TEMA 3.

- VALORACIÓN DE RENTAS FINANCIERAS

Miguel A. Acedo
Fco. Javier Ruiz
J. Eduardo Rodríguez
M. Carmen Ruiz-Olalla

1
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

En general, el concepto de renta financiera se asocia con una sucesión de capitales en el

tiempo.
El término renta es cualquier flujo de capitales durante un período de tiempo especificado.
Ejemplos:

- El alquiler de una propiedad: pago

periódico de un inquilino a un arrendador - Los sueldos o salarios percibidos por
a cambio del uso de la tierra, un edificio, un trabajador: el salario mensual de un
una oficina u otra propiedad trabajador 2
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

Por ejemplo: - El préstamo hipotecario solicitado a un

banco es una renta porque para devolverlo se
hacen pagos mensuales.

- Las ganancias de un
activo financiero:

* La compra de un Bono
del Tesoro, donde los
futuros capitales a
recibir son los cupones
anuales del bono, y el
último capital será la
suma del último cupón y
el valor nominal del
bono.

* Los dividendos de las acciones son una renta

3
3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

Nuestro principal objetivo será la valoración de

este conjunto de capitales en un momento
determinado del tiempo.

4
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

Atendiendo a los diferentes elementos que componen una renta, es posible establecer las
siguientes clasificaciones:
a) Atendiendo a la amplitud de los PERIODOS DE MADURACIÓN.

- Discretas: constan de peridos de maduración finitos.

* Periodicas, cuando todos los periodos de maduración tienen la misma

amplitud. En la práctica, la mayoría de las rentas discretas son periodicas. El
estudio de este tema se centra en este tipo de rentas discretas y periodicas.
Ejemplo: El alquiler de un piso. Cada mes, el propietario recibe el alquiler del inquilino
Vn
V0 C C ... C C
1 2 n-1 n

0 1 2 ... n–1 n
* No periodicas, cuando los periodos de amduración no tienen la misma amplitud.

- Continuas: constan de periodos de maduración infinitesimales, producidos

por un flujo continuo de capitales.
5
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

b) Respecto de las CUANTÍAS.

-Constantes: todas las cuantías son iguales. Ejemplo: si realizamos aportaciones mensuales de
100 € para crear un fondo de pensiones. Cuando tengamos 65 años, dispondremos de un capital
específico, igual al valor futuro de la renta.

C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n

- Variables: las cuantías son distintas. Dentro de este grupo tenemos dos casos específicos:
- En progresión aritmética: Una secuencia de capitales tal que la diferencia entre dos
capitales sucesivos siempre es una constante llamada razón.
Vn
V0 C C+d C+2d . . . C+(n-2).d C+(n-1).d

0 1 2 3 ... n–1 n 6
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

b) Respecto de las CUANTÍAS.

- Renta constante:
- Renta variable:
- En progresión aritmética:
Vn
V0 C C+d C+2d . . . C+(n-2).d C+(n-1).d

0 1 2 3 ... n–1 n
- En progresión geométrica: Secuencia de capitales donde cada capital se calcula
multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón. Por ejemplo, 2,4,8,16 ...
con razón 2

V0 Vn
C C.q C.q2 ... C.qn-2 C.qn-1

0 1 2 3 ... n–1 n

7
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

c) Con relación al MOMENTO DE VALORACIÓN.

- Inmediatas: el momento de valoración pertenece al intervalo (0, n), es
decir, está comprendido en cualquier momento de la duración de la renta.

C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n

Dentro de estas destaca la valoración de la renta establecida en 0 (origen), que se denomina

valor actual, y la establecida en n (finalización), que se le conoce como valor final.

El valor actual o presente V0 es la actualización de la cuantía de todos los capitales que

integran la renta, y que se encuentran en el futuro.
El valor final o futuro Vn es la capitalización de la cuantía de todos los capitales que integran
8
la renta, y que se encuentran en el pasado.
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

c) Con relación al MOMENTO DE VALORACIÓN.

- Inmediatas
- Anticipadas: el momento de valoración es posterior a n, el final de la
renta. Hay un intervalo de tiempo desde el momento en que termina el
último capital que compone la renta y el punto de valoración.
Vn+x
V0 C C ... C C

0 1 2 ... n-1 n n+1 ... n+x

Duración (n periodos) Periodo anticipado (x periodos)

9
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

c) Con relación al MOMENTO DE VALORACIÓN.

- Inmediatas
- Anticipadas
- Diferidas: el momento de valoración es anterior
al origen de la renta

Ejemplo: un préstamo en una empresa que financia la compra de automóviles, donde la

empresa ofrece no hacer el primer pago hasta un año después de comprar el coche.

V0 C C ... C C

0 1 2 ... d d+1 d+2 ... d+n - 1 d+ n

10
Diferimiento (d periodos diferidos) Duración (n periodos)
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

d) En función de la DURACIÓN.
- Temporales: Los que tienen una duración conocida, la duración es
finita. Ejemplo: Una hipoteca para comprar una casa.

C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n
- Perpetuas o indefinidas: La duración es infinita.
Ejemplos: Rentas vitalicias. Bonos del Tesoro
Perpetuo: nunca se amortizan y siempre pagan
periódicamente los cupones.

V0 C C ... C C ...

0 1 2 ... n-1 n ...  11

 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

e) Respecto al VENCIMIENTO DE LOS CAPITALES DENTRO DE CADA PERIODO.

- Prepagables: los capitales vencen al principio de cada

periodo de maduración. Ejemplo: el pago del seguro de
un coche.

C C ... C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n
- Pospagables: los capitales vencen al final de cada
peridodo de maduración. Ejemplo: el salario de un
trabajador POST

C C ... C C Vn
V0

12
0 1 2 ... n-1 n
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

f) Otras RENTAS.
-Rentas mensuales
-Rentas trimestrales Fraccionadas: Cada término de renta y periodo de
-Rentas semestrales maduración se descomponen en k partes.
-Etc...

El valor capital o financiero de una renta en el momento  (alfa) es aquel capital (Vα, )
cuya cuantía surge de sumar financieramente los términos de la renta en .
Vα

C1 C2 ... Cn - 1 Cn

0 1 2 . . α. n–1 n
13
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

Destacan dos valores financieros dependiendo de :

 = 0  valor actual o presente de la renta: sería la suma financiera de los capitales

equivalentes de la renta valorados al inicio de la operación. Para saber cuál es el valor actual de
una renta, sería necesario descontar cada capital futuro hasta el origen del tiempo y después de
eso, sumar cada capital descontado.

 = n  valor final o futuro de la renta: sería la suma financiera de los capitales

equivalentes de la de la renta valorados al final de la operación. Para saber cuál es el valor final
o futuro de una renta, sería necesario calcular el valor final de cada capital y sumar estos
capitales finales.
Vn
V0 C1 C2 ... Cn - 1 Cn

0 1 2 ... n–1 n
14
 3.1.- CONCEPTO, CLASIFICACIÓN, VALOR CAPITAL Y PROPIEDADES DE LAS RENTAS

Las rentas pueden calcularse utilizando leyes financieras simples o compuestas, dependiendo
de si la operación financiera es a corto, medio o largo plazo.

Sin embargo, en este tema la valoración se llevará a cabo con leyes financieras compuestas, en
concreto con la capitalización compuesta y su inversa (el descuento compuesto racional) a
efectos de analizar operaciones financieras como la de constitución y la de amortización.
Cn
Cn = C0 . (1 + i)n C0 = = C n . (1  i) -n

(1 + i) n

De esta manera, se puede representar gráficamente el caso específico de una renta discreta y
periódica, variable, inmediata, temporal y pospagable, de la siguiente manera:
Vn
V0 C1 C2 ... Cn - 1 Cn

0 1 2 ... n–1 n
15
 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.1.- Temporales y pospagables

El esquema gráfico es como sigue:
C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n
Donde el valor actual de la renta es:

 
n
V0 =  C . (1 + i) - s = C . (1 + i) - 1  (1 + i) - 2  . . . + (1 + i) - n =
s =1

  a1 - a n . r   (1  i) - 1 - (1  i) - n . (1  i) - 1
= C .  Suma (progresión geométrica)    =C. =
  1 - r  1 - (1  i) -1

1 - (1  i) - n 1 - (1  i) - n
=  multiplicando numerador y denominador por (1  i)  = C . = C. = C .an
(1  i) - 1 i i

C = Cuantía constante de los capitales que componen la renta

n = número de periodos i = tipo de interés compuesto por periodo 16

 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.1.- Temporales y pospagables

El esquema gráfico es como sigue:

C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n

Donde el valor final de la renta es:

n
Vn =  C . (1 + i)  
n -s n
= C .  (1 + i) n - s = C . (1 + i) n - 1  (1 + i) n - 2  . . . + 1 =
s =1
s =1

  a 1 - a n . r  (1  i) n - 1 - 1 . (1  i) - 1
= C .  Suma (progresión geométrica)   = C . =
  1 - r  1 - (1  i) -1

(1  i) n - 1 (1  i) n - 1
=  multiplicando numerador y denominador por (1  i)  = C . =
(1  i) - 1 C. = C . Sn i
i
17
 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.1.- Temporales y pospagables

El esquema gráfico es como sigue:

C C ... C C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n

Obsérvese que el valor final es igual al valor actual capitalizado durante los n periodos:

1 - (1 + i) - n (1 + i) n - 1
Vn = V0 . (1 + i) = C . a n i . (1 + i) = C .
n n
. (1 + i)  C .
n
 C  Sn i
i i

Ex. 1,6,7 R

18
 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.2.- Temporales y prepagables

El esquema gráfico es como sigue:

C C ... C Vn
V0

0 1 2 ... n-1 n
Donde el valor actual de la renta es:
n
V0 =  C . (1 + i)
n
= C . (1 + i) .  (1 + i) - s = C . (1 + i) . a n i = C . an
- s +1
i
s =1
s =1

n n
Vn =  C . (1 + i) n - s +1
= C . (1 + i) .  (1 + i) n - s = C . (1 + i) . Sn i = C . Sn i
s =1 s =1

Observese que (1 + i) es el factor de prepagabilidad

19
Ex. 2R
 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.3- Perpetuas y pospagables

Este caso se ilustra gráficamente como sigue:

V0 C C ... C C ...

0 1 2 ... n-1 n ... 

El valor actual será:

 
1 - (1 + i) - s  C . 1 = C . a
V0 =  C . (1 + i) -s
= C. -s
(1 + i) = C . lím  i
s =1 s =1
s i i

Una serie infinita de capitales con un tipo de interés distinto de cero tiene un valor presente
finito.
Ex. 3,11R
No tiene sentido hablar de valor final de una renta perpetua.
20
 3.2.- RENTAS CONSTANTES E INMEDIATAS

3.2.4.- Perpetua y prepagable

El esquema gráfico es como sigue:

V0 C C C ... C C ...

0 1 2 ... n-1 n ... 

El valor actual es:

 
1 - (1 + i) - s
V0 =  C . (1 + i) - s 1
= C . (1  i) .  (1 + i) = C . (1  i) . lím
-s
=
s =1 s =1
s i

1
= C . (1  i) . = C . (1  i) . a  i = C . a
i i

No tiene sentido hablar de valor final de una renta perpetua.

21
 3.3.- RENTAS ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

3.3.1. Anticipadas
1) Temporales y pospagables

Ej. 4R
Vn+x
V0 C C ... C C

0 1 2 ... n-1 n n+1 ... n+x

Duración (n periodos) Anticipación (x periodos)

El valor actual no representa ninguna novedad, mientras que el valor final será:

n n
Vn  x =  C . (1 + i) n -s + x
= C . (1 + i) .  (1 + i) n - s = C . (1 + i) x . S n i = C . x / S n
x
i
s =1 s =1

Obsérvese que (1 + i)x es el factor de anticipación

22
 3.3.- RENTAS ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

3.3.1. Anticipadas

2) Temporales y prepagables.

Vn+x
V0 C C ... C

0 1 2 ... n-1 n n+1 ... n+x

Duración (n periodos) Anticipación (x periodos)

El valor final será:

n n
Vn  x =  C . (1 + i) n - s +1+ x
= C . (1 + i) . ( 1 + i) .  (1 + i) n - s =
x

s =1 s =1


= C . (1 + i) . (1 + i) x . S n i = C . (1 + i) . x / S n i = C . x / S n i

2
3
 3.3.- RENTAS ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

3.3.2.- Diferidas
1) Temporales y pospagables.

V0 C C ... C C

0 1 2 ... d d+1 d+2 ... d+n - 1 d+ n

Diferimiento (d periodos) Duración (n periodos)

El valor final no presenta ninguna novedad, mientras que el valor actual será:

n n
V0 =  C . (1 + i) -s-d
= C . (1 + i) .  (1 + i) - s = C . (1 + i) - d . a n i = C . d / a n
-d
i
s =1 s =1

Obsérvese que (1 + i)- d es el factor de diferimiento

24
 3.3.- RENTAS ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

3.3.2.- Diferidas
2) Temporales y prepagables.

V0 C C ... C

0 1 2 ... d d+1 d+2 ... d+n - 1 d+ n

Diferimiento (d periodos) Duración (n periodos)

El valor actual será:

n n
V0 =  C . (1 + i) - s + 1 - d = C . (1 + i) . (1 + i) - d .  (1 + i) - s =
s =1 s =1

= C . (1 + i) . (1 + i) - d . a n i = C . (1  i) . d / a n i = C . d / an i
25
 3.3.- RENTAS ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

3.3.2.- Diferidas
3) Perpetuas y pospagables.

V0 C C ...

0 1 2 ... d d+1 d+2 ... 

Diferimiento (d periodos) Duración (n periodos)

El valor actual será:

 
1
V0 =  C . (1 + i) -s-d
= C . (1 + i) .  (1 + i) - s = C . (1 + i) - d .
-d
=
s =1 s =1 i

= C . (1 + i) - d . a  i = C . d / a  i
26
 3.4.- RENTAS VARIABLES

El esquema gráfico para el caso general de una renta temporal y pospagable es el siguiente:
Vn
V0 C1 C2 ... Cn - 1 Cn

0 1 2 ... n–1 n
El valor actual y final serán respectivamente: The unit of time in
n n the variable annuity
V0 =  C s . (1 + i) -s
Vn =  C s . (1 + i) n - s is the unit of time of
s =1 s =1

Cabe destacar dos casos particulares: the “d” or “q”

- Rentas en progression aritmética: los términos que componen la renta varían de
forma sumativa de acuerdo con una razón d, donde:
Cs = C1 + (s - 1) . d = C + (s - 1) . d = Cs-1 + d
- Rentas en progression geométrica: los términos que componen la renta varían
de forma multiplicativa de acuerdo con una razón q, donde:

Cs = C1 . qs-1 = C . qs-1 = Cs-1 . q

2
Al igual que en las rentas anteriores, es posible establecer idéntica clasificación. 7
3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.1.- En progression aritmética + d=

1) Temporal y pospagable.
Vn
V0 C C+d C+2d . . . C+(n-2).d C+(n-1).d

0 1 2 3 ... n–1 n
donde d es la razón de la progression aritmética, la cual puede ser positive (creciente)
C
o negativa (decreciente), si bien C + (n - 1) . d > 0  d > -
n -1
Naturalmente, si d es igual a cero, se estaría ante una renta constante.

El valor actual, que se denota como A (C, d) n i

será:

 d  d . n . (1  i) -n
V0 = A (C, d) n = C +  . an i -
i
 i i
2
8
3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.1.- En progresión aritmética + d=

1) Temporal y pospagable.

Vn
V0 C C+d C+2d . . . C+(n-2).d C+(n-1).d

0 1 2 3 ... n–1 n

Mientras que el valor final que se denota S (C, d) n i

será:

 d d. n
Vn = S (C,d)n i = A (C,d)n i . (1+ i) =  C +  . Sn i -
n

 i i

2
9
3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.1.- En progresión aritmética + d=

2) Temporal y prepagable.
Vn
V0 C C+d C+2.d ... C+(n-1).d

0 1 2 ... n–1 n

El valor actual y final serán respectivamente:

V0 = (1  i) . A (C, d) n  (C, d)
=A
i n i

Vn = (1  i) . S (C, d) n i
= S (C, d) n i

3
0
3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.1.- En progresión aritmética Ex. 8 R

+ d=
3) Perpetuas.
V0 C C+d ... C+(n-2).d C+(n-1).d

0 1 2 ... n–1 n ... 

El valor actual será:

 d d . n . (1  i) - n 
V0 = A (C, d)  i = lím A (C, d) n = lím C +  . an i -  =
 i i 
n i n

 -n n   1   d
=  lím n . (1 + i) = lím =   n
= lím = 0 =
  C +  . a
n   (1 + i) n  
n
i
  
i
n (1 + i) . ln (1  i)

 d
V0 = A (C, d)  i =  C +  . a 
 i i

3
1
 3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.2.- En progresión geométrica Ex. 3P q =

1) Temporales y pospagables.

V0 Vn
C C.q C.q2 ... C.qn-2 C.qn-1

0 1 2 3 ... n–1 n
q > 1 creciente
donde q es la razón de la progression geométrica 
con q > 0  q = 1 constante
q < 1 decreciente

El valor actual, que se denota como A (C, q)n i
será:

C . n . (1 + i) - 1 if q = 1 + i

V0 = A (C, q) n =  1 - q n . (1 + i) - n
i
C . if q  1 + i
 1 i - q

Mientras que el valor final, que se denota comoS (C, q) n i será:

Vn = S (C, q) n i = A (C, q) n i . (1 + i) n
3
2
 3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.2.- En progression geométrica q =

2) Tempoales y prepagables.
V0 V0
C C.q C.q2 ... C.qn-1

0 1 2 ... n–1 n

El valor actual y final será respectivamente:

V0 = (1  i) . A (C, q) n i
 (C, q)
=A n i

Vn = (1  i) . S (C, q) n i
 (C, q)
=S n i

3
3
3.4.- RENTAS VARIABLES

3.4.2.- En progresíón geométrica q =

3) Perpetuas pospagables. Ex. 9 R
V0 C C.q ... C.qn-2 C.qn-1

0 1 2 ... n–1 n ... 

El valor actual será:
C
V0 = A (C, q)  i = lím A (C, q) n i = para q < 1 + i
n 1+ i - q
n
 q 
Dado que lím q n . (1  i) - n = lím   = 0 para q < 1 + i
n 1 i
n
 

C
V0 = A (C, q)  i = para q < 1 + i
1+ i - q

3
4
 3.5.- RENTAS FRACCIONADAS

Cada término de una renta y periodo de maduración se descompone en k partes. En la práctica,

es frecuente que el fraccionamiento sea uniforme, es decir cada término de la renta y periodo de
maduración se descompone en k partes iguales.
1) Temporles y pospagables. Ex. 10,12 R Ex. 5,6,7 P

V0 C/k C/k ... C/k C/k C/k ...C /k ... C Vn

/k
0 1/k 2/k ... 1 1+1/k 1+2/k ... 2 ...

El valor actual será: i 1 - (1 + i) - n i

V0 = C . . = C . . a n i = C . a kn
jk i jk i

El valor final será:

i
Vn = V0 . (1 + i) n = C . . Sn i = C . Skn
jk i

Obsérvese que i es el factor de fraccionamiento

jk 35
3.5.- RENTAS FRACCIONADAS

2) Temporales y prepagables.

El valor actual y final será respectivamente:

i
V0 = C . (1  i)1 / k . .an i = C . (1 + i)1 / k . a kn i = C . akn
jk i

i
Vn = C . (1  i)1 / k . .S = C . (1 + i)1 / k . Skn i = C . Skn i
jk n i

Obsérvese que (1 + i)1/k es el factor de

prepagabilidad en rentas fraccionadas

36
3.5.- RENTAS FRACCIONADAS

3) Perpetuas y pospagables.

El valor actual será:

i 1 i
V0 = C . . = C . . a  i = C . a k i
jk i jk

Obsérvese que toda renta fraccionada puede ser valorada como

una renta sin fraccionar, tomando como periodo de referencia el
subperiodo de fraccionamiento, de forma que tanto la cuantía
como el tipo de interés deben estar referidos a dicho periodo.
Por tanto, los valores actuales y finales serán respectivamente:

C C
V0 = . a k . n Vn = . S k . n
k ik k ik

37
 SÍNTESIS DEL TEMA

Las expresiones analíticas que permiten establecer la valoración de los distintos tipos de rentas
son los siguientes:
Ex. 8,9,10,11 P
1) Rentas constantes.
Tipo Factor Valoración
- Pospagable 1 V0 = C . a n i

- Prepagable (1 + i) V0 = C . (1 + i) . a n i
- Anticipada (1 + i)x Vn + x = C . (1 + i)x . S n i

- Diferida (1 + i)- d V0 = C . (1 + i)- d . an i

C
- Fraccionada i V0 = C . i . a = . ak.n
n i
jk jk k ik

2) Rentas variables.
- En progresión aritmética - En progresión geométrica.
C . n . (1 + i) - 1 si q = 1 + i
 d d . n . (1  i) -n

V0 = A (C, d) n = C +  . an i - V0 = A (C, q) n i =  1 - q n . (1 + i) - n
i
 i i C . si q  1 + 3i
 1 i - q 8