Datos del alumno Fecha

Nombres: Carlos Steven 26/11/2023

Reglas de adición

1. Si P (A) = 0,7, P (B) = 0,5 y P (A ∩ B) = 0,4. Determine P (A ∪ B)

P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 0,7 + 0,5 – 0,4

P (A ∪ B) = 0,8

2. El proceso para obtener la licencia de conducir consta de dos partes: un examen practicó y uno

teórico. Supongamos que el 25 % de las personas fracasan en el examen practicó, 18 % de las personas

falla el examen teórico y el 12 % falla en ambas partes. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que esta persona

P(A) = 0,25 fallan practico

P(B) = 0,18 fallan teórico

P (A ∩ B) = 0,12 fallan ambo

a) falle al menos uno de los dos exámenes?

P (A U B) = P (A) + P(B)

P (A U B) = 0,25 + 0,18

P (A U B) = 0,43

b) solo falle el examen práctico, pero no el examen teórico?

P(A) – P(A∩B)

0,25 – 0.12

0,13

c) solo falle el examen teórico, pero no el examen práctico?

P(B) – P(A∩B)

0,18 – 0.12

0,06

d) pase exactamente los dos exámenes?

P (A ∪ B) = 1 - P (A) + P(B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 1 - 0,25 + 0,18 – 0,12

P (A ∪ B) = 0,69

e) falle cualquiera de los dos exámenes?

P (A ∪ B) = 0,25 + 0,18 – 0,12

P (A ∪ B) = 0,31

3. Sean A y B dos eventos en un espacio muestral tales que: P (A) = 2 3 , P (B) = 1 6 , y P (A ∩ B) = 1 9 .

Determine P (A ∪ B)

P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 2/3 + 1/6 - 1/9

P (A ∪ B) = 13/18

4. Hay tres frascos. El primero se escoge la mitad del tiempo, el segundo se escoge un cuarto del

tiempo y el tercero se escoge un cuarto del tiempo. El primer frasco contiene 1 canica blanca y 3

canicas negras. El segundo frasco contiene 2 canicas blancas y 2 canicas negras. El tercer frasco

contiene 3 canicas blancas y una canica negra. Si se elige un frasco, y luego se elige una canica de

ese frasco, ¿cuál es la probabilidad de que se elija una canica blanca?

P(𝐶B1) = 1/4 ∗ 1/2 = 1/8

P(𝐶B2) = 2/4 ∗ 1/4 = 2/16

P(𝐶B3) = 3/4 ∗ 1/4 = 3/16

P(𝐶B) = P(𝐶B1) + P(𝐶B2) + (𝐶B3)

P(𝐶B) = 1/8 + 2/16 + 3/16

P(𝐶B) = 7/16

5. En la producción de cierto ´ítem, dos tipos de defectos, A y B, pueden ocurrir. Se conoce

que P (A) = 0,1, P (B) = 0,2 y P (A ∩ B) = 0,05. Determine la probabilidad que una

unidad producida tenga

a) al menos uno de los defectos.

P (A O B) = P(A) + P (B)

P (A O B) = 0.1 + 0.2

P (AO B) = 0.30

b) el defecto A, pero no el defecto B

P (A 𝑁 B) = P (A) + P (A ∩ B)

P (A 𝑁 B) = 0.1 − 0.05

P (A 𝑁 B) = 0.05

c) ninguno de los defectos

P (𝑁 F) = 1 − P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (𝑁 F) = 1 − 0.25

P (𝑁 F) = 0.75

d) exactamente uno de los defectos

P (A O B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A O B) = 0.1 + 0.2 − 0.05

P (A O B) = 0.25

Probabilidad condicional

1. Sean A y B dos eventos en un espacio muestral tales que: P (A) = 0,6, P (B) = 0,5 y P (A ∩ B) =

0,9. Determine P (A|B)

P (A|B) = P (A ∩ B) / P (B)

P (A|B) = 0.9 / 0.5

P (A|B) = 1.8

Existe un error en cuanto a los datos, si se realiza la suma no da el valor de

2. En cierta comunidad, 36 % de las familias tiene un perro, y 22 % de las familias que tiene

un perro además tiene un gato. Adicionalmente, 30 % de las familias tiene un gato. ¿Cual

es la probabilidad que una familia seleccionada aleatoriamente tenga un perro y un gato?

P (P) = 0,6; P (G) = 0,3 y P (G|P) = 0,22

P (C ∩ P) = P (G|P) ∗ P(G)

P (C ∩ P) = 0.22 ∗ 0.3

P (C ∩ P) = 0.066

3. Dos urnas tienen 10 bolas de colores cada una. La urna X tiene 2 blancas, 3 negras y 5

rojas; en la urna Y tiene 3 blancas, 2 negras y 5 rojas. La probabilidad de seleccionar la

urna X es 0.3 y de seleccionar la urna Y es 0,7. Determine:

a) P (X|negra)

P(X|𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎) = (P(𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎|X) ∗P(𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎)) / P(X)

P(X|𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎) = (3/50 ∗ 3/10) / 0.3

P(X|𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎) = 0.06

b) P (Y |blanca) ’ítem P (X|roja)

P(Y|B𝐿A𝑁𝐶A) = (P(B𝐿A𝑁𝐶A|Y) ∗ P(B𝐿A𝑁𝐶A)) / P(Y)

P(Y|B𝐿A𝑁𝐶A) = 0.21 ∗ 0.3 / 0.3

P(Y|B𝐿A𝑁𝐶A) = 0.21

4. Se lanza un dado justo dos veces. El evento A “la suma de los lanzamientos es igual a 4”,
el evento B es “al menos uno de los lanzamientos es un 3”.

P (A) = 3/36; P (B) = 2/36 y P (B|A) = 2/3

a) Determine P (A|B)

P (A|B) = (P(B|A) ∗ P(B)) / P(A)

P (A|B) = (2 3 ∗ 2/36) / 3/36

P (A|B) = 0.32

b) Determine P (B|A)

P (B|A) = (P(A|B) ∗ P(A)) / P(B)

P (B|A) = (0.32 ∗ 3/36) / 2/36

P (B|A) = 0.48

Regla de la multiplicación

1. Para tres eventos A, B y C se cumple que P (A ∩ B ∩ C) = 0,1, P (A) = 0,5 y P (B|A) = 0,4.

Determine P (C|A ∩ B).

P (A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P (A ∩ B) = 0.5 ∗ 0.4

P (A ∩ B) = 0.20

2. Sean dos eventos A y B tales que P (A) = 0,1, P (B) = 0,05 y P (A ∪ B) = 0,8 ¿Son A y B

independientes?

P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = P(A) + P(B) – P (A U B)

P (A ∩ B) = 0.1 + 0.05 − 0.8

P (A ∩ B) = −0.65

P (A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)

P (A ∩ B) = 0.1 ∗ 0.05

P (A ∩ B) = 0.005

3. Se lanza un dado justo dos veces. El evento A “la suma de los lanzamientos es igual a 4”, el

evento B es “al menos uno de los lanzamientos es un 3”. ¿Son los eventos A y B

independientes?

P (A) = 3/36; P (B) = 2/36 y P (B|A) = 2/3

P (A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)

P (A ∩ B) = 3/36 ∗ 2/3

P (A ∩ B) = 0.055
P (A) ∗ P(B) = 3/36 ∗ 2/36 = 0.0046

No son dependientes

4. Calcular P (A ∪ B) si P (A) = 1 3 y P B|A C = 1

P (A 𝐶 ∩ B) = 0.125; P (B) = ¼

P(A𝑈B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B)

P(A𝑈B) = 1/3 + 1/4 − 0.125

P(A𝑈B) = 11/24

5. Sean A y B dos eventos independientes. Si P (A) = 1 3 y P (B) = 1 5. Determine P (A ∪ B) y P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = P (A) ∗ P(B)

P (A ∩ B) = 1/3 ∗ 1/5

Ley de la probabilidad total y Teorema de Bayes

1. En un proceso de producción, los artículos producidos se prueban para detectar defectos.

Una unidad defectuosa se clasifica como tal con una probabilidad de 0,9, mientras que

una unidad correcta se clasifica como tal con una probabilidad de 0,85. Además, el 10 %

de las unidades producidas están defectuosas. Calcule la probabilidad condicional de que

una unidad sea defectuosa, dado que se ha clasificado como tal.

P(𝐶D) = 0.9; P(𝐶𝐶) = 0.85; P(𝐶D|D) = 0.09; P(D) = 0.10

P(D|𝐶D) = (P(𝐶D|D) ∗ P(D)) / P(𝐶D)

P(D|𝐶D) = (0.09 ∗ 0.10) / 0.9

P(D|𝐶D) = 0.009

2. Tenemos dos urnas, A y B, que contienen bolas blancas y negras. A contiene dos bolas

negras y tres blancas, mientras que B contiene dos bolas negras y dos blancas. Sacamos

una bola al azar de A y la colocamos en B, sin notar su color. A continuación, sacamos

al azar una bola de B y notamos que es blanca. Calcule la probabilidad de que la bola

que movimos de A a B fue negra

P(𝑁|A) = 2/5 ∗ 1/2

P(𝑁|A) = 1/5
3. Un banco considera cambiar su política de tarjetas de crédito. Actualmente, el 5 % de los titulares
de tarjetas de crédito no pueden pagar sus facturas en ningún mes, es decir, nunca pagan sus facturas.
Entre aquellos que generalmente pueden pagar sus facturas, todavía existe un 20 % de probabilidad
de que la factura se pague demasiado tarde en un mes en particular.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien no pague su factura en un mes en particular?
P(𝑁P𝑁M) = P(𝑁P) ∗ P(P𝑁P)
P(𝑁P𝑁M) = 1 ∗ 0.05
P(𝑁P𝑁M) = 0.05
b) El propietario de una tarjeta de crédito no pagó su factura en un mes en particular. ¿Cuál es la
probabilidad de que no pague su factura en ningún mes?
P(𝑁P𝑁M|R) = P(R) ∗ P(R|NPNM) / P(𝑁P𝑁M)
P(𝑁P𝑁M|R) = 0.20 ∗ 1 / 0.05
P(𝑁P𝑁M|R) = 0.010
c) ¿Debería el banco considerar bloquear la tarjeta de crédito si un cliente no paga su factura a
tiempo?
Según el cálculo apenas el 1% de los que no pagan su factura a tiempo, no pagan ningún mes
4. Le diagnostican una enfermedad poco común y usted sabe que solo hay un 1 % de posibilidades de
contraerla. Utilice la letra E para el evento “usted tiene la enfermedad 2 la T para “el test detectó la
enfermedad”. Se sabe que el test es imperfecto: P(T|D) = 0,98 y P (T C|DC) = 0,95. Dado que la prueba
es
positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?
P (T|E 𝐶) = 1 − P (T c |E c) = 0.005
P(T) = 0.01 ∗ 0.98 + 0.05 ∗ 0.99 = 0.0593
P(E|T) = (0.01 ∗ 0.98) / (0.01 ∗ 0.98 + 0.05 ∗ 0.99) = 0.1653
5. Suponga que el 5 por ciento de los hombres y el 0, 25 por ciento de las mujeres son daltónicos. En
una determinada universidad, el 40 por ciento de los estudiantes son mujeres. Encuentre
la
probabilidad de que un estudiante daltónico en esa universidad sea hombre.
P (D|H) = 0.05; P(D|M) = 0.25; P(H) = 0.6; P(M) = 0.4
P (D) = P(D|H) ∗ P(H) + P(D|M) ∗ P(M)
P (D) = 0.05 ∗ 0.6 + 0.25 ∗ 0.4 = 0.13
P (H|D) = P(D|H) ∗ P(H) / P(D)
P (H|D) = (0.05 ∗ 0.6) / 0.13
P(H|D) = 0.23

6. Un total del 46 por ciento de los votantes en una determinada ciudad se clasifican para sí mismos

como independientes, mientras que el 30 por ciento se clasifican a sí mismos como liberales y el 24 por

ciento como conservadores. En una elección reciente, votaron el 30 por ciento de los independientes,

el 60 por ciento de los liberales y el 50 por ciento de los conservadores. Se elige un votante al azar.

Dado que esta persona voto´ en las elecciones locales, ¿cuál es la probabilidad de que sea

¿Independiente?

𝑃(𝑉𝐼)= 0.46; 𝑃(𝐸𝐼)= 0.35

𝑃(𝐼)= 𝑃(𝑉𝐼)∗ 𝑃(𝐸𝐼)

𝑃(𝐼)= 0.46 ∗ 0.35

𝑃(𝐼)= 0.161

7. Un estudiante toma un examen de opción múltiple. Suponga que para cada pregunta sabe la

respuesta o adivina y elige una opción al azar. Además, suponga que, si conoce la respuesta, la

probabilidad de una respuesta correcta es 1, y si juega, esta probabilidad es 1/4. Para aprobar, los

estudiantes deben responder correctamente al menos el 70% de las preguntas. El estudiante “ha

estudiado para por lo menos pasar la materia”, es decir, con una probabilidad de 0,70, conoce la

respuesta a una pregunta. Dado que responde una pregunta correctamente, ¿cuál es la probabilidad

de que realmente sepa la respuesta?

(𝑆𝑅|𝐶) = 0.70/ (0.70 + (1

4∗ 0.3))

𝑃(𝑆𝑅|𝐶) = 0.70/0.775

𝑃(𝑆𝑅|𝐶) = 0.90