SMat Taller 213 H00 SOLUCIONy RUBRICA

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

CURSO DE NIVELACIÓN REGULAR 2017
TALLER 2 – (13H00)
Guayaquil, 22 de junio de 2017
SOLUCIÓN y RÚBRICA
Tema 1 (20 puntos) Determine el término en el que el exponente de 𝒙 es igual a 𝟐𝟖 en el
𝒙 𝟐𝟎
desarrollo de 𝒙𝟐 − . Deje expresado el coeficiente de dicho término como la
𝟐
multiplicación/división de números primos.
Solución:
Se especifica el término general del binomio:

20 𝑥 -
𝑥* *+,-
−
𝑘 2
Se agrupan todos los elementos con 𝑥 del término general y se iguala a 28:
𝑥 *(*+,-) 𝑥 - = 𝑥 1+,*-2- = 𝑥 1+,- = 𝑥 *3 → 40 − 𝑘 = 28 → 𝑘 = 12
Se reemplaza 𝑘 = 12 en el término general:

20 𝑥 9* 20 19 18 17 16 15 14 13 𝑥 9*
𝑥* *+,9*
− = 𝑥 9?
12 2 8 7 6 5 4 3 2 29*
3(5)(13)(17)(19) *3
= 𝑥
299
Rúbrica:
Identifica correctamente los componentes del término general en el

5 puntos
desarrollo del binomio de Newton y la posición del término buscado.
Determina correctamente la posición del término, realizando los cálculos y
15 puntos
simplificaciones necesarias.
Tema 2 (20 puntos) En una granja tenían sembradas 480 hectáreas más de papas que de
camotes. Después de haber recolectado 80% del cultivo de papas y 25% del de camotes,
quedaron en el campo 300 hectáreas más de camotes que de papas. Determine la cantidad
de hectáreas de cada cultivo que estaban sembradas en esta granja.
Elaborado por @gbaqueri y CENC Página 1 de 4

Solución:
Considere que: 𝒙: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠.

𝒙 + 𝟒𝟖𝟎: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠.
Luego de la recolección se tiene:

20% 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑦 75% 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠
Se conoce que:
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠 + 300 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠
Es decir:
20% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠 + 300 = 75% 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠
20% 𝑥 + 480 + 300 = 75% 𝑥
1 3
𝑥 + 480 + 300 = 𝑥
5 4
4 𝑥 + 480 + 6000 = 15𝑥
4𝑥 + 1920 + 6000 = 15𝑥
11𝑥 = 60 132
𝑥 = 720
𝑆𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑜𝑛 𝟕𝟐𝟎 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝟏 𝟐𝟎𝟎 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠.
Rúbrica:
Define la incógnita del problema. 2 puntos

Plantea bien la ecuación y la resuelve correctamente. 18 puntos
𝟖 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙
Tema 3 (20 puntos) Dado el conjunto 𝑹𝒆 = −∞, − y el predicado 𝒑 𝒙 : ≥𝟎
𝟓 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓
Determine 𝑨𝒑 𝒙 , expresando su respuesta con una relación de orden y también en la recta
numérica.
Solución:
*
1 3 1 3
*
𝑥 𝑥 +𝑥+ + 𝑥 𝑥+ +
*
𝑥 𝑥 +𝑥+1 4 4 ≥0 2 4
≥0 → → ≥0
3𝑥 − 5 3𝑥 + 5 3𝑥 − 5 3𝑥 + 5 (3𝑥 − 5)(3𝑥 + 5)
9 * e
Puesto que para cualquier número real 𝑥+ + es mayor que 0, se determina que el
* 1
𝟓 𝟓
miembro izquierdo de la inecuación tiene 3 puntos de cambio de signo: − , 0 y .
𝟑 𝟑

Se grafica en la recta real los cambios de signo de la expresión obtenida:
𝟓 𝟓
− + 𝟎 − +
𝟑 𝟑
− [+]
= (−)
(−)(−)
8
Se concluye, en base al conjunto referencial dado −∞, − , que:
5
5 8
𝐴𝑝 𝑥 = 𝑥 − <𝑥<−
3 5
Cuya representación gráfica es:
5 8
− −
3 5
–∞ +∞
Rúbrica:
Realiza el análisis algebraico adecuado para resolver la inecuación del

16 puntos
predicado p(x).
Identifica el intervalo que corresponde a la solución de la inecuación
2 puntos
expresándolo con una relación de orden.
Identifica el intervalo que corresponde a la solución de la inecuación
2 puntos
expresándolo en la recta numérica.
Tema 4 (20 puntos) En una fiesta se contabilizaron 78 apretones de

mano al saludarse todos los invitados. Determine la cantidad de
invitados a esa fiesta.
Solución:
Cada saludo corresponde a una combinación de 2 personas del número total de n invitados.
Puesto que fueron 78 saludos, se plantea la ecuación:
𝑛
= 78
2
Se desarrolla la combinatoria:
𝑛 𝑛 𝑛−1
= 78 → = 78 → 𝑛 𝑛 − 1 = 156 → 𝑛* − 𝑛 − 156 = 0
2 2
Se factoriza:
𝑛 − 13 𝑛 + 6 = 0 → 𝑛 − 13 = 0 ∨ 𝑛+6=0
→ 𝒏 = 𝟏𝟑 ∨ 𝑛 = −6 (𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎)
Se concluye que la cantidad de invitados fue 13.

Rúbrica:
Plantea una ecuación adecuada. 10 puntos

Resuelve la ecuación correctamente. 10 puntos
𝟐
Tema 5 (20 puntos) Considere el conjunto 𝑹𝒆 = ℝ y el predicado 𝒑 𝒙 : −𝟑 ≥𝟓.
𝒙
Determine 𝑨𝒑 𝒙 , expresando su respuesta con una relación de orden y en la recta
numérica.
Solución:
Se eleva al cuadrado ambos miembros de la inecuación y se desarrolla:

* *
2 2 2 − 3𝑥 * 2 − 3𝑥 *
−3 ≥ 5* → − 3 ≥ 25 → ≥ 25 → − 25 ≥ 0
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥*
4 − 12𝑥 + 9𝑥 * − 25𝑥 * −16𝑥 * − 12𝑥 + 4 16𝑥 * + 12𝑥 − 4

≥ 0 → ≥ 0 → ≤0
𝑥* 𝑥* 𝑥*
Puesto que 𝑥 * ≥ 0 , se multiplica ambos lados de la inecuación por 𝑥 * sin alterar el sentido de
la desigualdad:
4𝑥 + 4 4𝑥 − 1
16𝑥 * + 12𝑥 − 4 ≤ 0 → 4𝑥 * + 3𝑥 − 1 ≤ 0 → ≤0
4
(𝑥 + 1)(4𝑥 − 1) ≤ 0
Se resuelve considerando los puntos de cambio de signo del miembro izquierdo de la

inecuación:
9
−1 0
1
− − = + + − = − + + = (+)
Tal como se observa en el gráfico que precede, el punto 𝑥 = 0 queda excluido de la solución:
1 1
𝐴𝑝 𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥 ≤ = −1, 0 ∪ 0,
4 4
La representación gráfica del conjunto de verdad sería:

9
−1 0
1
–∞ [ )( ] +∞
Rúbrica:
Resuelve la inecuación por un método adecuado. 16 puntos

Expresa la respuesta con una relación de orden. 2 puntos
Expresa la respuesta gráficamente. 2 puntos

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Se especifica el término general del binomio:

Se reemplaza 𝑘 = 12 en el término general:

Identifica correctamente los componentes del término general en el

Elaborado por @gbaqueri y CENC Página 1 de 4

Considere que: 𝒙: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠.

Luego de la recolección se tiene:

𝑆𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑜𝑛 𝟕𝟐𝟎 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝟏 𝟐𝟎𝟎 ℎ𝑒𝑐𝑡á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑝𝑎𝑠.

Define la incógnita del problema. 2 puntos

Elaborado por @gbaqueri y CENC Página 2 de 4

Cuya representación gráfica es:

Realiza el análisis algebraico adecuado para resolver la inecuación del

Tema 4 (20 puntos) En una fiesta se contabilizaron 78 apretones de

Se concluye que la cantidad de invitados fue 13.

Elaborado por @gbaqueri y CENC Página 3 de 4

Plantea una ecuación adecuada. 10 puntos

Se eleva al cuadrado ambos miembros de la inecuación y se desarrolla:

4 − 12𝑥 + 9𝑥 * − 25𝑥 * −16𝑥 * − 12𝑥 + 4 16𝑥 * + 12𝑥 − 4

Se resuelve considerando los puntos de cambio de signo del miembro izquierdo de la

La representación gráfica del conjunto de verdad sería:

Resuelve la inecuación por un método adecuado. 16 puntos

Elaborado por @gbaqueri y CENC Página 4 de 4

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