Simetría

La simetría (del griego őύν "con" y μέτροv "medida")

es un rasgo característico de formas geométricas,
sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o
entidades abstractas, relacionada con su invariancia
bajo ciertas transformaciones, movimientos o
intercambios.

Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:

De rotación. Es el giro que experimenta todo

motivo de manera repetitiva hasta que
finaliza consiguiendo la posición idéntica que
tenía al principio.
De abatimiento. En este caso lo que se logra
es dos partes iguales de un objeto concreto
tras llevarse a cabo un giro de 180° de una
con respecto a la otra.
De traslación. Este es el término que se
utiliza para referirse al conjunto de
repeticiones que lleva a cabo un objeto a una
distancia siempre idéntica del eje y durante
una línea que puede estar colocada en
cualquier posición.
De ampliación. Se emplea para dejar patente
que dos partes de un todo son semejantes y
es que tienen la misma forma pero no un El Hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci (ca.
tamaño igual. 1487), es una representación muy citada de la
simetría del cuerpo humano, y por extensión del
Bilateral. Es la que permite que se obtenga
mundo.
un retrato bilateral que tiene como espina
dorsal un eje de simetría. A los lados de este
aparecen formas iguales a la misma
distancia de él que serán las que permitan crear ese citado retrato.

En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática si el

resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su
aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de
operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases
principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslación,
rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías
abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.

En matemática

En geometría
Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el
concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas
tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos
simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se
dice que un objeto presenta:

Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier

rotación, matemáticamente equivale a que el grupo de
simetría de un objeto físico o entidad matemática sea
SO(3).
Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal
que los giros alrededor de él no conducen a cambios de
posición en el espacio, matemáticamente está asociado
a un grupo de isometría SO(2). Gráfica de dos hipérbolas y sus
asíntotas en el plano cartesiano
Simetría reflectiva o simetría especular que se
caracteriza por la existencia de un único plano,
matemáticamente está asociado al grupo O(1) o su
representación equivalente . En dos dimensiones tiene
un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El
eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si
se construye una perpendicular, cualquier punto que
reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje
de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la
forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades
serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes
de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo
haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría
infinitos ejes de simetría por la misma razón.
Grupo de simetría de la esfera
Simetría traslacional se da cuando la transformación
deja invariable a un objeto bajo un grupo de
traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia solo se da para un
número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto
infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con
una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a .
Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación alrededor de un
eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un
movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:
1. Simetría helicoidal infinita
2. Simetría helicoidal de n-ejes
3. Simetría helicoidal que no se repite

En lógica

Una relación binaria R = S × S es simétrica si para cada elemento a, b en S, siempre que sea cierto que
Rab, también será cierto Rba.1 ​ Por lo tanto, la relación «tiene la misma edad que» es simétrica, porque si
Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.
En lógica proposicional, las conectivas lógicas binarias simétricas incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo
si (↔), mientras que la conectiva si (→) no es simétrica.2 ​Otras conectivas lógicas simétricas incluyen no y
(no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y ni (no-o, o ⊽).

Otras áreas de las matemáticas

Se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si,
cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto.3 ​ El conjunto de
operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo.

En general, todo tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen
funciones pares e impares en cálculo, grupos simétricos en álgebra abstracta, matrices simétricas en álgebra
lineal,4 ​ y grupos de Galois en la teoría de Galois. En estadística, la simetría también se manifiesta como
distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría, la asimetría de distribuciones.5 ​

En el arte

En arquitectura

La simetría se encuentra en la arquitectura en todas las escalas,

desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales
góticas y la Casa Blanca, pasando por el diseño de los plantas y
hasta el diseño de elementos de construcción individuales como
mosaicos de baldosas. Los edificios islámicos como el Taj Mahal y
la mezquita de Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto
en su estructura como en su ornamentación.6 7​ ​ Los edificios
moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones
complejos realizados utilizando simetrías de traslación y reflexión,
así como rotaciones.8 ​

La arquitectura modernista, comenzando con el estilo internacional,

se basa en cambio en «alas y equilibrio de masas».9 ​

En dibujo

En dibujo existen cinco simetrías importantes que son simetría de

traslación, rotación, ampliación, bilateral, abatimiento.

Simetría de traslación o invariancia traslacional es la

repetición de una forma a lo largo de una línea en
cualquier posición, vertical, horizontal, diagonal o curva, Alegoría a la simetría de Valeriano
que se desplaza a cualquier distancia constante sobre el Salvatierra en el Museo del Prado,
eje. (Madrid)
Simetría de rotación giro de un motivo que se repite
cierto número de veces hasta ser idéntico al inicio, tiene
determinado orden en la rotación (15°, 30°, 45°, 60°, 90°, hasta 360°). La forma gira en torno
a un centro que puede estar dentro de la misma.
 Simetría de ampliación, las partes de él son semejantes, pues tienen la misma forma pero
no el mismo tamaño, ya que se extiende del centro hacia afuera para ser cada vez mayor.
Simetría de abatimiento El eje de giro nos muestra dos partes idénticas con un giro de
180° una en relación con la otra.
Simetría bilateral Un retrato bilateral, está compuesto por formas iguales a igual distancia a
ambos lados de un eje. Todo eso dentro de un eje de simetría.

En alfombras y tapetes

Una larga tradición del uso de la simetría en alfombras abarca una variedad de culturas. Los indios navajos
estadounidenses usaban diagonales en negrita y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen
intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras
rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo, es decir, motivos que se reflejan tanto en el
eje horizontal como en el vertical.10 11
​ ​

En quilts

Como los quilts están hechas de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada
pieza más pequeña generalmente consiste en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la
aplicación de la simetría.12 ​

En otras artes y oficios

Aparecen simetrías en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos

incluyen abalorios, muebles, pinturas de arena, nudos, máscaras e
instrumentos musicales. Las simetrías son fundamentales para el arte de
M. C. Escher y las muchas aplicaciones del mosaico en formas de arte y
artesanía como papel tapiz, azulejos de cerámica como en la decoración
geométrica islámica, batik, ikat, fabricación de alfombras y muchos tipos
de patrones textiles y bordados.13 ​

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos.14 ​ Al crear un

logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los Nudo celta mostrando
diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o simetría p4
asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio
negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logo para que
se destaque.

En estética

La relación de la simetría con la estética es compleja. Los seres humanos encuentran la simetría bilateral en
los rostros físicamente atractivos;15 ​ indica salud y aptitud genética.16 17
​ ​ A esto se opone la tendencia a
que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan
algo de simetría, pero con la complejidad suficiente para hacerlas interesantes.18 ​

En literatura
La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura, un ejemplo simple es el palíndromo donde
un texto breve lee lo mismo hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica,
como en el patrón de subida/bajada de Beowulf.19 ​

En física
En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de
objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) que representan
algunas propiedades de un sistema físico y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal
manera que:

Se dice que un elemento presenta simetría si:20 ​

Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías
abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el
conjunto de lagrangianos admisibles, k0 el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar
traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la
energía), rotaciones (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías abstractas (conservación
de la carga eléctrica, el número leptónico, la paridad, etc.)

Ejemplo 1. Como primer ejemplo consideremos un electrón moviéndose entre dos placas
infinitas cargadas uniformemente (dicho sistema se aproxima cierto tipo de condensadores),
dado que cualquier traslación paralela a los planos constituye una simetría del sistema
físico, entonces tanto la fuerza paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad
paralela a los planos es constante.
Ejemplo 2. Consideremos un satélite orbitando alrededor de un astro (planeta o estrella)
con simetría esférica perfecta, consideremos además que la velocidad del satélite sea
perpendicular a la línea entre el centro del satélite y el astro. En ese caso, el lagrangiano es
totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente
del campo gravitatorio. En este caso debido a la simetría de rotación tanto del lagrangiano
como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al planeta es
constante y la trayectoria es un círculo invariante bajo una rotación perpendicular al plano
de la órbita.

Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si
existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

Entonces la cantidad escalar:

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y pi los
momentos conjugados de las coordenadas generalizadas de posición.

En química
La simetría es importante para la química (en particular en la química orgánica) porque sustenta
esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la
interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales).
El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la
capacidad de los científicos para ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos. Una
comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en química cuántica y en las
áreas aplicadas de espectroscopia y cristalografía. La teoría y aplicación de la simetría a estas áreas de la
ciencia física se basa en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos.21 ​Además, el momento
dipolar pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula.

Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son
grupos puntuales de transformaciones de isometría.

En biología
Simetría en biología es la equilibrada
distribución en el cuerpo de los organismos de
aquellas partes que aparecen duplicadas. Los
planes corporales de la mayoría de organismos
pluricelulares exhiben alguna forma de
simetría, bien sea simetría radial o simetría
bilateral. Una pequeña minoría no presenta
ningún tipo de simetría (son asimétricos).

Simetría radial

La simetría radial es la simetría definida por

un eje heteropolar (distinto en sus dos
extremos). El extremo que contiene la boca se
llama lado oral, y su opuesto lado aboral o
abactinal. Sobre este eje, se establecen planos Ilustración de los distintos tipos de simetría en las formas
principales de simetría; dos perpendiculares orgánicas (Field Museum, Chicago).
que definen las posiciones per-radiales. Las
estructuras en otros planos (bisectrices de los
per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la
zona ad-radial

Simetría bilateral
La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por
tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las
estrellas de mar, que presentan simetría radial secundaria (las fases de
desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que
posteriormente se pierde en el adulto).

La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la

dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema Simetría bilateral en una
nervioso centralizado y la cefalización... mariposa

En psicología y neurociencia
Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más sobresalientes que otros, en particular el
más sobresaliente es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo
esta observación en su libro «El análisis de las sensaciones»,22 ​y esto implica que la percepción de simetría
no es una respuesta general a todo tipo de regularidades. Tanto los estudios conductuales como los
neurofisiológicos han confirmado la sensibilidad especial a la simetría de reflexión en humanos y también
en otros animales.23 ​Los primeros estudios dentro de la tradición Gestalt sugirieron que la simetría bilateral
era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva. Esto se conoce como principio de simetría. El
papel de la simetría en la agrupación y la organización figura / suelo ha sido confirmado en muchos
estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría de reflexión es más rápida cuando esta es una propiedad
de un solo objeto.24 ​Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de
simetría es rápida, eficiente y robusta a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con
presentaciones entre 100 y 150 milisegundos.25 ​

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones del cerebro están activas durante la
percepción de la simetría. Sasaki y otros26 ​ utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI)
para comparar las respuestas de patrones con puntos simétricos o aleatorios. Hubo una fuerte actividad en
las regiones extraestriadas de la corteza occipital, pero no en la corteza visual primaria. Las regiones
extraestriadas incluyeron V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios
electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas.27
En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrado en el procesamiento de la simetría
visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de detectar y reconocer objetos.28 ​

En música
En música clásica, existen composiciones en las que podemos encontrar distribuciones de las notas
generadas mediante simetría bilateral, traslación o giros de media vuelta. Algunos ejemplos de
composiciones, son: el Preludio de Johann Sebastian Bach, la Sonata en Sol mayor de Domenico Scarlatti,
Lotosblume de Robert Schumann, o Die Meistersinger de Richard Wagner.

Estructuras de tono

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes, ya que la música
tradicional o tonal está formada por grupos de tonos no simétricos, como la escala diatónica o el acorde
mayor. Se dice que las escalas o acordes simétricos, como la escala de tonos enteros, el acorde aumentado o
el acorde de séptima disminuida, carecen de dirección o sentido de movimiento hacia adelante, son
ambiguas en cuanto a la tonalidad o el centro tonal, y tienen una funcionalidad diatónica menos específica.
Sin embargo, compositores como Alban Berg, Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría
y/o ciclos de intervalo de forma análoga a las claves o centros tonales no tonales.29 ​

Los ciclos de intervalo son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete
tonos de Do5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala
diatónica mayor. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav
Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de
modernistas como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo,
estas progresiones señalan el final de la tonalidad.29 30
​ ​

La primera composición extendida basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue

probablemente el Cuarteto de Alban Berg, op. 3 (1910).30 ​

En alimentación de corriente alterna

En el contexto de la electrónica de radiofrecuencia, se habla de una alimentación simétrica de corriente
alterna cuando ninguno de los conductores está a la masa. Cuando uno de los conductores está a la masa y
el otro experimenta las variaciones de tensión, se dice que la alimentación es asimétrica.

Existen importantes aplicaciones tecnológicas basadas en la alimentación simétrica, ya que la alimentación

simétrica tiene la gran ventaja de que la pérdida de potencia en la línea de transmisión es un orden de
magnitud menor que la alimentación asimétrica por cable coaxial.

En efecto, el campo alterno generado por el conductor ascendente es cancelado por el

campo generado por su homólogo descendente.
Además, la alimentación simétrica en delta permite la simplificación de la construcción.

La alimentación simétrica es por lo tanto la alimentación preferida en la operación QRP y en el modo EME,
modos donde cada dB de ganancia cuenta.

Véase también

En estadística
Asimetría estadística

En juegos y puzles
Juego simétrico

En literatura
Palíndromo

Sobre simetría moral

Empatía y simpatía
 Regla de oro (ética)
Reciprocidad
Toma y daca

En física
Chen Ning Yang
Izquierda y derecha en el Cosmos, libro de divulgación científica de Martin Gardner
Ruptura espontánea de simetría electrodébil

Otros
Asimetría
Maurits Cornelis Escher
Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle y Yo soy un extraño bucle, de Douglas
Hofstadter
Paridad de una función
Relación simétrica

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Bibliografía
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Enlaces externos
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre simetría.

http://recursosbiblio.url.edu.gt/tesisjcem/2016/03/05/Letona-Diana-Investigacion.pdf

https://www.um.es/analesps/v17/v17_2/12-17_2.pdf

Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Symmetry» de Wikipedia en

inglés, concretamente de esta versión del 28 de mayo de 2021 (https://en.wikipedia.org/wiki/
Symmetry?oldid=1025682126), publicada por sus editores (https://en.wikipedia.org/wiki/Sy
mmetry?action=history) bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia
Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional (https://creativecommons.or
g/licenses/by-sa/4.0/deed.es).

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