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Medición de Distancias y Teoría de Errores
Medición de Distancias y Teoría de Errores
Medición de Distancias y Teoría de Errores
UN LEVANTAMIENTO
TOPOGRÁFICO
Requiere la aplicación de
De esta manera
CINTAS
Son
Soninstrumentos
instrumentosde demedición,
medición,que
quesesefabrican
fabricandede
varios tipos de materiales, longitudes y pesos.
varios tipos de materiales, longitudes y pesos. Las Las
más
máscomunes
comunesen enlalatopografía
topografíason:
son:las
lascintas
cintasdede
acero (cintas de agrimensor) y
acero (cintas de agrimensor) y las cintas las cintas
entretejidas
entretejidasmetálicas
metálicasyyno
nometálicas.
metálicas.
JALONES
Son
Sondedemetal
metaloode demadera
maderayytienen
tienenuna
unapunta
puntade
de
acero que se clava en el terreno. Sirven
acero que se clava en el terreno. Sirven para para
indicar
indicarlalalocalización
localizaciónde
depuntos
puntosoolaladirección
direcciónde
de
rectas.
rectas.
USO DE CINTAS, JALONES, PLOMADAS, PRISMAS.
PLOMADAS
Es
Esun
unpeso
pesometálico
metálicoque
quetermina
terminaenenpunta
puntayyque
que
se utiliza para proyectar la localización horizontal
se utiliza para proyectar la localización horizontal
de
deun
unpunto
puntode
deuna
unaelevación
elevaciónaaotra.
otra.
PRISMA
Es
Esununinstrumento
instrumentoque queseseutiliza
utilizaenenlevantamientos
levantamientos
topográficos,
topográficos, como accesorio de distanciometrosyy
como accesorio de distanciometros
estación
estación total
total yy su
su función
función es es lala dede reflectar
reflectar elel
láser
láser emitido
emitido por
por elel equipo
equipo para
para lala obtención
obtención de de
distancias muy precisas.
distancias muy precisas.
TRAZADO DE ALINEAMIENTO.
Trazado de Alineamiento: Para realizar una alineación se necesitan dos o mas jalones y un
juego de piquetes. Los jalones se colocan en los puntos extremos y son los que sirven para
poner en línea recta dos puntos, es decir mantener la alineación. En el primer jalón se coloca
una persona y otra avanza en una longitud dada, luego por medio de señales la primera
persona, observando el jalón situado en el otro extremo, alinea a la persona que va adelante
y este pone un piquete sobre la recta. Esta operación se repite hasta llegar al jalón delantero.
JALON 1 JALON 2
IZQUIERDA
DERECHA
PA PB
MEDICIÓN DIRECTA DE DISTANCIAS CON CINTA MÉTRICA
DISTANCIA P1 a P2
P1
P2
PARCELA DE TERRENO
P3 P4
ERRORES MÁS FRECUENTES EN LA MEDICIÓN CON CINTA.
Cinta no estándar
Alineamiento imperfecto
Falta de horizontalidad en la cinta
Cinta no recta
Otros errores Accidentales
Variaciones en la longitud de la cinta debido a la temperatura
Variación de tensión
Formación de Catenaria (debido al peso propio de la cinta)
DIFERENTES MÉTODOS E INSTRUMENTOS USADOS EN LA
MEDICIÓN DE DISTANCIAS.
Barra horizontal 1/1000 a 1/5000 Se utiliza poco, solamente cuando no es factible la medición con
cintas o no se dispone de equipos de medición electrónica
Estadia 1/250 a 1/1000 Utilizada anteriormente en la elaboración de planos,
levantamientos preliminares y para la revisión de trabajo más
precisos.
Medición común con 1/1000 a 1/5000 Se utiliza actualmente en levantamientos comunes de terrenos y
cinta construcción de edificios.
Medición de precisión 1/10000 a 1/30000 No muy común actualmente, se usa en levantamientos de
con cinta terrenos para construcción de edificios.
Medición con cinta de 1/100000 a 1/1000000 Utilizada anteriormente en los trabajos geodésicos de precisión por
línea base el National Geodetic Survey.
Medición electrónica de ±0.04’ a ±1/300000 Es muy utilizado hoy en día en todos los tipos de levantamientos,
distancias incluyendo urbanización, levantamientos de terrenos y trabajo
preciso en obras de construcción
Sistema de Hasta Se estableció con el objeto de determinar rápidamente la posición
posicionamiento global y > 1/1000000 de aviones, barcos y otros grupos militares; su uso se ha
incrementado en la localización de puntos importantes de control y
en muchas otras etapas de la topografía, incluyendo la
construcción.
LEVANTAMIENTO CON CINTA MÉTRICA.
Para levantar un terreno con cinta únicamente hay que dividir, en forma conveniente, el
terreno en triángulos y tomar las medidas de sus lados y las alturas (alturas de dichos
triángulos) suficiente para poder calcular la superficie total y para poder dibujar el
plano.
Se debe procurar, hasta donde lo permita el terreno, que los triángulos no presenten
ángulos demasiado agudos, para no disminuir la precisión del levantamiento.
Los detalles como, por ejemplo, los linderos que no son líneas rectas sino irregulares,
se toman por el método de izquierda y derechas, para lo cual se colocan piquetes a
distancias fijas o bien donde se crea necesario por haber un cambio brusco en la forma
del lindero, y se miden las perpendiculares a las líneas hasta el lindero en general, no
deben pasar de 15m, para poder trazar las perpendiculares a ojo sin cometer mayor
error.
Por ultimo se calcula el área de los triángulos principales, a la cual se le suma o resta
el área de detalles por izquierda y derecha.
UN ERROR
es una
diferencia
con respecto al
valor verdadero
ocasionado por la
•ERROR REAL
•EQUIVOCACIÓN
Según la topografía se consideran las
•DISCREPANCIA
siguientes clases de errores:
•ERROR SISTEMÁTICO
•ERROR ACCIDENTAL
•Error real, es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Si
la medida es mayor que el valor verdadero, el error es por exceso o positivo; en caso
contrario, se dice que es por defecto o negativo. El error real es la acumulación de
errores diferentes debidos a varias causas, algunos que quizá tiendan a producir
valores excesivos y, otros, a resultados menores que los verdaderos.
E X li
El valor más probable es un valor calculado, como el que tiene más probabilidades
que ningún otro de representar el verdadero valor de la cantidad, el cual se obtiene a
través de la siguiente expresión matemática:
l1 l2 l3 ... l n
X
n
Vi li X
• Error medio cuadrático de las observaciones:
m m0
V 2
n 1
m m0
V 2
n( n 1)
• El error relativo: 1
Er
X
mX
Vi li X
V1 l1 X 310,25 310,255 0,005
V2 l2 X 310,30 310,255 0,045
V3 l3 X 310,20 310,255 0,055
V4 l4 X 310,27 310,255 0,015
3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable:
Nº Lectura X Vi Vi2
m m0
V 2
n(n 1)
(0,0053) 0,0053
m0 m0 m0 0,02102
4(4 1) 12
X m0 310,255 0,02102
5) Se calcula el error relativo:
1 1 X
Er simplificando Er Siendo P = Precisión P
X P m0
m0
310,255
Entonces P P 14759,99049
0,02102
1 1
Er Se compara con la tolerancia T
14759,99 3000
TOLERANCIAS
Etotal E1 2 E2 2 ... En 2
EJEMPLO: Se miden los cuatro lados aproximadamente iguales de una parcela de terreno.
Estas mediciones incluyen errores probables siguientes: ±0.09 m, ±0.013 m, ±0.18 m ±0.40
m. Determine el error probable de la longitud total o perímetro de la parcela.
TE
P O
HI
α
A B Ley de los Senos
CATETO
a b c
SenA SenB SenC
B A b 2 a 2 c 2 2ac.CosB
c
c 2 a 2 b 2 2ab.CosC
CASO 1 . Cuando el triangulo es rectángulo, su área se determina con la expresión:
bxh
h Área =
2
b
CASO 2 . Cuando se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo que forman entre
ellos, correspondientes a cualquier triangulo, su área se determina con la expresión:
a c Área = ½ x a x b x sen α
α
b
CASO 3 . Cuando se conocen las longitudes de los tres lados de un triangulo, su área se
determina con la ecuación:
s = ½ x (a + b + c)
c
CASO 4 . Cuando la figura es un trapecio, su área se determina con la ecuación:
h1 h2 b x (h1+h2)
Área =
2
b
1) Se calcula el valor más probable:
l1 l2 l3 ... l n
X
n
2) Se calcula el error residual de cada medición:
Vi li X
3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable:
m m0
V 2
n(n 1)
4) Se calcula el error probable:
X m0
5) Se calcula el error relativo:
1 1 X
Er simplificando Er Siendo P = Precisión P
X P m0
m0
1. Se realizan varias mediciones a uno de los lados de un terreno y se obtienen los
siguientes datos:
D1= 86,16 m; D2= 80,94 m; D3= 80,92 m; D4= 80,14 m; D5= 80,34 m
Calcular: a) El valor más probable, b) Error residual, c) El error medio cuadrático del
valor mas probable, d) Error probable, e) Error relativo, f) Comparar los resultados
con una tolerancia de T= 1/1000
2. En el siguiente terreno se presentan las siguientes mediciones
angulares:
AzAB = 104º 27’ 16”
RCD (N 75º 0’ 0” O)
Calcular:
a) RAB (S E); RAD
(S O)
b) AzBC ; RBA (N O)
c) AzCB ; AzCD
d) AzDC ; RDC (S E)
3. Se realizaron unas mediciones a un tramo vial por dos grupos diferentes:
Conociendo:
A
AB = 120 m; BC = 160 m; AC = 175 m.
C
RBA= 35º 14’ 27” SO
5. Se muestra el alineamiento de los linderos de un terreno: