M.A.S e Historia
M.A.S e Historia
M.A.S e Historia
de
vibraciones
¿Qué es una vibración?
PREGUNTA!
The nanga
(museo británico)
Pitágoras
Zhang Heng y su
Hombre de Vitruvio primer sismógrafo
Un poquito de
historia
Vibración de placas
Ernst Chladni
Modelamiento de
una vibración.
Resortes
(Almacenamiento)
Amortiguadores
(Disipación)
Grados de
libertad
Es el mínimo de coordenadas
independientes que son
requeridas para modelar el
sistema. En términos generales,
se puede decir que cada masa
del sistema agrega un grado de
libertad al mismo. Si los grados
de libertad son contables, se les
llama discretos, a los infinitos
(vigas, cuerdas) se les llaman
continuos.
Clasificación de
las
vibraciones
MOVIMIENTO Cuando la masa se hala hacia
abajo (por ejemplo) el resorte
ARMÓNICO ofrece una fuerza que va en
dirección contraria a este
SIMPLE movimiento:
𝐹 = −𝐾 ∙ 𝑥
𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎
Como la única fuerza
involucrada es la del resorte,
MOVIMIENTO so…
ARMÓNICO
−𝐾 ∙ 𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎
SIMPLE
𝑚∙𝑎+𝐾∙𝑥 =0
Sabiendo que la aceleración es la
segunda derivada de la posición,
finalmente llegamos a E.D.O:
𝑚 ∙ 𝑥ሷ + 𝐾 ∙ 𝑥 = 0
𝑑2 𝑥
𝑚∙ 2 +𝐾∙𝑥 =0
𝑑𝑡
Se propone una función que su
MOVIMIENTO derivadas sea igual a la función 𝑠2 ∙ 𝑚 + 𝐾 = 0
original:
ARMÓNICO
𝑥 𝑡 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑠∙𝑡
SIMPLE −𝐾
La segunda derivada es:
𝑠=±
𝑚
𝑥ሷ 𝑡 = 𝐶 ∙ 𝑠 2 ∙ 𝑒 𝑠∙𝑡
𝐾
Reemplazando en la EDO 𝑠 = ±𝑖
𝑚
𝑚 ∙ 𝑠 2 ∙ 𝐶 ∙ 𝑒 𝑠∙𝑡 + 𝐾 ∙ 𝐶 ∙ 𝑒 𝑠∙𝑡 = 0
𝐶 ∙ 𝑒 𝑠∙𝑡 𝑠 2 ∙ 𝑚 + 𝐾 = 0 𝑲
𝝎𝒏 =
𝒎
Así se obtiene entonces la
ecuación general del movimiento
MOVIMIENTO M.A.S de manera exponencial
ARMÓNICO
𝑥 𝑡 = 𝐶1 ∙ 𝑒 𝑖𝜔∙𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒 −𝑖𝜔∙𝑡 Ecuación exponencial.
SIMPLE
La expresión anterior no es
comúnmente usada, así que
aplicando:
Se puede llegar a:
𝒗𝟎 𝟐
−𝟏
𝑣𝟎
𝑨= 𝟐
𝒙𝟎 + 𝝋 = 𝐭𝐚𝐧
𝝎 𝑥0 ∙ 𝝎
EJEMPLIRIJILLO
Un objeto de 2 kg se sujeta al extremo de un resorte cuya
constante tiene un valor de k = 50 N/m. Si se mueve el bloque
hasta 1 m hacia la izquierda de su punto de equilibrio, y se
libera con una velocidad de 2 m/s, calcule:
𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
1 2 1 2
1 2
𝑘𝐴 = 𝑚𝑣 + 𝑘𝑥
2 2 2
Simulador
EJEMPLIRIJILLO
Un bloque describe un M.A.S. En el instante cuando la
elongación es la mitad de la amplitud, ¿qué porcentaje de la
energía total del sistema es cinética?
Método Este método se basa en que la
energía del sistema es constante,
Energía así que usa la igualación de la
energía potencial y energía cinética
Rayleigh para sus cálculos.
- En el punto de equilibrio, la
energía potencial es cero porque el 𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥
resorte está en su posición de
reposo(Epeq = 0), pero la energía
cinética es máxima porque la
velocidad es máxima (Eceq = max)
Por otro lado, la energía potencial
Método Ejemplo método de Rayleigh para
hallar la frecuencia natural.
máxima está dada por:
Energía 1
Rayleigh
Supongamos
armónico simple:
un movimiento
𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐴2
2
𝑥 𝑡 = 𝐴 ∙ sin(𝜔𝑛 𝑡) Finalmente:
𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 =
1
𝑚𝑣 2 =
1
𝑚 𝐴 ∙ 𝜔𝑛 2 𝒌
2 2 𝝎𝒏 =
𝒎
La fuerza de amortiguamiento se
MOVIMIENTO modela de la siguiente manera:
ARMÓNICO
AMORTIGUADO 𝐹𝑑 = −𝑐 𝑥ሶ
Donde a “c” se le conoce como
−𝑘𝑥 − 𝑐 𝑥ሶ = 𝑚𝑥ሷ
factor de amortiguamiento y está
dado en Kg/s
𝒎𝒙ሷ + c𝒙ሶ + 𝒌𝒙 = 𝟎
Aplicando sumatorias de fuerza en
la masa su relación queda de la Obteniendo la
siguiente manera: anterior ecuación
diferencial.
𝐹 = 𝑚𝑥ሷ
𝐹𝑠 + 𝐹𝑑 = 𝑚𝑥ሷ
Se divide la anterior ecuación entre
MOVIMIENTO ‘m’, para dejar sin coeficiente a la
derivada mayor
ARMÓNICO De esta manera se llega a la
AMORTIGUADO 𝑐 𝑘 siguiente expresión que, a
𝑥ሷ + 𝑥ሶ + 𝑥 = 0 futuro, será más sencilla de
𝑚 𝑚 trabajar.
𝑘 2
𝑘
𝜔𝑛 = → 𝜔𝑛 =
𝑚 𝑚
𝑐 𝑐
𝛾= → 2𝛾 =
2𝑚 𝑚
Se propone una solución a la
MOVIMIENTO ecuación diferencial:
ARMÓNICO 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝜆𝑡
AMORTIGUADO
𝑥ሶ 𝑡 = 𝜆𝑒 𝜆𝑡
𝑥ሷ 𝑡 = 𝜆2 𝑒 𝜆𝑡
Reemplazando se obtiene
𝜆2 𝑒 𝜆𝑡 + 2𝛾 ∙ 𝜆𝑒 𝜆𝑡 + 𝜔𝑛2 𝑒 𝜆𝑡 = 0
𝜆2 + 2𝛾 ∙ 𝜆 + 𝜔𝑛2 = 0
Se aplica ecuación cuadrática para
MOVIMIENTO llegar a: Por último se
define la relación
ARMÓNICO de amortiguamiento
𝑘
𝐶𝑐 = 2𝑚 = 2 𝑘𝑚 = 2𝑚𝜔𝑛
𝑚
MOVIMIENTO Esto nos produce cuatro tipos de
respuesta del sistema:
ARMÓNICO
AMORTIGUADO 𝜁 > 1; 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜
𝜁 = 1; 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜
𝜁 < 1; 𝑆𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜
𝜁 = 0; 𝑆𝑖𝑛 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
MOVIMIENTO El caso que más compete a nivel
general es el sistema
Donde:
ARMÓNICO subamortiguado.
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 ∙ cos(𝜔𝑑 𝑡 + 𝜑)
Amortiguamiento
laboratorio
MOVIMIENTO Respuesta en el plano complejo según
ARMÓNICO las raíces de la ecuación:
AMORTIGUADO
EJEMPLIRIJILLO
Una masas de 2,2 kg oscila sobre un resorte cuya
constante de fuerza y periodo es 250 N/m y 0,615 s.
c 𝑘
Recuerde que 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛2 − 𝛾 2 donde 𝛾 = y 𝜔𝑛 =
2𝑚 𝑚
Actividad:
Aprovechando el hecho de
Decremento logarítmico 𝜔𝑛2 − 𝛾 2 → 1 − 𝜁 2 ∙ 𝜔𝑛
𝑡2 = 𝑡1 + 𝑡𝑑
La expresión anterior nos queda:
𝑥1 𝐴𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡1 ∙ cos(𝜔𝑑 𝑡1 + 𝜑)
= −𝜁𝜔 𝑡 𝒙𝟏 𝟐𝝅𝜻
𝑥2 𝐴𝑒 𝑛 2 ∙ cos(𝜔 𝑡 + 𝜑)
𝑑 2 𝜹 = 𝐥𝐧 =
𝒙𝟐 𝟏 − 𝜻𝟐
MOVIMIENTO Los sistemas forzados no
ARMÓNICO amortiguados son modelados
por la siguiente expresión:
FORZADO SIN
AMORTIGUAMIENTO
𝑚𝑥ሷ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)
Las ecuaciones diferenciales
de este tipo tienen una
solución homogénea (igualadas
a cero) y otra solución
particular (igualadas a la
fuerza). Ya conocemos la
solución igualada a 0. Es la
siguiente:
𝑥 𝑡 = 𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡)
MOVIMIENTO
ARMÓNICO 𝐹0
FORZADO SIN 𝑋=
𝑘 − 𝑚𝜔 2
AMORTIGUAMIENTO
Finalmente la respuesta al
sistema está dada por la
siguiente función:
La solución particular se
propone cosenoidal ya que la
fuerza es de la misma forma 𝐹0
𝑥 𝑡 = 𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶2 ∙ sin(𝜔𝑛 𝑡) + 2
cos(𝜔𝑡)
𝑘 − 𝑚𝜔
𝑥𝑝 𝑥 = 𝑋 cos(𝜔𝑡) Donde las constante C1 y C2
están relacionadas como sigue:
Dicha propuesta se reemplaza
en la ecuación diferencial y se 𝐹0
despeja para X, hallando le 𝐶1 = 𝑥0 −
relación entre la respuesta de 𝑘 − 𝑚𝜔 2
la masa y las propiedades
intrínsecas del sistema. 𝑣0
𝐶2 =
𝜔𝑛
MOVIMIENTO
ARMÓNICO 𝛿𝑒𝑠𝑡 De ahora en adelante
FORZADO SIN 𝑋= 2 llamaremos r a la relación
𝜔 entre la frecuencia de la fuerza
AMORTIGUAMIENTO 1− y la frecuencia natural del
𝜔𝑛 sistema:
Debido a que el resorte
también se involucra en el
desplazamiento de la masa Ahora bien, si la deflexión
debido al desplazamiento de la estática se pasa a dividir a la
fuerza se considera la amplitud, la expresión que 𝜔
siguiente relación llamada queda es conocida como factor 𝑟=
Deflexión Estática: de amplificación
𝜔𝑛
𝐹0
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝑘 𝑋 𝟏
= 𝟐
Por tanto la ecuación que se 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝝎
tenía anteriormente queda de 𝟏−
la siguiente forma (toda se
𝝎𝒏
divide entre k)
MOVIMIENTO CASO 2: cuando r > 1 CASO 3: cuando r = 1
ARMÓNICO En esta condición la amplitud de la
En esta condición la respuesta del
FORZADO SIN sistema está “desfasada” con la masa del sistema se incrementa a
AMORTIGUAMIENTO fuerza externa: medida que va pasando el tiempo,
a tal punto que puede ser infinita
(muy grande). En sistemas reales,
esta condición puede dañar
CASO 1: cuando 0 < r < 1 motores, puentes o tumbar
edificios. Se conoce como
En esta condición la respuesta RESONANCIA.
del sistema está “en fase” con
la fuerza externa:
Ejemplo visual
Simulador
𝑣0 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝜔𝑛 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡)
𝜔𝑛 2
EJEMPLIRIJILLO
Un bloque de m = 2 kg es adherido a un resorte que tiene
una constante de fuerza k = 20 N/m, el bloque se mueve sin
fricción (b = 0) y es impulsado por una fuerza externa
F = 3*cos (2πt), donde F está en Newtons y t en segundos.
Determine:
𝑥0 = 𝑋0 cos(𝜙0 ) + 𝑋 cos(𝜙)
𝑥 𝑡 = 𝑋0 𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑑 𝑡 − 𝜙0 𝑣0 = −𝜁𝜔𝑛 𝑋0 cos 𝜙0 + 𝜔𝑑 𝑋0 sin 𝜙𝑜 + 𝜔𝑋 sin(𝜙)
+𝑋 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) Despejando para Xo y ϕo
1
Nótese que los valores “sub 2
1 2
2
cero” son relacionados con la 𝑋0 = 𝑥0 − 𝑋 cos 𝜙 + 2 𝜁𝜔𝑛 𝑥0 + 𝑣0 − 𝜁𝜔𝑛 𝑋 cos 𝜙 − 𝜔𝑋 sin 𝜙
𝜔𝑑
parte transitoria, los valores
sin sub índice son relacionados 𝜁𝜔𝑛 𝑥0 + 𝑣0 − 𝜁𝜔𝑛 𝑋 cos 𝜙 − 𝜔𝑋 sin 𝜙
con la fuerza. tan 𝜙0 =
𝜔𝑑 (𝑥0 − 𝑋 cos 𝜙)
EJEMPLIRIJILLO
En ocasiones la base o
soporte de un sistema
amortiguado presenta un
M.A.S (caso similar a los
terremotos, por
ejemplo). En esta
ocasión se deben
considerar los
movimientos relativos
entre la base 𝑦(𝑡) y los
movimientos de la base
del sistema 𝑥 𝑡 .
MOVIMIENTO
ARMÓNICO DE LA Nótese entonces que hay
BASE. que tomar el movimiento
relativo entre los
desplazamientos del
resorte y las velocidades
del amortiguador:
𝑚𝑥ሷ + 𝑐 𝑥ሶ − 𝑦ሶ + 𝑘 𝑥 − 𝑦 = 0
MOVIMIENTO
ARMÓNICO DE LA
𝑚𝑥ሷ + 𝑐𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 𝑘𝑦 + 𝑐𝑦ሶ = 𝑘𝑌𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝑐𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
BASE.
= 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
La respuesta de estado
estable de sistema 𝑌 𝑘 2 + 𝑐𝜔 2
𝑥𝑝 𝑡 = 1 sin(𝜔𝑡 − 𝜙1 − 𝛼)
conocida como 𝑥𝑝 𝑡 se
expresa de la siguiente 𝑘 − 𝑚𝜔 2 2 + 𝑐𝜔 2 2
manera.
Donde
𝑐𝜔
𝜙1 = tan−1
𝑘 − 𝑚𝜔 2
MOVIMIENTO Realizando unos “pequeños ajustes” podemos
ARMÓNICO DE LA llegar a una expresión “simplificada” de la
BASE. forma: 𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑋 𝑚𝑐𝜔3 𝟐𝜻𝒓𝟑
≡ 𝑇𝑑 𝜙 = tan−1 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝑌 𝑘 𝑘 − 𝑚𝜔 2 + 𝑐𝜔 2 𝟏 + 𝟒𝜻𝟐 − 𝟏 𝒓𝟐
Conocido como
transmisibilidad del
desplazamiento.
MOVIMIENTO
ARMÓNICO DE LA
BASE.
𝑋 𝜙(𝑟)
≡ 𝑇𝑑 (𝑟)
𝑌
MOVIMIENTO
ARMÓNICO DE LA
BASE.
𝑋
≡ 𝑇𝑑 (𝑟)
𝑌
1 0,1 20 25
20
2 0,2 24
NEWTONS
15
3 0,3 26 10
5
4 0,4 17
0
5 0,5 12 0 0,1 0,2 0,3
SEGUNDOS
0,4 0,5 0,6
6 0,6 5
SERIES
DE Comparando cada término de la izquierda con la
FOURIER derecha y combinando con las ecuaciones de los
sistemas forzados y amortiguados obtenemos:
Para modelar el
comportamiento de un ∞ 𝑎𝑗
𝑎0 𝑘
sistema completo (con 𝑥𝑝 𝑡 = + cos(𝑗𝜔𝑡 − 𝜙𝑗 )
rigidez y amortiguamiento) 2𝑘 1 − 𝑗2𝑟2 2 + 2𝜁𝑗𝑟 2
𝑗=1
que está modelado por una ∞
𝑏𝑗
fuerza en series de Fourier 𝑘
se siguen los siguientes + sin(𝑗𝜔𝑡 − 𝜙𝑗 )
𝑗=1
1 − 𝑗2𝑟2 2 + 2𝜁𝑗𝑟 2
expresiones:
𝑎0 Donde:
𝑚𝑥ሷ + 𝑐𝑥ሶ + 𝑘𝑥 =
2
2𝜁𝑗𝑟
𝑚𝑥ሷ + 𝑐𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 𝑎𝑗 cos(𝑗𝜔𝑡) 𝜙𝑗 = tan−1
1 − 𝑗2𝑟2
𝑚𝑥ሷ + 𝑐 𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 𝑏𝑗 sin(𝑗𝜔𝑡)
TRANSFORMADA
El procedimiento general
DE
implica transformar las
LAPLACE
ecuaciones diferenciales de
Para solucionar sistemas un sistema vibratorio y
dinámicos con esta pasarlo al dominio de S, de
herramienta se utiliza el esta manera un sistema
concepto de función de que contaba con
transferencia esto permite ecuaciones diferenciales
separar el sistema en tres ahora será de manera
partes claramente polinómica.
distinguibles: entrada,
salida y el sistema en sí.
Pierre-Simon LaPlace
Biografía
TRANSFORMADA Algunas transformadas de
DE LaPlace útiles:
LAPLACE
La transformada de 1 𝑎
LaPlace se define de la ℒ1 = ℒ sin(𝑎𝑡) = 2
siguiente manera en el
𝑠 𝑠 + 𝑎2
dominio del tiempo
continuo: 1 𝑠
ℒ 𝑒 −𝑎𝑡 = ℒ cos(𝑎𝑡) = 2 2
𝑠+𝑎 𝑠 + 𝑎
∞
ℒ𝑓 𝑡 = න 𝑓 𝑡 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0 ℒ 𝑓′′(𝑥) = 𝑠 2 𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′(0)
Transformada de LaPlace explicada.
Algunas transformadas
inversas de LaPlace
−1
1 1 sin(𝑎𝑡)
ℒ =1 ℒ −1
=
𝑠 2
𝑠 +𝑎 2 𝑎
−1
𝑠
ℒ = 𝑒 𝑘𝑡
−1
𝑛! 𝑠−𝑘
ℒ = 𝑡𝑛 𝑠
𝑠 𝑛+1 ℒ −1
= cos(𝑎𝑡)
2
𝑠 +𝑎 2
TRANSFORMADA
ℒ 𝑚𝑥ሷ + ℒ 𝑘𝑥 = 0
DE
𝑚ℒ 𝑥ሷ + 𝑘ℒ 𝑥 = 0
LAPLACE
𝑚 𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥0 − 𝑣0 + 𝑘𝑋 𝑠 = 0
Procuremos hallar 𝒙 𝒕 del 𝑚𝑠 2 𝑋 𝑠 − 𝑚𝑠𝑥0 − 𝑚𝑣0 + 𝑘𝑋 𝑠 = 0
siguiente sistema usando 𝑋 𝑠 𝑚𝑠 2 + 𝑘 = 𝑚𝑠𝑥0 + 𝑚𝑣0
LaPlace.
𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑣0
𝑋 𝑠 = +
𝑚𝑠 + 𝑘 𝑚𝑠 2 + 𝑘
2
𝑚𝑥ሷ + 𝑘𝑥 = 0; 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑥ሶ 0 = 𝑣0
Llegando a despejar 𝑿(𝒔) a
continuación se calcula la
Procedimiento:
transformada de LaPlace
inversa de la función.
TRANSFORMADA 𝑠𝑥0 𝑣0
𝑥 𝑡 = ℒ −1 +
𝑘 𝑘
DE 𝑠2 +
𝑚
𝑠2 +
𝑚
LAPLACE
𝑠 1
𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑣0 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑜 ℒ −1 + 𝑣𝑜 ℒ −1
𝑋 𝑠 = + 𝑘 𝑘
𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑠2 + 𝑠2 +
𝑚 𝑚
El objetivo es modificar cada una de
las expresiones para llegar a las Por conveniencia y teoría
𝒌
formas estándar de las expresamos 𝝎𝟐 =
𝒎
transformadas inversas.
𝑠 1
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑜 ℒ −1 2 2
+ 𝑣𝑜 ℒ −1
𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑣0 𝑠 +𝜔 𝑠2 + 𝜔2
𝑥 𝑡 = ℒ −1 +
𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑚𝑠 2 + 𝑘
𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑣0
𝑣0
𝑥 𝑡 = ℒ −1
𝑘
+
𝑘 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑜 cos(𝜔𝑡) + sin 𝜔𝑡
𝑚 𝑠2 +
𝑚
𝑚 𝑠2 +
𝑚 𝜔
TRANSFORMADA
DE Ahora podemos aventurarnos a
LAPLACE realizar el mismo procedimiento
para un sistema que tiene
amortiguamiento:
Teorema de traslación de
Transformada de LaPlace: 𝑚𝑥ሷ + 𝑐 𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 0; 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑥ሶ 0 = 𝑣0
𝑚𝑥ሷ + 𝑐 𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 0; 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑥ሶ 0 = 𝑣0 𝑚𝑥ሷ + 𝑐 𝑥ሶ + 𝑘𝑥 = 0; 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑥ሶ 0 = 𝑣0
−1
−𝑠 − 8 −1
−𝑠 − 𝟐𝟒
𝑥 𝑡 =ℒ 𝑥 𝑡 =ℒ
𝑠 2 + 10𝑠 + 25 𝑠 2 + 𝟐𝟔𝑠 + 25
DIFERENCIAS El método de diferenciación Tomando los dos primeros
FINITAS finita procura evaluar el términos y restando la
comportamiento de una diferencia entre ambas
derivada en un punto dado ecuaciones se obtiene
conociendo la “historia” del
sistema. Es una 𝑑𝑥 1
APROXIMACIÓN a un 𝑥𝑖ሶ = ቚ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1
𝑑𝑡 𝑡𝑖 2ℎ
resultado analítico.
ℎ2 Usando la misma lógica
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ𝑥𝑖ሶ + 𝑥𝑖ሷ para la derivada segunda:
2
ℎ2 𝑑2 𝑥 1
𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 − ℎ𝑥𝑖ሶ + 𝑥𝑖ሷ 𝑥𝑖ሷ = 2 ቚ = 2 𝑥𝑖+1 − 2𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1
2 𝑑𝑡 𝑡𝑖 ℎ
DIFERENCIAS Sabiendo que le ecuación
FINITAS diferencial de un sistema
amortiguado viscoso es
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑚 2 +𝑐 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
∆𝑡 2
𝑥𝑖−1 = 𝑥0 − (∆𝑡)𝑥ሶ 0 + 𝑥ሷ 0 Ejemplo 11.1.
2 Página 890 del
PDF. Libro Rao
SISTEMAS
DOS
GRADOS
LIBERTAD
ሷ ሶ
𝑚 𝑥 𝑡 + 𝑐 𝑥 𝑡 + 𝑘 𝑥 𝑡 =𝑓 𝑡
SISTEMAS
DOS 𝑚1 0
𝑚 =
0 𝑚2
GRADOS
LIBERTAD 𝑐1 + 𝑐2 −𝑐2
𝑐 = −𝑐2 𝑐2 + 𝑐3
ሷ ሶ
𝑚 𝑥 𝑡 + 𝑐 𝑥 𝑡 + 𝑘 𝑥 𝑡 =𝑓 𝑡 𝑘 =
𝑘2 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2 + 𝑘3
𝑓1 (𝑡)
𝑓 𝑡 =
𝑓2 (𝑡)
SISTEMAS SUPONGAMOS que ambas masas pueden vibrar a la
DOS misma frecuencia y fase pero a diferente amplitud.
GRADOS
LIBERTAD 𝑥1 𝑡 = 𝑋1 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝑥2 𝑡 = 𝑋2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
Comencemos hallando el
comportamiento de un sistema Reemplazando en la anterior, equiparando a cero y
vibratorio cuando no hay fuerzas sacando el determinante a la matriz de coeficientes de
y tampoco amortiguamiento. 𝑋1 y 𝑋2 , entonces:
𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝝎𝟒 − 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒎𝟐 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 𝒎𝟏 𝝎𝟐
𝑚1 𝑥1ሷ + 𝑘1 + 𝑘2 𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 0 + 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 − 𝒌𝟐𝟐 = 𝟎
𝜔12 , 𝜔22
1 𝑘1 + 𝑘2 𝑚2 + 𝑘2 + 𝑘3 𝑚1
=
2 𝑚1 𝑚2
1
2 2
1 𝑘1 + 𝑘2 𝑚2 + 𝑘2 + 𝑘3 𝑚1 𝑘1 + 𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 − 𝑘22
± −4
2 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚2
2 2
𝑋1 , 𝑋2 como los
Con las condiciones iniciales 𝑥1 0 , 𝑥2 0 , 𝑣1 0 , 𝑣2 (0) del
desplazamientos 𝑋1 y 𝑋2 que 1 2
corresponden a 𝜔2 . sistema se halla 𝑋1 , 𝑋1 , 𝜙1 , 𝜙2
SISTEMAS
DOS Proporción de 𝑟
GRADOS
−𝑚1 𝜔12 + (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑘2
LIBERTAD 𝑟1 = =
𝑘2 −𝑚2 𝜔12 + (𝑘2 + 𝑘3 )
1 2 1 (2)
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑥 𝑡 + 𝑐2 𝑥 𝑡 Desplazamiento 𝑋1 , 𝑋2
1
2 2
Las matemáticas detrás de la (1) 1 2
−𝑟2 𝑣1 0 + 𝑣2 0
𝑋1 = 𝑟 𝑥 0 − 𝑥2 0 +
solución de esta ecuación se (𝑟2 − 𝑟1 ) 2 1 𝜔12
encuentran en el libro guía de
Vibraciones Mecánicas de Rao en 1
1 𝑟1 𝑣1 0 − 𝑣2 0 2 2
la página 439 del libro (460 del (2)
𝑋1 = 𝑟 𝑥 0 − 𝑥2 0 2 +
PDF). Se comparten a (𝑟2 − 𝑟1 ) 1 1 𝜔22
continuación:
SISTEMAS
DOS
GRADOS
LIBERTAD
Fases 𝜙1 , 𝜙2
−1
−𝑟2 𝑣1 0 + 𝑣2 0
𝜙1 = tan
𝜔1 𝑟2 𝑥1 0 − 𝑥2 0
𝑟1 𝑣1 0 − 𝑣2 0
𝜙2 = tan−1
𝜔2 −𝑟1 𝑥1 0 + 𝑥2 0