Universidad Católica del Norte

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas

Lista de ejercicios: Los métodos de

Jacobi y Gauss-Seidel

Profesores:
Javier González - Pizarro
Mario Salas Garcı́a

Primer semestre 2023

U niversidad Católica del N orte Métodos Numéricos Departamento de M atemáticas

LOS MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL

Observación: En los siguientes ejercicios, a menos que se indique lo contrario, utiliza como criterio de
parada el error relativo:
(k) ∥x(k) − x(k−1) ∥∞
ER = .
∥x(k) ∥∞
para k = 1, 2, . . . .

1. Dado el sistema de ecuaciones

x1 + 5x2 − 7x3 = −1
4x1 − x2 − x3 + x4 = 3
2x1 − 10x2 − 3x3 + x4 = −10
x1 + 2x2 − 3x3 + 8x4 = 8

(a) Deduce el esquema iterativo del método de Jacobi, garantizando previamente convergencia.
(b) Halla la matriz de iteración TJ del método de Jacobi y el valor su norma infinito (es decir, ∥TJ ∥∞ )
(c) ¿Cuántas iteraciones del método de Jacobi se deberı́an realizar para garantizar que

∥x − x(k) ∥∞ < 10−5

usando como aproximación inicial x(0) = [0.5, 0.5, 1.5, 1]T .

2. Considera el sistema de ecuaciones

x1 + ax2 = 1
x1 + x2 + x3 = 1
bx2 + x3 = 1

(a) Determina los valores de a y b para que el sistema tenga solución única.
(b) Determina la matriz TJ de Jacobi y calcula ∥TJ ∥1 y ∥TJ ∥∞ . De acuerdo a los valores de las
normas que obtuviste, ¿puedes asegurar convergencia?
(c) Determina el radio espectral de la matriz de Jacobi TJ , esto es, ρ(TJ ). ¿Cuál es la condición para
asegurar convergencia?
3. Dado el sistema

5x1 + x2 + x3 = 5
3x1 + 4x2 + x3 = 6
3x1 + 3x2 + 6x3 = 0

(a) Determina el esquema iterativo de Gauss-Seidel que permite hallar aproximaciones del sistema
anterior con cualquier exactitud deseada.
(0) (0) (0)
(b) Con una aproximación inicial x1 = x2 = x3 = 0 y usando el esquema iterativo obtenido en
el inciso anterior, halla una aproximación de la solución del sistema con una exactitud de 1 cifra
decimal.
(c) ¿Cuántas iteraciones del método de Gauss-Seidel nos permiten garantizar una aproximación con
una exactitud de 3 cifras decimales, de acuerdo al error

∥x − x(k) ∥F
(0) (0) (0)
y utilizando como aproximación inicial x1 = x2 = 1, x3 = 0

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4. Dado el sistema

4x1 − x2 = 3
3x1 − 4x2 + x3 = 0
3x2 − 4x3 + x4 = 0
3x3 − 4x4 = 0

(a) Determina un esquema iterativo de Gauss-Seidel que garantice convergencia.

(b) Realiza 4 iteraciones con el esquema obtenido en el inciso anterior e indica la exactitud que se
(0)
obtiene en la solución aproximada del sistema, utilizando como aproximación inicial x1 = 0.95,
(0) (0)
x2 = 0.95, x3 = 0.88, x(4) = 0.65.

5. Considera el sistema

4x1 + 3x2 = 24
3x1 + 4x2 − x3 = 30
−x2 + 4x3 = −24

(a) Halla la matriz de iteración TJ correspondiente al método de Jacobi.

(b) Demuestra que el método de Jacobi es convergente para resolver este sistema, analizando las
distintas alternativas posibles.
6. Considera el sistema lineal
Ax = b
donde A es una matriz de orden n × n. Demuestra que si A es estrictamente diagonal dominante
entonces el esquema de Jacobi es convergente.
Sugerencia. Comienza resolviendo el caso n = 3 y luego generaliza la idea.
7. Resuelve el sistema

3x + 2y + 6z = 1
5x + y + z = 6
2x − 4y + z = 7

utilizando el método de Jacobi, con una exactitud de 2 cifras decimales. Antes de resolver el sistema
justifica la convergencia del método. Utiliza como valor inicial x(0) = 1.5, y (0) = −1.1, z (0) = 0. Con
esta aproximación inicial, ¿cuántas iteraciones del método de Jacobi garantizarı́an que

∥x − x(k) ∥∞ < 5 × 10−5 ?

8. Dado el sistema

x1 − 4x2 + x3 + x4 = −5
3x1 + x2 + x3 − x4 = −4
x1 − x2 − x3 + 3x4 = 2
2x1 + x2 + 4x3 − x4 = −6

(a) Realiza cambios de fila y analiza si es posible garantizar la convergencia del método de Gauss-
Seidel.
(0)
(b) Para la alternativa que garantice convergencia, y considerando como aproximación inicial x1 =
(0) (0) (0)
−0.999, x2 = 1.001, x3 = −0.999, x4 = 1.001, halla una aproximación de la solución del
sistema realizando 4 iteraciones.
(c) Obtén el error relativo cometido con la aproximación del punto anterior, e indica el número de
cifras decimales de exactitud alcanzado.

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(d) ¿Cuántas iteraciones permitirı́an garantizar que la solución aproximada satisfaga

∥x − x(k) ∥ < 5 × 10−7

para alguna norma vectorial, utilizando como vector inicial el vector del inciso (c)?
9. Considera la matriz  
1 a 0
A= b 1 c 
0 d 1
con a, b, c, d ∈ R.
(a) Demuestra que p
ρ(TJ ) = ρ(TG−S )
(b) ¿Que condición se debe cumplir para que el sistema Ax = b, con b ∈ R3 converja tanto por el
método de Jacobi como por el método de Gauss-Seidel?
10. Dado el sistema     
2 2 −5 x1 −8
 2 −7 3   x2  =  −7 
−7 4 3 x3 −11

(a) Utilizando intercambio de filas, ¿se puede garantizar convergencia para el método de Gauss-Seidel?
(b) Para la alternativa que garantice convergencia, escribe el esquema de Gauss-Seidel y encuentra una
(0) (0)
aproximación de la solución realizando 4 iteraciones y comenzando con x1 = 8.99, x2 = 6.99,
(0)
x3 = 7.99. ¿Cuántas cifras decimales de exactitud alcanza esta aproximación de acuerdo al error
relativo?
11. Dado el sistema

2x − 3y − z = 4
−4x − y + 2z = −1
x + y + 2z = 2

(a) Determina un esquema iterativo de Gauss-Seidel que permita hallar aproximaciones de la solución
del sistema con cualquier exactitud deseada.
(0) (0) (0)
(b) Con la aproximación inicial x1 = 1.1, x2 = −0.99, x3 = 0.99 y utilizando el esquema iterativo
obtenido en la parte (a), hallar una aproximación de la solución del sistema con una exactitud de
1 cifra decimal.
12. Dado el sistema
5xi = 3xi−1 + 2xi+1
371
para i = 1, 2, 3, 4 y considerando x0 = 4, x5 = − :
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(a) Escribe las ecuaciones según el esquema de Gauss-Seidel, garantizando previamente convergencia.
(b) Resuelve el sistema utilizando el método de Gauss-Seidel y la aproximación inicial:
(0) (0) (0) (0)
x1 = 1.5, x2 = 0, x3 = 5, x4 = −15

con una exactitud, de acuerdo al error relativo, de 2 cifras decimales.

(c) ¿Cuántas iteraciones del método de Gauss-Seidel se necesitarı́an para garantizar que la solución
aproximada satisface
∥x − x(k) ∥ < 5 × 10−6
para alguna norma vectorial, utilizando la aproximación inicial del inciso (b)?

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13. El sistema lineal

2x − y + z = −1
2x + 2y + 2z = 4
−x − y + 2z = −5

tiene la solución exacta x = 1, y = 2, z = −1.

(a) Realiza 5 iteraciones del método de Jacobi usando x(0) = 0.99, y (0) = 2.02, z (0) = −1. ¿Las
aproximaciones están convergiendo hacia la solución exacta?
(b) Calcula ρ(TJ ). ¿Qué puedes concluir a partir de este valor y es esta conclusión consistente con tu
respuesta del inciso (a)?
(c) Calcula ρ(TG−S ). ¿Se puede garantizar la convergencia del método de Gauss-Seidel? Si es ası́,
calcula 5 iteraciones utilizando el método de Gauss-Seidel.
14. Las fuerzas que actúan sobre la estructura de un puente satisfacen las siguientes ecuaciones:
√
2
−F1 + f1 + f2 = 0
√2
2
f1 + F2 = 0
√ 2 √
2 3
− f1 + f4 = 0
√ 2 2
2 1
− f1 − f3 + f4 = 0
2 2
−f2 + f5 = 0
−f3 = −10000
√
3
− f4 − f5 = 0
2
1
f4 − F3 = 0
2
Encuentra una aproximación de la solución del sistema con una exactitud de al menos 1 cifra decimal,
usando la aproximación inicial
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
F1 = F2 = F3 = f1 = f2 = f3 = f4 = f5 =1

y utilizando
(a) el método de Jacobi,
(b) el método de Gauss-Seidel,
garantizando previamente la convergencia del método a utilizar.
15. Considera el sistema de ecuaciones

x + ay = a
ax + y + bz = b
by + z = c

(a) ¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c para que el sistema anterior tenga una única solución?
(b) Determina todos los valores de a, b y c que permitan garantizar la convergencia del método de
Jacobi.
(c) Determina todos los valores de a, b y c que permitan garantizar la convergencia del método de
Gauss-Seidel.