 4 0,07 4 0,07

 500  4  1  0, 07  
4
500 
= (1  0, 07)   5.000    a4 0,07    20.686, 76 euros
 0, 07  0, 07 

8. RENTAS VARIABLES EN PROGRESION GEOMETRICA

En una renta en progresión geométrica cada término se obtiene a partir del

anterior multiplicándolo por un número q (razón). El esquema gráfico de una
renta pospagable cuyos términos varían en progresión geométrica de razón q es
el siguiente:

C C.q C.q2 C.qn-1

0 1 2 3 n

Figura 15

El valor actual de una renta en progresión geométrica viene dado por la

siguiente fórmula:

16
Tema 2: Rentas

n
 q 
1  
 1 i 
A(C ; q)n i  C 
1 i  q
y el valor final:

(1  i ) n  q n
S (C ; q) n i  C 
1 i  q
donde:

C = primer término de la renta

q = razón de la progresión
i = tanto de valoración
n = número de términos

Ejemplo:

Obtener el valor actual y final de una renta anual pospagable de 8 años de duración
sabiendo que el primer capital es de 600 euros y los siguientes crecen de forma
acumulativa a razón de un 3% anual. El tanto de valoración es el 5% anual.

Solución:

El esquema gráfico de la renta es:

600 600  1, 03 600  1, 032 600  1, 037

0 1 2 3……………………………………………….. 8

8
 1, 03 
1- 
1  0, 05 
V0  A(600;1, 03)8 0,05  600    4.278 euros
1  0, 05  1, 03

(1  0, 05)8  1, 038
Vn  S (600;1, 03)8 0,05  600   6.320,56 euros
1  0, 05  1, 03

9. APLICACIÓN A LA VALORACIÓN DE INVERSIONES

El esquema gráfico de una inversión es:

C0 R1 R2 Rs Rn

0 1 2 s n

Figura 16

17
Tema 2: Rentas

Donde:

 C0 es el desembolso inicial que ocasiona la inversión3.

 Rs son los rendimientos netos en cada uno de los períodos, obtenidos como
diferencia entre los ingresos y los gastos: Rs=Is-Cs.

 n es la duración u horizonte económico de la inversión.

Existen diferentes criterios para decidir sobre si una inversión es o no efectuable.

Los más utilizados en un ambiente de certeza son el valor actual neto (VAN) y el
tanto interno de rentabilidad (TIR). En ambos casos se establece la equivalencia
financiera en el origen.

9.1.- Criterio VAN

Como su propio nombre indica, este criterio consiste en calcular el valor actual
de la renta que forman los rendimientos netos, y restar el capital desembolsado
en el momento inicial.

n
VAN   Rs  (1  i )  s  C0
s 1

Cuando los rendimientos netos son constantes, se tiene:

VAN  R  an i - C0

El tanto de valoración i lo establece el inversor en función de la rentabilidad que

como mínimo desea obtener. En el caso de una empresa, se puede tomar el
coste medio ponderado de sus fuentes de financiación o bien el coste marginal
de la financiación que se esté utilizando para la inversión, si es mayor que el
anterior.

Cuando se tata de un solo proyecto, la decisión a tomar depende de si el VAN

obtenido es mayor o menor que cero:

 Si VAN > 0 → Aceptar el proyecto

 Si VAN < 0 → Rechazar el proyecto

3En algunas inversiones no se efectúa un desembolso único, sino varios desembolsos en la

etapa inicial.

18
Tema 2: Rentas

Cuando se trata de un conjunto de proyectos, este criterio permite elegir entre

ellos, ordenándolos de mayor a menor VAN.

9.1.- Criterio TIR

El tanto interno de rentabilidad (TIR) es el tanto que iguala desde un punto de

vista financiero los rendimientos netos de la inversión con el desembolso inicial
efectuado, o lo que es lo mismo, el tipo de interés que hace que el VAN sea igual
a cero.

n
C 0   R s  (1  r )  s  r
s 1

En el caso particular en que los rendimientos son constantes, la ecuación es:

C0
R  an r  C0  an r   r
R

Para obtener r en las ecuaciones anteriores es conveniente utilizar una

calculadora financiera o la hoja de cálculo.

Cuando se tata de un solo proyecto, el criterio de decisión basado en el TIR es el

siguiente:

 Si r > i → aceptar el proyecto

 Si r < i → rechazar el proyecto

siendo i el tanto mínimo de rentabilidad que exige el decisor a sus proyectos, que
suele ser el tanto de coste promedio de su financiación.

Cuando se trata de un conjunto de proyectos, se ordenarán de mayor a menor

TIR siendo preferidos los de mayor TIR.

19
Tema 2: Rentas

10. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. Hallar los valores actual y final de las siguientes rentas, si se valoran en

capitalización compuesta al 8% anual:

a) Inmediata, pospagable, de cuantía constante trimestral 500 euros

duración seis años.
b) Inmediata, prepagable, de cuantía constante semestral 1.500 euros y
perpetua.
c) Diferida tres años, pospagable, de cuantía constante mensual 700
euros y duración ocho años.

2. Obtener el valor actual de una renta inmediata y pospagable de cuantía

constante 1.000 euros si se valora al 7% anual y su duración es:

a) Diez años
b) Cincuenta años
c) Cien años

Calcular también el valor actual si se trata de una renta perpetua,

comentando los resultados.

3. Una persona tiene derecho a percibir durante diez años una renta
constante, diferida dos años, de 1.500 euros mensuales pospagables y
desea sustituirla por una renta inmediata trimestral constante, prepagable y
de doce años de duración. Obtener la cuantía trimestral constante de esta
segunda renta, teniendo en cuenta que ambas se valoran al 8% efectivo
anual.

4. Para facilitar el pago al comprador de un piso, se decide sustituir dicho

pago al contado, por una renta anual prepagable cuyo primer pago
asciende a 10.000 euros y en los restantes crece a un 4% anual acumulativo
(en progresión geométrica) y con 8 años de duración. Teniendo en cuenta
que para la valoración se ha aplicado la capitalización compuesta a un
tanto efectivo del 6% anual, obtener el precio al contado del citado bien.

20
Tema 2: Rentas

5. Una empresa inmobiliaria vende unos pisos de nueva construcción de la

siguiente manera: se han de entregar 20.000 euros al contado, 10.000 euros
dentro de seis meses, otros 10.000 euros dentro de un año, y partir de ese
momento, 1.000 euros mensuales durante doce años, entregándose el
primer importe un mes después de haber entregado los últimos 10.000 euros.
La empresa vendedora valora las cuantías aplazadas a un tanto efectivo
del 8% anual.

Obtener el precio del piso al contado, a la vista de las condiciones fijadas

por la inmobiliaria.

6. El propietario de un local decide venderlo, recibiendo las siguientes ofertas:

a) El comprador A ofrece 75.000 euros al contado, otros 75.000 dentro de

un año y, a partir de ese momento, 14 pagos semestrales y pospagables de
50.000 euros cada uno.

b) El comprador B ofrece realizar 72 pagos mensuales de 12.500 euros

cada uno, entregando el primero dentro de dos años.

Si el tipo de interés del mercado es el 5% efectivo anual, ¿cuál de las dos

ofertas es más interesante para el vendedor desde el punto de vista
financiero?

7. Obtener el VAN de un proyecto de inversión, cuyas características más

destacadas son:

 Desembolso inicial: 1.000.000 euros

 Duración: 10 años

 La producción se estima en 4.000 unidades mensuales y el precio de

venta en 10 euros cada unidad. Estos ingresos se producen con
carácter pospagable.

 Los gastos totales ascienden a 20.000 euros mensuales y

pospagables durante el primer año y crecerán en los años sucesivos
a un 3% anual acumulativo.

 La valoración financiera del proyecto se efectúa a un tanto

efectivo anual del 10%.

21
Tema 2: Rentas

11. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. a) El valor actual y final de la renta trimestral, inmediata y pospagable es:

V0  500  a24 0,019427  9.518, 69 euros

1
con i4  1  0, 08  4  1  0, 019427

y el valor final:

Vn  500  s 24 0,019427  15.104,96 euros

b) El valor actual de la renta semestral, perpetua y prepagable es:

 0,03923  1.500  1  0, 03923

V0  1.500  a  39.736, 04 euros
0, 03923
1
con i2  1  0, 08  2  1  0, 03923

En este caso, el valor final no tiene sentido al tratarse de una renta perpetua.

c) El valor actual de la renta mensual, pospagable y diferida es:

V0  1  0, 08   700  a96 0,006434  39.705, 22 euros

3

1
con i12  1  0, 08 12  1  0, 006434

y el valor final:

Vn  700  s
96 0,006434  92.578, 23 euros

22
Tema 2: Rentas

2. El valor actual de cada de una de las rentas es:

a) V0  1.000  a10 0,07  7.032,58 euros

V0  1.000  a50 0,07  13.800, 75 euros

b)

V0  1.000  a100 0,07  14.269, 25 euros

c)

d) V0  1.000  a 0, 07  14.285, 71 euros

En este ejercicio se puede comprobar que el valor actual de la renta crece al

aumentar el número de términos, si bien la diferencia se va haciendo cada vez
menor. Por esta razón, las rentas con un número muy elevado de términos
pueden considerarse perpetuas sin que ello modifique sustancialmente el
resultado final obtenido.

3. Para que las dos rentas sean equivalentes, es necesario que tengan el mismo
valor actual.

La primera renta es constante, mensual, pospagable y diferida dos años, por lo

que su valor actual es:

V0  1.500  a120 0,006434  1  0, 08 

2
 107.294, 74 euros
1
con i12  1  0, 08   1  0, 006434
12

La segunda renta es constante, trimestral, prepagable e inmediata. Su valor

actual ha de coincidir con el de la renta anterior:

480,019427
107.294, 74  C  a  C  3.391, 43 euros
1
con i4  1  0, 08  4  1  0, 019427

4. El precio al contado del piso ha de ser igual al valor actual de una renta anual
que crece en progresión geométrica de razón 1,04 y que además es inmediata y
prepagable:

8
 1,04 
1 
1  0,06 
(10.000;1,04) 
P0  A 8 0,06  10.000    1  0,06   74.911,71 euros
1  0,06  1,04

23
Tema 2: Rentas

5. El precio del piso al contado se obtiene calculando el valor actual de todos los
capitales que hay que entregar a la inmobiliaria:

1
V0  20.000  10.000  1  0,08   10.000  1  0,08   1.000  a144 0,006434  1  0,08  
 1 1
2

 125.643,56 euros
1
i12  1  0,08 12  1  0,006434

6. a) El valor actual de la oferta del comprador A:

V0A  75.000  75.000  1  0, 05   50.000  1  0, 05   a14 0,024695  704.316, 27 euros

1 1

1
con i2  1  0, 05  2  1  0, 024695

b) El valor actual de la oferta del comprador B es:

720,004074  709.136,84 euros

V0B  12.500  1  0, 05   a
2

1
con i12  1  0, 05 12  1  0, 004074

La mejor oferta para el vendedor es aquélla que proporciona mayor valor

actual, es decir, la del comprador B.

7. El valor actual de los ingresos es:

V0I   4.000  10   a120 0,00797  3.082.246, 75 €

1
con i12  1,10 12
 1  0, 00797

y el valor actual de los gastos:

10
 1, 03 
1 
0,1 1  0,1 
 
 240.000  
12
V0G  A(20.000  12 ;1, 03)10 0,01   1.726.529,16 €
0, 095689 1  0,1  1, 03
con J12  12  i12  0, 095689

Se observa que esta renta no se ha valorado como renta mensual, sino como
renta anual fraccionada en meses. Al tratarse de una renta mensual que crece
año a año, necesariamente se tiene que plantear como renta anual fraccionada
en meses. Si se hubiera expresado como renta mensual, se cometería el error de
considerar que el crecimiento de la renta se produce mes a mes.
Con lo que el VAN de la inversión es:
VAN  V0I  V0G  1.000.000  355.717,59 €

24