Relacion en R

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITCTURA

ESCUELA PROFESIONAL CIENCIA FÍSICO MATEMÁTICO:
MATEMÁTICA
RELACION EN R Y TIPOS DE RELACION
ASIGNATURA: MATEMÁTICA BÁSICA.
DOCENTE bbLIC.: ACERO COAQUIRA LUZ MARINA.

ESTUDIANTEAS:
-CACERES MAMANI HUGO MELITON
- CALANI ZACARI DENIS MARÍO
- ARCE CCOA JUAN GONZALO
-ACERO TINTAYA HUBERTH JHONATAN
SEMESTRE: I
GRUPO: UNICO
PUNO-PERÚ 2023
Firma
RELACIONES
1.- PARES ORDENADOS. PRODUCTO CARTESIANO
Los pares ordenados son entes matemáticos que consisten de dos elementos a y b, a los
cuales se les denomina PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COMPONENTE
respectivamente, y se les denota por (a , b).
1.1 DEFINICIÓN. - Un par ordenado (a, b) se define en términos de conjuntos:
(a,b) = ((a) , (a,b))
1.2 TEOREMA. - (IGUALDAD DE PARES ORDENADOS). Dos pares ordenados.
(a, b) y (c,d) son iguales si y sólo si sus primeras componentes son iguales: a = c, así
como también sus segundas componentes: b = d.
simultáneamente. Es decir,
(a, b) = (c, d) ⟺ [ a=c ∧ b=d ]
1.3 EJEMPLOS.-
a) Los pares ordenados (3,2) y (2,3) no son iguales pues sus primeras componentes son
3 y 2 respectivamente; tampoco son iguales sus segundas componentes.
b) Los pares ordenados (4,2) y (4,4) no son iguales pues sus segundas componentes son
diferentes.
c) Como una aplicación del
TEOREMA 1.2 tenemos que son iguales los pares ordenados (3x+2y, -5) =
(11, 3x-2y) si y sólo si:
[ 3x + 2y = 11 ∧ -5=3x-2y 1
[ ]
⟺ 3 x+ 2 y =11 ⟺ [ 6 x=6 ] ⟺ x=1
3 x−2 y=−5 y=4 [ ]
1.4 PRODUCTO CARTECIANO AxB
Dado dos conjuntos A y B se define PRODUCTO
CARTESIANO A x B como el conjunto
AxB=((a,b)/ a€A y b€B )
Este es un conjunto de pares ordenados (a , b ) cuyas primeras componentes se
encuentran en el conjunto A , y sus segundas componentes en el conjunto B
1.5 EJEMPLO.- Sean A = ( 1 , 3 , 5 ) , B = ( r , s ) , entonces
A x B= { ( a , b ) /aϵA ∧ bϵB }
¿ { ( a ,b ) /aϵ (1 ,3 , 5)∧ bϵ (r , s) }
A x B= { ( 1 ,r ) , ( 1 , s ) , ( 3 , r ) , (3 , s ) , ( 5 , r ) , (5 , s) }
Cuyo elementos ( pares ordenados ) pudieron haberse distribuido como en el siguiente
diagrama llamado DIAGRAMA DE ARBOL :
1.6 NOTA. - Si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos
respectivamente, entonces el producto cartesiano A x B tienen m x n elementos. De aquí
proviene su nombre y su notación.
1.7NOTA. - si al menos uno de los conjuntos A o B es vacío entonces A x B= ∅ , es
también vacío.
El concepto de producto cartesiano se puede extender a 3 o mas conjuntos:
A x B x C=¿
Extendido el concepto de pares ordenados al de ternas ordenadas donde
(a,b,c)= ((a) , ( a,b ) , (a,b,c))
1.9 NOTA. - el producto cartesiano en general no es conmutativo, es decir A x B
diferente de B x A , a menos que B=A , por ejemplo si
A=( 1 ) , B= (2 ) entonces A x B=( ( 1 ,2 ) ) y B x A= ( ( 2 ,1 ) ) .
1.12 NOTA .- al producto cartesiano A x A también es representado por A2
2. RELACIONES. TIPOS DE RELACIONES
Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados
se llama una RELACIÓN DE A EN B si R es un subconjunto cualquiera de A x B.
R es una Relación de A en B ⇔ R ⊂ A × B
Una RELACIÓN de A en B es también llamada una RELACIÓN BINARIA.
2.1 EJEMPLO. Sean A= (3,4,5), B = {1,2}. Los siguientes conjuntos de pares
ordenados son algunas RELACIONES de A en B:
R1 = (3,1), R2= (5,2), R3 = (3, 1), (4,2), (5,2)}
R4= {(3, 1), (3,2), (4, 1), (4,2)), R5= A x B, mientras que
R6 = {(3,2), (4, 1), (2, 1)} no lo es, pues el par (2,1)∉ A x B, ya que 2 ∉ A
Puesto que en general, si A x B tiene “n” elementos entonces A x B tiene 2n
subconjuntos; por lo tanto, existen 2n relaciones de A en B.
Cuando un elemento (a, b) pertenece a una relación R se denota a R b:

a R b ⇔(a ,b)∈ R
y se lee “a está relacionado con b según la relación R".
2.2 DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto R es una RELACIÓN EN A si
R⊂A × A
TIPOS DE RELACIONES
RELACIONES REFLEXIVAS
Un conjunto R de pares ordenados es una RELACION REFLEXIVA EN A si para todo
a ∈ A : ( a , a ) ∈ R.
Así, una relación es REFLEXIVA si todo elemento de A esta relacionado consigo
mismo, según esta relación R .
EJEMPLO: Sean A={ 1 , 2, 3 , 4 } y las relaciones en A:

R1 ={ ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 ,1 ) ,(2 , 2) }
R2 ={ ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) ,(4 , 4) }
Entonces R1 es reflexiva en A pues (a, a)∈R1, PARA TODO ELEMENTO a∈ A
además de otros pares .En cambio, R2 no es reflexiva en A, pues le falta el par (3,3)
para serlo.
RELACIONES SIMETRICAS
Dada una relación R en un conjunto A, se dice que R es una RELACION SIMETRICA
EN A si: (a, b) ∈ R → (b, a)∈ R. Es decir, si (a, b) está en la relación R también (b,
a) debe estar en R.
EJEMPLO: Dado A={ 1 , 2, 3 , 4 } y las relaciones en A:

R1 ={ ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 3 ,2 ) , ( 2 ,1 ) , ( 2 , 4 ) }
R2 ={ ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) ,(3 ,3) }
R3 ={ ( 1 , 1 ) , ( 3 , 3 ) ; ( 4 ,1 ) ; ( 2 ,3 ) ; ( 1 , 4 ) }
Vemos que R1 y R2 son Simétricas en A, pero que R3 no lo es pues le falta al menos el

par (3,2) para ello.
RELACIONES TRANSITIVAS
- Una relación R en un conjunto A es TRANSITIVA EN A si:
[(a, b) ∈R a (b, c)∈R] => (a, c) ∈R
EJEMPLO- Dado. A (1,2,3,4), la relación R ((1,2), (2,3), (1,3,) (04,),(0, 3),(1,0, (4,4))
noes transitiva en A, pues si
bien se. Cumple que: (1,2) €ER y (2,3) ∈R => (1,3) ER
(1,3) E€ER y (, D ER > (1,1) €R
(4,4) ER y (4,9 €R > (4,49 €R
de en cambio allá en: (Q2,) ER y (G, DER W (2, DER, ya que (2,1) R.
Con respecto a las siguientes relaciones en A, tenemos que:
R; E; ((1,3, Q,), Q,2), (1, D) si es Transitiva,
Entonces (0,9, (4,0,0,9,06,9, (4,) no es Transitiva pues le faltan por lo menos 7 pares
para serlo, ¿Cuáles son?
Son: (1,0,),(Q,D), (G3,),(0,3), (Q,3), (G,3), y (4,4).
EJEMPLO; La relación R definida en R (números reales) por: "a < b”
es una relación transitiva pues por la Propiedad Transitiva en
R se tiene que: sí a<b y b<c entonces a< c
Asimismo, la relación en R definida por "a < b"” también es Transitiva.
EJEMPLO. Sea A una familia de conjuntos. La relación definida en A por:

"AC B" es una relación transitiva en A, pues:
AEB: Y. B: EC => A EC.:
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
. una relación R en A, es una relación de equivalentes , si R es reflexiva simétricamente
y transitivamente (RST9
Se define clase de equivalentes del elemento a , como;( a )=¿
(A)¿(LOS VERTICES DESDE DONDE SE LLEGA A , EN UN SOLO PASO)
. El conjunto de todas las clases de equivalentes de A, es el conjunto A/B
DENOMINADO EL CONJUNTO COCIENTE
A/R=(a/a∈ A ¿
EJEMPLOS A=(0,1,2,3,4,5,6)
R=(X,Y)∈ A∗A /(X −Y )es divisible por 3
R=(0,0),(0,3),(0,6),(1,1),(1;4),(2,2),(2,5),(3,0),(3,3),(3,6),(4,1),(4,4),(5;2),(5;5),(6,0),
(6,3),(6,6)
RELACIONES EN UN CONJUNTO
Definición 1.4.1. Sea A un conjunto. Decimos que la relación R esta

definida en A si
R ⊆ A × A.
Definición 1.4.2. Sea R una relación definida en A, entonces:

a) R es relación reflexiva ⇔ (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A.
b) R es relación simétrica b⇔ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ (a, b) ∈ R.
c) R es relación transitiva⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R] ⇒ (a, c) ∈ R ∀ (a, b) ∈ R.
d) R es relación antisimétrica b ⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R] ⇒ (a = b) ∀ (a, b) ∈ R.
Observación 1.4.1.
a) Denotamos R ⊆ A2 en lugar de R ⊆ A × A.
b) Si (a, b) ∈ R podemos denotar aRb.
c) R no es refleja ⇔ ∃ a ∈ A tal que (a, a) ∈/ R.
d) R no es simétrica ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈/ R.
e) R no es transitiva ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∈/ R.
f) R no es antisimétrica ⇔ (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ∧ (a =
̸ b).
Ejemplo 1.4.1. Sea A = {1, 2, 3} y R ⊆ A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
((1, 3), (3, 3)}.
¿Es R una relación refleja, simétrica, transitiva, antisimétrica.
Solución Como (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A entonces R es relación refleja.
R no es simétrica ya que (1, 3) ∈ R ∧ (3, 1) ∈/
R. R es transitiva ya que se verifica la
condición
R no es antisimétrica ya que (1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R pero 1 ̸= 2.
Bibliografía
https://ccc.inaoep.mx/~villasen/CursoMatDiscretas/Relaciones-y-funciones.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexiva

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ASIGNATURA: MATEMÁTICA BÁSICA.

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Puesto que en general, si A x B tiene “n” elementos entonces A x B tiene 2n

subconjuntos; por lo tanto, existen 2n relaciones de A en B.

Cuando un elemento (a, b) pertenece a una relación R se denota a R b:

EJEMPLO: Sean A={ 1 , 2, 3 , 4 } y las relaciones en A:

EJEMPLO: Dado A={ 1 , 2, 3 , 4 } y las relaciones en A:

Vemos que R1 y R2 son Simétricas en A, pero que R3 no lo es pues le falta al menos el

Asimismo, la relación en R definida por "a < b"” también es Transitiva.

EJEMPLO. Sea A una familia de conjuntos. La relación definida en A por:

R=(X,Y)∈ A∗A /(X −Y )es divisible por 3

Definición 1.4.1. Sea A un conjunto. Decimos que la relación R esta

Definición 1.4.2. Sea R una relación definida en A, entonces:

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