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Estaditica
Estaditica
Estaditica
“ESTIMACIÓN ESTADISTICA DE
PARÁMETROS”
Ciclo: IV
Trujillo - Perú
18-10-2021
ESTIMACIÓN ESTADISTICA
DE PRÁMETROS
asignar un número
sobre la recta real.
Estimador La diferencia
Estimador La diferencia
El estimador es una
suficiente entre dos medias entre dos medias
variable aleatoria. consistente
poblacionales poblacionales
Mientras que el valor de
esta variable para una
Cuyo error de Es posible de
muestra concreta será la √
𝜎12 𝜎22
medida se + 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠. ŝ12 ŝ22
estimación puntual. extraer de los 𝑛1 𝑛2 ( − ) ± 𝑧0 √ +
aproxima a cero 𝑛1 𝑛2
datos toda la 𝜎12 𝑁1−𝑛1 𝜎 2 𝑁2−𝑛2
cuando el información √ ﴾ ﴿+ 2 ﴾ ) 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠.
𝑛1 𝑁1−1 𝑛2 𝑁2−1
tamaño de la importante
muestra tiende a La diferencia de
sobre el dos proporciones
infinito. parámetro. Para la proporción
𝑝1𝑞1 𝑝2𝑞2
𝑝𝑞 √ + 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠.
𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎. 𝑛1 𝑛2
𝑛
𝑝𝑞 𝑁 − 𝑛 𝑝1 𝑞1 𝑁1−𝑛1 𝑝2 𝑞2 𝑁2−𝑛2
( ) 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎. √ ﴾ ﴿+ ﴾ ) 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠.
𝑛 𝑁 𝑛1 𝑁1− 1 𝑛2 𝑁2− 1
1
2
1. Intervalo de confianza para la media poblacional: σ conocida.
2
σ = 120 σ = 120 = 10. 95
a) Intervalo de confianza del 95%.
α 0.05
- 2
= 2
= 0. 025 𝑧 α = 𝑧0.025= 1.96
2
(
𝑃 𝑥 − 𝑧0σ𝑥 ≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑧0σ𝑥 = 1 − α )
⎡𝑥 − 𝑧 σ σ ⎤
⎢ α/2
≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑧α/2 ⎥
⎣ 𝑛 𝑛 ⎦
- 𝑥 = 4500
σ 10.95 10.95
- σ𝑥 = = = 3.46
= 3. 16
𝑛 12
( )
𝑃 𝑥 − 𝑧0σ𝑥 ≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑧0σ𝑥 = 1 − α
⎡𝑥 − 𝑧 σ σ ⎤
⎢ α/2
≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑧α/2 ⎥
⎣ 𝑛 𝑛 ⎦
10.95 10.95
⎡4500 − 2. 58 ≤ µ ≤ 4500 + 2. 58 ⎤
⎣ 3.46 3.46 ⎦
promedio es que sea mayor que 4491.85 soles y menor que 4508.15 soles.
3
2
2. Intervalo de confianza para la media: σ desconocida.
Poblaciones grandes:
SOLUCIÓN:
X: ingreso mensual
S = S/. 300
(𝑥 − 𝑧 σ 0 𝑥 )
≤ 𝑢 ≤ 𝑥 + 𝑧0σ𝑥 = 1 − σ
⎡𝑥 − 𝑧 𝑆 𝑆 ⎤
⎢ 0
≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑧0−1 ⎥
⎣ 𝑛 𝑛 ⎦
[840. 55 ≤ 𝑢 ≤ 959. 45 ]
Poblaciones pequeñas:
Se hicieron 10 cuentas sobre las ventas de cierto tipo de alambre que dieron valores
𝑥1, 𝑥2,..., 𝑥10, tales que la media vale 50.46 soles y su desviación estándar 1.45 soles.
SOLUCIÓN:
Datos:
𝑥 = 50. 46 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝑆 = 1. 45 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
1-α = 0. 92 α = 0. 08 α/2 = 0. 04
𝑆 1.45 1.45
σ𝑥 = = = 3.16
= 0. 46
𝑛 10
(𝑥 − 𝑡 σ
0 𝑥
≤ 𝑢 ≤ 𝑥 + 𝑡0σ𝑥)
⎡𝑥 − 𝑡 𝑆 𝑆 ⎤
⎢ α/2;𝑛−1
≤ µ ≤ 𝑥 + 𝑡α/2;𝑛−1 ⎥
⎣ 𝑛 𝑛 ⎦
de las ventas de alambre es que sea mayor que 49.56 soles y menor que 51.36 soles.
5
Cómo influye en el puntaje de la prueba que los alumnos sean de III o IV ciclo,
utilizando un intervalo de confianza para la diferencia de medias con un nivel de
confianza del 95%.
SOLUCIÓN:
1 − α = 0. 95 → α = 1 − 0. 95 = 0. 05 → 𝑧α/2 = 𝑧0.025 = 1. 96
𝑁𝑐 95
1+ 100 1+ 100 1.95
𝑃(𝑍 ≤ 𝑧α−2) = 2
= 2
= 2
= 0. 975
⎡ σ1
2 2
σ2 σ1
2
σ2
2 ⎤
⎢(𝑥 − 𝑥 ) − 𝑧 + ≤ 𝑢1 − 𝑢2 ≤ (𝑥1 − 𝑥2) + 𝑧α/2 + ⎥
⎢ 1 2 α/2 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ 0.6
2 2
0.8 0.6
2 2
0.8 ⎤
⎢(3. 8 − 3. 4) − 1. 96 + ≤ 𝑢1 − 𝑢2 ≤ (3. 8 − 3. 4) + 1. 96 + ⎥
⎢ 320 240 320 240 ⎥
⎣ ⎦
⎡ 0.6
2
0.8
2 2
0.6
2
0.8 ⎤
⎢0. 4 − 1. 96 + ≤ 𝑢1 − 𝑢2 ≤ 0. 4 + 1. 96 + ⎥
⎢ 320 240 320 240 ⎥
⎣ ⎦
INTERPRETACIÓN: Existe una diferencia positiva que sea mayor que 0.279 y menor que
0.520 según los puntajes del concurso de los alumnos de III y IV ciclo en el examen de
Estadística.
6
supuestos desconocidos
2 2
𝑆1 𝑆2
Poblaciones grandes: (𝑥 − 𝑦) ± 𝑧0 𝑛1
+ 𝑛2
SOLUCIÓN:
Datos:
𝑥1= 30.87 𝑥2= 30.68 𝑛1= 12 𝑛2= 10 𝑆1= 0.15 𝑆2= 0.20
2 2
𝑆1 𝑆2
El intervalo será: (𝑥 − 𝑦) ± 𝑧0 𝑛1
+ 𝑛2
⎡ 0.15
2
0.20
2 2
0.15
2
0.20 ⎤
⎢(30. 87 − 30. 68) − 1. 96 + ; (30. 87 − 30. 68) + 1. 96 + ⎥
⎢ 12 10 12 10 ⎥
⎣ ⎦
las dos áreas contables de nivel 95% de confianza son 0.3977 y 0.34023.
7
Poblaciones pequeñas:
2 2
2 2 2 𝑆𝑐 𝑆𝑐
- Varianzas supuestos iguales σ 1= σ 2=σ = (𝑥 − 𝑦) ± 𝑧0 𝑛1
+ 𝑛2
2 2
2 (𝑛1−1)𝑆1+(𝑛2−1) 𝑆
: varianza conjunta to= t
2
𝑆 𝐶
= 𝑛1+𝑛2 −2 (α/2, n1+n2-2)
Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0
Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4, 65.3, 68.8
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de
las concentraciones activas para los dos catalizadores. Asumir que ambas muestras
b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias
SOLUCIÓN:
Asumimos que ambas variables tienen distribución normal con varianzas iguales
Estamos en las condiciones para usar.
8
Tenemos que 𝑥1 = 65.22 , 𝑥2= 68.42 , 𝑆1 = 3.444, 𝑆2= 2.224 , 𝑛1= 𝑛1=10
2 (𝑛1−1)𝑆21+(𝑛2−1)𝑆22 2
9𝑥3.4444 +9𝑥2.224
2
Calculamos 𝑆 = 𝑛1+𝑛2 −2
= 10+10−2
=8.4036
𝑝
2
Por lo Tanto 𝑆𝑝= 8. 4036 = 2.89890
Entonces el intervalo es :
⎡ 1 1
2
0.15
2
0.20 ⎤
⎢(65. 22 − 68. 42) − 2. 060𝑥2. 89890 + ; + ⎥
⎢ 10 10 12 10 ⎥
⎣ ⎦
[− 5. 8706; − 0. 52935]
INTERPRETACIÓN:
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias
de las concentraciones activas para los dos catalizadores. Asumir que ambas
muestras fueron extraídas de poblaciones normales con varianzas iguales.
¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias
no pertenece al intervalo.
9
2 2
2 2 𝑆1 𝑆𝑧
Varianzas supuestos distintas: σ1 ≠σ2 (𝑥 − 𝑦) ± 𝑡0 𝑛1
+ 𝑛2
=𝑡0 =t (α/2, g)
diferencia entre las medias de las resistencias de los dos tipos de contadores.
2
𝑔=
( 2
𝑆1/𝑛1+𝑆2/𝑛2
2
2
) 2
(𝑆 /𝑛 )
2
1 1 (𝑆 /𝑛 )
2
2 2
⎛ ⎞+⎛ ⎞
𝑛1−1 𝑛2−1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tenemos que :
α
Como 1 - α = 0.95 entonces 2
= 0.025
2
( )
2 2
5.2 3.1
2 2 +
(𝑆 /𝑛 +𝑆 /𝑛 )
( )
2 2 2 2 6 10
5.2 3.1
𝑔= 1
2
1 2 2
2 = 6
+ 10
= = 7.18 equivale a 7.
(𝑆 /𝑛 )
2
1 1 (𝑆 /𝑛 )
2
2 2
5.2/6
2
+
3.1/10
2
⎛ ⎞+⎛ ⎞ 5 9
𝑛1−1 𝑛2−1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Entonces buscamos en la tabla de la Student 𝑡0.0257=23.65. Por lo tanto el intervalo es:
⎡ 2 2 2 ⎤ 2
⎢ α 𝑆1 𝑆2 α 𝑆1 ⎥ 𝑆1
⎢𝑥1 − 𝑥2 − 𝑡 2 𝑛1
+ 𝑛2
; 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑡 2 𝑛1
+ 𝑛 ⎥
⎢ 1
⎥
⎣ ⎦
⎡ 5.2
2
3.1
2
5.2
2 2
3.1 ⎤
⎢83. 2 − 71. 3 − 2. 365 + ; 83. 2 − 71. 3 + 2. 365 + ⎥
⎢ 6 10 6 10 ⎥
⎣ ⎦
= [6. 37; 17. 43 ]
Datos:
buscado es:
FÓRMULA: ⎡𝑝 − 𝑍 𝑝 ( 1− 𝑝)
≤ 𝑃 ≤ 𝑝 + 𝑍α
𝑝 ( 1− 𝑝) ⎤
⎢ α
𝑛 𝑛 ⎥
⎣ 2 2 ⎦
Datos:
N = 45 cursos desaprobados
45
La proporción muestral es 𝑝= 120
= 0.375
α
El nivel de confianza es 1 - α = 0.95 α = 0.05 2
= 0.025
buscado es:
FÓRMULA: ⎡𝑝 − 𝑍 𝑝 ( 1− 𝑝)
≤ 𝑃 ≤ 𝑝 + 𝑍α
𝑝 ( 1− 𝑝) ⎤
⎢ α
𝑛 𝑛 ⎥
⎣ 2 2 ⎦
tienen cursos desaprobados, a un nivel de confianza de 95% es que sea mayor que
⎰ 𝑃1𝑞1 𝑃2𝑞2 ⎱
+ 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
⎱ 𝑛1 𝑛2 ⎰
σ𝑃 −𝑃 =
⎧ ⎫
( ) ( )
1 2 𝑛1−𝑛1 𝑛2−𝑛2
⎪ 𝑃1𝑞1 𝑃2𝑞2 ⎪
𝑛1 𝑛2−1
+ 𝑛2 𝑛2−1
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠.
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
ese grupo 12 contraen buenas ideas . Como grupo de control se seleccionan al azar
3000 ideas , a los cuales no se les administra por ahora ninguna idea , y de ese grupo
SOLUCIÓN:
𝑋2: “número de personas que contraen gripe del grupo que no recibió la vacuna”
𝑛1= 2000
𝑛2= 3000
12 140
Además 𝑃1 = 2000
= 0. 006; 𝑃2 = 3000
= 0. 047
α
El nivel de confianza es 1- α= 0.99 → α = 0.01→ 2
= 0.005
13
buscado es:
( 𝑃1-𝑃2)± 𝑍0 σ
𝑃1−𝑃1
⎰ 𝑃1𝑞1 𝑃2𝑞2 ⎱
σ𝑃 −𝑃 + 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
1 1
⎱ 𝑛1 𝑛2 ⎰
⎡− 0. 041 − 2. 58 0.006(0.99)
+
0.047 (0.95 )
; − 0. 041 + 2. 58
0.006(0.99)
+
0.047 (0.95 ) ⎤
⎢ 2000 3000 2000 3000 ⎥
⎣ ⎦
⎡− 0. 041 − 2. 58 0.006
+
0.044
; − 0. 041 + 2. 58
0.006
+
0.044 ⎤
⎢ 2000 3000 2000 3000 ⎥
⎣ ⎦
[− 0. 052 ; − 0. 030 ]
BIBLIOGRAFÍA:
18/10/2021de:https://upao.instructure.com/courses/9081/files/1817121?m
odule_item_id=803757
https://n9.cl/2nh80
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
TRUJILLO-PERÚ
2021-10
1.- Intervalo de confianza para la media poblacional: conocida
Un contador analiza las cuentas bancarias. La cuenta está distribuida aproximadamente de manera
normal, con varianza 120 soles. Al tomar una muestra aleatoria de 12 libros contables, se tiene que la
media vale 4500 soles.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para las cuentas bancarias promedio.
b) Construya un intervalo de confianza del 99% para las cuentas bancarias promedio.
INTERPRETACIÓN: El intervalo de
confianza del 95% para las cuentas
bancarias promedio es que sea
mayor que 4493.80 soles y menor
que 4506.20 soles.
b) Intervalo de confianza del 99%.
INTERPRETACIÓN: El intervalo de confianza del 99% para las cuentas bancarias
promedio es que sea mayor que 4491.85 soles y menor que 4508.15 soles.
INTERPRETACIÓN: Los intervalos de confianza del 94% de los comerciantes de la
media poblacional de los ingresos promedio de todos los comerciantes de una plaza
mayor que 840.55 y menor que 959.45 soles.
INTERPRETACIÓN: Existe un intervalo de confianza para la esperanza
poblacional de las ventas de alambre esque sea mayor que 49.56 soles y
Poblaciones grandes:
Una muestra de 12 contadores de un área tenía promedio de prueba final de capacidad de 30.87 puntos y desviación
estándar de 0.15. Y una muestra de 10 contadores de otra área tenían capacidad promedio de 30.68 puntos y
desviación estándar de 0.20. Supongamos que ambos conjuntos de contadores son muestras aleatorias de poblaciones
normales. Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las medias de las capacidades
de las dos áreas contables.
Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente líquido para ropa, es afectada por el tipo de
catalizador utilizado en el proceso de fabricación. Se realizan 10 observaciones con cada catalizador, y se obtienen los datos
siguientes:
Catalizador 1: 57.9, 66.2, 65.4, 65.4, 65.2, 62.6, 67.6, 63.7, 67.2, 71.0
Catalizador 2: 66.4, 71.7, 70.3, 69.3, 64.8, 69.6, 68.6, 69.4, 65.3, 68.8
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las concentraciones activas para los
dos catalizadores. Asumir que ambas muestras fueron extraídas de poblaciones normales con varianzas iguales.
b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado?
SOLUCIÓN:
a)Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las
concentraciones activas para los dos catalizadores. Asumir que ambas muestras fueron extraídas de
poblaciones normales con varianzas iguales.
aproximadamente -0.52935
b)¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del
catalizador utilizado?
intervalo.
Varianzas supuestos distintas:
Datos:
Datos:
N = 45 cursos desaprobados
De la tabla de la normal estandarizada vemos que Z0.025 = 1.96. Entonces el intervalo buscado es:
INTERPRETACIÓN: Los intervalos de
grupo 12 contraen buenas ideas . Como grupo de control se seleccionan al azar 3000
ideas , a los cuales no se les administra por ahora ninguna idea , y de ese grupo 140
X2: “número de personas que contraen gripe del grupo que no recibió la vacuna”
Variable aleatoria binomial con parámetros n y p
18/10/2021de:https://upao.instructure.com/courses/9081/files/1817121?module_item_id=803757