S.E.P.

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTEPEC

SERIES DE FOURIER UNIDAD V

ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL

PROFESOR: ING. LORENZO RASCÓN SÁNCHEZ

ALUMNOS: AVENDAÑO SÁNCHEZ ÁNGEL HUMBERTO

BALDOMERO YAÑEZ LUIS

BELLO JUAN FERNANDO

CARVALLO DIAZ GABRIELA DE LOS ANGELES

GONZALEZ BERNARDINO LAURA LIZBETH

LORENZO BEJARANO FABIAN

LÓPEZ ROMERO ITZEL GUADALUPE

PEREZ CONTRERAS ÁNGEL

RAMIREZ COHETERO ESTEFANI CIELO

ROSA BARTOLO ELIAS

ROQUE PADILLA CARLOS DANIEL

SEVERIANO ALFONSO FIDEL IVÁN

VELASCO MIGUEL YOVANY ALBERTO

VILLANUEVA FELICIANO JUAN CARLOS

YESCAS CISNEROS MÁXIMO

SEMESTRE: 3° GRUPO: “C”

CARRERA: INGENIERÍA CIVIL

MIERCOLES 23 NOVIEMBRE DE 2023.

ÍNDICE

INTRODUCIÓN .................................................................................................................. 3

5. SERIES DE FOURIER .................................................................................................... 4

5.1. TEORIA PREELIMINAR......................................................................................... 4

5.2. SERIES DE FOURIER ............................................................................................. 9

5.3. SERIES DE FOURIER EN COSENOS, SENOS Y DE MEDIO INTERVALO ... 19

5.4. SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIODICAS ........................ 28

5.5. FUNCIONES PARES E IMPARES ....................................................................... 31

5.6. SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES ............ 36

5.7. DESARROLLO DE FUNCIONES PERIODICAS EN SERIES DE FOURIER ... 40

5.8. APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER .............................................. 46

CONCLUSIÓN .................................................................................................................. 50

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 51
INTRODUCIÓN

Las series de Fourier deben su nombre al matemático y físico francés Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768–1830), quien las introdujo en 1807 como una herramienta para resolver lo que hoy
conocemos como ecuación del calor. Fourier afirmó, erróneamente, que toda función admite un
desarrollo en serie trigonométrica, y que este tipo de series siempre converge. Además, aunque los
coeficientes del desarrollo se calculan por integración, Fourier no tuvo en cuenta que hipótesis
deben ser impuestas a la función para poder definir rigurosamente tales coeficientes. De esta
manera, lo que Fourier nos dejó no fue un teorema sobre la representación de una función en serie
trigonométrica, sino un problema en el que estaban involucrados los conceptos de función, integral,
suma de series y, posteriormente, modo de convergencia. La influencia de este problema en el
ulterior desarrollo del análisis matemático ha sido considerable.

Las series de Fourier es una herramienta matemática básica del análisis de Fourier que se utiliza
para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dichas funciones en una suma
infinita de funciones sinusoidales más simples, estas señales periódicas son múltiplos de la señal
original.
5. SERIES DE FOURIER

5.1. TEORIA PREELIMINAR

5.1.1. Operaciones básicas
Las operaciones básicas necesarias para la representación y procesamiento de funciones en el
dominio del tiempo son (Figura 1.1):
▪ Suma de funciones: dos funciones 𝑓1(𝑡) 𝑦 𝑓2(𝑡) son sumadas para obtener una tercera
función 𝑔(𝑡) = 𝑓1(𝑡) + 𝑓2(𝑡).
▪ Multiplicación por una constante: una función 𝑓(𝑡) se multiplica por un factor de
escalamiento α para obtener la función 𝑔(𝑡) = 𝛼𝑓(𝑡).
▪ Desplazamiento en el tiempo: una función 𝑓(𝑡) se atrasa por un factor de desplazamiento
𝜏 para obtener 𝑓(𝑡 − 𝜏 ) y se adelanta por τ para obtener 𝑓(𝑡 + 𝜏 ).
▪ Reflexión en el tiempo: la variable de tiempo de una función 𝑓(𝑡) se niega para obtener la
función reflejada 𝑓(−𝑡).

5.1.2. Funciones periódicas

Una función periódica es una función para la cual
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) (1.1)
para todo valor de 𝑡, donde la constante 𝑇 se denomina periodo de la función. El periodo también
se puede unir como el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de una función.
Las funciones periódicas más representativas son las funciones trigonométricas 𝑠𝑖𝑛(𝑡) y 𝑐𝑜𝑠(𝑡),
ambas con periodo 𝑇 = 2𝜋 (Figura 1.2). Por lo tanto, de acuerdo con (1.1), se tiene que 𝑠𝑖𝑛(𝑡 +
2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛(𝑡) 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡).

Si se tiene una función periódica 𝑓(𝑡) con periodo 𝑇, entonces la función 𝑓(𝑘𝑡) tiene periodo 𝑇𝑘.
2𝜋
Por ejemplo, el periodo de 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑒𝑠 2 = 𝜋.

El periodo fundamental 𝑇0 de 𝑓(𝑡) es el valor positivo más pequeño de 𝑇 para el cual se satisface
(1.1). Entonces, mediante la repetición de (1.1) se obtiene:
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇0), 𝑛 = 0, ±1, ±2,· · · . (1.2)
En la Figura 1.3 se muestra un ejemplo de una función periódica compuesta por la suma 𝑠𝑖𝑛3 (𝑡) +
𝑐𝑜𝑠(𝑡).
Ejemplo1: encontrar el periodo de la función 𝑓(𝑡) = (10 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 (Figura 1.4(a)).

1
Si se aplica la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜃) se tiene:

𝑓(𝑡) = (10 𝑐𝑜𝑠𝑡) 2 ,

 = 100 𝑐𝑜𝑠2 𝑡,
1
= 100 (1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡),
2
= 50 + 50 𝑐𝑜𝑠 2𝑡.

Debido a que una constante es una función periódica para cualquier valor de 𝑇, y el periodo de
𝑐𝑜𝑠 2𝑡 es 𝜋, entonces el periodo de 𝑓(𝑡) 𝑒𝑠 𝜋.
Ejemplo 2: encontrar el periodo de la función 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 3 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 (Figura 1.4(b)). Si la
función 𝑓(𝑡) tiene periodo 𝑇, entonces a partir de (1.1) se tiene:
𝑡 1 1
𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠𝑡4 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 + 𝑇) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 + 𝑇).
3 3 4

Debido a que 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + 2𝜋𝑚) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 para cualquier entero m se tiene que
𝑇 𝑇
= 2𝜋𝑚 𝑦 = 2𝜋𝑛,
3 4
donde m y n son enteros. Entonces, T= 6πm = 8πn, lo cual se puede expresar en términos de la
ecuación lineal diofántica homogénea 6m−8n=0. Por lo tanto, cuando m=4 y n=3 se tiene el
mínimo valor de T, de modo que el periodo fundamental es 𝑇0 = 24𝜋.

Solución general para la ecuación lineal diofántica homogénea ax + by = 0:

𝑏 𝑎
𝑥 = − 𝑘 y 𝑦 = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍,
𝑑 𝑑
donde d = mcd(a, b) es el máximo común divisor de a y b.

En general, si la función
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘2 𝑡
es periódica con periodo T, es posible encontrar dos enteros m y n tales que
𝑇
= 2𝜋𝑚, (1.3)
𝑘1
𝑇
= 2𝜋𝑛. (1.4)
𝑘2
𝑘1 𝑛
El cociente de (1.3) y (1.4) es 𝑘 = , (1.5)
2 𝑚

𝑘1
es decir, la relación debe ser un número racional. Por lo tanto, para f(t) en el Ejemplo 2, el
𝑘2
𝑘1 3
cociente 𝑘 es 4, lo cual indica que f(t) es una función periódica.
2
Ejemplo 3: Decidir si la función 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 10𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(10 + 𝜋)𝑡 es una función periódica. Se
tiene k1 = 10 y k2 = 10 + π. Debido a que
𝑘1 10 + 𝜋
=
𝑘2 10
es número irracional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga (1.1); por lo tanto, f(t) no es
una función periódica.

5.1.3. Frecuencia
La relación entre la frecuencia f y el periodo T de una función oscilatoria está dada por
1
𝑓 =
𝑇
lo cual indica el número de oscilaciones de la función por unidad de tiempo. La unidad de medida
de la frecuencia es el Hertz (Hz). Un Hertz quiere decir que una función oscila una vez por segundo.
La Figura 1.5 muestra una función senoidal con tres frecuencias diferentes. La frecuencia angular,
usualmente denotada por ω, se define como la razón de cambio del desplazamiento angular θ
durante la oscilación (o rotación):
𝑑𝜃 2𝜋 1
= 𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑑𝑡 𝑇
La frecuencia angular se mide comúnmente en radianes por segundo (rad/s). La Figura 1.6
ejemplifica la relación de una onda senoidal en el intervalo [0, 2π] con una frecuencia angular ω.
5.1.4. Sumario
▪ El periodo es el tiempo que tarda una función periódica en dar un ciclo completo y se mide
en segundos.
▪ La frecuencia es el número de veces que una función periódica se repite por unidad de
tiempo. Es el inverso del periodo y se mide en hertz.
▪ Una función par satisface la relación 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), esto es, la función es simétrica con
respecto al eje vertical.
▪ Una función impar satisface la relación 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), esto es, la función posee una
simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas.
▪ Dos funciones son ortogonales si su producto escalar es cero, lo cual indica que ambas
funciones proveen información mutuamente excluyente.
5.2. SERIES DE FOURIER

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matemático

francés, publicó en 1822 su Teoría analítica del calor, en
donde estableció la ecuación diferencial parcial que
gobierna la difusión del calor solucionándola mediante el uso
de series infinitas de funciones trigonométricas, lo que ahora
se conoce como las series de Fourier.

Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de
representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy
importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias
y parciales.
La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es
simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya
que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde
luego, no tienen representaciones en serie de Taylor.
La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores
avances jamás realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las
series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en
la solución de problemas con valores en la frontera.
Las series trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier, fueron desarrolladas por
el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier para aproximar funciones periódicas mediante
el conjunto de funciones ortogonales {1, cos ω0t, cos 2ω0t, . . ., cos nω0t, . . ., sin ω0t, sin 2ω0t, .
. ., sin nω0t, . . .}.
La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una función periódica en
términos de una suma infinita de funciones periódicas básicas, senos y cosenos, cuyas frecuencias
son múltiplos de la función original. La descomposición de una función o señal permite el análisis
de sus propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos. Sea f(t) una función periódica con
periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica:
 2𝜋
donde 𝜔0 = es la frecuencia angular fundamental, y a0, an y bn son los coeficientes de Fourier.
𝑇
La expresión en (2.1) representa a una función periódica arbitraria como la suma infinita de
componentes sinusoidales que tienen diferentes frecuencias. La componente sinusoidal de
frecuencia 𝜔𝑛 = 𝑛𝜔0 se denomina el enésimo armónico de la función periódica.

5.2.1. Coeficientes 𝒂𝟎 , 𝑎𝑛 𝒚 𝑏𝑛
Comenzando por encontrar 𝒂𝟎 , se integran ambos lados de (2.1) en el intervalo [−T/2, T/2] y se
obtiene

Entonces, las integrales que contienen a 𝒂𝒏 y 𝒃𝒏 son cero; por lo tanto,

Para encontrar 𝒂𝒏 , se multiplican ambos lados de (2.1) por 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔0 𝑡) y se integra en el intervalo
[−T/2, T/2]:

La integral que contiene a 𝒂𝒏 será cero excepto cuando m = n, en este caso es T/2; por lo tanto,
De manera similar, para encontrar 𝒃𝒏 se multiplican ambos lados de (2.1) por 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜔0 𝑡) y se
integra en el intervalo [−T/2, T/2]. El resultado es:

5.2.2. Formas simplificadas

La representación de series de Fourier se simplifica en el caso de funciones pares o impares de
acuerdo con las siguientes propiedades:
▪ El producto de dos funciones pares es una función par.
▪ El producto de dos funciones impares es una función par.
𝐴 𝐴
▪ La integral de una función par es ∫−𝐴 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 2 ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 .

Entonces, la serie de Fourier de una función par está dada por:

y bn = 0. Por otro lado, para una función impar la serie de Fourier está dada por:

y 𝑎0 = 𝑎𝑛 = 0.
5.2.3. Forma de amplitud-fase
Una forma alternativa de (2.1) es la forma de amplitud-fase:

donde An y ϕn son los espectros de amplitud y fase de f(t), respectivamente, y se definen como:
Ambos términos se pueden relacionar en forma compleja como:

La amplitud y la fase forman el espectro de frecuencia de f(t), el cual consiste en un gráfico de las
amplitudes y las fases de armónicos versus frecuencia. Por lo tanto, la serie de Fourier es una
herramienta matemática para encontrar el espectro de una función periódica.

5.2.4. Ejemplos
Ejemplo 1: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) mostrada en la Figura 2.1 y definida
por:

Nótese que la onda cuadrada en (2.14) es impar; por lo tanto, de acuerdo con (2.10), los coeficientes
𝑎0 = 𝑎𝑛 = 0 y

donde 𝜔0 𝑡 = 𝜋 Debido a que 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛 ,

Por lo tanto, la serie de Fourier queda como (Figura 2.2):

Finalmente, debido a que an = 0, la amplitud y la fase son

En la Figura 2.3, se muestran los gráficos de An y ϕn de la función cuadrada en (2.14) para
diferentes valores de nω0 = nπ. Nótese que las amplitudes de los armónicos disminuyen conforme
la frecuencia aumenta.
Ejemplo 2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) mostrada en la Figura 2.4 y definida
por:

La función triangular en (2.15) es par; por lo tanto, de acuerdo con (2.9), el coeficiente 𝑏𝑛 = 0.
Además, el valor promedio de f(t) durante un periodo es cero, es decir,
Entonces, para el coeficiente an se obtiene:
Debido a que 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1)𝑛

Por lo tanto, la serie de Fourier queda como (Figura 2.5):

5.2.5. Serie compleja de Fourier

Una forma compacta de expresar las series de Fourier en (2.1) es definirla en términos de la función
exponencial. Esto requiere que se representen las funciones seno y coseno usando las fórmulas de
Euler:

donde 𝑗 = √−1. Sustituyendo estas ecuaciones en (2.1) se obtiene:

Si se define un nuevo coeficiente cn tal que

entonces f(t) se expresa como

Esta ecuación se denomina forma compleja de la serie de Fourier de f(t), o serie compleja de Fourier
de f(t). Los coeficientes cn se pueden evaluar fácilmente en términos de an y bn vistos
anteriormente. Por lo tanto, de acuerdo con (2.4), el coeficiente c0 es:

Ejemplo: Encontrar la serie compleja de Fourier para la función diente de sierra mostrada en la
Figura 2.6, definida por
Los coeficientes 𝑐𝑛 pueden encontrarse a partir de:

Debido a que 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛 = 1 𝑦 𝜔0 = 2𝜋/𝑇, entonces

Para 𝑛 = 0, 𝑐0 se calcula a partir de

Finalmente, la serie compleja de Fourier de 𝑓(𝑡) es

5.3. SERIES DE FOURIER EN COSENOS, SENOS Y DE MEDIO

INTERVALO
5.3.1. Series de Fourier en cosenos
Las funciones propias

Del problema con valores en la frontera

𝑦" + 𝜆𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 0, 𝑦´(𝐿) = 0
Son ortogonales en [0, 𝐿]. Si f es integrable en [0, 𝐿]entonces la expansión de Fourier de f en
términos de estas funciones se denomina serie de Fourier de cosenos de f en [0, 𝐿]. Esta serie es
 Una serie de Fourier en cosenos no es más que extraer una función definida en intervalos con una
función par.
La función lo es, si 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Ahora que 𝑓(𝑥) es una función par en [−𝜋, 𝜋] y se extienda 𝑓(𝑥)
a todo el intervalo [−∞, ∞], originando que 𝑓(𝑥) de periodo 2π de tal manera que la serie de Fourier
de la función 𝑓(𝑥) sea:
𝑎0 = 1 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 = 0
𝑎𝑛 = 1 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥) cos 𝑛 𝑥]𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 = 0
La serie de Fourier, solo tiene términos en senos, es decir, será de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏1𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑏2𝑠𝑒𝑛
2𝑥 + 𝑏3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + ⋯
Ejemplo: Encuentre la serie de Fourier de cosenos de 𝑓(𝑥) = 𝑥 en [0, L].
∞
𝒏𝝅𝒙
𝑪(𝒙) = 𝒂𝟎 + ∑ 𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔
𝑳
𝒏=𝟏
𝑳 𝑳
𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙
𝒂𝟎 = + ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂𝒏 = + ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒙
𝑳 𝟎 𝑳 𝟎 𝑳
1 𝐿 1 𝑥2 𝐿 1 𝐿2 1
𝑎0 = + ∫0 𝑥𝑑𝑥 = [ ] = [ − 0] =
𝐿 𝐿 2 0 𝐿 2 2
𝐿
2 𝑛𝜋𝑥 2 𝐿 𝜋𝑥 𝐿2 𝑛𝜋𝑥 𝐿
𝑎𝑛 = + ∫ 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥 = [ 𝑠𝑒𝑛. 𝑛 + 2 2 𝑐𝑜𝑠 ]
𝐿 0 𝐿 𝐿 𝑛𝜋 𝐿 𝑛 𝜋 𝐿 0
2𝐿
𝑎𝑛 = [(−1)𝑛 − 1]
𝑛2 𝜋 2
∞
1 2𝐿 𝑛𝜋𝑥
∴ 𝐶(𝑥) = + ∑ 2 2 [(−1)𝑛 − 1]𝑐𝑜𝑠
2 𝑛 𝜋 𝐿
𝑛=1

En resumen 𝐶(𝑥) = 𝑥
5.3.2. Series de Fourier en senos
Las funciones propias

Del problema con valores en la frontera

𝑦" + 𝜆𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 0, 𝑦´(𝐿) = 0
Son ortogonales en [0, 𝐿]. Si f es integrable en [0, 𝐿] entonces la expansión de Fourier de f en
términos de estas funciones se denomina serie de Fourier de senos de f en [0, 𝐿].
Esto es extender el comportamiento de una función definida en medio de intervalos como una
función impar. Esta lo es si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
𝑏𝑛 = 1 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥] 𝑑𝑥 = 0 𝜋 −𝜋
La serie de Fourier correspondiente solo tiene el término independiente y términos en coseno, es
decir, será de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 cos 𝑥 + 𝑎2 cos 2𝑥 + ⋯

Ejemplo: Encuentre la serie de Fourier de senos de 𝑓(𝑥) = 𝑥 en [0, L].

∞
𝒏𝝅𝒙
𝑺(𝒙) = ∑ 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝑳
𝒏=𝟏
𝑳
𝟐 𝒏𝝅𝒙
𝒃𝒏 = + ∫ 𝒇(𝒙) 𝒔𝒆𝒏 𝒅𝒙
𝑳 𝟎 𝑳

𝐿
2 𝑛𝜋𝑥 2 −𝐿 𝜋𝑥 𝐿2 𝑛𝜋𝑥 𝐿
𝑏𝑛 = + ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 = [ 𝑥𝑐𝑜𝑠. 𝑛 + 2 2 𝑠𝑒𝑛 ]
𝐿 0 𝐿 𝐿 𝑛𝜋 𝐿 𝑛 𝜋 𝐿 0
2 −𝐿𝑛 −2𝐿(−1)𝑛
𝑏𝑛 = [ (−1)𝑛 ] =
𝐿 𝑛𝜋 𝑛𝜋
∞
−2𝐿(−1)𝑛 𝒏𝝅𝒙
∴ 𝐶(𝑥) = ∑ 𝒔𝒆𝒏
𝑛𝜋 𝑳
𝑛=1

𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 𝐿
En resumen 𝑆(𝑥) = {
0, 𝑥 = 𝐿

5.3.3. Series de Fourier en medio intervalo

A veces se requiere hallar la serie de Fourier asociada a una función que esta definida en un
intervalo [0, 𝐿]. Con el propósito de tener un intervalo simétrico [−𝐿, 𝐿] como hasta el momento
podemos definir de manera arbitraria a 𝑓(𝑥) en [−𝐿, 0].
Aunque la forma en que podemos definir la función en [−𝐿, 0] puede hacerse de muchas maneras
posibles, hay dos casos que son de especial interés:
 • Reflejar la gráfica de 𝑓(𝑥) en torno al eje 𝑦. En este caso se obtiene una función par, por lo
que la serie de Fourier asociada solo contendrá términos en cosenos.
• Reflejar la gráfica de 𝑓(𝑥) en torno al origen. En este caso se obtiene una función impar,
por lo que la serie de Fourier asociada solo contendrá términos en senos.

Definiendo la función f en – 𝜋 < 𝑥 < 0 como 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝜋).

En la definición de serie de Fourier, de funciones pares o impares, solo se utiliza la mitad del
intervalo, es decir de 0 < x < π, por lo tanto, en la práctica no hay necesidad de reflejar la función
haciéndola par o impar, se define la función en la mitad del intervalo a partir del origen. Esto se
conoce como desarrollo en mitad del intervalo.
La función 𝑓(𝑥) es alternada: es decir 𝑓 (𝑥 + 𝜋) = −𝑓(𝑥), las cuales son un caso corriente en
electrotecnia. En este caso la serie de Fourier correspondiente solo tiene términos de senos y
cosenos impares, ya que los pares se anulan, en efecto
𝑎𝑛 = 1 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥) cos 2𝑛 𝑥]𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 = 1 𝜋 {∫ [𝑓(𝑥) cos 2𝑛 𝑥]𝑑𝑥 0 −𝜋 + ∫ [𝑓(𝑥) cos 2𝑛 𝑥] 𝜋 0 𝑑𝑥}
Ejemplo: dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ; 0 < 𝑥 ≤ 2, desarrolla 𝑓(𝑥) en:
En este caso la función tiene la siguiente representación gráfica

Lo primero que tenemos que hacer es transformarla en una función periódica, así que en este caso
consideraremos una expansión par, por lo que ahora tenemos una función tal como la mostrada.
En este caso, hemos extendido el rango de interés de 0 < t ≤ 2, a -2 < t ≤ 2, con lo que la función
extendida satisface que
 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡)
además, el periodo de la función extendida es T = 4, tal que
𝑓(𝑡 + 4𝑘) = 𝑓(𝑡)
donde k es un entero cualquiera. Con lo anterior, la serie de Fourier que obtengamos, debe
representar a f(t) en el intervalo -2 < t ≤ 2, pero no afuera. Como la extensión que realizamos es
par, podemos aplicar las condiciones de simetría presentadas anteriormente, de tal manera que los
coeficientes bn serán cero y tendremos una serie coseno de Fourier de medio rango

así que nuestra tarea será calcular los coeficientes a0 y an, lo que haremos a continuación. De la
definición

Mientras que

donde hemos usado la definición de la frecuencia fundamental . Así que la integral a evaluar es

que podemos resolver usando integración por partes, para obtener sucesivamente,

Con lo que la serie coseno de Fourier para 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 en el intervalo -2 < t ≤ 2, se escribe como
Ejemplo: Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función

Primeramente, identificamos que L = 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en

cosenos

La serie de Fourier en cosenos es

De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos

La serie de Fourier en senos es

En la siguiente figura se muestran las gráficas de las series de Fourier en senos y cosenos para
diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a
la función f (t) en el intervalo [0, 2]. En todos los casos, la gráfica de la izquierda corresponde a la
serie en cosenos y la gráfica de la derecha a la serie en senos.

Podemos observar que en ambos casos las series de Fourier convergen a la función f (t) en [0, 2],
pero que mientras la serie en cosenos es par, la serie en senos es impar.

Ejemplo: Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función

La gráfica de la función f (t) se muestra

Primeramente, identificamos que L = 𝜋 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en

cosenos
La serie de Fourier en cosenos es

De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos

La serie de Fourier en senos es

En la siguiente figura se muestran las gráficas de las series de Fourier en cosenos y senos para
diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie a
la función f (t) en el intervalo [0, 𝜋].
Podemos observar que, en ambos casos, las series de Fourier convergen a la función f (t) en [0, 𝜋]
pero la serie en cosenos se “pega” más rápido a f (t) que la serie en senos.
En resumen, los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo de una función definida en
[0, p] se pueden calcular por medio de las expresiones

De manera que la serie de Fourier de medio intervalo está dada por

5.4. SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIODICAS
Las series trigonométricas son un tipo de series con la forma:

Son denominadas series de Fourier cuando los términos 𝐴𝑛 𝑦 𝐵𝑛 tienen la forma:

donde 𝑓 es una función integrable.

Ejemplo: Determinar si la función 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡 es una función periódica. En caso de que lo
sea determine el periodo
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑡
2𝜋
𝑇= = 1
2𝜋

Ejemplo: Determinar si la función 𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑡 es una función periódica. En caso de que lo
sea determine el periodo
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡
𝑓(𝑡 + 𝑇) = 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + 𝑇) 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + 𝑇)
𝜋 𝜋 𝜋
𝑓(𝑡 + ) = 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + ) 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + )
3 3 3
𝜋
𝑓(𝑡 + ) = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑡
3
𝜋
𝑇=
3
Ejemplo
Ejemplo

Ejemplo: La función es periódica de periodo , ya que cumple que:

5.5. FUNCIONES PARES E IMPARES

Una función f(t) es par si es simétrica con respecto al origen y se expresa como 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡), lo
cual indica que la señal tiene los mismos valores para el lado positivo y negativo de |𝑡|. Por
ejemplo, la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 + 1 es par, ya que para cualquier valor 𝑡:
5.5.1. Descomposición par-impar
5.5.1. Propiedades
• La única función que es tanto par e impar es la función constante 𝑓(𝑡) = 0.
• La función constante 𝑓(𝑡) = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ̸ = 0 es par.
• La suma de dos funciones pares es una función par.
• La suma de dos funciones impares es una función impar.
• La suma de una función par y una impar no necesariamente es par o impar.
• El producto de dos funciones pares es una función par.
• El producto de dos funciones impares es una función par.
• El producto de una función par y una función impar es una función impar.
• El cociente de dos funciones pares es una función par.
• El cociente de dos funciones impares es una función par.
• El cociente de una función par y una función impar es una función impar.
• La derivada de una función par es una función impar.
• La derivada de una función impar es una función par.
• La composición de dos funciones pares es una función par. (g ◦ f)(t) = f[g(t)].
• La composición de dos funciones impares es una función impar.
• La composición de una función par y una función impar es una función par.
• Toda función definida sobre los reales, 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅, puede escribirse como la suma de una
función par y una función impar.
 • La integral de una función impar entre −𝐴 𝑦 + 𝐴 es cero.
• La integral de una función par entre −𝐴 𝑦 + 𝐴 es el doble de la integral entre 0 y +A.

En la Figura 1.9 se muestran algunos ejemplos de las propiedades entre funciones par e impar,
representadas por las funciones coseno y seno, respectivamente.

Ejemplo: determinar si la siguiente función es par o impar.

𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓(−𝑥) = −𝑥 = −𝑓(𝑥) es impar

Ejemplo: determinar si la siguiente función es par o impar.

𝑓(𝑥) = 𝑥 4
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 = 𝑥 4 = 𝑓(𝑥) es par
Ejemplo: determinar si la siguiente función es par o impar.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 4
𝑓 (−1) = 0
𝑓(1) = 2 la función f no es par ni impar.
Ejemplo: determinar si la siguiente función es par o impar.
1
𝑓(𝑥) =
𝑥2
1 1
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥 2 = 𝑓(𝑥) es par

Ejemplo: determinar si la siguiente función es par o impar.

1
𝑓(𝑥) =
𝑥
1 1
𝑓(−𝑥) = −𝑥 = −𝑥 = −𝑓(𝑥) es impar

Ejemplo: La función coseno es par. Su gráfica es

Ejemplo: La función seno es impar. Su gráfica es

5.6. SERIES DE FOURIER PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES
A continuación, pasamos a considerar el desarrollo en serie trigonométrica de funciones pares e
impares. En principio los conceptos desarrollados hasta ahora podrían haberse realizado en
cualquier intervalo de longitud 2𝜋. No obstante, el intervalo −𝜋 ≤  ≤ 𝜋 tienen importantes
ventajas a la hora de aprovechar las propiedades simétricas de las funciones.
Recordemos que una función 𝑔(𝑡), definida en un intervalo [−𝐿, 𝐿] con 𝐿  0, es una función par
si 𝑔(−𝑡) = 𝑔(𝑡) para todo 𝑡 ∈ [−𝐿, 𝐿]. Diremos que h es una función impar si ℎ(−𝑡) = −ℎ (𝑡)
para todo 𝑡 ∈ [−𝐿, 𝐿].
Las funciones 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑡) son pares y las funciones 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝑡) son impares. También sabemos que si
es par, entonces

y si h es impar, entonces

Teorema. Serie de Fourier de funciones pares e impares

Ejemplo: Encuentre la serie de Fourier de la siguiente función:

De la gráfica, vemos que la función es periódica con 𝑇 = 2𝜋 y que la función es impar, por tanto,
por lo visto anteriormente, tenemos que:

Por lo que solo calculamos los coeficientes 𝑏𝑛 como sigue:

Vemos que, para n par, 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = 0, por lo que:

Para n impar, 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = −1, por lo que:

Para n impar.

Ejemplo: encuentre la serie de Fourier de la función

𝑥2
𝑓(𝑥) = ; −𝜋 < 𝑥 < 𝜋
2
𝑥2 (−𝑥)2 𝑥 2
para par f(x)=f(-x); = = 2 sí es par
2 2

entonces
∞
𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙
𝒇(𝒙) = + ∑(𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔 )
𝟐 𝑳
𝒏=𝟏

1 𝑡/2 𝑥 2 1 𝑥3 𝜋 1𝜋 2
𝑎0 = ∫ 𝑑𝑥 = [ ] =
2𝜋 −𝑡/2 2 4𝜋 3 −𝜋 6

1 𝜋 𝑥2 1 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋
𝑎𝑛 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
2𝜋 −𝜋 2 4𝜋 𝜋 2𝑛2
∞
𝜋2 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋
∴ 𝐶(𝑥) = +∑ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
12 2𝑛2
𝑛=1

2𝑡, 0 < 𝑡 < 1

Ejemplo: 𝑓(𝑡) = { 𝑐𝑜𝑛 𝑇 = 4
−2𝑡 + 4, 1 < 𝑡 < 2
Nos lleva a concluir que se trata de una función impar, por lo tanto, ao y an = 0
Entonces calculamos bn
𝑳
𝟐 𝒏𝝅𝒕
𝒃𝒏 = + ∫ 𝒇(𝒕)𝒔𝒆𝒏 𝒅𝒕
𝑳 𝟎 𝑳
2
2 𝑛𝜋𝑡
𝑏𝑛 = + ∫ 𝑓(𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑡
2 0 2
Como en f(x) tenemos dos expresiones, se calculan dos integrales
1 2
2 𝑛𝜋𝑡 2 𝑛𝜋𝑡
𝑏𝑛 = + ∫ 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑡 + 𝑏𝑛 = + ∫ (−2𝑡 + 4)𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑡
2 0 2 2 1 2
−4 𝑛𝜋 8 𝑛𝜋 4 𝑛𝜋 8 𝑛𝜋
𝑏𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 + 2 2 𝑠𝑒𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 + 2 2 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋 2 𝑛 𝜋 2 𝑛𝜋 2 𝑛 𝜋 2
16 𝑛𝜋
𝑏𝑛 = 𝑠𝑒𝑛
𝑛2 𝜋 2 2
Sustituyendo bn en la formula
∞
16 𝑛𝜋 𝑛𝜋𝑡
𝒇(𝒕) = ∑ 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛2 𝜋 2 2 2
𝒏=𝟏
5.7. DESARROLLO DE FUNCIONES PERIODICAS EN SERIES DE
FOURIER
Cualquier función periódica 𝑓(𝑥), razonablemente adecuada, tiene una representación en series
infinitas de términos trigonométricos. Estas series trigonométricas se conocen como series de
Fourier; son análogas a las series de Taylor en el siguiente sentido: ambos tipos de series proveen
una manera de expresar funciones complicadas en términos de ciertas funciones elementales.
Definición. Una función 𝑓(𝑥) se dice periódica si existe un número 𝐿 ≠ 0 (llamado período) tal
que 𝑓(𝑥 + 𝐿) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ (−∞, ∞).
Propiedades.
- Si f(x) es una función periódica con período L y n ∈ Z; entonces f(x) también tiene período
nL.
- Una función constante puede ser considerada una función periódica con período arbitrario;
es decir, cualquier número real es un período posible.
- Si f(x) y g(x) son funciones periódicas con período L y a, b ∈ R; entonces la combinación
lineal af(x) + bg(x) y el producto f(x)g(x) también son funciones periódicas con período L.

Ejemplo: desarrollar en serie de Fourier la siguiente función periódica de periodo 2𝜋

La función cumple con las condiciones del teorema de desarrollabilidad, la función es par, luego
se trata de una serie de cosenos, y los coeficientes se pueden calcular mediante la forma
simplificada. La serie de Fourier tendrá la forma:

Los coeficientes de Fourier, por la forma simplificada, son: b0=0

Ejemplo: desallorra en serie de Fourier la siguiente función periódica de periodo 2𝜋

La función cumple con las condiciones del teorema de desarrollabilidad, la función es impar, luego
se trata de una serie de senos, y los coeficientes se pueden calcular mediante la forma simplificada.
La serie de Fourier tendrá la forma:
Ejemplo: desallorra en serie de Fourier la siguiente función periódica de periodo 2𝜋
s
Ejemplo:
5.8. APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER
La serie de Fourier es una herramienta matemática para encontrar los espectros de amplitud y fase
de una función periódica. Las series de Fourier tienen distintas aplicaciones en diferentes campos,
por ejemplo:
• Procesamiento de señales: descomponer de una señal en sus armónicos.
• Teoría de la aproximación: representar funciones como un polinomio trigonométrico.
• Teoría de control: predecir el comportamiento de la solución de una ecuación diferencial.
• Ecuaciones diferenciales parciales: resolver ecuaciones diferenciales parciales de alto orden
por el método de separación de variables.
• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición
de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas
frecuencias ya están determinadas.
• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
• Reforzamiento de señales.
• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de
entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o
solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten
soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener
soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
• Detección del porcentaje de elementos componentes en compuestos químicos, aleaciones,
etc., a partir de las distintas frecuencias del espectro electromagnético de rebote y/o
transmisión en el material en frecuencias desde el infrarrojo hasta rayos X.
Ejemplo: Temperatura de la tierra
Ejemplo: Solución de ecuaciones diferenciales
Ejemplo: Ecuación de ondas
CONCLUSIÓN

Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los
campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de Fourier es que toda función
periódica de periodo T puede ser expresada con una suma trigonométrica de senos y cosenos de
este perdido T. Es importante considerar la aplicación de las series de Fourier, el poder
extraordinario y la flexibilidad de las estas ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de las
aplicaciones que ellas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física, desde teoría de
números y geometría hasta mecánica cuántica. Cuando apliquemos la teoría de series de Fourier a
diversos problemas, veremos que hay muchas situaciones donde la convergencia puntual de tales
series no es suficiente para tener una respuesta satisfactoria; éste será el caso, por ejemplo, de las
aplicaciones de las series de Fourier en la ingeniería.
Desde la aparición de las series de las series de Fourier, a lo largo de casi dos siglos la gran cantidad
de investigaciones que se han realizado han sido muchas dentro de los campos de la Matemática y
Física, principalmente. Muchos de estos problemas siguen siendo considerados hoy como
problemas difíciles. Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienes muchas
aplicaciones en diversos campos. En las ramas de la electrónica e ingeniería se trabajan diferentes
formas de señales tales como, sinusoidales, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas
son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo. Mediante la aplicación de la serie de Fourier
se puede entender un poco mejor como estas señales actúan. La idea básica de las series de Fourier
es que toda la función periódica de un periodo T pueda ser expresada como una suma
trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo. Las series de Fourier constituyen una
herramienta útil para la resolución de diversas problemáticas. Aunque aparentemente su cálculo
parezca complejo nos permiten reducir funciones complejas a una suma de senos y cosenos,
facilitándonos el trabajo en ciertas ocasiones. Por una parte, las series de Fourier son un método
más completo y más real que otras aproximaciones obtenidas por métodos como mínimos
cuadrados ordinarios, promedios entre otros. Estas nos ayudan a comprender el comportamiento
de nuestros datos, por medio de una aproximación trigonométrica. Hay que mencionar que a mayor
cantidad de datos observados mejor es la estimación realizada. En otras palabras, si el número de
datos tiende a infinito, nuestro erro tiende a cero, lo cual podría ser un inconveniente a pesar de
que el polinomio obtenido pasa por los datos observados. El conocimiento de las series de Fourier
es fundamental para el trabajo diario como ondas, ya que sin estas herramientas matemáticas no se
pueden obtener los datos.
BIBLIOGRAFIA

• Boyce, DiPrima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera 4va

Edición. Limusa, México. (2000)
• M. R. Spiegel, J. Liu, L. Abellanas (2003): Fórmulas y tablas de matemática aplicada.
Segunda edición. Serie Schaum. Mc Graw-Hill.
• Murray R. Spiegel. Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas. Mc Graw-Hill, Mexico,
1997.
• C Henry Edwards and David E Penney. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores
de la frontera. Pearson Educación, 2009.
• Antonio Cañada Villar, Series de Fourier y aplicaciones, Ediciones Pirámide, 2002
• Fernando Bombal, Las series de Fourier y el desarrollo del análisis en el siglo XIX,
Universidad Complutense de Madrid
• Edwards, Henry & Penney, David (2009) Ecuaciones diferenciales y Problemas con
Valores en la Frontera. Cuarta Edición. Ed. Pearson.
• Rainville, Earl (2006). Ecuaciones Diferenciales Elementales. Segunda Edición. Ed.
Trillas.
• Spiegel, Murray (1989). Teoría y problemas de transformadas de Laplace.Ed. McGraw-
Hill.