FIS239 Física Mecánica 2

Primer semestre 2021

Módulo 3: Movimiento oscilatorio

Sistemas que describen MAS

Ecuación diferencial (general) para un MAS
La ecuación diferencial de un MAS es de la forma

𝒅𝟐 𝒇 𝟐
= −𝝎 𝒇
𝒅𝒕𝟐
𝟐
Donde 𝑓 es la posición del cuerpo en algún 𝒅 𝒇 𝟐
𝟐
+𝝎 𝒇=𝟎
sistema de referencia
𝒇 = 𝒙, 𝜽 𝒅𝒕
Si la posición estuviera en función del ángulo:

𝒅𝟐 𝜽 𝟐𝜽 = 𝟎
+ 𝝎
𝒅𝒕𝟐
𝜔 representa la frecuencia angular del sistema
𝟐𝝅 𝟐𝝅
𝝎= →𝑻=
𝑻 𝝎
Así, la frecuencia de oscilación 𝟏 𝝎
𝒇= =
𝑻 𝟐𝝅
Péndulo simple Masa puntual suspendida de un cordón sin masa y no estirable

Muevo la masa ‘m’ a un lado de su posición de equilibrio

cierto ángulo 𝜃.
¿Qué componente de fuerza es restauradora?

De la geometría del sistema, sabemos que

𝑑! 𝑠 𝑑! 𝜃
! =𝐿 !
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Reemplazando
𝑑! 𝜃
−𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝐿 !
𝑑𝑡
𝑑! 𝜃 𝑔 𝒅𝟐 𝜽 𝒈
→ ! = − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟎
𝑑𝑡 𝐿 𝒅𝒕 𝑳
Pero esta NO es la ecuación de un MAS à Aproximación de ángulo pequeño
𝜃 ≪ 1 𝑟𝑎𝑑 → 𝜃 ≪ 15° 𝒔𝒆𝒏(𝜽) ≈ 𝜽

𝒅𝟐 𝜽 𝒈
𝟐
+ 𝜽=𝟎
𝒅𝒕 𝑳
Péndulo simple 𝒅𝟐 𝜽 𝒈
𝟐
+ 𝜽=𝟎
𝒅𝒕 𝑳
Ahora sí se puede MODELAR como un MAS

𝒅𝟐 𝒇 𝟐
𝟐
+𝝎 𝒇=𝟎
𝒅𝒕

𝒈
𝟐
𝝎 = →
𝑳

¿Y la solución a la ecuación diferencial?

Los resultados anteriores NO dependen de la masa
𝜽 = 𝜽𝑴𝑨𝑿 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + ɸ) Por lo tanto, todos los péndulos simples que son de
igual longitud y están en la misma ubicación oscilan
con el mismo periodo.
Posición angular máxima
Un péndulo tiene un periodo de 1.35 s sobre la Tierra. ¿Cuál es su periodo en la luna,
#
donde la aceleración de la gravedad es $ respecto a la de la Tierra?

DATOS
𝑔& 𝑚
𝑔% = = 1,7 ! 𝑇& = 1,35 𝑠 𝑇% =? ? ?
6 𝑠
Notamos del enunciado, que el largo no es un dato conocido
OPCIÓN 1
4𝜋 !𝐿 𝑇 !𝑔
1,35 ! (10)
𝑇! = →𝐿= = = 0,46 𝑚
𝑔 4𝜋 ! 4𝜋 !

¿Cambia el largo del péndulo en la luna?

OPCIÓN 2 Puedo calcular 𝐿
𝑇% 2𝜋 𝐿 𝑔& 𝑔&
𝑔%
= = L =
𝑇& 𝐿 𝑔% 𝐿 𝑔%
2𝜋 𝑔
&
𝑇% = 6𝑇&
𝑇% 𝑔& 𝑇% 𝑔& 𝑇% 𝑻𝑳 = 𝟔 𝟏, 𝟑𝟓 = 𝟑, 𝟑 𝒔
= → = 𝒈𝑻 → 𝑇 = 𝟔
𝑇& 𝒈𝑳 𝑇& &
𝟔 Hágalo usted mismo: Verifique que se obtiene lo mismo con
la opción 1. ¿Qué relación debe existir entre los largos de los
hilos en la tierra-luna para que los periodos sean iguales?
Péndulo físico Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo
de tamaño finito.

Considere un objeto rígido que gira en torno a un

eje (sin fricción) en un punto O que esta a una
distancia d del centro de masa.
Consideremos que se desplaza desde el equilibrio
𝒓 un ángulo 𝜃.

(torque restaurador)
Llamando 𝐼) al momento de inercia desde el eje O
𝒅𝟐 𝜽 𝒅𝟐 𝜽
! 𝝉𝒐 = 𝑰𝒐 𝟐 −𝒎𝒈𝒅 𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝑰𝒐 𝟐
𝑭 𝒅𝒕 𝒅𝒕
à Aproximación de ángulo pequeño 𝒔𝒆𝒏(𝜽) ≈ 𝜽
𝒓
𝒅𝟐 𝜽 𝒅𝟐 𝜽 𝒎𝒈𝒅 𝒅𝟐 𝜽 𝒎𝒈𝒅
−𝒎𝒈𝒅𝜽 = 𝑰𝒐 𝟐 → 𝟐 = − 𝜽→ 𝟐 + 𝜽=𝟎
𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝒐 𝒅𝒕 𝑰𝒐
𝜏⨂
⃗
Péndulo físico Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo
de tamaño finito.

𝒅𝟐 𝜽 𝒎𝒈𝒅
→ 𝟐+ 𝜽=𝟎
𝒅𝒕 𝑰𝒐

𝒅𝟐 𝒇 𝟐
𝟐
+ 𝝎 𝒇=𝟎
𝒓 𝒅𝒕

𝟐
𝒎𝒈𝒅
𝝎 = →
𝑰𝒐 𝐼&

𝐼&

Hágalo usted mismo: Evalué 𝑰𝟎 para una masa puntual en la expresión del periodo ¿Qué
obtiene?
En la figura se representa un disco de masa M y radio
R. Si el pivote posee un roce despreciable, encuentre el
período del disco para pequeñas oscilaciones 𝑑

Eje de 𝐶𝑀
𝐼& rotación

1
𝐼,- = 𝑀𝑅!
2
d: distancia del eje de rotación al CM 𝒅=𝑹
𝐼+ : momento de inercia respecto al eje de rotación
Aplicando el teorema de los ejes paralelos
! 1 𝟑
𝐼) = 𝐼,- + 𝑀𝑑 = 𝑀𝑅 + 𝑀𝑅 = 𝑴𝑹𝟐
! !
2 𝟐
Reemplazando en la expresión para el periodo

3 𝑀𝑔𝑅 2𝑔
𝑀𝑅! 3𝑅
𝑇 = 2𝜋 2 = 2𝜋 = =
2𝑔 3 3𝑅
𝑀𝑔𝑅 𝐼& 𝑀𝑅!
2
 Dos varillas delgadas idénticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ángulo recto
para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la cúspide de un triángulo
agudo. Si el objeto en forma de L se desvía un poco, oscila. Calcule la frecuencia de
oscilación. 𝑦

𝑂
𝜔
𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 =
2𝜋
𝐼& 𝑑
Para el momento de inercia, son dos varillas pivoteadas desde 𝐶𝑀
el extremo. Así: 𝑥
𝐼. = 2 L 𝐼/0110 = 2 𝑚𝐿!
2341 3
Necesito calcular la posición del CM ¿es relevante la orientación?
𝑦 𝑚𝐿 𝑚𝐿
2 𝚤 ̂ + 2 𝚥 ̂ 𝐿 𝐿
𝑟⃗,- = = 𝚤̂ + 𝚥 ̂
2𝑚 4 4
! !
𝐿 𝐿 𝐿 𝐿! 𝐿!
𝑑 = 𝑟,- = + = 2L =
2 4 4 16 8
𝐿 𝑥
𝐿 𝐿
2 𝑑= =
8 2 2
 Dos varillas delgadas idénticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ángulo recto
para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la cúspide de un triángulo
agudo. Si el objeto en forma de L se desvía un poco, oscila. Calcule la frecuencia de
oscilación. 𝑦

𝑂
𝜔
𝜔 = 2𝜋𝑓 → 𝑓 =
2𝜋
𝐼& 𝑑
Para el momento de inercia, son dos varillas pivoteadas desde 𝐶𝑀
el extremo. Así: 𝑥
𝐼. = 2 L 𝐼/0110 = 2 𝑚𝐿!
2341 3
𝐿 𝐿
𝑑= =
8 2 2
Puedo calcular la frecuencia angular
𝜔 1 3 𝑔
𝑓= = .
𝐿 2𝜋 2𝜋 2 2 𝐿
2𝑚 𝑔
2 2 3 𝑔
𝜔= = .
2 ! 2 2 𝐿
𝑚𝐿 𝜔 1 3 2 𝑔 1 3 2 𝑔
3 𝑓= = . = .
2𝜋 2𝜋 4 𝐿 4𝜋 4 𝐿