EXAMEN DE PRÁCTICA

CONCURSO “A. N. KOLMOGOROV”

1. ¿Cuál de los siguientes trinomios es un trinomio cuadrado
perfecto?
A) z4 + 8z3 + 16 B) z4 - 6z3 + 9z2 C) z4 + z3 + z2
4 3
D) z - 2z + 4 E) z4 + 4z3 + z2

2. Si factoriza 16x2 + 6x - 1, uno de los factores es:

A) 8x + 1 B) 2x - 1 C) 4x + 1 D) 16x + 1 E) 8x - 1

1 3
3. Si log b   = − , entonces b es igual a:
 27  2
1 B) 27 C) 9 D) 81 E) 243
A)
9

1
4. Si log3 2 = A y log3 5 = B, entonces log 3 3 es igual a:
100
−2 −2 ( A + B ) −1 6( A + B) −1
A) B) C) D) E)
3( A + B) 3 6( A + B) 2 3( A + B)

2 4 5
5. Dadas las fracciones a = , b = y c = . El orden correcto
7 13 16
de menor a mayor es:
A) a, b, c B) a, c, b C) c, b, a D) c, a, b E) b, c, a

6. Si pagué $96.°° por una camisa, en la que obtuve un descuento

del 20%, ¿cuál era el precio original de la camisa?
A) $98.°° B) $116.°° C) $115.20 D) $120.°° E) $117.20

3
7. El 20% de es:
7
60 60 30 35 3
A) B) C) D) E)
7 140 75 60 35

2 −3
x = 2
4
8. Para que la proposición sea verdadera, el valor de x
2
debe ser:
A) 1 B) -1 C) 12 D) -7 E) 7

9. El conjunto de puntos (x,y) que cumple con la ecuación

3x
= 2 , está contenido en:
x − 4y

A) Una recta B) Una C) Una D) Una E) Ninguna de

circunferencia parábola hipérbola las anteriores
10. Juan puede procesar 200 formas en 3 horas y Dulce puede
1
procesar las mismas 200 formas en 2 horas. ¿Si trabajan juntos,
3
cuánto tiempo se tardarán en procesar las 200 formas?
11 1 5 3 1
A) 1 B) 2 C) 1 D) 2 E) 1
16 16 16 16 16

11. Encuentre el valor de x que hace verdadera la ecuación

(27 )2 x +1 = 3
A) –5/3 B) -4/3 C) -3/3 D) -2/3 E) -1/3

12. La circunferencia x2 + y2 + 3y + 0.25 = 0 tiene

A) centro en B) centro en C) centro en D) centro en E) centro en
(0, 1.5) y (0, -3) y (3, 0) y (0, -1.5) y (0, -1.5) y
radio r = 0.5 radio r = 2 radio r = 0.5 radio r = √2 radio r = 1.5

13. ¿Cuál de los incisos siguientes se aplica a la cónica

x2 –4y2 + 6x + 16y – 11 = 0?
A) Es una elipse con el eje mayor horizontal.
B) Es una elipse con el eje mayor vertical.
C) Es una hipérbola con el eje mayor horizontal.
D) Es una hipérbola con el eje mayor vertical.
E) Es una hipérbola con el eje mayor inclinado.

14. ¿Cuántas raíces reales positivas tiene la ecuación: x4 + 2x2 =

-1?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

15. Si a un bote cilíndrico se le reduce en 50% su radio y se

duplica su altura, entonces su volumen :
A) aumenta B) aumenta C) disminuye D) disminuye E) no cambia
50% 100% 100% 50%

16. Si trabaja solo, David puede lavar su auto en 45 minutos. Si

le ayuda Eloísa, pueden terminar en 30 minutos. ¿Cuánto tardará
Eloísa en lavar el coche ella sola?
A) 50 minutos B) 60 minutos C) 1 hora 20 D) 1 hora 30 E) 1 hora 40
minutos minutos minutos

17. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la distancia que

un objeto cae partiendo del reposo es directamente proporcional al
cuadrado del tiempo de caída. Si un objeto cae 64 pies en los
primeros 2 segundos, ¿cuántos pies caerá en los primeros 6
segundos?
A) 576 B) 512 C) 384 D) 192 E) 128

a + 2b
18. Si c = , entonces b =
ab
 a 1 a C) a(c –a) D) c - 1 1
A) B) − E)
ac − 2 c 2 c−2
 1
3

19. El término independiente en el desarrollo de  x 2 −  es:

 x
A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3

x +1 x +1
20. En la expresión cada x se reemplaza por . La expresión
x −1 x −1
resultante, evaluada en x = 1/2 es igual a:
A) 0 B) +1/2 C) -1/2 D) +1 E) -1

21. ¿Cuántas soluciones reales y diferentes tiene la ecuación:

x2 + 6 = x2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

22. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes representa una recta

diferente a las demás?
−1
A) y= x + 12
3
B) x + 3 y − 36 = 0
5 5
C) x + y − 10 = 0
18 6
x y
D) + =1
36 12
E) Las cuatro representan a la misma recta.

23. Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (7,

8). Si el punto medio del segmento tiene coordenadas (4, 3),
¿cuánto suman las coordenadas del otro extremo del segmento?
A) -1 B) 0 C) 1 D) 22 E) -22

24. Si k1 y k2 son dos constantes positivas y las ecuaciones

k1X - 7Y + 18 = 0
8X - k2Y + 9k1 = 0
representan a la misma recta, ¿cuál es el resultado de k2 - k1?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

 x 1
e − , si x ≠ 0
25. Sea f ( x ) =  x . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
0, en otro caso
es verdadera?
A) f(x) no tiene raíces reales.
B) f(x) tiene exactamente una raíz real.
C) f(x) tiene exactamente dos raíces reales.
D) f(x) tiene exactamente tres raíces reales.
E) f(x) tiene exactamente cuatro raíces reales.
 1
26. Si y = , entonces la derivada de y con respecto a x es:
x +1
2

x −2 x 2x
A) B) C)
(1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2
−x x2
D) E)
(1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2

27. ¿Cuál de los siguientes puntos es el más cercano al punto

(1, 1)?
A) (2, 2) B) (0, 0) C) (0, 1) D) (1/2, 2) E) (2, 1/2)

28. ¿Cuál de las siguientes parejas de puntos es colineal con el

punto (1/3, 1/3)?

A) {(1, 2) (3, 4)} B) {(1/2,1/2), (-3,-1)} C) {(0, -1), (-1, 0)}

D) {(0, -1/3), (2/3, 1)} E) {(0,-1), (2/3, 1)}

29. Los puntos (1, h) y (h, 2) se encuentran a 2 unidades de

distancia uno del otro, ¿cuál es el valor de h?
3± 7 7 4
A) h = B) h = 3 ± C) h = 3 ±
2 4 7
1 E) Ninguna de las anteriores.
D) h = 4 ±
3

30. Un cuadrado tiene una diagonal cuya longitud es de 1 cm.

¿Cuánto mide el área del cuadrado?
1 1 C) 2 D) 2 E) Ninguna de
A) B) las anteriores
2 2

31. Calcule el área del triángulo formado por el punto (5, 2) y

los puntos en donde L ={(x, y)| 2x- 3y - 6 = 0} corta a los ejes
coordenados.
13 3 E) Ninguna de
A) B) 1 C) D) 2 las anteriores
15 5

32. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a

L = {(x, y)| y = 3x}

1 1
A) x+ y=0 B) −3x + y = 0 C) − x + y = 0
3 3
1 E) Ninguna de las anteriores.
D) x − y=0
3
33. Una recta corta a los ejes coordenados XY, en los puntos (1-b,
0) y (0, b). ¿Cuál es el valor de b que garantiza que la recta
tenga pendiente m = -1?
A) b = 3/4 B) b = 1/2 C) b = 1/4 D) b = 0 E) Ninguna de
las anteriores

34. Si siguiera el camino en el plano XY, determinado por las

ecuaciones siguientes, ¿con cuál de ellas recorrería la menor
distancia, al ir del punto (-1, 1) al punto (1, 1)?

A) y = x + 2 B) x2+y2-2y=0 C) y = |x| D) y = x2 E) x2+y2 = 2

35. El vino de la marca A tiene un precio de $30.°° por litro,

mientras que el vino de la marca B tiene un precio de $52.°°. ¿En
qué proporción deben mezclarse para obtener un vino de $48.°°?

A) 9/11 del B)2/11 del C) 1/2 de cada D) 1/3 del E) Ninguna de

caro caro uno caro las anteriores

36. ¿Cuál de las siguientes es una posible factorización de la

expresión 2x2 + x + 2 + 1/x?
 1
2
( x + 3) 2  1
A)  2 x + 4  B) C)  x + ( 1 + 2 x )
 x  x  x
D) (2x2 + 1)(2x2 -1) E) (2x2 +x)(2 + 1/x)

37. De cierto punto fijo, P, parte un automóvil con una velocidad

constante de 120 km/h. Después de 15 minutos arranca, del mismo
punto, un segundo automóvil a una velocidad constante de 150 km/h.
¿Qué distancia habrán recorrido justo al momento en que el segundo
alcance al primero?

A) 100 km B) 120 km C) 150 km D) 180 km E) 200 km

38. La solución de la ecuación

3x + θ = 2θx - 5,
es x = 1. ¿Cuál es el valor de θ?
A) θ = 0 B) θ = 4 C) θ = 8 D) θ = 10 E) Ninguna de
las anteriores

39. Un alambre de 1 m de longitud se parte en un punto distinto de

la mitad. Con el alambre más corto se forma una circunferencia y
con el más largo un cuadrado. Si ambas figuras tienen la misma
área, ¿cuánto mide el pedazo más corto?
1 π −1 1 1 π
A) B) C) D) E)
π π +1 π +1 π −1 π +2

40. Si el trinomio β 2x2 + x + θ es un trinomio cuadrado perfecto,

¿cuál de las siguientes expresiones es correcta?
θ 2 2
A) β 2
= B) β = C) β =
2 θ θ θ
1 2
D) β = E) β =
2 θ θ2
41. ¿Cuánto debe ampliarse una ventana circular para que permita
la entrada de cuatro veces más luz?
A) El radio debe multiplicarse por 4.
B) El radio debe multiplicarse por 2.
C) El radio debe multiplicarse por π.
D) Depende del área actual de la ventana.
E) Ninguna de las anteriores.

42. Si después de obtener los valores de x y y que resuelven el

sistema
4 3
+ = 13
x y
,
−2 3
− =1
x y
suma los valores de x y y, el resultado es:

A) 2/35 B) 35/2 C) -2/35 D) -35/2 E) Ninguna de

las anteriores

et − 1
43. Obtenga el valor del límite siguiente: lím
t →0 1 − e
2t

A) ∞ B)0 C) 1 D) -1/2 E) Ninguna de

las anteriores

44. Sea f(x) = e − ( x − 3) , encuentre el valor máximo de f(x)?

2

A) e B) 3 C) 1 D) 0 E) Ninguna de
las anteriores

45. Sea f(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1. ¿Cuál es el valor de f’(1)?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

3
x −2
46. Obtenga el valor del límite siguiente, lím
x →8 x−8
A) 1/12 B) 0 C) 8 D) -2/3 E) -1/3

47. La derivada de p(x) = (1-x)(x+4)2 es:

A) x2 +2x - 12 B) (x + 4)(x - 6) C) -(x + 4)(x + 6)

D) -(x+4)(3x+2) E) Ninguna de las anteriores

48. La recta 4x + 3y - 12 = 0, corta a los ejes coordenados

formando un triángulo rectángulo. Dentro del triángulo hay un
rectángulo con uno de sus vértices en el origen. ¿Cuál es el área
máxima que puede tener este rectángulo?
A) 12 B) 6 C) 3 D) 1.50 E) Ninguna
de las
anteriores
 x−2
49. Al resolver ∫ dx , obtiene:
(x − 6)(x + 2 )

A) (x+6)(x-2)1/2 + k B) 2[(x+6)(x-2)]-1/2+k C) (x2 -4x -12)1/2 + k

[ ( x + 6)( x − 2)] 1/ 2

D) +k E) Ninguna de las anteriores.

2

( x + 3)( x + 4) 2
50. Para que la función f ( x ) = , sea continua en x = -3,
( x 2 − 9)
el valor de f(-3) debe definirse igual a:

A) 6 B) 1/6 C) -1/6 D) -6 E) Ninguna de

las anteriores