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Tema 3 - ÓPTICA
Tema 3 - ÓPTICA
Tema 3 - ÓPTICA
Cuando una onda incide en un medio, su campo eléctrico interacciona con las cargas
libres, las cargas ligadas y los momentos magnéticos y eléctricos del medio generando
movimientos oscilatorios en las cargas. Parte de la energía de la radiación se invierte en
este proceso. Esta energía es reemitida de nuevo precisamente por estas cargas al estar
aceleradas por el campo incidente. Esta absorción y reemisión genera retardos de fase
y también pérdidas de energía. En el caso de los medios no dispersivos, las frecuencias
de la onda incidente son lo suficientemente bajas para que el medio siga perfectamente
las variaciones del campo eléctrico, por lo que la permeabilidad dieléctrica y magnética
y pueden considerarse constantes, es decir, la polarización del medio no variaría de
la que tendría ante campos estáticos. En estas condiciones ideales, el medio no
absorbería la luz y se limitaría a generar un retardo en la fase de la radiación con
respecto a la que tendría en el vacío. La cantidad de retardo viene determinado por el
índice de refracción n, que depende de las constantes dieléctricas y magnéticas del
medio ( n = r r ). Cuando los electrones del medio sufren procesos disipativos de
fricción, por ejemplo, debidos a las interacciones entre nubes electrónicas, en el caso de
las cargas ligadas, o por interacción con los iones del medio, en el caso de las cargas
libres, el medio deja de ser capaz de seguir las variaciones del campo eléctrico y se le
considera como un medio dispersivo: la respuesta del material provoca retardos de fase
y una disminución en la amplitud de la onda propagada y, además, las permeabilidades
dieléctrica y magnética, y, por tanto, también el índice de refracción, dejan de ser
constantes para ser funciones de la frecuencia de la radiación incidente. Este capítulo
muestra la forma del índice de refracción asumiendo dos modelos sencillos para explicar
de qué manera el campo eléctrico afecta a la carga. Para el caso de cargas ligadas
(dieléctricos), se supone al electrón unido al núcleo por una fuerza que es proporcional
a la distancia, como en el caso de un oscilador armónico que, además, estará forzado
por el campo eléctrico de la onda y amortiguado por la interacción entre nubes
electrónicas vecinas. Para la carga libre de un metal, se asume el modelo de Drude, en
el que la conductividad de la carga viene determinada por el tiempo promedio que
transcurre entre choque y choque del electrón con los átomos al desplazarse por el
medio. La forma de la ecuación de ondas introduciendo estos cambios será similar a la
que se obtenía en medios no dispersivos. Por tanto, las ondas planas también serán
solución de esta ecuación. La diferencia con el medio no dispersivo es que el índice de
refracción no solo dependerá de la frecuencia del medio sino que, además, será un
número complejo. Esto será consecuencia de incluir procesos de fricción en los dos
modelos anteriormente mencionados que generan pérdidas de energía. Al ser el índice
de refracción complejo, el vector de onda también lo será. Como consecuencia de ello,
la onda verá disminuir su amplitud al propagarse en el medio dispersivo, es decir, irá
siendo absorbida su energía (intensidad) por el medio. La absorción será máxima a las
frecuencias del oscilador u osciladores armónicos que contenga el medio. También, las
1
variaciones más grandes en los desfases introducidos en la onda se producen en la
región de frecuencias alrededor de estas frecuencias de resonancia. A la dispersión de
la onda en esta región se la conoce como dispersión anómala. En el caso de los metales,
para frecuencias menores que las correspondientes al tiempo de relajación (tiempo
promedio entre choque y choque), la absorción del medio será mayor cuanto mayor sea
la conductividad. Al mismo tiempo, la reflectividad del medio también será mayor
cuanto mayor sea su conductividad.
𝜕𝑯
𝛻 × 𝑬 = −𝜇0
𝜕𝑡
𝜕𝑬 𝜕𝑷
𝛻 × 𝑯 = 𝜀0 + +𝑱
𝜕𝑡 𝜕𝑡
1
𝛻·𝑬= − 𝛻·𝑷
𝜀0
𝛻·𝑯= 0
𝜕(𝛻 × 𝑯)
𝛻 × (𝛻 × 𝑬) = −𝜇0
𝜕𝑡
A continuación, calculamos la derivada parcial con respecto al tiempo de la segunda
ecuación de Maxwell:
2
𝜕 𝜕 2 𝑬 𝜕 2 𝑷 𝜕𝑱
(𝛻 × 𝑯) = 𝜀0 2 + 2 +
𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡
Combinando estas dos últimas ecuaciones, y teniendo en cuenta que μ0ε0 = 1/c2, se llega
a la ecuación general de propagación de ondas en un medio neutro no magnético:
1 𝜕2𝑬 𝜕2𝑷 𝜕𝑱
𝛻 × (𝛻 × 𝑬) + = −𝜇 0 − 𝜇 0
𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡
El segundo miembro de esta ecuación contiene los términos fuente relacionados con los
efectos de polarización eléctrica, debidos a los electrones ligados a sus núcleos y que
son los que predominan en los materiales aislantes, o dieléctricos, y con la densidad de
corriente de cargas libres, que son los dominantes en los materiales conductores, o
metálicos. Veamos cada uno de estos dos casos por separado.
𝑷 = −𝑁𝑒𝒓
𝑑2𝒓 𝑑𝒓
𝑚 2 + 𝑚𝛾 + 𝐾𝒓 = −𝑒𝑬
𝑑𝑡 𝑑𝑡
El campo E corresponde a la onda que se va propagando por el medio, la
constante K es una medida de la interacción entre el electrón ligado y su núcleo
asumiendo una ligazón de tipo oscilador armónico, y la constante de disipación, 𝛾, da
cuenta de la fricción entre la nube electrónica del dipolo y las nubes electrónicas vecinas.
Asumiendo que la onda incidente es una onda plana vibrando a una frecuencia
, la solución para r será también una oscilación armónica 𝒓 ~ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 . Con esta
dependencia temporal, se puede resolver la ecuación y obtener:
3
−𝑒𝑬/𝑚
𝒓= 2
𝜔0 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝛾
𝐾
siendo 𝜔0 = √𝑚 la frecuencia de resonancia del oscilador. La relación entre la
polarización y el campo eléctrico que estábamos buscando queda:
𝑁𝑒 2 1
𝑷= (𝜔 2 −𝜔 2 −𝑖𝜔𝛾 )𝑬
𝑚 0
Si ahora llevamos esta relación a la ecuación general de ondas, teniendo en cuenta que
(al ser la divergencia del campo eléctrico nula en este caso):
𝛻 × (𝛻 × 𝑬) = −𝛻 2 𝑬 + 𝛻(𝛻 · 𝑬) = −𝛻 2 𝑬
1 𝑁𝑒 2 1 𝜕2𝑬
𝛻 2𝑬 = [1 + ( )]
𝑐2 𝑚𝜀0 𝜔0 2 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝛾 𝜕𝑡 2
Por analogía con el caso de los medios no dispersivos, podemos considerar que la
cantidad entre paréntesis será el índice de refracción del diélectrico:
𝑁𝑒 2 1
𝑛̂2 = [1 + ( 2 )]
𝑚𝜀0 𝜔0 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝛾
𝜔2 𝑁𝑒 2 1 𝜔2 2
𝑘̂ 2 = [1 + ( )] = 2 𝑛̂
𝑐2 𝑚𝜀0 𝜔0 2 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝛾 𝑐
Con lo cual, hemos obtenido que, tanto el índice de refracción, como el vector de ondas
tendrán parte real e imaginaria. Utilizaremos las siguientes notaciones para referirnos a
estas componentes reales e imaginarias:
𝑛̂ = 𝑛𝑅 + 𝑖 𝑛𝐶 = 𝑛 + 𝑖𝜅
𝑘̂ = 𝑘𝑅 + 𝑖 𝑘𝐶 = 𝑘 + 𝑖 𝛼
4
𝐼 = 𝐼0 𝑒 −2𝑘𝐶𝑧 = 𝐼0 𝑒 −2𝛼𝑧
𝑁𝑒 2 𝜔0 2 − 𝜔 2
𝑛𝑅2 − 𝑛𝐶2 = 1 + ( )
𝑚𝜀0 (𝜔0 2 − 𝜔 2 )2 + 𝜔 2 𝛾 2
𝑁𝑒 2 𝜔𝛾
2𝑛𝑅 𝑛𝐶 = ( )
𝑚𝜀0 (𝜔0 − 𝜔 2 )2 + 𝜔 2 𝛾 2
2
nR
nC
0
5
𝑁𝑒 2 𝑓𝑗
𝑛̂2 = 1 + ∑ 2
𝑚𝜀0 𝜔𝑗 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝛾𝑗
𝑗
𝑑𝒗
𝑚 + 𝑚𝜏 −1 𝒗 = −𝑒𝑬
𝑑𝑡
Por otro lado, sabemos que la densidad de corriente es proporcional a la densidad
y velocidad de las cargas libres:
𝑱 = −𝑁𝑒𝒗
𝑑𝑱 −1
𝑁𝑒 2
+𝜏 𝑱= 𝑬
𝑑𝑡 𝑚
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Suponiendo, como en el caso de los aislantes, que el campo eléctrico de lo onda
tiene una dependencia temporal de tipo armónico, con frecuencia angular , se puede
proponer una solución de J que también tenga dependencia armónica, en cuyo caso, la
ecuación anterior se convierte en:
𝑁𝑒 2
(−𝑖𝜔 + 𝜏 −1 )𝑱 = 𝑬
𝑚
Si vamos al caso estático, ω = 0, la densidad de corriente de electrones libres se
puede escribir como:
𝑁𝑒 2 𝜏
𝑱= 𝑬
𝑚
Como sabemos, la densidad de corriente de electrones libres en el caso estático
puede escribirse en función de la conductividad, σ, como:
𝑱 = 𝜎𝑬
𝑁𝑒 2 𝜏
𝜎=
𝑚
Teniendo esto en cuenta, se llega a la expresión buscada que relaciona J con E:
𝜎
𝑱= 𝑬
1 − 𝑖𝜔𝜏
que podemos introducir en la ecuación de ondas general, en la que, al ser P = 0, como
ya se ha dicho, podemos escribir:
1 𝜕2𝑬 𝜕𝑱
𝛻 × (𝛻 × 𝑬) + = −𝜇 0
𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡
Además, al ser P = 0, y estar en un medio neutro, en el que la densidad neta de
carga es nula, también se cumple que la divergencia de E es nula y, por tanto:
𝛻 × (𝛻 × 𝑬) = −𝛻 2 𝑬 + 𝛻(𝛻 · 𝑬) = −𝛻 2 𝑬
1 𝜕2𝑬 𝜇𝑜 𝜎 𝜕𝑬
𝛻 2𝑬 = 2 2
+
𝑐 0 𝜕𝑡 1 − 𝑖𝜔𝜏 𝜕𝑡
7
𝑛̂ = 𝑛𝑅 + 𝑖 𝑛𝐶 = 𝑛 + 𝑖𝜅
𝑘̂ = 𝑘𝑅 + 𝑖 𝑘𝐶 = 𝑘 + 𝑖 𝛼
Al igual que hicimos con los dieléctricos, si ahora se propone una onda plana como
solución de la ecuación, obtendremos el valor del vector de ondas y del índice de
refracción en metales:
𝜔2 𝜔𝑝 2
𝑘̂ 2 = (1 − 2 )
𝑐2 𝜔 + 𝑖𝜔𝜏 −1
𝜔𝑝 2
𝑛̂2 = 1 −
𝜔 2 + 𝑖𝜔𝜏 −1
La relación entre ambos viene dada por:
𝜔2
𝑘̂ 2 = 𝑛̂2
𝑐2
siendo ωp la frecuencia de plasma del medio, que separa las zonas de opacidad y
transparencia del metal:
𝜇𝑂 𝜎𝑐 2 𝑁𝑒 2
𝜔𝑝 2 = =
𝜏 𝑚𝜀0
𝜔𝑝 2
𝑛𝑅2 − 𝑛𝐶2 = 1 −
𝜔 2 + 𝜏 −2
1 𝜔𝑝 2
2𝑛𝑅 𝑛𝐶 =
𝜔𝜏 (𝜔 2 + 𝜏 −2 )
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Reflectividad y Refracción en la frontera con un medio dispersivo. Ondas
inhomogéneas. Ley de refracción compleja.
z
ki kr
n1
x
n^ ktC ktR
φt
⃗ 𝑖𝑟 = 𝑘
𝑘 ⃗̂ 𝑟
⃗ 𝑟𝑟 = 𝑘 𝑡
⃗ 𝑖𝑟 = 𝑘
o Ley de reflexión: 𝑘 ⃗ 𝑟 𝑟 ⇒ 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟
⃗̂ 𝑟 ⇒ 𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜑
⃗ 𝑖𝑟 = 𝑘
(1) → 𝑘 𝑡𝑅 𝑖 𝑖 𝑡𝑅 𝑡
(2) → 0 = 𝑘⃗̂ 𝑟
𝑡𝐶
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parte imaginaria del vector de onda no son paralelas se conocen con el nombre de ondas
inhomogéneas. En estas ondas, los planos perpendiculares a 𝑘 ⃗ 𝑡𝐶 son planos de amplitud
⃗ 𝑡𝑅 , que es el vector que marca la
constante, mientras que los planos perpendiculares a 𝑘
dirección de propagación de la onda, son planos de fase constante.
⃗ 𝑡𝑅 + 𝑖𝑘
𝑘 ⃗ 𝑡𝐶 ≠ (𝑛𝑅 + 𝑖𝑛𝐶 )𝑘
⃗𝑖
𝑛̂𝑠𝑒𝑛𝜑̂𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖
𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖
𝑐𝑜𝑠
̂ 𝑡 = √1 −
𝑛̂2
En resumen, hemos definido una ley de Snell que tiene la misma forma que en el
caso de los medios no dispersivos, con la salvedad que la cantidad 𝜑̂𝑡 , al igual que el
índice de refracción, es un número complejo. Este ángulo complejo no tiene un
significado físico directo y se introduce por conveniencia de cálculo en los coeficientes
de reflexión y transmisión que veremos a continuación. No debe confundirse con el
ángulo de refracción real, 𝜑𝑡 , que forman la parte real y la parte imaginaria del vector
de onda transmitido, y que sí tiene significado físico, al ser el ángulo que forma el haz
transmitido con la normal.
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Coeficientes de reflexión y transmisión en un medio dispersivo.
Supongamos que tenemos la siguiente geometría en la que una onda incide con
polarización s (campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia) desde el vacío
sobre un medio dispersivo con índice de refracción complejo:
𝐸𝑖 + 𝐸𝑟 = 𝐸𝑡
𝐻𝑖 𝑥 + 𝐻𝑟 𝑥 = 𝐻𝑡 𝑥
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Para hallar la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético recordamos
que, en el caso de las ondas planas, podemos relacionar los campos eléctrico, magnético
y el vector de onda a través de un producto vectorial. En el medio no dispersivo:
⃗ 𝑖 × 𝐸⃗𝑖 = 𝜇0 𝜔𝐻
𝑘 ⃗𝑖
⃗ 𝑟 × 𝐸⃗𝑟 = 𝜇0 𝜔𝐻
𝑘 ⃗𝑟
y en el medio dispersivo:
⃗̂ × 𝐸⃗ = (𝑘
𝑘 ⃗ 𝑡𝑅 + 𝑖𝑘
⃗ 𝑡𝐶 ) × 𝐸⃗𝑡 = 𝜇0 𝜔𝐻
⃗𝑡
𝑡 𝑡
𝑘𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖
𝐻𝑖 𝑥 = − 𝐸𝑖
𝜇0 𝜔
𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑟
𝐻𝑟 𝑥 = 𝐸𝑟
𝜇0 𝜔
y para el haz transmitido, teniendo en cuenta la última expresión del apartado anterior:
−1 𝐸𝑡
𝐻𝑡 𝑥 = (𝑘𝑡𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑖𝑘𝑡𝐶 )𝐸𝑡 = − 𝑘 𝑛̂𝑐𝑜𝑠
̂𝑡
𝜇0 𝜔 𝜇0 𝜔 𝑖
𝐸𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 − 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡
𝑟̂𝑠 = =
𝐸𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 + 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡
𝐸𝑟 𝐸
Si ahora, en lugar de despejar , se despeja 𝐸𝑡:
𝐸𝑖 𝑖
𝐸𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖
𝑡̂𝑠 = =
𝐸𝑖 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖
𝐸𝑟 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 − 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡
𝑟̂𝑝 = =
𝐸𝑖 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡
𝐸𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖
𝑡̂𝑝 = =
𝐸𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜑̂𝑡 + 𝑛̂ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖
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Además, se puede comprobar que:
𝑡̂𝑠 = 1 + 𝑟̂𝑠
(1 + 𝑟̂𝑝 )
𝑡̂𝑝 =
𝑛̂
Por otro lado, los coeficientes de reflexión s y p también pueden escribirse como:
𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖 − 𝜑̂𝑡 )
𝑟̂𝑠 = −
𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖 + 𝜑̂𝑡 )
𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑖 − 𝜑̂𝑡 )
𝑟̂𝑝 =
𝑡𝑎𝑛(𝜃𝑖 + 𝜑̂𝑡 )
Cálculo del vector de onda transmitido en función del índice de refracción y el ángulo
de incidencia.
𝑘𝑡 𝑅 2 − 𝑘𝑡 𝐶 2 = 𝑘𝑖 2 (𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 ) (a)
𝑘𝑡 𝑅 𝑘𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑡 = 𝑘𝑖 2 𝑛𝑅 𝑛𝐶 (b)
𝑘𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 = 𝑘𝑡 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑡
por lo que
√𝑘𝑡 𝑅 2 − 𝑘𝑖 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖
𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑡 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜑𝑡 =
𝑘𝑡 𝑅
𝑘𝑡 𝐶 √𝑘𝑡 𝑅 2 − 𝑘𝑖 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑖 = 𝑘𝑖 2 𝑛𝑅 𝑛𝐶
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Elevando ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:
𝑘𝑡 𝐶 2 (𝑘𝑡 𝑅 2 − 𝑘𝑖 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 ) = 𝑘𝑖 4 𝑛𝑅 2 𝑛𝐶 2
𝑘𝑡 𝐶 4 + 𝑘𝑡 𝐶 2 𝑘𝑖 2 (𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 ) − 𝑘𝑖 4 𝑛𝑅 2 𝑛𝐶 2 = 0
La solución es:
2 𝑘𝑖 2
𝑘𝑡 𝐶 = [√(𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 )2 + 4𝑛𝑅 2 𝑛𝐶 2 − (𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 )]
2
2 𝑘𝑖 2
𝑘𝑡 𝑅 = [√(𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 )2 + 4𝑛𝑅 2 𝑛𝐶 2 + (𝑛𝑅 2 − 𝑛𝐶 2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑖 )]
2
14