POSGRADO EN CIENCIA E INGENIERÍA DE MATERIALES

ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DE LOS MATERIALES, AGOSTO DE 2020

Teoría del Electrón Libre

Martínez-Hernández H.D.[1]
Estructura Electrónica de los Materiales. 1 Posgrado en Ciencia e Ingeniería De Materiales
Universidad Nacional Autónoma de México

INTRODUCCIÓN
Dentro del estudio de los materiales, es bien sabido que los metales tienen propiedades
diferentes a las de los aislantes; las conductividades térmica y eléctrica son las propiedades
en donde más se evidencian dichas diferencias, siendo estas en los metales, mucho mayores
que en los aislantes. Para el entendimiento de las propiedades de los metales, el primer
modelo que tuvo una buena aproximación teórica fue el modelo propuesto por Paul Drude,
el cual consideró los electrones de la capa más externa como electrones libres que podían
moverse libremente dentro del material formando un gas electrónico. Teniendo en cuenta que
Drude consideró que estos electrones obedecían las leyes de Newton, su modelo propuesto
presentó problemas, ya que los electrones en los metales a temperaturas de al menos de
60000 𝐾 satisfacían la ecuación de Schrödinger y no la mecánica newtoniana. Se pudo tener
una compresión del fenómeno cuando se entendió que los electrones en el metal obedecen la
estadística de Fermi-Dirac y no la de Maxwell-Boltzmann, lo que permitió posteriormente
comprender la contribución electrónica al calor específico de los metales, así como muchas
otras propiedades térmicas que no estaban descritas en el modelo de Drude.
Cuando se dice que los electrones en un metal están libres, se plantea que dichos electrones
no sienten los potenciales electrostáticos de los núcleos de los iones que dejan atrás, y estos
no interactúan entre sí, exceptuando a su potencial promedio que mantiene a los electrones
dentro del metal.

APROXIMACIÓN DEL ELECTRÓN LIBRE

En el modelo de electrones libres de Drude, se tiene como hipótesis, que cuando los átomos
de un metal se juntan, los electrones de valencia se desprenden y se mueven libremente por
el metal, mientras que los iones positivos que dejan permanecen intactos y están inmóviles
debido a su masa que es mucho mayor. Los electrones de valencia móviles a menudo se
denominan electrones de conducción en la teoría de electrones libres, ya que son responsables
de la conducción eléctrica. Los otros electrones en el átomo son electrones centrales y
permanecen unidos. Drude aplicó la exitosa teoría cinética de gases de Maxwell a los
electrones de conducción del metal. Se supone que los electrones viajan en línea recta hasta
que chocan con otro electrón o, mucho más probable, con un ion positivo. No se supone que
las fuerzas actúen entre los electrones o entre los electrones y los iones, excepto
momentáneamente durante una colisión. En presencia de un campo eléctrico o magnético
aplicado externamente, cada electrón responde de acuerdo con las ecuaciones de movimiento
de Newton para el electrón en presencia del campo externo, así mismo, no se consideran las
interacciones con otros electrones y iones en el metal. La no consideración de las
interacciones electrostáticas electrón-electrón entre colisiones se conoce como la
aproximación electrónica independiente.
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La falla principal del modelo de Drude fue su predicción de que el calor específico
electrónico debería ser 3/2𝜅𝐵 por electrón, donde 𝜅𝐵 es la constante de Boltzmann; el calor
específico electrónico observado fue mucho menor. Esta es la predicción que se obtiene al
suponer que la distribución de las velocidades de los electrones sigue la distribución de
Maxwell-Boltzmann. Sommerfeld eliminó la discrepancia cuando se dio cuenta de que los
electrones de conducción en el metal deben obedecer la estadística de Fermi-Dirac debido al
principio de exclusión.

ELECTRONES EN UNA CAJA

Se propone calcular los niveles de energía y las funciones de onda para los electrones de
conducción en un metal en el estado fundamental, es decir, en 0 𝐾, en la aproximación de
electrón independiente. Dado que se supone que los electrones no interactúan en esta
aproximación, se puede calcular los valores y las funciones propias permitidas para un
electrón de conducción en el metal, como si los otros electrones no estuvieran allí, y luego
llenar estos valores propios con electrones de acuerdo con la estadística de Fermi-Dirac. La
suposición de 𝑇 = 0 𝐾 es apropiada incluso en el punto de fusión del metal porque el punto
de fusión es solo una fracción muy pequeña de la temperatura a la que los electrones se
comportarían de manera clásica. Considérese un bulto macroscópico cúbico de metal de lado
𝐿. En la aproximación de electrones libres, estos se distribuyen en una distribución de carga
positiva uniforme que compensa exactamente la distribución de carga negativa del gas de
electrones. El material al que corresponde esta aproximación se llama jellium: un gas
metálico uniforme de electrones. Esto lleva a las siguientes condiciones de frontera en la
función de onda:
𝜓 (𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝐿 ) = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜓 (𝑥, 𝑦 + 𝐿, 𝑧) = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜓 (𝑥 + 𝐿, 𝑦, 𝑧) = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Se toma el potencial como cero dentro del bulto y como 𝑉0 fuera de este. Las condiciones
periódicas consideradas en el modelo jellium impiden que los electrones salgan de la caja.

La ecuación de Schrödinger para un electrón en la caja es:

ℏ2 2
− ∇ 𝜓(𝑟⃗) = 𝐸𝜓 (𝑟⃗)
2𝑚
Que corresponde a la ecuación para una partícula libre, cuya solución es:
1 𝑖𝑘⃗⃗⋅𝑟⃗
𝜓𝑘 (𝑟⃗) = 𝑒
√𝑉

donde:
ℏ2 𝑘 2
𝐸 = 𝐸(𝑘⃗⃗) =
2𝑚
Hasta este punto no se han impuesto las condiciones de frontera periódicas. El factor 1/√ 𝑉
en la expresión para la función de onda es una constante de normalización asociado a la
probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto de la caja donde el volumen 𝑉 = 𝐿3 .
Imponiendo las condiciones de frontera periódicas, se tiene entonces que:
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𝑒 𝑖𝑘𝑥𝐿 = 𝑒 𝑖𝑘𝑦 𝐿 = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝐿 = 1

por lo que las componentes del vector de onda 𝑘⃗⃗ toman la forma:

2𝜋𝑛𝑥 2𝜋𝑛𝑦 2𝜋𝑛𝑧

𝑘𝑥 = , 𝑘𝑦 = , 𝑘𝑧 =
𝐿 𝐿 𝐿

donde 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 y 𝑛𝑧 son enteros. De acuerdo con esto, se puede inferir que el momento y la
energía están cuantizados conforme se imponen las condiciones de frontera periódicas, ya
que el momento es directamente proporcional a 𝑘⃗⃗. Por lo tanto, la cuantización de 𝑘⃗⃗ no es
muy relevante y su uso principal es hacer un seguimiento del número de estados propios en
una región del espacio 𝑘 que es grande en comparación con 2𝜋/𝐿.

En cada estado dado por el vector de onda 𝑘⃗⃗ pueden estar dos electrones, uno con espín up y
otro con espín down. Por lo tanto, se llenan los estados disponibles con dos electrones cada
uno, comenzando con el estado de energía más bajo y subiendo en energía hasta que se hayan
puesto todos los electrones de conducción del metal. La energía del estado más ocupado es
la energía de Fermi. En la ecuación para la energía mostrada anteriormente, se puede ver que
la energía del estado con el vector de onda 𝑘⃗⃗ es proporcional a 𝑘 2 y, por lo tanto, todos los
vectores de onda hasta una longitud máxima están ocupados. Así, en el espacio 𝑘 los estados
ocupados caen dentro de una esfera y el radio de la esfera se denota por 𝑘𝐹 donde:

ℏ2 𝑘𝐹2
𝐸𝐹 = − , 𝑘𝐹3 = 3𝜋 2 𝑛
2𝑚

𝑘𝐹 es el vector de onda de Fermi, este es un escalar y la esfera |𝑘⃗⃗| ≤ 𝑘𝐹 es llamada esfera

de Fermi, así, la superficie de Fermi es la es la superficie de esta esfera.

Así, el vector de onda de Fermi aumenta a medida que aumenta la raíz cúbica de la densidad
de electrones. Al poner las densidades típicas de electrones de conducción para metales se da
que 𝑘𝐹 es del orden de angstroms inversos. Esto significa que la longitud de onda de De
Broglie de los electrones más energéticos en un metal es del orden de angstroms, que es
comparable a la separación interatómica.

DENSIDAD DE ESTADOS
En el límite de los llenados pequeños de banda, la estructura de bandas para el modelo de
banda 𝑠 se reduce a la caja de electrones libres, dada por la ecuación 𝐸(𝑘⃗⃗) = ℏ2 𝑘 2 /2𝑚. Se
van a considerar las densidades de estado en una, dos y tres dimensiones en donde hay una
diferencia importante en comparación con las densidades de estados en el modelo de banda
s, la cual es que no hay límite superior en los espectros de energía. En el modelo de banda s,
la relación 𝐸(𝑘⃗⃗) se parece a un electrón libre en los límites superior e inferior del espectro
de energía. En el caso de los electrones libres, todo lo que cambia a medida que se pasa de
una a dos o tres dimensiones es que el vector de onda está condicionado a una línea, un plano
o tres dimensiones en el espacio 𝑘. En el caso unidimensional, el número de estados por
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unidad de longitud del espacio 𝑘 es 𝐿/2𝜋 . En el caso bidimensional, el número de estados

por unidad de área de espacio 𝑘 (𝐿/2𝜋)2 .
Para el caso unidimensional de la densidad de estados en el espacio 𝑘, esta se puede escribir:
𝐷 (𝑘)𝑑𝑘 = (𝐿/2𝜋)𝑑𝑘
de la ecuación para la energía, se tiene que:
𝑚
𝑑𝑘 = 𝑑𝐸
ℏ2 𝑘
√ 2𝑚
𝑑𝑘 = 𝑑𝐸
2ℏ √ 𝐸
Así, la densidad de estados 𝐷(𝐸) es entonces:
𝐿 √ 2𝑚
𝐷(𝐸 ) = 𝑑𝐸
2𝜋 2ℏ √ 𝐸
𝐿√𝑚
𝐷(𝐸 ) =
ℎ√ 2𝐸
En el caso bidimensional, se tiene una línea de energía constante en un círculo de radio 𝑘 en
el origen del espacio 𝑘. El área entre este círculo y un círculo concéntrico de radio 𝑘 + 𝑑𝑘 es
2𝜋𝑘𝑑𝑘, así, el número de estados contenidos en este anillo es:
𝐿 2
𝐷(𝑘)𝑑𝑘 = ( ) 2𝜋𝑘𝑑𝑘
2𝜋
Como 𝐸 es función del vector de onda 𝑘⃗⃗ se debe considera entonces 𝑑𝐸 = ⃗∇⃗𝑘 𝐸 ⋅ 𝑑𝑘⃗⃗, como
⃗⃗𝑘 𝐸 está a lo largo del radio vector 𝑘⃗⃗ entonces 𝑑𝑘⃗⃗ también lo está. Aplicando de manera
∇
análoga el procedimiento utilizado en el caso unidimensional, se tiene entonces que la
densidad de estados para el caso bidimensional es:
2𝜋𝐿2 𝑚
𝐷(𝐸 ) =
ℎ2
lo cual es una constante. Comparando esto con la densidad de estados para un modelo de
banda 𝑠 de red cuadrada, se puede ver que la densidad de estados de la banda 𝑠 converge a
un valor finito en los límites superior e inferior del espectro de energía, donde 𝐸(𝑘⃗⃗ ) parece
ser de electrones libre y diverge en el medio de la banda. En el caso tridimensional se
consideran dos esferas concéntricas de radio 𝑘 y 𝑘 + 𝑑𝑘 centradas en el origen en el espacio
𝑘. El volumen contenido dentro del cascaron esférico de espesor 𝑑𝑘 entre ellos es 4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘.
El número de estados contenidos en este cascaron esférico es, por lo tanto:
𝐿 3
𝐷(𝑘)𝑑𝑘 = ( ) 4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘
2𝜋
⃗⃗𝑘 𝐸 está a lo largo del radio vector 𝑘⃗⃗ así como de 𝑑𝑘⃗⃗, de esta
De nuevo, es de observa que ∇
manera:
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4𝜋𝐿3 𝑚
𝐷(𝐸 ) = √2𝑚𝐸
ℎ3
Comparando esto con la densidad de estados en el modelo 𝑠 de la red cúbica simple, se
pueden ver las singularidades del tipo √𝐸 de electrones libres en los límites superior e inferior
del espectro de energía. Entre estos límites, la densidad de estados de la banda 𝑠 se aleja del
comportamiento de los electrones libres, como se espera debido a la forma funcional de 𝐸(𝑘⃗⃗ ).

BANDAS DEL ELECTRÓN LIBRE Y BANDAS DE COMBINACIÓN LINEAL DE

ORBITALES ATÓMICOS (LCAO)
La estructura de bandas para el electrón libre es simple y viene dada por:
ℏ2 𝑘 2
𝐸(𝑘⃗⃗) = 𝐸 (𝑘) =
2𝑚
Considérese un cristal unidimensional con un parámetro de red 𝑎. La primera zona de
Brillouin se encuentra en el rango −𝜋/𝑎 ≤ 𝑘 ≤ 𝜋/𝑎 a lo largo del eje 𝑘. En la zona reducida
‘se dobla’ la relación 𝐸(𝑘) para valores de 𝑘 fuera de la primera zona de Brillouin. Cuando
se alcanza el límite de la zona de Brillouin, ‘se dobla’ la banda de electrones libres de nuevo
en la zona de Brillouin. Para demostrar la construcción de bandas de electrones libres para
una red, considérese una red cuadrada de espaciado 𝑎. La red recíproca también es una red
cuadrada y el parámetro de red es 2𝜋/𝑎. En el esquema de zona reducida, cualquier vector
de onda 𝑘′ que se encuentre fuera de la primera zona de Brillouin se mapea en un vector 𝑘
dentro de la zona de Brillouin mediante:
𝑘⃗⃗ = 𝑘⃗⃗ ′ + 𝐺⃗
La estructura de bandas del electrón libre en el esquema de zona extendida vine dada por:
ℏ2 (𝑘𝑥′ 2 + 𝑘𝑦′ 2 )
𝐸(𝑘⃗⃗ ′ ) =
2𝑚
lo cual es un paraboloide.
Esto significa que para un vector 𝑘⃗⃗ que se encuentra dentro de la primera zona de Brillouin
no solo hay un valor propio igual a ℏ2 𝑘 2 /2𝑚 sino que también hay un conjunto infinito de
2
valores propios más altos de 𝐺⃗ igual a ℏ2 |𝑘⃗⃗ + 𝐺⃗ | /2𝑚 donde 𝐺⃗ es un arbitrario de la red
recíproca.
EL MODELO DE ELECTRONES CUASI LIBRES
Ahora se considerará el efecto que la red discreta de cargas iónicas positivas tiene sobre la
estructura de bandas de los electrones de conducción, ya que se había tomado el potencial
positivo de los iones positivos como una densidad de carga uniforme. Por simplicidad se
considerará un modelo unidimensional. La generalización a los cristales bidimensionales y
tridimensionales es sencilla.
La ecuación de Schrödinger para un electrón de conducción en presencia de un potencial
periódico es:
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ℏ2 𝑑 2 𝜓
− + 𝑈𝜓 = 𝐸𝜓
2𝑚 𝑑𝑥 2
Como se tiene una red periódica, las soluciones a la ecuación diferencial deben satisfacer el
teorema de Bloch, así:
𝜓𝑘 (𝑥 ) = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑝(𝑥)
donde 𝑝(𝑥) es otra función periódica con la periodicidad de la red: 𝑝(𝑥 + 𝑎) = 𝑝(𝑥). Pero
como 𝑝(𝑥) es periódica, esta puede expandirse en una serie de Fourier:
∞
2𝜋𝑖𝑛𝑥
𝑝(𝑥 ) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑘)𝑒 𝑎

−∞

donde se expresan los coeficientes de la expansión, 𝑐𝑛 (𝑘) como función de 𝑘 ya que el

resultado de 𝑝(𝑥) varía con 𝑘. Llevando 𝜓𝑘 y 𝑝(𝑥) a la ecuación de Schrödinger se obtiene
una base de ecuaciones acopladas para los coeficientes de la expansión 𝑐𝑛 (𝑘), esto es:
ℏ2 𝑑 2 𝑖( 𝑘+𝐺 ) 𝑥 𝑖𝐺 ′𝑥
− 2
∑ 𝑐𝐺 ( 𝑘 ) 𝑒 + ∑ 𝑈𝐺 ′𝑒 ∑ 𝑐𝐺 (𝑘)𝑒 𝑖(𝑘+𝐺 )𝑥 = 𝐸(𝑘) ∑ 𝑐𝐺 (𝑘)𝑒 𝑖(𝑘+𝐺 )𝑥
2𝑚 𝑑𝑥 ′
𝐺 𝐺 𝐺 𝐺

donde 𝐺 y 𝐺′ son vectores arbitrarios de la red recíproca de la cadena unidimensional.

Llevando a cabo la derivada en el primer término de la ecuación, se tiene que:
ℏ2 ′
− ∑ 𝑐𝐺 (𝑘)(𝑘 + 𝐺 )2 𝑒 𝑖(𝑘+𝐺 )𝑥 + ∑ 𝑈𝐺 ′ 𝑐𝐺 (𝑘)𝑒 𝑖(𝑘+𝐺+𝐺 )𝑥 = 𝐸(𝑘) ∑ 𝑐𝐺 (𝑘)𝑒 𝑖(𝑘+𝐺 )𝑥
2𝑚 ′
𝐺 𝐺𝐺 𝐺
𝑖(𝑘+𝐺 ′′ )𝑥
Si se multiplica esta ecuación por 𝑒 y se integra en 𝑥 de 0 a 𝑎, se proyecta la siguiente
ecuación:
ℏ2 (𝑘 + 𝐺 ′′ )2
− 𝑐 𝐺 ′′ (𝑘) + ∑ 𝑈𝐺 ′ 𝑐𝐺 ′′ −𝐺 ′ (𝑘) = 𝐸 (𝑘)𝑐𝐺 ′′ (𝑘)
2𝑚 ′
𝐺

Este es un conjunto infinito de ecuaciones acopladas para los coeficientes de expansión. Hay
tantas ecuaciones como coeficientes. En consecuencia, para un determinado 𝑘 hay tantas
soluciones como coeficientes de expansión, y estas diferentes soluciones corresponden a
diferentes bandas con el mismo valor de 𝑘. Se pueden distinguir por un índice de banda, 𝑛.
Todas estas ecuaciones pueden combinarse en un problema de valor propio de matriz única
en el que cada vector propio en un valor particular de 𝑘 consiste en los coeficientes de
expansión para una banda particular y el valor propio correspondiente es la energía de la
banda en ese valor de 𝑘.
Ahora, se abordará el origen de los espacios de banda en el límite de la zona de Brillouin en
el modelo de electrones cuasi libres. El punto clave es que la reflexión de Bragg tiene lugar
en el límite de la zona de Brillouin. Esto se deduce de la condición de Bragg |𝑘⃗⃗| = |𝑘⃗⃗ + 𝐺⃗ |
porque:
2
𝑘 2 = (𝑘⃗⃗ + 𝐺⃗ )
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𝐺2
𝑘⃗⃗ ⋅ 𝐺⃗ = −
2
Al permitir que 𝐺⃗ se extienda sobre los vectores de red recíprocos más pequeños de manera
que la superficie definida por la ecuación anterior esté cerrada, se obtiene el poliedro que
define la primera zona de Brillouin. En una dimensión, está ecuación se convierte en
𝑘 = 𝐺/2, es decir, 𝑘 = ± 𝑛𝜋/𝑎 y, por lo tanto, la reflexión de Bragg se produce en los
primeros límites de la zona de Brillouin 𝑘 = ± 𝜋/𝑎. Así, en 𝑘 = 𝜋/𝑎, la onda viajera 𝑒 𝑖𝜋𝑥 /𝑎
que se mueve hacia la derecha es una reflexión de Bragg en la onda 𝑒 −𝑖𝜋𝑥 /𝑎 viajando a la
izquierda. A partir de estas dos ondas viajeras se pueden construir dos ondas estacionarias
como sigue:
𝜋𝑥
𝜓(+) = 𝑒 𝑖𝜋𝑥/𝑎 + 𝑒 −𝑖𝜋𝑥/𝑎 = 2 cos ( )
𝑎
𝜋𝑥
𝜓(−) = 𝑒 𝑖𝜋𝑥 /𝑎 − 𝑒 −𝑖𝜋𝑥 /𝑎 = 2𝑖 sin ( )
𝑎
Ambas ondas estacionarias están formadas por partes iguales de ondas viajeras, derecha e
izquierda.
Por lo tanto, la onda estacionaria 𝜓(+) tiene una energía más baja que cualquiera de las
ondas viajeras 𝑒 𝑖𝑘𝑥 o 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 mientras que la onda estacionaria 𝜓(−) tiene una energía más
alta y, por lo tanto, hay un intervalo de banda en el límite de la zona de Brillouin.
El punto importante para tener en cuenta aquí es que las ondas estacionarias creadas por la
reflexión de Bragg en los límites de la zona de Brillouin llevan a una densidad de carga no
uniforme, pero no alteran la energía cinética de los estados propios de los electrones libres.
Por lo tanto, la estructura de bandas sigue pareciendo de electrones libres, excepto por los
espacios que se abren en los límites de la zona de Brillouin debido a las interacciones
electrostáticas con los núcleos de los iones.

EL PSEUDOPOTENCIAL
El pseudopotencial es un modelo construido con el fin reemplazar los efectos del movimiento
de los electrones que no son de valencia de un átomo y su núcleo con un potencial efectivo,
o pseudopotencial, de modo que la ecuación de Schrödinger contenga un término de potencial
efectivo modificado en lugar del término del potencial coulombiano. El pseudopotencial es
un potencial efectivo construido para reemplazar el potencial atómico de todos los electrones
(potencial completo) de modo que los estados centrales se eliminen y los electrones de
valencia se describan mediante funciones de pseudoondas con menos nodos. El electrón
acelera hacia la carga positiva del núcleo iónico. La ganancia en energía cinética se compensa
con la disminución de la energía potencial y la energía total permanece constante durante
todo el proceso. Si se transforma el aumento de la energía cinética en un potencial repulsivo
efectivo, se puede ver que este potencial efectivo cancela el potencial electrostático real. El
principio de exclusión requiere que el estado del electrón libre sea ortogonal a los estados del
núcleo atómico. Los estados del núcleo son orbitales localizados y el requisito de
ortogonalidad introduce muchas oscilaciones nuevas en el estado de onda plana en la región
del núcleo atómico. Dado que la energía cinética de un estado es proporcional a la segunda
derivada de la función de onda, la energía cinética del estado de electrones libres aumenta en
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la vecindad del núcleo atómico, como en la imagen clásica. En muchos casos, la cancelación
entre el potencial atractivo real y el potencial repulsivo efectivo es casi exacta y esto conduce
al pseudopotencial de núcleo vacío. Pero dentro del radio del núcleo se supone que la
cancelación del potencial de Coulomb por el potencial repulsivo efectivo es exacta. Las
funciones de onda que se obtienen al resolver la ecuación de Schrödinger en la que aparece
el pseudopotencial en lugar del potencial verdadero no son las funciones de onda reales de
valencia sino las funciones de pseudoonda. La verdadera función de onda oscila en el núcleo
atómico, mientras que la función de pseudoonda es mucho más suave.

APANTALLAMIENTO
El potencial de Coulomb de una carga puntual es bien sabido que es:
𝑞
𝑉( 𝑟 ) =
4𝜋𝜖0 𝑟
Supóngase que 𝑞 es positiva y se introduce en el bulto de jellium. La carga puntual positiva
junto con la nube de electrones atraídos por esta tiene un campo electrostático que es muy
similar al de un átomo neutro una vez que se está a cierta distancia de la carga puntual. Se
dice que la carga puntual es apantallada por los electrones. El potencial electrostático de la
carga puntual decae mucho más rápidamente con la distancia 𝑟 que la ecuación anterior.
Se puede dar una estimación de la longitud de desintegración del potencial al notar que el
vector de onda de Fermi define una longitud de onda mínima para las fluctuaciones
electrónicas en el sistema. Dado que el vector de onda de Fermi es de orden del inverso de
angstroms, se espera que la longitud de desintegración del potencial electrostático de la carga
puntual en el jellium sea del orden de angstroms, es decir, comparable a una longitud de
enlace cercano. El tratamiento analítico más simple del apantallamiento es la aproximación
de Thomas-Fermi. Esto da como resultado la siguiente forma para el potencial selectivo de
la carga puntual 𝑞:
𝑞
𝑉𝑠𝑐 (𝑟) = 𝑒 −𝑘𝑇𝐹 𝑟
4𝜋𝜖0 𝑟
donde 𝑘 𝑇𝐹 es el vector de onda de Thomas-Fermi y está dado por:
𝑒 2 𝐷(𝐸𝐹 )
𝑘 𝑇𝐹2 =
𝜖0
Se puede ver que el potencial de Coulomb, 𝑞/4𝜋𝜖0 𝑟, se amortigua exponencialmente, con
una longitud de decaimiento de 1/𝑘 𝑇𝐹. La razón por la cual la densidad de estados en la
energía de Fermi aparece en esta expresión es debido a que el apantallamiento se efectúa por
estados ocupados justo debajo de la energía de Fermi que se excita en estados anteriorment e
desocupados justo por encima de la energía de Fermi gracias a la energía potencial de
Coulomb. Los estados de electrones inferiores no pueden participar en el apantallamiento
porque el principio de exclusión prohíbe la ocupación de estados por más de dos electrones.
Sustituyendo 𝐸(𝑘) = ℏ2 𝑘 2 /2𝑚 para la densidad de estados en la ecuación anterior, se tiene
que:
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2𝑒 2 𝑚
𝑘 𝑇𝐹2 = 𝑘
ℎ2 𝜖0 𝐹
Por lo tanto:
2.95
𝑘 𝑇𝐹 = Å−1
√𝑟𝑠 ⁄𝑎0
donde 𝑟𝑠 es el radio de una esfera que contiene un electrón del promedio del jellium y 𝑎0 es
el radio de Bohr. Como 𝑟𝑠 /𝑎0 está entre 2 y 6 para densidades metálica, se puede ver que
𝐾𝑇𝐹−1 está entre 1 y 2 Å y es comparable a la distancia de vecino cercano.
El resultado anterior demuestra la extraordinaria eficiencia con la que los electrones libres
apantallan una carga en un metal. Físicamente, el resultado indica que los átomos en un metal
son eléctricamente neutros. Cada núcleo iónico lleva consigo su propia nube de electrones
de apantallamiento, y la combinación de núcleos iónicos más la nube de apantallamiento se
denomina pseudoátomo. Conceptos como la unión iónica son, por lo tanto, completamente
inaplicables a los metales. El apantallamiento se manifiesta en muchas otras propiedades de
los metales.

INTERCAMBIO Y CORRELACIÓN
Cada electrón en el sistema repele a los otros electrones por dos razones. La primera es la
interacción clásica de repulsión electrostática. La segundo es la interacción de intercambio
que surge del principio de exclusión: los electrones con espines paralelos tienden a evitarse
mutuamente. En efecto, cada electrón crea un hueco en la densidad de carga de gas de
electrones. Visto así, desde una distancia mayor que el diámetro del hueco, el electrón y su
hueco parecen eléctricamente neutros. Dado que el electrón y su hueco de correlación -
intercambio son inseparables, se mueven a través del sistema como un ente único llamado
cuasipartícula. Una forma útil de pensar sobre el concepto de hueco de correlación-
intercambio es imaginar qué sucede si se lleva un electrón en el vacío a la superficie de un
bulto de jellium. Supóngase que el electrón está a una distancia 𝑥 del borde del jellium. Se
sabe por electrostática elemental que el electrón externo induce cargas positivas en la
superficie del jellium, cuyo efecto combinado puede representarse mediante una imagen de
carga positiva a una distancia x debajo del borde del jellium. La energía electrostática clásica
de atracción entre el electrón y el 𝑗𝑒𝑙𝑙𝑖𝑢𝑚 es − 𝑒 2 /16𝜋𝜖0 𝑥. De hecho, este resultado
electrostático clásico también es el resultado de un análisis mecánico cuántico total de la
interacción para diferentes valores de 𝑥. A medida que el electrón se acerca al borde del
jellium, algo debe suceder porque el resultado clásico diverge cuando 𝑥 → 0. Lo que sucede
es que la función de onda del electrón externo comienza a solaparse con las funciones de
onda de los electrones del jellium en separaciones de 1 − 2 Å y la variación clásica de 1/𝑥
comienza entonces a desviarse de la verdadera variación mecánica cuántica. La primera es
que a medida que el electrón externo ingresa al jellium, la imagen de la carga clásica se
convierte en un agotamiento de la densidad electrónica que rodea al electrón : este es el hueco
de correlación. El segundo aspecto es que el electrón externo se vuelve indistinguible del otro
electrón en el jellium y, por lo tanto, hay una interacción de intercambio que tiende a
mantener alejados a los electrones del mismo espín que el electrón entrante: este corresponde
al hueco de intercambio.
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ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRAC
Como se mencionó en la introducción, el modelo de Drude de electrones libre para un metal
falló en un aspecto principal: consideraba a los electrones como partículas clásicas que
obedecían las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. El modelo de electrones libres de
Sommerfeld identificó que los electrones obedecen las leyes de la mecánica cuántica. Debido
al espín del electrón de 1/2, los electrones son fermiones y obedecen las estadísticas de
Fermi-Dirac. Cada estado cuántico del sistema puede estar ocupado por un máximo de dos
electrones, uno con espín up arriba y el otro con espín down. La probabilidad de que un estado
de energía 𝐸 esté ocupado a una temperatura 𝑇 viene dada por la fórmula de distribución de
Fermi-Dirac:

1
𝑓( 𝐸 ) = 𝐸−𝐸𝐹
1+𝑒 𝑘 𝐵𝑇

donde 𝐸𝐹 es la energía de Fermi. Como 𝐸𝐹 , en relación con la parte inferior de la banda, en

los metales es del orden de 10 𝑒𝑉, mientras que 𝑘𝐵 𝑇 a temperatura ambiente es − 1/40 𝑒𝑉,
la función 𝑓(𝐸) tiene la apariencia de una función escalonada en 𝐸 = 𝐸𝐹 con esquinas
ligeramente redondeadas. Cuando 𝐸 ≪ 𝐸𝐹 entonces 𝑓 (𝐸) = 1 y el estado está ocupado por
dos electrones. Para 𝐸 ≫ 𝐸𝐹 , entonces 𝑓 (𝐸) = 0 y el estado está vacío. El efecto de la
temperatura es ‘suavizar’ ligeramente la probabilidad de ocupación cerca de la energía de
Fermi. Por lo tanto, la superficie esférica de Fermi claramente definida del modelo de
electrones libres en 𝑇 = 0 𝐾 se distorsiona a temperaturas cercanas al punto de fusión del
metal.

Solo aquellos estados dentro de unos pocos 𝑘𝐵 𝑇 de la energía de Fermi cuyas ocupaciones
pueden ser alteradas por variaciones en la temperatura. La gran mayoría de los estados
ocupados no se ven afectados por los cambios de temperatura, es decir, permanecen
ocupados. Esta es la clave para comprender las propiedades térmicas de los electrones en los
metales. Está relacionado con el hecho de que solo los electrones cercanos a la energía de
Fermi pueden participar en el apantallamiento. Si el principio de exclusión no se aplicara a
los electrones en los metales, no obedecerían las estadísticas de Fermi-Dirac y muchas de las
propiedades de los metales serían completamente diferentes de lo que sabemos que son.

POTENCIAL DE CONTACTO
Por efecto fotoeléctrico, se sabe que la función de trabajo de un metal es la energía mínima
requerida para mover un electrón desde el interior del metal al exterior de la superficie de
este. Existe un dipolo en la superficie de un metal causado por la densidad electrónica de este
que se ‘derrama’ en el exterior. Este dipolo reduce el potencial de los electrones en el metal
en relación con el nivel exterior. La función de trabajo es la diferencia de energía total entre
un electrón en el vacío y un electrón en la energía de Fermi en el metal. La diferencia en la
energía total incluye el cambio de energía potencial debido al dipolo de superficie y la energía
de correlación-intercambio que surge de la interacción con su hueco de correlación-
intercambio dentro del metal. Cuando dos piezas de metal se unen, hay, en general, un
desequilibrio en sus funciones de trabajo.
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ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DE LOS MATERIALES, AGOSTO DE 2020

CALOR ESPECÍFICO ELECTRÓNICO

La estadística de Maxwell-Boltzmann predice que el calor específico por electrón es 3𝑘𝐵 /2.
Por lo tanto, si hay 𝑁 electrones por unidad de volumen, entonces el calor específico
electrónico predicho es 3𝑁𝑘𝐵 /2 por unidad de volumen, que es el mismo que el calor
específico de un gas monoatómico clásico con 𝑁 átomos por unidad de volumen. Pero la
contribución electrónica observada para el calor específico a temperatura ambiente suele ser
del 1% de este valor.
La solución a este problema no se encontró hasta que se reconoció que los electrones en el
metal obedecen la estadística de Fermi-Dirac. El punto clave es que solo esos electrones
~𝑘𝐵 𝑇 de la energía de Fermi pueden excitarse térmicamente porque todos los estados más
bajos se llenan completamente. El requisito estricto del principio de exclusión evita que los
electrones inferiores se exciten térmicamente porque no hay estados que estén parcialmente
ocupados, y ningún estado puede contener más de dos electrones. Si se introduce la
temperatura de Fermi, 𝑇𝐹 , que se define por 𝑘𝐵 𝑇𝐹 = 𝐸𝐹 , entonces solo una fracción ~𝑇/𝑇𝐹
de todos los electrones en el metal puede contribuir al calor específico. Por lo tanto, la energía
térmica electrónica total, 𝑈, es:
𝑁𝑇
𝑈≈ 𝑘 𝑇
𝑇𝐹 𝐵
Así, el calor específico electrónico está dado por:
𝑑𝑈 𝑁𝑘
𝐶𝑒𝑙 = ≈ 𝑇
𝑑𝑇 𝑇𝐹
lo cual es directamente proporcional a la temperatura. Se obtiene una estimación equivalente
si se considera que el número de electrones que contribuyen al calor específico electrónico
por volumen es ~𝐷 (𝐸𝐹 )𝑘𝐵 𝑇 (donde 𝐷 (𝐸𝐹 ) es la densidad de estados de la energía de Fermi)
y cada uno de ellos tiene un calor específico de ~𝜅, entonces:
𝐶𝑒𝑙 ~𝐷(𝐸𝐹 )𝜅𝑇
En la práctica, la contribución electrónica al calor específico de un metal se ve solo a bajas
temperaturas porque la contribución fonónica domina a temperaturas más altas. A bajas
temperaturas, la contribución fonónica varía como ~𝑇 3 y, por lo tanto, es menor que la
contribución electrónica a temperaturas suficientemente bajas.
La estimación apropiada del calor específico electrónico se puede hacer escribiendo la
expresión exacta de 𝑈 y diferenciando con respecto a la temperatura. La energía interna, 𝐸𝑇 ,
del gas de electrones viene dada por:
∞
𝐸𝑇 = ∫ 𝐸𝐷 (𝐸 )𝑓(𝐸)𝑑𝐸
0

donde 𝑓(𝐸) es la función de distribución de Fermi-Dirac y 𝐷(𝐸) es la densidad total de

estado. De la expresión anterior, la única cantidad que varía con la temperatura es la función
de distribución de Fermi-Dirac, 𝑓(𝐸). Después de manipularla algebraicamente se da que:
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𝜕𝑓 (𝐸 − 𝐸𝐹 )/𝑘𝐵 𝑇 2
=
𝜕𝑇 4 cosh2 (𝐸 − 𝐸𝐹 )
2𝑘 𝑇 𝐵

La función 𝜕𝑓/𝜕𝑇 es simétrica con respecto a la energía de Fermi. La forma de 𝜕𝑓/𝜕𝑇 en

función de 𝐸 es clara: los electrones que ocupaban estados justo por debajo de la 𝐸𝐹 se excitan
térmicamente en estados justo por encima de esta. Sustituyendo esta expresión por 𝜕𝑓/𝜕𝑇)
en el calor específico electrónico 𝐶𝑒𝑙 = (𝜕𝐸𝑇 ⁄𝜕𝑇 )𝑉 se tiene que:
∞
(𝐸 − 𝐸𝐹 )/𝑘𝐵 𝑇 2
𝐶𝑒𝑙 = ∫ 𝐸𝐷(𝐸) 𝑑𝐸
2 𝐸 − 𝐸𝐹
0 4 cosh ( )
2𝑘𝐵 𝑇
Como 𝜕𝑓/𝜕𝑇 varía significativamente con 𝐸 únicamente cerca de 𝐸 = 𝐸𝐹 y como 𝐷(𝐸)
varia lentamente con 𝐸 como √ 𝐸, se puede reemplazar 𝐷(𝐸) por 𝐷(𝐸𝐹 ) y llevarlo fuera de
la integral. Introduciendo el cambio de variable 𝑥 = (𝐸 − 𝐸𝐹 )/2𝑘𝐵 𝑇, 𝐶𝑒𝑙 toma la forma:
∞
𝑥
𝐶𝑒𝑙 = 𝐷 (𝐸𝐹 )𝑘𝐵 ∫ (2𝑘𝐵 𝑇𝑥 + 𝐸𝐹 ) 𝑑𝑥
−𝐸𝐹 /2𝑘 𝐵𝑇 cosh2 𝑥
Esta integral se puede simplificar de inmediato al observar dos cosas. La primera es que
𝐸𝐹 /2𝑘𝐵 𝑇 es un número de orden 100. Debido al cosh2 𝑥 en el denominador, que tiende
rápidamente al infinito a medida que 𝑥 aumenta, se puede reemplazar el límite inferior de la
integral por −∞ con casi nada de error. Le segunda cosa es que 𝑥/ cosh2 𝑥 es una función
impar y, por lo tanto, su integral de −∞ a ∞ es cero. De esta manera:
∞
𝑥2
𝐶𝑒𝑙 = 2𝐷(𝐸𝐹 )𝑘𝐵2 𝑇 ∫ 2
𝑑𝑥
−∞ cosh 𝑥

y como:
∞
𝑥2 𝜋2
∫ 2
𝑑𝑥 =
−∞ cosh 𝑥 6
finalmente:
𝜋2
𝐶𝑒𝑙 = 𝐷 (𝐸𝐹 )𝜅𝐵2 𝑇
3
Este resultado difiere del resultado exacto solo por un factor de 𝜋 2 /3. Nótese que 𝐶𝑒𝑙 es
proporcional a la densidad de estados en la energía Fermi. En materiales como el Bi, que
tienen una 𝐷 (𝐸𝐹 ) baja, la contribución electrónica al calor específico es muy pequeña. En un
no metal, la contribución electrónica al calor específico disminuye exponencialmente a
medida que aumenta la brecha de energía. En la mayoría de los semiconductores y aislantes
es insignificante.

CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA EN METALES

Uno de los grandes éxitos del modelo de electrones libres de Drude fue la derivación de la
ley de Ohm para un metal. A continuación, se deriva la ecuación de movimiento para el
vector de onda 𝑘⃗⃗ en presencia de un campo eléctrico 𝐸⃗⃗ :
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𝑑𝑘⃗⃗
−𝑒𝐸⃗⃗ = ℏ
𝑑𝑡
lo cual se puede resolver como sigue:
⃗⃗ 𝑡
𝑒𝐸
𝑘⃗⃗(𝑡) − 𝑘⃗⃗(0) = −
ℏ

Dado que el lado derecho es independiente de 𝑘⃗⃗, se puede ver que todos los estados, 𝑘⃗⃗, en el
sistema varían en el tiempo exactamente de la misma manera. Esto significa que en el espacio
𝑘⃗⃗, la esfera de Fermi se mueve en la dirección del campo eléctrico 𝐸⃗⃗ . Pero, por supuesto, este
es un tratamiento demasiado simplificado porque se ignora el hecho de que los electrones
están dispersos por defectos en el metal (vacancias, intersticios, impurezas, dislocaciones,
límites de grano, etc.) y por vibraciones térmicas de la estructura cristalina. Drude reconoció
esto e introdujo el tiempo promedio, 𝜏, entre colisiones, que Drude pensó que eran colisiones
entre los electrones y los núcleos de los iones. En ese caso, el cambio promedio en los
vectores de onda, 𝛿𝑘⃗⃗ , entre colisiones sucesivas se obtiene al establecer 𝑡 = 𝜏 en la ecuación
anterior.

La velocidad promedio del electrón es:

ℏ𝛿𝑘⃗⃗ ⃗⃗ 𝜏
𝑒𝐸
𝑣⃗ = =−
𝑚 𝑚

Si hubiesen 𝑛 electrones por unidad de volumen, entonces la densidad de corriente es:

𝑛𝑒 2 𝜏
𝑗⃗ = −𝑛𝑒𝑣⃗ = 𝐸⃗⃗
𝑚

La proporcionalidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es la ley de Ohm. La

conductividad eléctrica 𝜎, definida por 𝑗⃗ = 𝜎𝐸⃗⃗ es entonces:

𝑛𝑒 2 𝜏
𝜎=
𝑚

CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN METALES

De la teoría cinética de gases, se puede conocer la conductividad térmica de un sistema de
partículas independientes como sigue:
1
𝐾= 𝐶𝑣𝑙
3
donde 𝐶 es el calor específico por unidad de volumen, 𝑣 es la velocidad promedio de las
partículas y 𝑙 es el camino libre medio de las partículas entre colisiones. La base de esta
fórmula es que el calor se intercambia entre partículas solo durante colisiones. Se puede
aplicar a los electrones independientes en el metal con algunas modificaciones menores para
tener en cuenta el hecho de que el principio de exclusión se aplica a los electrones. Se procede
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a utilizar el calor específico electrónico, 𝐶𝑒𝑙 , que se obtuvo anteriormente. Para la velocidad
𝑣 se usará la velocidad de Fermi porque solo los electrones cerca de la energía de Fermi
pueden cambiar su estado (es decir, ser dispersados) y absorber o liberar energía. Se tomará
el camino libre medio de los electrones en la energía de Fermi, que es 𝑣𝐹 𝑇. Por lo tanto, la
conductividad térmica electrónica se puede escribir como:
𝜋2
𝐷 (𝐸𝐹 )𝑘𝐵2 𝑇𝑣𝐹2 𝜏
𝐾𝑒𝑙 =
9
Usando 𝐸𝐹 = 𝑚𝑣𝐹2 y 𝐸(𝑘) = ℏ2 𝑘 2 /2𝑚 para la densidad de estados, la ecuación anterior
toma entonces la forma:
𝜋 2 𝑛𝑘𝐵2 𝜏
𝐾𝑒𝑙 = 𝑇
3𝑚
donde 𝑛 es la densidad electrónica. En metales puros, la contribución electrónica a la
conductividad térmica domina sobre la contribución de las vibraciones de la red en todas las
temperaturas. En aleaciones desordenadas donde el camino libre medio se reduce mucho, la
contribución electrónica es comparable a la contribución de las vibraciones de la red.

LEY DE WIEDEMANN-FRANZ
Quizás el mayor logro de la teoría de los electrones libres de Drude fue explicar la ley de
Wiedemann-Franz. Esta ley empírica establece que la relación entre la conductividad térmica
y la conductividad eléctrica es proporcional a la temperatura. Además, la constante de
proporcionalidad, que se llama número de Lorentz, 𝐿, es independiente del tipo de metal.
Usando las ecuaciones para la conductividad eléctrica 𝜎 y la conductividad térmica 𝐾𝑒𝑙 , se
tiene que:
𝜋 2 𝑛𝑘𝐵2 𝜏𝑇
𝐾𝑒𝑙 3𝑚 𝜋 2 𝑘𝐵 2
= = ( ) 𝑇
𝜎 𝑛𝑒 2 𝜏 3 𝑒
𝑚
𝐾𝑒𝑙
= 𝐿𝑇
𝜎
donde:
𝜋 2 𝑘𝐵 2 𝑊Ω
𝐿= ( ) = 2.45 × 10−8 2
3 𝑒 𝐾
es el número de Lorentz. Los números experimentales de Lorentz para metales elementales
varía entre 2.30 × 10−8 y 3.20 × 10−8 𝑊Ω/𝐾 2 para temperaturas entre 0 y 100°𝐶. Es de
considerar que en la ecuación deducida para la ley de Wiedemann-Franz, se supuso que los
tiempos de colisión para las conductividades eléctrica y térmica son los mismos. Esta
suposición no se mantiene a bajas temperaturas y el número de Lorentz para cobre puro cerca
de 15 𝐾 es un orden de magnitud menor que el mostrado anteriormente.
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EL EFECTO HALL
Si se pone a circular una corriente eléctrica a lo largo de la dirección 𝑥 a través de un
conductor en el que hay un campo magnético a lo largo de la dirección 𝑧, entonces se
establece un campo eléctrico a lo largo del eje 𝑦, perpendicular al campo eléctrico aplicado
y al campo magnético. Este es el efecto Hall. Para comprender este efecto, se utiliza las
ecuaciones de movimiento del electrón en un campo eléctrico y un campo magnético. La
ecuación de movimiento es la siguiente:
𝑑𝑣⃗ 𝑣⃗
𝑚 ( + ) = −𝑒(𝐸⃗⃗ + 𝑣⃗ × 𝐵
⃗⃗)
𝑑𝑡 𝜏
donde 𝐸⃗⃗ es el campo eléctrico total y 𝐵
⃗⃗ es el campo magnético. El término 𝑣⃗/𝜏 es una ‘fuerza
de fricción’ debida a las colisiones. Como 𝐵 ⃗⃗ se encuentra a lo largo del eje 𝑧 y es constante,
entonces 𝑑𝑣⃗/𝑑𝑡 = 0. De la ecuación anterior, se tiene entonces el siguiente sistema de tres
ecuaciones:
𝑚𝑣𝑥 𝑚𝑣𝑦 𝑚𝑣𝑧
= −𝑒𝐸𝑥 + 𝑒𝑣𝑦 𝐵, = −𝑒𝐸𝑦 + 𝑒𝑣𝑥 𝐵, = −𝑒𝐸𝑥
𝜏 𝜏 𝜏
Si la corriente no puede fluir a lo largo de la dirección 𝑦, entonces debe haber una
componente de campo eléctrico 𝐸𝑦 tal que 𝑣𝑦 = 0. Este es el campo Hall y está dado por la
segunda ecuación del sistema anterior, es decir:
𝐸𝑦 = 𝑣𝑥 𝐵
De la primera ecuación del sistema y con 𝑣𝑦 = 0, se tiene entonces:
𝑒𝜏
𝑣𝑥 = − 𝐸𝑥
𝑚
por lo que:
𝐸𝑦 𝑒𝐵𝜏
=−
𝐸𝑥 𝑚
Introduciendo el coeficiente Hall 𝑅𝐻 como 𝐸𝑦 /𝐽𝑥 𝐵 y usando 𝐽𝑥 = 𝑛𝑒 2 𝜏𝐸𝑥 /𝑚 se tiene
entonces:
𝑒𝐵𝜏𝐸𝑥 ⁄𝑚
𝑅𝐻 = −
𝑛𝑒 2 𝜏𝐸𝑥 𝐵 ⁄𝑚
1
𝑅𝐻 = −
𝑛𝑒
Por lo tanto, el coeficiente de Hall es negativo para los electrones libres. El uso del efecto
Hall, proporciona un medio para medir la densidad de portadores 𝑛 y determinar si los
portadores son electrones o huecos. Si los portadores son huecos, el coeficiente de Hall es
positivo. A medida que disminuye la concentración de portadores, también aumenta el
coeficiente de Hall.