Probabilidad y Estadı́stica

Taller preparación Quiz 2

1. Se aplica esfuerzo a una barra de acero de 20 pulgadas que está sujeta en una posición fija en cada extremo.
Y
Sea Y la distancia desde el extremo izquierdo hasta donde la barra se rompe. Suponga que 20 ∼ Beta(α, β),
100
con E(Y ) = 10 y V ar(Y ) = 7 .

a) ¿Cuáles son los parámetros α y β de la distribución beta de interés? R/.α = β = 3

b) Calcule la probabilidad de que la barra se rompa a más de dos pulgadas de donde se espera que rompa.
R/.0.635

2. Usted es el gestor(a) de cuentas de la sociedad de valores ”Valores super Ω”, tiene una cartera que contiene
20 acciones de productos α y 30 de β (C = 20X + 30Y ). Las dos empresas producen dispositivos de acceso a
la web que compiten en el mercado de consumidores. El precio de las acciones de α siguen una distribución
normal que tienen una media µX = 25 y una varianza σX 2 = 81. El precio de la acción de β siguen una

distribución normal que tienen una media µY = 40 y una varianza σY2 = 121. Los precios de las acciones tienen
una correlación negativa de ρ = −0,40.

a) Encuentre la media y desviación estándar del valor de la cartera C. R/.µ = 1700 y σ = 306,235
b) Halle la probabilidad de que el valor de la cartera sea de más de 2000. R/.0.1636

3. Usted es el director de una empresa de alimentos, empresa procesadora de verduras congeladas. Se quiere
estar seguros de que la variación del peso de las bolsas de verduras es pequeña, de manera que la empresa
no produzca una elevada proporción de bolsas que tengan un peso inferior al indicado. Se desea encontrar
el lı́mite inferior y superior del cociente entre la variaza muestral y la varianza poblacional de una muestra
aleatoria de n = 20 observaciones. Los lı́mites son tales que la probabilidad de que el cociente sea inferior
al lı́mite inferior es 0,025 y la probabilidad de que sea superior al lı́mite superior es de 0,025. Por lo tanto el
95 % de los cocientes estará entre estos dos lı́mites. Puede suponerse que la distribución poblacional es normal.
R/.(0.4687, 1.7290)

4. Si la proporción anual de declaraciones de impuestos erróneas sometidas a la DIAN se puede considerar una
variable aleatoria que tiene una distribución beta con α = 2 y β = 9, ¿Cuál es la probabilidad de que en un año
dado cualquiera habrá al menos el 10 % de declaraciones erróneas? R/.0.7360

5. El número total de cheques sin fondos que un banco recibe durante un dı́a de negocios de 5 horas es una
variable aleatoria de Poisson con λ = 2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba tres cheques sin fondos en 2 horas? R/.0.0383
b) ¿Cuál es la probabidad de que no recibirá un cheque sin fondos en un dı́a cualquiera durante las primeras
dos horas de actividad? R/.0.4493

6. Las calificaciones de un examen realizado por un gran grupo de estudiantes sigue una distribución normal
que tiene una desviación tı́pica de 40 puntos. Se toma una muestra aleatoria de 16 calificaciones para estimar
la calificación media

de la población. Sea X̄ la media muestral. ¿Cual es la probabilidad de que el intervalo
X̄ − 10, X̄ + 10 contenga la verdadera media poblacional? R/.0.6827

7. Un vendedor de autos anuncia en una página de internet la venta de un Mazda un Chevrolet y un Toyota.
Si el número de llamadas que recibe sobre la venta de estos autos se puede considerar como variables alea-
torias independientes que tienen distribuciones de Poisson con los parámetros λ1 = 3,6, λ2 = 5,8 y λ3 = 4,6
respectivamente.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en total tenga al menos 10 llamadas sobre estos autos? R/.0.8905
b) ¿Cual es la probabilidad de que el vendedor tenga seis llamadas por el Chevrolet y ocho sobre los otros
dos autos? R/.0.0222
8. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una población que tiene una distribución de proba-
bilidad 
 1 mxm−1 e −xαm x > 0
f (x) = α
0 eoc

nm m−1 −nym /α
a) Encuentre la función de densidad de Y = min{X1 , X2 , . . . , Xn }. R/. y e
α
b) Si α = m = 1 calcular P X(1) < 1 . R/.1 − e−n

9. La afirmación de que la varianza de una población normal es σ 2 = 4 debe rechazarse si la varianza de una
muestra aleatoria de tamaño 9 excede 7,7535. ¿Cuál es la probabilidad de que esta afirmación se rechazará aún
cuando σ 2 = 4? R/.0.05
10. El gerente de un gran grupo de hospitales cree que el 30 % de todos los pacientes generan facturas que se
cobran con 2 meses de retraso como mı́nimo. Se toma una muestra aleatoria de 200 pacientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de pacientes que generan facturas que se cobrarán
con 2 meses de retraso como mı́nimo, sea inferior al 25 %? R/.0.0614
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de pacientes que no generan facturas que se
cobrarán con 2 meses de retraso como mı́nimo, esté entre el 67 % y el 73 %? R/.0.6455
11. La afirmación de que la varianza de la población normal es σ 2 = 25 debe rechazarse si la varianza de una mues-
tra aleatoria de tamaño 16 excede 54.668 o es menor a 12.102 ¿Cuál es la probabilidad de que esta afirmación
sea rechazada aun cuando σ 2 = 25 ? R/≈ 0,055
12. Se ha observado que el 80 por ciento de los estudiantes de último año de la universidad de ingenierı́a admi-
nistrativa acepta una oferta de trabajo antes de graduarse. La distribución de los salarios de los que aceptan
ofertas es normal y tiene una media de $ 29000 dólares y una desviación estándar de $ 4000 dólares.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 70 por ciento de una muestra de 60 estudiantes de último año
acepten una oferta? R/. 0.02645
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el salario medio de una muestra aleatoria de 6 estudiantes de último año
que aceptan una oferta sea de más de $ 30000 dólares? R/. 0.2701
c) Se elige aleatoriamente un estudiante de último año, ¿Cúal es la probabilidad de haya aceptado una oferta
de trabajo con un salario de más de $ 30000 dólares? R/. 0.4012
d) Los estudiantes de úlimo año de ingenierı́a industrial también tienen oferta laboral antes de graduarse y
los salarios tienen una distribución normal con media de $ 25000 dólares y desviación estándar de $ 5000
dólares. Si se toman dos muestras aleatorias de estudiantes, 10 de administrativa y 15 de industrial y la
universidad está interesada en comparar las varianzas muestrales de los dos grupos, calcular la probabi-
lidad de que la varianza muestral de los estudiantes de administrativa sobre la varianza muestral de los
estudiantes de industrial sea al menos de 2. R/. 0.02763
13. Un director de control de calidad tiene interés en conocer la variabilidad de la cantidad de principio activo
que contenı́an las pı́ldoras producidas por un determinado proceso. Se tomó una muestra aleatoria de 21
pı́ldoras. Si se supone que la distribución de la cantidad de principio activo es normal ¿Cuál es la probabilidad
de que la varianza muestral de la cantidad de principio activo sea más del doble de la varianza poblacional?
R/. 0.0049
14. Si la media y la desviación estándar de la concentración de hierro en el suero en hombres sanos es de 120 y 15
microgramos por cada 100 ml, respectivamente. Se toma una muestra aleatoria de 50 hombres sanos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 115 y 125 microgramos por cada 100 ml?
R/. 0.9815
b) Calcular e interpretar el percentil 60 de la distribución de la media muestral. R/. 120.53
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda la media poblacional en más de 2 microgramos
por cada 100 ml? R/. 0.1728

15. Dada una muestra aleatoria de tamaño 24 de una distribución normal, Si, T es una variable aleatoria con
distribución T de Student con ν grados de libertad, calcule k tal que:

a) P (−2,0969 < T < k) = 0,0965

b) P (k < T < 2,807) = 0,095
c) P (−k < T < k) = 0,90

16. Una empresa que fabrica juguetes electrónicos afirma que las baterı́as que utiliza en sus productos duran en
promedio 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 baterı́as cada mes. Si el valor t calculado
cae entre −t0,025,ν y t0,025,ν la empresa queda satisfecha con la afirmación. ¿Qué conclusión deberı́a sacar la
empresa a partir de una muestra que tiene una media de x̄ = 27,5 y una desviación estándar de S = 5 horas
horas? Suponga que la distribución de la duración de las baterı́as es aproximadamente normal.

17. La fuerza de compresión del concreto tiene una distribución normal una media de 2500 psi y una desviación
estándar de 50 psi.

a) Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n = 5 observaciones tenga una fuerza de
compresión media muestral que esté en el intervalo 2499 psi a 2510 psi. R/. 0.1904
b) Encuentre un intervalo simétrico al rededor de la media poblacional, tal que la probabilidad de que la
media muestral esté en el intervalo sea de 0,98, si se tiene una muestra aleatoria de n = 5.
R/. (2447.98; 2552.01)
c) Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n = 5 observaciones se tenga una desvia-
ción estándar muestral menor que 79. R/. 0.9593
√
d) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral? R/. 10 5

18. El tiempo hasta que se presenta una falla en un aparato electrónico tiene una distribución exponencial con
media de 15 meses.

a) Si la primera falla se presenta después del primer mes, ¿Cual es la probabilidad de que la primera falla
ocurra después de 5 meses más? R/. 0.7165
b) Cual es la probabilidad de que el tiempo hasta que se presenta una falla este al menos a una desviación
estándar del valor medio. R/. 0.1353

19. El tiempo en minutos que un empleado de una estación de servicios tarda para balancear un neumático es una
variable aleatoria Ti que tiene una distribución exponencial con media 5 minutos.

a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el empleado tarde menos de 8 minutos en balancear dos neumáticos?
R/. 0.4750
b) Calcule P (T̄ > µ̃), donde µ̃ es la mediana de la distribución de Ti y se quieren balancear cuatro neumáti-
cos. R/. 0.6980
20. En una gran bodega de almacenamiento de productos alimenticios se registran en promedio 64 productos en
mal estado por semana.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer trimestre del año entrante se reporten entre 764 y 771 pro-
ductos en mal estado? R/. 0.1147
b) ¿Qué distribución tiene el número de dı́as que demora en registrar 20 productos en mal estado? ¿Cuál es
el número medio de dı́as que transcurren para registrarse estos 20 productos? R/. E(X)=2.1875
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se demore más de una semana el registro del primer artı́culo en mal
estado? R/. 0

21. El gerente de cierta empresa preocupado por la cantidad de materia prima desperdiciada en la planta de pro-
ducción, propone reducirla el próximo mes a menos de 42 kg. Para producir un elemento es necesario pasarlo
por tres máquinas, cada una de las cuales tiene un desperdicio en kilogramos por mes que sigue una distribu-
ción normal con medias 15,6, 14,3 y 12,48 kg y desviaciones estándar de 3,9, 7,8 y 5,72 kg, respectivamente.

a) Encuentre la probabilidad de cumplir con la meta. R/. 0.4854

b) Cuál serı́a una meta viable con un 90 % de probabilidad? R/. 55.74 kg
c) Si se propone un método que busca recuperar 24 % en la máquina 1, 28 % en la máquina 2 y 32 % en la
máquina 3, de la materia prima desperdiciada, ¿ cuál es la probabilidad de cumplir ahora con la meta
propuesta inicialmente por la empresa? R/. 0.9364

22. El tiempo que se requiere para afinar un automóvil tiene una distribución exponencial con una media de 0.5
horas. Si dos automóviles esperan el servicio de afinación, y los tiempos para hacerla son independientes, ¿
Cuál es la probabilidad de que el tiempo necesario para afinar los dos automóviles sea mayor de 1.5 horas?
R/. 0.199148

23. Un tipo de elevador tiene una capacidad máxima de peso Y , que está normalmente distribuida con media 5000
libras y desviación estándar 300 libras. Para un cierto edificio equipado con este tipo de elevador, la carga del
elevador, X, es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 4000 libras y desviación estándar
400 libras. Para cualquier tiempo determinado en el que el elevador está en uso, calcule la probabilidad de que
sea sobrecargado, suponiendo que Y y X son independientes. R/. 0.0228

24. La vida útil X (en cientos de horas) de cierto tipo de tubos al vacı́o tiene una distribución de Weibull con
parámetros α = 91 ,y β = 2 Calcule:

a) E(X) y V ar(X) R/. 2.66 y 1.93142

b) P (X ≤ 6) R/. 0.982
c) P (1,5 ≤ X ≤ 6) R/. 0.760

25. Sea X el tiempo (10−1 sem) desde el envı́o de un producto defectuoso hasta que el cliente regresa el producto.
Suponga que el tiempo mı́nimo de devolución es γ = 3,5 y que el exceso X − 3,5 sobre el mı́nimo tiene una
distribución de Weibull con parámetros α = 49 y β = 2.
2
a) ¿Cuál es la fda de X ? R/. para x > 3,5, F (x) = 1 − e−[(x−3,5)/1,5]
b) ¿Cuáles son el tiempo de devolución esperado y la varianza del tiempo de devolución?
R/. E(X) = 4,829, V ar(X) = 0,483
c) Calcule P (X > 5) R/. 0.368
 d) Calcule P (5 < X < 8) R/. 0.3678

26. Sea Ii la corriente de

 entrada
 a un transistor y sea I0 la corriente de salida. Entonces la ganancia de corriente es
I0
proporcional a Ln Ii . Suponga que la constante de proporcional es 1 (lo que significa seleccionar una unidad
 
particular de medida), ası́ que la ganancia de unidad es Y = Ln II0i . Suponga que Y está normalmente
distribuida con µ = 1 y σ = 0,5:
I0
a) ¿Qué tipo de distribución y con cuales parámetros tiene la razón Ii ? R/.logaritmica normal
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la corriente de salida sea más del doble de la corriente de entrada?
R/.0.7303
c) ¿Cuáles son µ y µ̃ de la razón entre la corriente de salida y la corriente de entrada?
R/.µ = 3,0802 y µ̃ = e

27. Suponga que la vida de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con
β = 0,025 y α = 1,01747.

a) ¿Cuánto se debe esperar que dure un semiconductor como este? R/. 4,08113 ∗ 1047
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un semiconductor como este estará todavı́a en condiciones operativas
después de 4000 horas? R/. 0.285958

28. Sean X1 , X2 , . . . Xn variables aleatorias independientes, cada una con una distribución beta, con α = β = 2.
Encuentre:
 (n−1)
x2 x3
a) La función de densidad de probabilidad de X(n) = max{X1 , X2 , . . . Xn } R/. n 6n x − x2


2 − 3

b) E[X(n) ] cuando n = 2. R/. 0.628571

29. Se sabe que la tasa promedio de uso de agua (miles de galones por hora) en cierta comunidad sigue una
distribución logaritmica normal con parámetros µ = 5 y σ = 2. Es importante para propósitos de planeación
obtener una apreciación de los perı́odos de alta utilización. ¿Cuál es la probabilidad de que, para cualquier
hora dada, se usen mas de 50 000 000 de galones de agua? R/. 0.0018

30. Errores en la medición del tiempo de llegada de un frente de onda, desde una fuente acústica, en ocasiones
tiene una distribución beta aproximada. Suponga que estos errores, medidos en microsegundos, tienen apro-
ximadamente una distribución beta con β = 2 y α = 1

a) Cuál es la probabilidad de que el error de medición en un ejemplo seleccionado al azar sea menor que
0,5µs. R/. 0.75
b) Obtenga la media y la desviación estándar de los errores de medición. R/. 0.2357

31. Se toman muestras aleatorias independientes de tamaño 400 de cada una de dos poblaciones normales que
tienen medias iguales y desviaciones estándar σ1 = 20 y σ2 = 30; encontrar k tal que:

P (−k < X̄1 − X̄2 < k) = 0,99

R/.k = 4,64

32. Se toman muestras aleatorias independientes tamaño n = 30 y m = 50 y de dos poblaciones normales que
tienen las medias µ1 = 78 y µ2 = 75 y las varianzas σ12 = 150 y σ22 = 200. Encontrar la probabilidad de que la
media de la primera muestra excederá la de la segunda muestra por lo menos 4.8. R/. 0.2742
33. Las tasas de rentabilidad de cierto tipo de acciones siguen una distribución normal con una desviación estándar
de 3.8. Se extrae una muestra de tales acciones con el fin de estimar el precio medio. ¿Qué tamaño ha de tener
la muestra para asegurarnos de que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional
en una cantidad superior a uno sea igual a 0.1? R/. 40

34. El tiempo que dedican los estudiantes a estudiar la semana antes de los exámenes finales sigue una distribución
normal que tiene una desviación estándar de 8 horas. Se toma una muestra aleatoria de 4 estudiantes con el fin
de estimar el tiempo promedio de estudio, para esta población de estudiantes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda a la media poblacional en más de 2 horas?
R/. 0.3085
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este más de tres horas por debajo de la media pobla-
cional?
R/. 0.226627
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de 4 horas?
R/. 0.3173

35. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población normal con σ = 25 ¿Cuál es la probabilidad de
que la media de la muestra difiera de la media de población por 3 o más en cualquier dirección? R/. 0.23

36. Los tiempos que un cajero emplea para procesar el pedido de un cliente son variables aleatorias independientes
normalmente distribuidas con media 2.5 minutos y desviación estádar de 2 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que tome más de 4 horas procesar los pedidos de 100 clientes?
R/. 0.6914
b) Encuentre el número de clientes n tal que sea aproximadamente 0.1 la probabilidad de que los pedidos
de los n clientes se pueda procesar en menos de 2 horas. R/.n ≈ 56 .

37. Los datos de porcentaje a menudo siguen una distribución logarı́tmica normal. Se estudia el uso promedio de
potencia (dB por hora) para una compañı́a especı́fica y se sabe que tiene una distribución logarı́tmica normal
con parámetros µ = 4 y σ = 2 ¿Cuál es la probabilidad de que la compañı́a utilice más de 270 dB durante
cualquier hora particular? R/. 0.212084

38. Si X1 , X2 , . . . , Xn representa una muestra aleatoria de tamaño n de una población cuya función de densidad
está dada por: (
3β 3 x−4 x ≥ β, β > 0
f (x) =
0 e.o.c

a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ) R/.3nβ 3n x−3n−1

  3nβ
b) Encuentre E X(1) . R/. 3n−1

39. Los precios de apertura por acción de dos emisiones similares son variables aleatorias independientes, cada
una con función de densidad dada por:

 1 e 4−x
2 x≥4
f (x) = 2
0 e.o.c

Una mañana, un inversionista se dirige a comprar acciones de la emisión más barata.

 a) Encuentre la función de densidad de probabilidad del precio por acción que el inversionista tendrá que
pagar. R/. e4−x , x ≥ 4
b) Encuentre el costo esperado por acción que el inversionista pagará. R/. 5
40. Suponga que el tiempo X que un trabajador requiere para realizar una tarea tiene una función de densidad de
probabilidad dada por: (
e−x+θ x > θ
f (x) =
0 e.o.c

donde θ es una contante positiva que representa el tiempo mı́nimo que se necesita para llevar a cabo la tarea.
Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de esta distribución que denota los tiempos que se requieren para
realizar la tarea.

a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ).

b) Encuentre E[X(1) ]

41. Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias independientes distribuidas de manera uniforme en el intervalo [0, θ].

nxn−1
a) Determine la función de densidad de probabilidad de e X(n) = max(X1 , X2 , . . . , Xn ) R/.
θn
nθ
b) Encuentre la media y la varianza de X(n) . R/.
n+1
c) Suponga que los minutos que usted espera el metro están distribuidos uniformemente en el intervalo
[0, 5] . Si usted toma el metro 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de que su máximo tiempo de espera sea
menor de 2 minutos? R/. 0.01024

42. Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente con media β.

β
a) Demuestre que X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ) tiene una distribución exponencial con media .
n
b) Si n = 5 y β = 2 , encuentre P (X(1) ≤ 3,6). R/. 0.99987

43. Suponga que en una cafeterı́a solo atiende un mesero y que el número de pedidos que este recibe los domingos
de 12:00 a 2:00 P.M. sigue una distribución Poisson con un promedio de 67 clientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 3 pedidos en 5 minutos? R/. 0.4714

b) Encuentre la probabilidad de que se demore más de 2 minutos entre dos pedidos. R/. 0.3273
c) ¿Qué distribución tiene el número de minutos que demora atender 8 pedidos? ¿Cuál es el número medio
de minutos que transcurren para atender estos 8 pedidos?
R/. gamma (α = 8 y β = 1,79 ), media = 14.3284

44. La vida efectiva de un componente usado en la turbina de un avión es una variable aleatoria con media de 5000
horas y una desviación estándar de 40 horas. El fabricante de las turbinas intoduce una mejora en el proceso
de manufactura de este componente, la cual incrementa la vida media a 5050 horas y disminuye la desviación
estándar a 30 horas. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de n = 16 componentes del proceso
”antiguo” y que se selecciona una muestra aletoria de m = 25 componentes del proceso ”mejorado”. ¿Cual es
la probabilidad de que la media muestral del proceso nuevo sea al menos 25 horas más que la media muestral
del proceso antiguo? Suponga que el proceso antiguo y nuevo pueden considerarse independientes, ambos
distribuidos normalmente. R/. 0.9839
45. Halle la probabilidad de que el ”margen de contribución”(La diferencia entre el ingreso total y el costo variable
total) de una determinada lı́nea de productos sea mayor que el costo fijo de 2000. El número total de unidades
vendidas es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media de 400 y varianza de 900. El
precio de venta por unidad es de $ 10. El número total de unidades producidas es una variable aleatoria que
sigue una distribución normal que tiene una media de 400 y una varianza de 1600. El costo variable de produc-
cion es de $ 4 por unidad. La producción y las ventas son independientes estadisticamente. R/. 0.880297

46. La afirmación de que la varianza de la población normal es σ 2 = 25 debe rechazarse si la varianza de una mues-
tra aleatoria de tamaño 16 excede 54.668 o es menor a 12.102 ¿Cuál es la probabilidad de que esta afirmación
sea rechazada aun cuando σ 2 = 25 ? R/. 0.055

47. Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras y siguen una distri-
bución normal con una desviación estándar de 1.7. Se toma una muestra de doce meses.

a) Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2.5. R/. 0,986
b) Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1. R/. 0.9752
c) Hallar las constantes k1 y k2 que verifican las siguientes probabilidades,

P (S 2 < k1 ) = 0,05 P (S 2 > k2 ) = 0,05

48. Suponga que las ventas esperadas de los vendedores antes de asistir a un curso sobre técnicas de ventas fueron
de 104000 dólares y la desviación estándar 6000 dólares. Suponga que las ventas esperadas después de asistir al
curso sobre técnicas de ventas es 106000 dólares y la desviación estándar 8000 dólares. Sea X̄A ventas promedio
de una muestra aleatoria de 40 vendedores antes de asistir al curso y sea X̄D ventas promedio de una muestra
aletoria de 35 vendedores después de asistir al curso. Si las muestras son idependientes:

a) ¿Qué distribución tienen X̄A y X̄D ? justifique su respuesta. R/.Normal por TLC
b) ¿Cuál es el error estándar de X̄A − X̄D ? R/.1651.8388


c) Calcule P 1000 ≤ X̄A − X̄D ≤ 2000 R/.0.0269

49. En determinado año las tasas porcentuales de rendimiento de los fondos de inversión siguieron una distribu-
ción normal con una desviación tı́pica de 6.3. Se tomó una muestra aleatoria de 9 de estos fondos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las tasas porcentuales de rendimiento exceda a la
media poblacional en más de 4.2? R/.0,02275
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las tasas porcentuales de rendimiento difiera de la
media poblacional en menos de 3.5? R/. 0,9044
c) Hallar la probabilidad de que la volatilidad de las tasas porcentuales de rendimiento muestral sea mayor
a 8.1414. R/. 0,100

50. Si S1 y S2 son las desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de

 tamaños 61 y 31 respectiva-
S12

mente de poblaciones normales con σ12 = 12 y σ22 = 18 , encuentre P S22
> 1,16 . R/. 0.05

51. Se ha extraı́do una muestra aleatoria de 250 viviendas de una gran población de viviendas antiguas para esti-
mar la proporción cuya instalación eléctrica es peligrosa. Si el 30 por ciento de las viviendas tienen realmente
instalaciones eléctricas peligrosas. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de viviendas de la muestra
que tienen una instalación eléctrica peligrosa esté comprendida entre el 25 y el 35 por ciento? R/. 0.9155

52. Una empresa está considerando la posibilidad de sacar una nueva emisión de bonos convertibles. La direc-
ción cree que los términos de la oferta serán atractivos para el 20 por ciento de todos los accionistas actuales.
Suponga que está en lo cierto. Se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas actuales.
a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral que piensa que esta oferta es atractiva? R/. 0.0351
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 0.15? R/. 0.9228
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre 0.18 y 0.22? R/. 0.4314