Diapositivas - Polinomios

ÁLGEBRA
DOCENTE : HUGO ESCOBEDO V.

POLINOMIOS
VALOR NUMÉRICO
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por
valores determinados.
PROPIEDADES DE LA REGLA POLINOMIAL
P(1): Suma de coeficientes
𝑆𝑒𝑎: 𝑃 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1
Sea el polinomio 𝒙−𝟐= 𝟏
P(x) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝒙=𝟑
𝑃 1 = 32 + 3 3 − 1 = 17
Suma de coeficientes = 17
PROPIEDADES DE LA REGLA POLINOMIAL
P(0): Término independiente
Sea el polinomio 𝑆𝑒𝑎: 𝑃 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1

𝒙−𝟐= 𝟎
P(x) 𝒙=𝟐
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑃 0 = 22 + 3 2 − 1 = 9
Término independiente = 9
MONOMIO
Es un término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables.
GRADO ABSOLUTO: Está dado

por la suma de exponentes de las
5 6 variables del monomio.
-4 x y
G.A. : 5 + 6 = 11
Parte Parte
Constante Variable
GRADO RELATIVO: Esta relacionado con el
exponente de cada variable
GR(x) = 5 GR(y) = 6
POLINOMIO
GRADO ABSOLUTO: GRADO RELATIVO:
Es el mayor grado que presentan los

términos algebraicos
P ( x, y ) = 8x y − 7x y + 3x y − 3x y
5 4 3 9 7 4 5 8
P ( x, y ) = 3x y − 9x y + x y
6 2 3 7 5
Dado el Polinomio
Monomio de Monomio de – Grado Relativo con respecto a la variable “x”

es: 6
grado: 5+ 4= 9 grado: 3+ 9= 12
– Grado Relativo con respecto a la variable “y”
es: 7
Monomio de
grado: 7+ 4= 11 Monomio de
grado: 5+ 8= 13
G.A. = 1 3
POLINOMIO HOMOGÉNEOS
𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝟒𝒙𝒚𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟐
5° 5° 5°
Todos sus términos poseen
igual grado absoluto
POLINOMIO MÓNICO
Es aquel cuyo coeficiente principal es 1
Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1
Es Mónico porque el coeficiente de x2 es

igual a 1
POLINOMIO ORDENADOS
Los exponentes de la variable
aumentan o disminuyen término a
término
3𝑥 5 + 4𝑥 3 − 2𝑥 2
DECRECIENTE
−2𝑥 2 + 4𝑥 3 + 3𝑥 5
CRECIENTE
POLINOMIO COMPLETO
𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙 + 𝟐
2° 3° 4° 1° 0°
El grado de todos sus términos van

del grado mayor hasta el grado
cero
POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO
𝑃 𝑥; 𝑦 = (𝑎 − 5)𝑥 2 𝑦 3 + 𝑏𝑥𝑦 4 − (𝑐 + 2)𝑥 3 𝑦 2
𝑎 = 5; b = 0; c = −2
Se anula para cualquier valor de la variable, ya

que sus coeficientes son iguales a cero
POLINOMIO PRIMITIVO
Se llama así cuando los coeficiente son primos
entre si.
𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓𝒙𝟑
POLINOMIO CONSTANTE
Es aquel cuyo grado es igual a CERO, es decir está
formado por constantes.
P(x) = 3
Nota: Todo número Real, excepto el CERO se
considera polinomio constante.
CÁLCULO DE GRADOS EN OPERACIONES
1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo:
Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b
 Grado [P(x)  Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman
Ejemplo:
(x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
Resolución:
 Grado: 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan
Ejemplo:
𝑥𝑦 8 −𝑥 3 𝑦 3 +𝑥 7
𝑥 4 𝑧−𝑦 3 +𝑥 3 𝑦 3
Resolución:
 Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado
por el exponente
Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10
Resolución:
 Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del
radical.
Ejemplo:
3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12
Resolución.
12
 Grado =4
3
Ejemplitos
EJEMPLO 01:
3 4
Si la siguiente expresión algebraica: 𝑃 𝑥 = 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 ; es de sexto grado, el valor de
“m” es:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
RESOLUCIÓN:
❑Reduciendo a una sola base: ❑Efectuamos para hallar el valor de “m”:

2𝑚 𝑚 2𝑚 𝑚 8𝑚 + 𝑚
+12 =6
𝑥 3 . 𝑥 12= 𝑥 3
12
9𝑚
❑Calculando el grado Absoluto: =6
12
2𝑚 𝑚
+ =6 𝑚=8
3 12
EJEMPLO 02:
Si el grado absoluto de: 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏+2 − 3𝑥 𝑎 𝑦 𝑏+1 + 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 ; es igual a la mitad de la
suma de los exponentes de todas sus variables, el grado relativo a “y” es:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
RESOLUCIÓN:
❑Calculando el G.A.(P): ❑Calculando la suma de exponentes
de las variables:
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏+2 − 3𝑥 𝑎 𝑦 𝑏+1 + 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏
2𝑎 + 𝑏 + 2 +𝑎 + 𝑏 + 1 +𝑎 + 𝑏
2𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎+𝑏+1 𝑎+𝑏 4𝑎 + 3𝑏 + 3
G.A.(P)
❑Calculando el G.A.(P):
2𝑎 + 𝑏 + 2
❑La suma de exponentes de las ❑Calculamos el G.R.(y):

variables:
4𝑎 + 3𝑏 + 3
𝑏+2
❑Calculamos el valor de “b”:
G.R.(y) = 1 + 2 = 3
4𝑎 + 3𝑏 + 3
2𝑎 + 𝑏 + 2 =
2
4𝑎 + 2𝑏 + 4 = 4𝑎 + 3𝑏 + 3
1=𝑏
EJEMPLO 03:
Dado el polinomio: 𝑃 𝑥; 𝑦 = 2𝑥 𝑎+2 𝑦 2 − 3𝑥 𝑎+1 𝑦 𝑏 + 52 𝑥 6 𝑦 𝑏−1 ; si el grado absoluto es
10 y su grado relativo a “y” es 4, el grado relativo a “x” es:
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
RESOLUCIÓN:
❑Calculando el G.R.(y): ❑Calculando el G.A.(P):
𝑃 𝑥; 𝑦 = 2𝑥 𝑎+2 𝑦 2 − 3𝑥 𝑎+1 𝑦 𝑏 + 52 𝑥 6 𝑦 𝑏−1 𝑃 𝑥; 𝑦 = 2𝑥 𝑎+2 𝑦 2 − 3𝑥 𝑎+1 𝑦 4 + 52 𝑥 6 𝑦 3
𝑎+4 𝑎+5 9
2 𝑏 𝑏−1
G.A.(P) =10
G.R.(y) = 4
a=5
b=4 ❑Calculando el G.R.(x):
G.R.(x) = a + 2 = 5 + 2 = 7
EJEMPLO 04:
2 3 2
Si el término independiente de: 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥+2 𝑥−𝑚 𝑥 2 + 5 ; es 1440, el valor
de “m” es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUCIÓN:
❑Cálculo del término independiente:

2 3 2
𝑃 𝑥 = 𝑥+3 𝑥+2 𝑥−𝑚 𝑥2 + 5
2 3 2
𝑃 0 = 0+3 0+2 0−𝑚 0+5
1440 = 9.8. 𝑚2 . 5
4 = 𝑚2
2=𝑚
EJEMPLO 05:
Si el polinomio es idénticamente nulo: 𝑃 𝑥 = 𝑎 3𝑥 2 − 𝑥 + 2 + 𝑏 2𝑥 − 1 − 𝑐 𝑥 2 − 𝑥 ; el valor
de a + b + c es:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0
RESOLUCIÓN:
3𝑎𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 2𝑎 + 2𝑏𝑥 − 𝑏 − 𝑐𝑥 2 + 𝑐𝑥
3𝑎 − 𝑐 𝑥 2 + 2𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑥 + 2𝑎 − 𝑏
3𝑎 − 𝑐 = 0 2𝑎 − 𝑏 = 0
3𝑎 = 𝑐 2𝑏 + 𝑐 − 𝑎 = 0 2𝑎 = 𝑏
4𝑎 + 3𝑎 − 𝑎 = 0
𝑎=0
𝑏=0 𝑎+𝑏+𝑐 =0
𝑐=0
Potenciando la capacidad intelectual de
los estudiantes...

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ÁLGEBRA

DOCENTE : HUGO ESCOBEDO V.

P(1): Suma de coeficientes

P(0): Término independiente

Sea el polinomio 𝑆𝑒𝑎: 𝑃 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1

GRADO ABSOLUTO: Está dado

GRADO ABSOLUTO: GRADO RELATIVO:

Es el mayor grado que presentan los

Monomio de Monomio de – Grado Relativo con respecto a la variable “x”

Es Mónico porque el coeficiente de x2 es

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙 + 𝟐

El grado de todos sus términos van

Se anula para cualquier valor de la variable, ya

❑Reduciendo a una sola base: ❑Efectuamos para hallar el valor de “m”:

❑La suma de exponentes de las ❑Calculamos el G.R.(y):

❑Calculando el G.R.(y): ❑Calculando el G.A.(P):

𝑃 𝑥; 𝑦 = 2𝑥 𝑎+2 𝑦 2 − 3𝑥 𝑎+1 𝑦 𝑏 + 52 𝑥 6 𝑦 𝑏−1 𝑃 𝑥; 𝑦 = 2𝑥 𝑎+2 𝑦 2 − 3𝑥 𝑎+1 𝑦 4 + 52 𝑥 6 𝑦 3

❑Cálculo del término independiente:

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