Libro Antenas 1

Antenas 1
5.1. Introducción
Las Figs. (5.1)(a) y (5.1)(b) muestran respectivamente los diagramas de bloques
de un transmisor y un receptor de RF (o de microondas) inalámbricos. La entrada
al transmisor de la Fig. (5.1)(a) (imágenes, voz, datos), usualmente conocida como
señal de banda base, es modulada (o codificada) en una señal portadora sinuosidal
de alta frecuencia que puede ser radiada por la antena emisora. La razón por la cual
se hace esto es porque a alta frecuencia, es posible radiar de forma mucho más efi-
ciente y con un mejor aprovechamiento del espectro que a las frecuencias de la señal
de banda base. La antena del transmisor tiene como objetivo convertir la señal porta-
dora modulada en una onda electromagnética esférica (que localmente se comporta
como una onda plana). El receptor de la Fig. (5.1)(b) tiene como objetivo recuperar
la señal de banda base emitida por el transmisor, y está compuesto por componentes
que invierten las funciones de los componentes del transmisor. La antena del recep-
tor capta ondas electromagnéticas procedentes de muchas fuentes en un intervalo de
frecuencias relativamente amplio, y el filtro paso de banda situado a continuación
de la antena se encarga de rechazar las señales indeseadas y dejar paso a la señal de
RF deseada. De acuerdo con lo que se acaba de decir, la función de una antena es
convertir la señal de RF de un transmisor en una onda electromagnética, o recípro-
camente, convertir una onda electromagnética en una señal de RF en un receptor. En
un transceptor, donde el transmisor y el receptor forman parte del mismo sistema
para conseguir comunicaciones full-duplex, se puede utilizar la misma antena para
transmisión y recepción.
Las IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas (IEEE Std 145-1983) definen la
antena como “un medio para radiar o recibir ondas de radio”. En otras palabras, la
antena es la estructura de transición entre el espacio libre y un dispositivo de trans-
misión de ondas guiadas, tal y como se muestra en la Fig. (5.2). El dispositivo de
transmisión de ondas guiadas puede ser tanto una línea de transmisión (p.e., un cable
coaxial o una línea microstrip) como una guía de ondas, y se utiliza para transportar
la energía electromagnética entre la fuente emisora y la antena (caso de una antena
emisora), o entre la antena y el receptor (caso de una antena receptora). Además de
emitir y recibir energía, se requiere que una antena en un sistema inalámbrico avan-
zado optimice y acentúe la radiación de energía en unas direcciones y la suprima
en otras. Por tanto, además de comportarse como un sensor inalámbrico, la antena
debe actuar como un dispositivo direccional. En este sentido, la antena juega en un
sistema de comunicación el mismo papel que juegan los ojos y las gafas en un ser
humano.
Los aspectos de las antenas que son importantes en sistemas inalámbricos de co-
municación son el rango de frecuencia de operación, el tamaño y el diagrama de
cobertura de la antena. Se define el diagrama de radiación de una antena como una
representación del nivel de potencia emitido o recibido por la antena en las distintas
direcciones del espacio alrededor de la antena. Se puede demostrar que el diagrama
de radiación de una antena es el mismo en emisión y en recepción. Los sistemas in-
alámbricos que proporcionan servicios de radiodifusión, tales como la televisión y la
c Rafael R. Boix
°
5.1. Introducción 2
Figura 5.1: Diagrama de bloques de los sistemas básico de radio: (a) transmisor y (b) receptor
radio en AM y FM, requieren antenas con diagramas de radiación que son uniformes
en todas las direcciones en un plano paralelo a la superficie de la Tierra, diagramas
a los que se conoce como omnidireccionales (estos diagramas pueden ser obtenidos
con antenas construidas con hilos metálicos, tales como monopolos, dipolos y ante-
nas de cuadro). En otros sistemas tales como los radioenlaces punto-a-punto o los
sistemas de radiodifusión por satélite, se precisan antenas que emitan (o reciban) po-
tencia preferentemente en una única dirección, dando lugar a diagramas de radiación
direccionales conocidos como diagramas tipo pincel o diagramas de haz enfocado
(estos diagramas se pueden obtener con agrupaciones -arrays- de antenas omnidirec-
cionales, o con antenas reflectoras). La medida de la direccionalidad de un diagrama
de radiación de una antena viene dada por la directividad o por la ganancia de la an-
tena. Una antena omnidireccional tiene una baja ganancia, mientras que una antena
de haz enfocado tiene una alta ganancia.
Una característica importante de todas las antenas es que hay relaciones inevita-
bles entre el rango de frecuencia de operación, el tamaño y la ganancia de una antena.
A causa de la naturaleza electromagnética del funcionamiento de la antena, la ra-
c Rafael R. Boix
°
5.1. Introducción 3
Figura 5.2: La antena como un dispositivo de transición.
diación eficiente de una señal por parte de la antena requiere que la antena tenga unas
dimensiones físicas mínimas que son del orden de la longitud de onda λ0 (λ0 = c/f ,
siendo c la velocidad de la luz y f la frecuencia) a la frecuencia de operación. Esto
significa que el tamaño de la antena disminuye conforme aumenta la frecuencia de
forma que mientras que las antenas a baja frecuencia serán muy grandes (por ejem-
c Rafael R. Boix
°
5.2. Campo electromagnético y potencia radiados por una antena 4
plo, las emisoras de AM que trabajan a frecuencias en torno a 1 MHz), las antenas a
frecuencias de microondas (por encima de los 300 MHz) serán pequeñas (por ejemplo,
las antenas utilizadas en las estaciones base de telefonía móvil). Además, se puede de-
mostrar que la ganancia de una antena es proporcional al cociente entre el área de su
sección transversal y λ20 , con lo cual, las antenas de alta ganancia tienen que ser eléctri-
camente grandes (esto es, sus dimensiones deben ser mucho mayores que la longitud
de onda). Así, mientras que una antena de baja ganancia utilizada en un receptor GPS
(sistema de posicionamiento global basado en la comunicación con satélites en órbita
alrededor de la Tierra) a 1.575 GHz puede tener un área de unas pocas decenas de
centímetros cuadrados, el plato de una antena parabólica usada en un radioenlace
punto-a-punto a la misma frecuencia puede tener varios metros de diámetro.
Existen antenas más sofisticadas que son capaces de cambiar electrónicamente la
dirección de máxima emisión de radiación (esto es, la dirección del llamado lóbu-
lo principal del diagrama de radiación). Tales antenas se llaman phased arrays, y en
el pasado, su uso se ha limitado a sistemas militares a causa de su alto precio. Sin
embargo, la tecnología de phased arrays es útil en sistemas inalámbricos comerciales
porque el lóbulo principal del diagrama de radiación puede ser dirigido a un usuario
dado, mientras se rechazan interferencias con otros posibles usuarios. Las antenas uti-
lizadas en estos sistemas se conocen como smart antennas (antenas elegantes), y una
de las implementaciones más eficientes es la que se consigue mediante adaptive arrays
(agrupaciones adaptativas). Estas últimas antenas pueden llegar a ser útiles para au-
mentar la capacidad del canal en sistemas de telefonía móvil si se logran recortes los
costes.
5.2. Campo electromagnético y potencia radiados por una

antena
5.2.1. Regiones de campo
El espacio que rodea a una antena se subdivide usualmente en tres regiones: región
de campo próximo reactivo, región de campo próximo radiante (también conocida
como región de Fresnel) y región de campo lejano (también conocida como región de
Fraunhofer). En cada una de estas tres regiones, la estructura de los campos tiene ca-
racterísticas diferentes. Aunque las fronteras que separan las tres regiones se pueden
definir de distintas maneras, existe un criterio bastante extendido para identificar
dichas fronteras.
La región de campo próximo reactivo se define como “aquella porción de la

región de campo próximo que rodea a la antena en la que predominan los cam-
pos reactivos (aquéllos en los que no se equilibra la densidad de energía eléc-
trica y la densidad de energía magnética en cada punto del espacio)”. Para la
mayoría de las antenas, se suele definir la región de campo próximo reactivo
como una esfera centrada en el centro geométrico de la antena cuyo radio vale
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.3: Regiones de campo de una antena.
R1 = 0,62 D3 /λ0 (véase la Fig. (5.3)), siendo D la dimensión máxima de la

p
antena. Para antenas eléctricamente pequeñas (esto es, de dimensiones mucho

menores que la longitud de onda), R1 toma un valor demasiado pequeño y se
utiliza λ0 /2π como radio de la región de campo próximo reactivo.
La región de campo próximo radiante se define como “aquella región de campo

de una antena comprendida entre la región de campo próximo reactivo y la
región de campo lejano en la que predominan los campos de radiación, y en
la que la dependencia de los campos con las coordenadas (esféricas) angulares
varía con la distancia a la antena”. Típicamente, la región de campo próximo
radiante es la región comprendida entre dos esferas de radio R1 = 0,62 D3 /λ0
p
y R2 = 2D2 /λ0 (R1 < R2 ), siendo D la dimensión máxima de la antena (véase la

Fig. (5.3)). En esta región el diagrama de radiación es, en general, función de la
distancia y la componente radial de los campos es apreciable.
c Rafael R. Boix
°
La región de campo lejano se define como “aquella región de campo de una an-
tena en la que la dependencia de los campos con las coordenadas angulares no
depende de la distancia a la antena”. Además, en esta región la componente ra-
dial de los campos es despreciable, y los campos pueden ser aproximadamente
expresados como los campos de una onda esférica trasversal electromagnética
(TEM). Típicamente, la región de campo lejano es la región exterior a la esfera
de radio R2 = 2D2 /λ0 (véase la Fig. (5.3)). Este criterio se basa en la condición de
que la diferencia entre la fase de los campos y la fase de una onda esférica ideal
sea siempre menor que π/8 (22,5◦ ). Para antenas eléctricamente pequeñas, se re-
comienda tomar como región de campo lejano la región exterior a una esfera de
radio 2λ0 .
Figura 5.4: Cambios típicos en el diagrama de radiación desde la región de campo próximo
reactivo hasta la región de campo lejano.
La dependencia angular del módulo de los campos de una antena varía conforme
nos movemos desde la región de campo próximo reactivo hacia la región de campo
lejano. En la Fig. (5.4) se muestra cómo varía progresivamente esa dependencia angu-
lar. En la región de campo próximo reactivo el diagrama de radiación tiene pequeñas
oscilaciones y es casi uniforme. En la región de campo próximo radiante el diagrama
c Rafael R. Boix
°
de radiación se suaviza y empieza a formar un lóbulo (como veremos más adelante,

los lóbulos son porciones del diagrama limitadas por dos mínimos). Finalmente, en
la región de campo lejano el diagrama de radiación pasa a estar bien formado, con-
sistiendo en varios lóbulos secundarios y un lóbulo principal.
Ejemplo 5.1: Región de campo lejano de una antena

Una antena reflectora parabólica utilizada como receptor DBS (Direct Broadcast
Satellite) tiene un diámetro de 18 pulgadas (1 pulgada=2.54 cm) y opera a 12.4 GHz.
Encuentre la longitud de onda de operación y la distancia a la antena a la cual comien-
za la región de campo lejano.
Solución
La longitud de onda de operación vale:
c 3 × 108
λ0 = = = 0,0242 m = 2,42 cm
f 12,4 × 109
Y sabiendo que D = 18 × 0,0254 = 0,457 m, la distancia a la antena a la que
comienza la región de campo lejano vale:
2D2 2(0,457)2
R2 = = = 17,3 m
λ0 0,0242
La distancia exacta entre un satélite DBS en órbita terrestre geosíncrona GEO (geo-
synchronous earth orbit) y la superficie de la tierra es de aproximadamente 36000 km,
con lo cual, se puede afirmar con seguridad que el satélite se encuentra en la región
de campo lejano de la antena parabólica receptora.
5.2.2. Campos radiados en la región de campo lejano

Los campos creados por una antena deben ser obtenidos en términos de la dis-
tribución de corriente eléctrica en la antena. Aunque el cálculo exacto de esta distribu-
ción de corriente es muy complicado (es preciso recurrir a la resolución de ecuaciones
integrales mediante métodos numéricos como el “método de los momentos”), existen
antenas para las cuales es posible obtener un modelo aproximado de la distribución
de corriente. A este tipo de antenas, a las que llamaremos antenas tipo I, pertenecen
las antenas construidas con hilos metálicos, tales como dipolos, monopolos, antenas
de cuadro, antenas de onda viajera y antenas helicoidales.
Existen otras antenas en las que es prácticamente imposible conocer la distribución
de corriente sobre la antena, pero es posible conocer de forma aproximada el valor de
los campos eléctrico y magnético creados por la antena en una superficie que rodea
a la misma. El principio de equivalencia de Schelkunoff (basado en el principio de
Huygens) permite definir unas corrientes equivalentes (eléctricas y magnéticas) en
la citada superficie en términos de las componentes tangenciales de los campos, y a
partir de estas corrientes equivalentes, es posible calcular los campos creados por la
c Rafael R. Boix
°
antena en el exterior de la superficie. Las antenas de este tipo son conocidas como
antenas de abertura porque la radiación se suele producir a través de una abertura
(porción de la superficie donde se definen las corrientes equivalentes). A este tipo de
antenas, a las que llamaremos antenas tipo II, pertenecen las antenas de ranura, las
antenas de bocina, las antenas microstrip y las antenas reflectoras.
~ y, z, t) y H(x,
Sean E(x, ~ y, z, t) los campos eléctrico y magnético creados por una
antena. Si suponemos que los campos varían en el tiempo de forma sinusoidal con
una frecuencia angular ω = 2πf , podemos definir los fasores de campo eléctrico y
campo magnético E(x, y, z) y H(x, y, z) mediante las siguientes expresiones:
~ y, z, t) = Re E(x, y, z)ejωt (5.1)

£ ¤
E(x,
~ y, z, t) = Re H(x, y, z)ejωt (5.2)
£ ¤
H(x,
En caso de que la dependencia de los campos con el tiempo fuera arbitraria, los
fasores E(x, y, z) y H(x, y, z) pasarían a jugar el papel de transformadas de Fourier de
los campos con respecto al tiempo.
La Fig. (5.5) muestra una an-
tena tipo I que ocupa un volu-
men τa′ . Sea P un punto de la
región de campo lejano de la
antena de coordenadas esféricas
(r, θ, φ), y sean r̂, θ̂ y φ̂ los vec-
tores unitarios del sistema de co-
ordenadas esféricas en el pun-
to P . A partir de las ecuaciones
de Maxwell y de la definición
realizada de la región de cam-
po lejano, es posible demostrar
que los fasores de campo eléctri-
co y campo magnético creados
por la antena tipo I en el punto
P vienen dados por: Figura 5.5: Antena tipo I y coordenadas esféricas.
jk0 η0 e−jk0 r h i
EI (r, θ, φ)¯r>R2 ≈ − (5.3)
¯
N1θ (θ, φ)θ̂ + N1φ (θ, φ)φ̂
4πr
r̂ × EI (r, θ, φ) jk0 e−jk0 r h i
HI (r, θ, φ)¯r>R2 ≈ −N1φ (θ, φ)θ̂ + N1θ (θ, φ)φ̂ (5.4)
¯
=−
η0 4πr
donde k0 = 2π/λ0 es el número de ondas en el espacio libre, η0 = µ0 /ε0 = 377 Ω

p
es la impedancia de ondas del espacio libre, y las funciones de diagrama N1θ (θ, φ) y
N1φ (θ, φ) vienen dadas por:
N1θ (θ, φ) = cos θ cos φN1x (θ, φ) + cos θ sen φN1y (θ, φ) − sen θN1z (θ, φ) (5.5)
N1φ (θ, φ) = − sen φN1x (θ, φ) + cos φN1y (θ, φ) (5.6)
c Rafael R. Boix
°
siendo N1x , N1y y N1z las componentes cartesianas del vector:

Z
′ ′ ′
N1 (θ, φ) = J(x′ , y ′ , z ′ )ejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ+z cos θ) dτ ′ (5.7)
τa′
En la ecuación (5.7) J(x′ , y ′ , z ′ ) representa el fasor de densidad de corriente volu-

métrica en la antena. Si la antena es un conductor ideal (perfect electric conductor en la
literatura inglesa) o tiene la forma de un conductor laminar (de espesor despreciable),
soportará una corriente superficial en su superficie Sa′ a la que corresponde un fasor
de densidad de corriente superficial K(x′ , y ′ , z ′ ). En ese caso, el vector N1 de (5.7)
viene dado por:
Z
′ ′ ′
N1 (θ, φ) = K(x′ , y ′ , z ′ )ejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ+z cos θ) dS ′ (5.8)
Sa′
Finalmente si la antena es un conductor filiforme y puede modelarse mediante una

curva Γ′a por la que circula una corriente de fasor de intensidad I(x′ , y ′ , z ′ ), el vector
N1 toma la expresión:
Z
I(x′ , y ′ , z ′ )τ̂ ′ ejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ+z cos θ) dl′
′ ′ ′
N1 (θ, φ) = (5.9)
Γ′a
donde τ̂ ′ es un vector unitario tangente a Γ′a en cada punto.

La Fig. (5.6) muestra una antena tipo
II. En la figura aparece una superficie i-
maginaria Sap ′
que rodea a la antena y es-
tá situada en su región de campo pró-
ximo reactivo, donde se supone que se
conocen los fasores de campo eléctrico
y campo magnético creados por la ante-
na EII (x, y, z) y HII (x, y, z). Invocando el
principio de equivalencia de Schelkunoff,
podemos definir en Sap ′
una densidad
superficial de corriente eléctrica equiva-
lente Kee (x′ , y ′ , z ′ ) y una densidad super-
ficial de corriente magnética equivalente
Kme (x′ , y ′ , z ′ ) (aunque la corriente magnéti-
ca no tiene sentido físico, sí tiene sentido Figura 5.6: Antena tipo II y superficie
matemático en el contexto del principio de donde se definen las corrientes equiva-
lentes.
equivalencia) que vienen dadas por:
Kee (x′ , y ′ , z ′ ) = n′ × H(x′ , y ′ , z ′ ) (x′ , y ′ , z ′ ) ∈ Sap

′
(5.10)
Kme (x′ , y ′ , z ′ ) = −n′ × E(x′ , y ′ , z ′ ) (x′ , y ′ , z ′ ) ∈ Sap
′
(5.11)
donde n′ es un vector unitario normal a Sap ′

, y Kee (x′ , y ′ , z ′ ) y Kme (x′ , y ′ , z ′ ) son en
general vectores complejos (fasores). Si el punto P de la Fig. (5.6) pertenece a la región
c Rafael R. Boix
°
de campo lejano de la antena, a partir de las ecuaciones de Maxwell y del principio

de equivalencia, es posible demostrar que los fasores de campo eléctrico y campo
magnético creados por la antena en P vienen dados por:
jk0 η0 e−jk0 r
½· ¸
L2φ (θ, φ)
E (r, θ, φ) r>R2 ≈ −
II
(5.12)
¯
¯ N2θ (θ, φ) + θ̂
4πr η0
· ¸¾
L2θ (θ, φ)
+ N2φ (θ, φ) − φ̂
η0
E II −jk0 r
½· ¸
r̂ × (r, θ, φ) jk 0 e L 2θ (θ, φ)
H (r, θ, φ)¯r>R2 ≈
II
¯
=− −N2φ (θ, φ) + θ̂
η0 4πr η0
· ¸¾
L2φ (θ, φ)
+ N2θ (θ, φ) + φ̂ (5.13)
η0
donde las funciones N2θ (θ, φ), N2φ (θ, φ), L2θ (θ, φ) y L2φ (θ, φ) vienen dadas por:
N2θ (θ, φ) = cos θ cos φN2x (θ, φ) + cos θ sen φN2y (θ, φ) − sen θN2z (θ, φ) (5.14)
N2φ (θ, φ) = − sen φN2x (θ, φ) + cos φN2y (θ, φ) (5.15)
L2θ (θ, φ) = cos θ cos φL2x (θ, φ) + cos θ sen φL2y (θ, φ) − sen θL2z (θ, φ) (5.16)
L2φ (θ, φ) = − sen φL2x (θ, φ) + cos φL2y (θ, φ) (5.17)
siendo N2x y L2x , N2y y L2y , y N2z y L2z , las componentes cartesianas de los vectores
N2 y L2 dados por:
Z
′ ′ ′
N2 (θ, φ) = Kee (x′ , y ′ , z ′ )ejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ+z cos θ) dS ′ (5.18)
Sap
′
Z
′ sen θ cos φ+y ′ sen θ sen φ+z ′ cos θ)
L2 (θ, φ) = Kme (x′ , y ′ , z ′ )ejk0 (x dS ′ (5.19)
Sap
′
Para muchas de las antenas tipo II, en la mayor parte la superficie Sap ′
de la Fig.
(5.6) los campos creados por la antena son despreciables y los campos sólo toman
valores apreciables en una superficie plana conocida como “abertura”. Cuando esto
ocurre, si los ejes coordenados se toman de forma que la abertura esté contenida en
el plano z = 0, las integrales de las ecuaciones (5.18) y (5.19) se convierten en trans-
formadas de Fourier bidimensionales de Kee (x′ , y ′ , z ′ = 0) y Kme (x′ , y ′ , z ′ = 0) con
respecto a las variables x′ e y ′ .
Tanto las ecuaciones (5.3) y (5.4) como las ecuaciones (5.12) y (5.13) muestran que
los campos creados por una antena en la región de campo lejano no tienen compo-
nente radial (esto es, no tienen componente a lo largo del vector unitario r̂), y que
dichos campos corresponden a una onda electromagnética esférica trasversal electro-
magnética (los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y perpen-
diculares a la dirección radial de propagación de la onda). Además, en las expresiones
de dichos campos está factorizada la dependencia con la coordenada r por un lado,
y la dependencia con las coordenadas angulares θ y φ por otro lado. Esto último sig-
nifica que la distribución angular de los campos (dependencia de los campos con θ
c Rafael R. Boix
°
y φ) no varía al variar la coordenada r. Las ecuaciones (5.3), (5.4), (5.12) y (5.13) sólo
son válidas para antenas que radian en el aire (para el que supondremos que la per-
mitividad vale ε0 y la permeabilidad vale µ0 ) bajo la suposición de que el aire es un
medio homogéneo infinito. Si las antenas radian en presencia de objetos conductores
o dieléctricos, las ecuaciones (5.3), (5.4), (5.12) y (5.13) no se pueden aplicar en prin-
cipio. No obstante, a veces se pueden usar algunos teoremas electromagnéticos (tales
como el teorema de las imágenes) y algunas aproximaciones que permiten reducir un
problema de radiación en presencia de conductores y dieléctricos a un problema de
radiación en un medio homogéneo infinito.
5.2.3. Vector de Poynting, intensidad de radiación y potencia radia-

da
De acuerdo con el principio de conservación de la energía para el campo electro-
magnético, la potencia por unidad de superficie transportada por una onda electro-
magnética en una dirección (y en un punto del espacio) viene dada por la componente
~ y, z, t) y
del vector de Poynting en esa dirección (y en ese punto del espacio). Si E(x,
~
H(x, y, z, t) son los campos eléctrico y magnético de la onda, el vector de Poynting
~
S(x, y, z, t) instantáneo viene dado por:
~ y, z, t) = E(x,
S(x, ~ y, z, t) × H(x,
~ y, z, t) (5.20)
En caso de que los campos varíen en el tiempo en forma sinusoidal con la misma
frecuencia (véanse las ecuaciones (5.1) y (5.2), el promedio del vector de Poynting a lo
largo de un período viene dado por:
1
Sav (x, y, z) = Re [E(x, y, z) × H(x, y, z)∗ ] (5.21)
2
donde E × H∗ es el llamado vector de Poynting complejo. Para el caso de las ondas
esféricas emitidas por una antena en la región de campo lejano, el promedio del vector
de Poyinting vale (véanse las ecuaciones (5.3), (5.4), (5.12) y (5.13)):
1 1 h i
Sav = Re [E × H∗ ] = Re (Eθ θ̂ + Eφ φ̂) × (−Eφ∗ θ̂ + Eθ∗ φ̂)
2 2η0
1 £
|Eθ |2 + |Eφ |2 r̂ (5.22)
¤
=
2η0
donde Eθ y Eφ son las componentes esféricas del fasor E en la región de campo lejano.
Si sustituimos (5.3) en (5.22), obtenemos el promedio del vector de Poynting para las
antenas tipo I en la región de campo lejano:
M£
SIav (r, θ, φ) = 2 2
(5.23)
¤
|N 1θ (θ, φ)| + |N 1φ (θ, φ)| r̂
r2
c Rafael R. Boix
°
siendo M = (k02 η0 )/(32π 2 ). Y si sustituimos (5.3) en (5.22), se obtiene el promedio del

vector de Poynting para las antenas tipo II en la región de campo lejano:
"¯ ¯2 ¯ ¯2 #
M ¯ L2φ (θ, φ) ¯ ¯N2φ (θ, φ) − L2θ (θ, φ) ¯ r̂
SII (5.24)
¯ ¯ ¯ ¯
av (r, θ, φ) = 2 ¯N2θ (θ, φ) + +
r η0 ¯ ¯ η0 ¯
Las ecuaciones (5.22), (5.23) y (5.24) nos indican que el promedio del vector de
Poynting creado por una antena en la región de campo lejano lleva dirección radial,
que es la dirección en la que transporta la energía la onda esférica radiada por la
antena.
La intensidad de radiación emitida por una antena en una dirección dada U (θ, φ)
representa el promedio de potencia radiada por la antena en esa dirección por unidad
de ángulo sólido en la región de campo lejano. Teniendo en cuenta la definición de
intensidad de radiación y teniendo en cuenta la ecuación (5.22), la intensidad de ra-
diación de una antena vendrá dada por:
1 £
U (θ, φ) = r2 |Sav | = |Eθ |2 + |Eφ |2 (5.25)
¤
2η0
De acuerdo con (5.23) y (5.25), para las antenas tipo I la intensidad de radiación se
calcula mediante la expresión:
U I (θ, φ) = M |N1θ (θ, φ)|2 + |N1φ (θ, φ)|2 (5.26)

£ ¤
Y para las antenas tipo II, mediante la expresión (véanse las ecuaciones (5.23) y
(5.25)):
"¯ ¯2 ¯ ¯2 #
L 2φ (θ, φ) L
¯ + ¯N2φ (θ, φ) − 2θ (θ, φ)
U II (θ, φ) = M ¯¯N2θ (θ, φ) + (5.27)
¯ ¯ ¯ ¯
¯
η0 ¯ ¯ η0 ¯
La potencia promedio total radiada por una antena Prad podría obtenerse inte-
grando la densidad de potencia por unidad de superficie en una esfera de radio r que
rodea a la antena. Este cálculo se simplifica mucho si la esfera se sitúa en la región
de campo lejano, en cuyo caso la potencia total también se puede calcular como una
integral de la intensidad de radiación con respecto al ángulo sólido como muestra la
siguiente ecuación:
Z φ=2π Z θ=π Z φ=2π Z θ=π
2
Prad = Sav · r̂r sen θdθdφ = U (θ, φ) sen θdθdφ (5.28)
φ=0 θ=0 φ=0 θ=0
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.7: Distribución de corriente en una línea de transmisión bifilar sin pérdidas acabada
en abierto (a), en una línea bifilar acabada en abierto parcialmente doblada (b) y en un dipolo
rectilíneo (c).
Ejemplo 5.2: Campos y potencia radiados por un dipolo

Calcule los campos radiados por una antena dipolo en la región de campo lejano.
Asimismo, calcule la potencia promedio radiada en el caso en que la longitud de la
antena dipolo vale λ0 /2.
c Rafael R. Boix
°
Solución
La Fig. (5.7) muestra como una antena dipolo rectilíneo puede ser vista como el re-
sultado de la evolución de una línea de transmisión bifilar acabada en abierto cuando
dos tramos de los hilos de la línea se rotan en sentidos contrario alrededor de ejes que
pasan por puntos situados a la misma distancia de los extremos de los hilos (véase la
Fig. (5.7)(b)) hasta conseguir que los tramos rotados sean perpendiculares a los hilos
que formaban la línea de transmisión original. Si en la línea de transmisión original
(la de la Fig. (5.7)(a)) la corriente tenía un patrón sinusoidal, se anulaba en el extremo
de los hilos y tenía sentidos contrarios en los hilos, parece lógico pensar que en la an-
tena dipolo resultante la corriente tendrá aproximadamente un patrón sinusoidal, se
anulará en los extremos, y a diferencia de lo que ocurre en la línea, llevará el mismo
sentido en los dos tramos del dipolo (véase la Fig. (5.7)(c)). Este patrón de corriente de
tipo sinusoidal con nulos en los extremos ha sido verificado experimentalmente para
antenas dipolo.
La Fig. (5.8) muestra una antena
dipolo rectilíneo de longitud l y ra-
dio a. Se supone que la antena está ali-
mentada con una corriente de intensi-
dad I0 en su punto medio (que supon-
dremos que coincide con el origen de
coordenadas), y que el eje de la antena
coincide con el eje z. Si a << l (para
que la antena pueda ser tratada como
un conductor filiforme), a partir de la
relación que existe entre la corriente
en una línea bifilar acabada en abier-
to y la corriente en la antena dipolo
(véase la Fig. (5.7)), podemos aproxi-
mar el fasor de intensidad de corri-
ente en la antena dipolo mediante la
expresión: Figura 5.8: Antena dipolo.
· ¸
′ l ′ l
I(z ) = I0 sen k0 ( − |z |) |z ′ | <
2 2
donde I0 es en general una cantidad compleja. De acuerdo con la ecuación (5.9), el
vector N1 para esta antena tipo I vendrá dado por:
Z z′ =+l/2 · ¸
l ′
N1 (θ, φ) = I0 sen k0 ( − |z |) ẑejk0 z cos θ dz ′
′
z ′ =−l/2 2
Z z′ =+l/2 · ¸
l
= 2I0 ẑ I0 sen k0 ( − z ) cos(k0 z ′ cos θ) dz ′
′
2
" z =0¡
′
¡ ¢#
2I0 cos k20 l cos θ − cos k20 l
¢
= ẑ
k0 sen2 θ
c Rafael R. Boix
°
Con lo cual, de acuerdo con las ecuaciones (5.5) y (5.6), se va a cumplir que:
" ¡ ¢#
2I0 cos k20 l cos θ − cos k20 l
¡ ¢
N1θ (θ, φ) = −
k0 sen θ
N1φ (θ, φ) = 0
Utilizando las ecuaciones anteriores en (5.3) y (5.4), se llega a que los campos ra-
diados por la antena en la región de campo lejano valen:
" ¡ k0 l ¢ ¡ k0 l ¢ #
−jk0 r cos cos θ − cos
jη I
0 0 e
EI (r, θ, φ) ≈ 2 2
θ̂
2πr sen θ
" ¡ k0 l ¢ ¡ k0 l ¢ #
−jk0 r cos cos θ − cos
jI 0 e
HI (r, θ, φ) ≈ 2 2
φ̂
2πr sen θ
Y de acuerdo con (5.23), el promedio del vector de Poyinting en la región de campo

lejano vale:
" ¡ ¢ #2
2 cos k0 l cos θ − cos k0 l
¡ ¢
4M |I0 |
SIav (r, θ, φ) = 2 2
r̂
k02 r2 sen θ
En el caso concreto en que la antena mide λ0 /2 (esto es, l = λ0 /2, y en consecuencia,
k0 l = π), la potencia promedio radiada por la antena viene dada por (véase la ecuación
(5.28)):
" ¢#
|I0 |2 η0 φ=2π θ=π cos2 π2 cos θ
Z Z ¡
Prad |k0 l=π = dθdφ
8π 2 φ=0 θ=0 sen θ
" ¢#
|I0 |2 η0 θ=π/2 cos2 π2 cos θ
¡
2,44|I0 |2 η0
Z
= dθ =
2π θ=0 sen θ 8π
R 2π
donde se ha hecho uso de que Cin (2π) = 0 1−cos t
t
dt = 2,44, siendo Cin (•) una función
relacionada con la función coseno integral.
Si la longitud de la antena dipolo es inferior a la longitud de onda (l ≤ λ0 ), para
un valor fijo de r, los módulos de los vectores EI (r, θ, φ) y HI (r, θ, φ) alcanzan su valor
máximo cuando θ = π/2 (o lo que es lo mismo, en el plano z = 0, que es el plano
mediatriz de la antena) y se anulan cuando θ = 0 (esto es, en los puntos del el eje z,
que es el eje que contiene a la antena). En el plano θ = π/2, que es el plano donde
la emisión de radiación es máxima, EI (r, θ, φ) está dirigido paralelamente a la antena
(polarización vertical) y HI (r, θ, φ) es perpendicular a la antena (polarización hori-
zontal). Según hemos visto, si l ≤ λ0 , la radiación de la antena dipolo es máxima y es
isótropa en el plano mediatriz de la antena, y además, es nula a lo largo del eje de la
antena. Por tanto, si l ≤ λ0 , la antena dipolo se comporta como una antena omnidi-
reccional.
c Rafael R. Boix
°
Ejemplo 5.3: Campos y potencia radiados por una guía de ondas rectangular acaba-
da en abierto
Calcule los campos radiados por una guía de ondas rectangular abierta en la
región de campo lejano cuando por la guía se propaga el modo fundamental. Asimis-
mo, calcule la potencia promedio radiada por la guía de ondas abierta.
Solución
La Fig. (5.9) muestra una guía
de ondas acabada en abierto. Supon-
dremos que por la guía se propaga el
modo fundamental TE10 (esto es, la
frecuencia de operación es superior a
la frecuencia de corte del modo TE10
e inferior a la frecuencia de corte del
primer modo superior -modo TE20 si
a > 2b-). Para calcular los campos ra-
diados por la guía abierta en la región
de campo lejano, vamos a suponer
que los campos creados por la guía
abierta en la región z < 0 son despre-
ciables (región situada a la espalda de Figura 5.9: Guía de ondas rectangular acabada
la abertura de la guía de ondas). en abierto.
Asimismo, vamos a suponer que los campos existentes en la abertura de la guía
′
Sab son los correspondientes al modo TE10 (esto es, vamos a despreciar los modos
superiores que se excitan en la abertura al acabar bruscamente la guía de ondas).
Teniendo en cuenta todas esas suposiciones, si tomamos la superficie Sap ′
de la Fig.
(5.6) como una superficie que contiene a la abertura Sab y que se cierra a través de la
′
región z < 0 envolviendo a la guía de ondas, Sab ′

será la única parte de Sap ′
en la que
los campos tendrán valores apreciables.
De acuerdo con lo que se ha dicho en el párrafo anterior, la expresión de los fasores
de los campos en Sab ′
será:
µ ′¶
πx a b
E|S ′ = E0 cos ŷ |x′ | ≤ , |y ′ | ≤
ab a 2 2
µ ′¶
πx a b
H|S ′ = −Y10 E0 cos x̂ |x′ | ≤ , |y ′ | ≤
ab a 2 2
donde Y10 = β10 /(k0 η0 ) es la admitancia del modo TE10 y β10 = k02 − (π/a)2 es la
p
constante de fase de dicho modo. De acuerdo con las ecuaciones (5.10) y (5.11), las
densidades de corriente equivalentes en Sab ′
valdrán:
· µ ′¶ ¸ µ ′¶
πx πx a b
Kee = ẑ × −Y10 E0 cos x̂ = −Y10 E0 cos ŷ |x′ | ≤ , |y ′ | ≤
a a 2 2
· µ ′¶ ¸ µ ′¶
πx πx a b
Kme = −ẑ × E0 cos ŷ = E0 cos x̂ |x′ | ≤ , |y ′ | ≤
a a 2 2
c Rafael R. Boix
°
y como los campos son despreciables en el resto de la superficie Sap ′

, las corrientes
equivalentes también serán despreciables en dicha porción de Sap . Teniendo en cuenta
′
esto último y aplicando las ecuaciones (5.18) y (5.19), se llega a que los vectores N2 y
L2 para la guía acabada en abierto vienen dados por:
Z a/2 Z b/2 µ ′¶
πx ′ ′
N2 (θ, φ) = − Y10 E0 cos ŷejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ) dx′ dy ′
−a/2 −b/2 a
πab cos(X) sen(Y )
= Y10 E0 ¡ ¢2 ŷ
2 X 2 − π2 Y
Z a/2 Z b/2 µ ′¶
πx ′ ′
L2 (θ, φ) = E0 cos x̂ejk0 (x sen θ cos φ+y sen θ sen φ) dx′ dy ′
−a/2 −b/2 a
πab cos(X) sen(Y )
= − E0 ¡ ¢2 x̂
2 X2 − π Y
2
donde X = (πa/λ0 ) sen θ cos φ e Y = (πb/λ0 ) sen θ sen φ. Si ahora utilizamos las ecua-
ciones anteriores en las ecuaciones (5.14) a (5.16), y posteriormente sustituimos los
resultados obtenidos en las ecuaciones (5.12) a (5.13), se llega a que los campos crea-
dos por la guía de ondas abierta en la región de campo lejano vienen dados por:
jk0 η0 e−jk0 r
½· ¸
L2x (θ, φ)
E (r, θ, φ) ≈ −
II
cos θ sen φN2y (θ, φ) − sen φ θ̂
4πr η0
· ¸¾
L2x (θ, φ)
+ cos φN2y (θ, φ) − cos θ cos φ φ̂
η0
je−jk0 r abE0 cos(X) sen(Y ) h i
= − (β10 cos θ + k0 ) ¡ π ¢2 sen φθ̂ + cos φφ̂
8r X2 − Y
2
r̂ × EII (r, θ, φ)
HII (r, θ, φ) ≈
η0
−jk0 r
je abE0 cos(X) sen(Y ) h i
= − (β10 cos θ + k0 ) ¡ ¢2 − cos φθ̂ + sen φφ̂
8rη0 X2 − π Y
2
Y de acuerdo con la ecuación (5.24), el vector de Poynting en la región de campo
lejano valdrá:
a2 b2 |E0 |2 2 cos2 (X) sen2 (Y )
SII
av (r, θ, φ) = (β 10 cos θ + k 0 ) ¡ ¢2 i2 Y 2
128η0 r2
h
X 2 − π2
Finalmente, la potencia promedio radiada será la potencia emitida por la abertura
de la guía que, teniendo en cuenta que los campos en la abertura son los campos del
modo TE10 de la guía, vendrá dada por:
1
Z h i
Prad = Re E|S ′ × H |S ′ · ẑdx′ dy ′
∗
2 Sab′ ab ab
Y10 |E0 |2 a/2 b/2

µ ′¶
πx Y10 |E0 |2 ab
Z Z
2
= cos dx′ dy ′ =
2 −a/2 −b/2 a 4
c Rafael R. Boix
°
5.3. Parámetros de radiación de una antena 18
Fijado un valor de r, los módulos de EII (r, θ, φ) y HII (r, θ, φ) son máximos cuando
θ = 0 (esto es, a lo largo del eje z, que es la dirección perpendicular a la abertura).
Además, cuando ¯ θ = 0, se cumple que E (r, θ, φ) lleva la dirección del vector unitario
II
¯
sen φθ̂ + cos φφ̂¯ = ŷ, y que HII (r, θ, φ) lleva la dirección de − cos φθ̂ + sen φφ̂¯ =
¯ ¯
θ=0 θ=0
−x̂ (esto es, a lo largo de la dirección de máxima emisión de radiación, el campo
eléctrico está polarizado paralelamente a los dos lados más cortos de la guía de ondas,
y el campo magnético está polarizado paralelamente a los dos lados más largos, tal y
como les ocurre a los campos eléctrico y magnético transversales dentro de la guía).
Como la dirección de máxima emisión de radiación es a lo largo del eje de la guía de
ondas, la guía abierta tiene un diagrama de radiación direccional tipo “pincel”.
5.3. Parámetros de radiación de una antena

5.3.1. Diagramas de radiación
Los diagramas de radiación de una antena son representaciones gráficas de las
propiedades de radiación de una antena en la región de campo lejano en función de
las coordenadas esféricas angulares θ y φ. Los diagramas de radiación más usuales
son los diagramas de campo, en los que se representan los módulos de las compo-
nentes del fasor de campo eléctrico Eθ y Eφ en los puntos de una esfera (en la que
la coordenada esférica r permanece constante), y los diagramas de potencia, en los
que representa la intensidad de radiación U (θ, φ). A menudo, las magnitudes repre-
sentadas en los diagramas de campo y potencia se normalizan con respecto a su valor
máximo, con lo cual, se realizan representaciones de:
|Eθ (r, θ, φ)|
Eθ,n (θ, φ) = (5.29)
|Eθ (r, max)|
|Eφ (r, θ, φ)|
Eφ,n (θ, φ) = (5.30)
|Eφ (r, max))|
U (θ, φ)
Un (θ, φ) = (5.31)
U (max)
Aunque las representaciones se pueden llevar a cabo en una escala lineal, es muy
corriente llevar a cabo las representaciones en escala logarítmica, y más concreta-
mente en decibelios (dB). En ese caso, las magnitudes que se representan en los dia-
gramas de campo y potencia son:
Eθ,n (θ, φ)dB = 20 log (Eθ,n (θ, φ)) (5.32)
Eφ,n (θ, φ)dB = 20 log (Eφ,n (θ, φ)) (5.33)
Un (θ, φ)dB = 10 log (Un (θ, φ))) (5.34)
donde se ha tenido en cuenta que la intensidad de radiación es una magnitud rela-
cionada con el cuadrado del campo eléctrico (véase la ecuación (5.25)). La repre-
sentación en escala logarítmica es deseable porque puede resaltar con más detalle
c Rafael R. Boix
°
aquellas partes del diagrama de radiación donde las magnitudes representadas al-
canzan valores pequeños, a las que más adelante nos referiremos como lóbulos se-
cundarios. Este hecho se pone de manifiesto en la Fig. (5.10).
Figura 5.10: Representaciones polares de los diagramas de radiación de una agrupación li-
neal de 10 antenas isótropas, separadas una distancia d = 0,25λ0 . Diagrama de campo en
escala lineal (a), diagrama de potencia en escala lineal (b) y diagrama de potencia en dB (c).
c Rafael R. Boix
°
En ocasiones, se hacen representaciones tridimensionales (polares o cartesianas)

de los diagramas de radiación frente a las dos variables θ y φ, o frente a las dos varia-
bles alternativas u = sen θ cos φ y v = sen θ sen φ (siendo −1 ≤ u ≤ +1 y −1 ≤ v ≤ +1).
La Fig. (5.11)(a) muestra una de esas representaciones tridimensionales. No obstante,
las representaciones más populares son representaciones bidimensionales de cortes
de los diagramas tridimensionales. Así, se llevan a cabo representaciones “en ele-
vación” frente a la variable θ manteniendo constante la variable φ (éste es el caso
tratado en la Fig. 5.11(b)) y representaciones “en azimut” frente a la variable φ man-
teniendo constante la variable θ (en este caso se suele hacer la representación en el
plano azimutal θ = π/2). Las Figs. (5.10) y (5.11) nos muestran que los diagramas de
radiación suelen tener varios lóbulos (lobes en inglés). Un lóbulo de radiación es una
porción del diagrama de radiación que está limitada por regiones donde la intensi-
dad de radiación es relativamente más débil. El lóbulo principal (major lobe en inglés)
del diagrama de radiación es el que contiene la dirección de máxima emisión de ra-
diación. Los lóbulos secundarios (minor lobes en inglés) son todos aquellos lóbulos
diferentes al lóbulo principal. Los lóbulos laterales (side lobes en inglés) son los lóbu-
los secundarios adyacentes al lóbulos principal. El lóbulo posterior (back lobe en in-
glés) es el que emite radiación en una dirección que forma un ángulo de aproximada-
mente 180◦ con la dirección de emisión de radiación del lóbulo principal. Una figura
de mérito que mide la capacidad de la antena para concentrar la potencia disponible
en el lóbulo principal es el nivel de lóbulos secundarios NLS, que es la relación entre
la intensidad de radiación emitida en la dirección de máxima emisión de radiación
del mayor lóbulo secundario y la intensidad de radiación emitida en la dirección de
máxima emisión de radiación del lóbulo principal. Normalmente, los lóbulos secun-
darios más relevantes en un diagrama de radiación son los lóbulos laterales (por este
motivo, al “nivel de lóbulos secundarios” también se le suele llamar “nivel de lóbulos
laterales”). En decibelios, NLS viene dado por:
µ ¶
U (LS)
NLSdB = 10 log (5.35)
U (max)
Una propiedad fundamental de las antenas es su capacidad para focalizar la po-
tencia radiada en determinadas direcciones, tratando de evitar la emisión de potencia
en otras direcciones distintas. Una antena con un lóbulo principal ancho puede emi-
tir (o recibir) potencia en un gran intervalo angular, mientras que una antena con un
lóbulo principal estrecho sólo emitirá (o recibirá) potencia en un pequeño intervalo
angular. Una medida de la capacidad que tiene la antena de concentrar la potencia
en determinadas direcciones la da el ancho de haz para la mitad de potencia AHMP
(half-power beamwidth HPBW en inglés), también conocido como “ancho de haz a -3
dB”. En cada plano que contiene la dirección de máxima emisión de radiación del
lóbulo principal, se define el ancho del haz para la mitad de potencia como la sepa-
ración angular entre los puntos del lóbulo principal para los cuales la intensidad de
radiación es igual a la mitad de lo que vale en la dirección de máxima emisión de
radiación (o bien, el módulo del campo eléctrico es igual a 0.707 veces su valor en
la dirección de máxima emisión de radiación), tal y como muestran las Figs. (5.10)
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.11: (a) Representación polar tridimensional de un diagrama de radiación. (b) Repre-
sentación cartesiana de un diagrama de potencia en escala lineal. En los dos casos se muestran
los lóbulos del diagrama, el ancho de haz para la mitad de potencia, y el ancho de haz entre
primeros nulos.
y (5.11). Una medida alternativa de la anchura relativa del lóbulo principal la da el

ancho de haz entre primeros nulos AHPN (first null beamwidth FNBW en inglés), que
es la separación angular entre los nulos adyacentes al lóbulo principal del diagrama
de radiación (véase la Fig. (5.11)). Cuando el lóbulo principal del diagrama de ra-
c Rafael R. Boix
°
diación tiene simetría de revolución (como ocurre con el diagrama de la Fig. (5.11)(a)),
el “ancho de haz para la mitad de potencia” es el mismo para todos los planos que
contienen a la dirección de máxima emisión de radiación de la antena. Sin embargo,
cuando el lóbulo principal no tiene simetría de revolución, el AHMP va cambiando
en cada plano que contiene a la dirección de máxima emisión de radiación. Cuando
esto ocurre, se define un contorno para la mitad de potencia en el lóbulo principal del
diagrama de radiación, que suele ser una elipse (la elipse se convierte en una circun-
ferencia si el diagrama tiene simetría de revolución), y se fijan dos valores relevantes
del “ancho de haz para la mitad de potencia”, que corresponden a los valores del
AHMP en los planos que contienen a los ejes mayor y menor de la elipse.
Figura 5.12: Planos principales E y H para una antena de bocina piramidal.
En el diseño de una buena antena direccional se debe minimizar el AHMP (para

que el lóbulo principal sea tan estrecho como sea posible) y se debe minimizar el NLS
c Rafael R. Boix
°
(para que la mayor parte de la potencia disponible se concentre en el lóbulo princi-

pal, y no en los lóbulos secundarios). Pues bien, en la práctica ocurre que al reducir
el AHMP, aumenta el NLS, y viceversa, con lo cual, es preciso llegar a un compro-
miso entre las dos figuras de mérito AHMP y NLS (este compromiso es habitual en la
síntesis de diagramas de radiación mediante agrupaciones de antenas).
Cuando las antenas están polarizadas linealmente (véase la subsección 5.3.6), las
propiedades de radiación quedan muy bien descritas en términos de las representa-
ciones bidimensionales de los diagramas de radiación en los planos principales: plano
E y plano H. El plano E es el plano que contiene a la dirección de máxima emisión de
radiación y al vector campo eléctrico radiado en esa dirección. El plano H contiene a
la dirección de máxima emisión de radiación y al vector campo magnético radiado en
esa dirección. La Fig. (5.12) muestra los planos principales de radiación de una antena
de bocina piramidal. Obsérvese que los ejes coordenados se han elegido con respecto
a la antena de manera que los planos E y H coincidan con los planos geométricos
canónicos. De hecho, el plano E coincide con el plano x − z, y el plano H, con el plano
y − z. Se observa que los planos principales de la antena de bocina son equivalentes a
los planos principales de la guía de ondas abierta estudiada en el Ejemplo 5.3.
Ejemplo 5.4: Cálculo de AHMP, AHPN y NLS

La intensidad de radiación normalizada de una antena (véase la ec. (5.31)) vale
Un (θ) = cos2 (θ) cos2 (3θ). Calcule el AHMP, el AHPN y el NLS para esa antena.
Solución
De acuerdo con la Fig. (5.13), para calcular el AHMP, debemos calcular el valor de
θ = θh para el cual Un (θ = θh ) = 0,5. De acuerdo con esta condición, se debe cumplir
que:
cos2 (θh ) cos2 (3θh ) = 0,5 ⇒ cos(θh ) cos(3θh ) = 0,707 ⇒ 4 cos4 (θh ) − 3 cos2 (θh ) − 0,707 = 0
⇒ cos2 (θh ) = 0,938 ⇒ cos(θh ) = 0,969 ⇒ θh = 0,25 rad
donde se ha tenido en cuenta que cos(3θ) = 4 cos3 (θ) − 3 cos(θ). Una vez conocido θh ,
de la Fig. (5.13) queda claro que:
AHM P = 2θh = 0,5 rad = 28,65◦
Para calcular el AHPN, tenemos que determinar los ceros de Un (θ) = cos2 (θ) cos2 (3θ).
Los valores de θ = θn para los cuales Un (θ = θn ) = 0 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2 son:
π
cos(θn,1 ) = 0 ⇒ θn,1 = rad = 90◦
2
π
cos(3θn,2 ) = 0 ⇒ θn,2 = rad = 30◦
6
con lo cual, a la vista del diagrama de radiación de la antena (Fig. (5.13)), queda claro
que:
π
AHP N = 2θn,2 = rad = 60◦
3
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.13: Representaciones tridimensional (a) y bidimensional (b) del diagrama de ra-
diación correspondiente a Un (θ) = cos2 (θ) cos2 (3θ).
Finalmente, para obtener el NLS, debemos obtener¯los máximos de Un¯(θ), o lo que

2
es lo mismo, los valores θ = θm para los cuales dUdθ
n (θ) ¯
= 0 y d Udθn2(θ) ¯ > 0. Si
¯
¯
θ=θm θ=θm
tenemos en cuenta que:
dUn (θ)
= 4 cos2 (θ) cos(3θ) sen θ 8 cos2 (θ) − 3
¡ ¢
dθ
es fácil deducir
³pque´los máximos de Un (θ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2 son θm,1 = 0 y
θm,2 = cos−1 3/8 = 0,9117 rad. Por tanto, si hacemos uso de la ecuación (5.35) y
de la Fig. (5.13), se llega a que:
µ ¶
Un (θm,2 )
NLSdB = 10 log = 10 log (0,3164) ≈ −5 dB
Un (θm,1 )
5.3.2. Directividad
La versión de 1983 de las IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas (IEEE
Std 145-1983) define la directividad de una antena en una dirección dada como la
c Rafael R. Boix
°
razón entre la intensidad de radiación en esa dirección y la intensidad de radiación

promediada en todas la direcciones del espacio. De acuerdo con esta definición, si
D(θ, φ) es la directividad en la dirección caracterizada por las coordendas esféricas
angulares θ y φ, se cumple que:
U (θ, φ) 4πU (θ, φ)

D(θ, φ) = R φ=2π R θ=π = (5.36)
1
U (θ, φ) sen θdθdφ Prad
4π φ=0 θ=0
donde se ha hecho uso de la ecuación (5.28). Si al hablar de directividad, no se es-

pecifica la dirección, se sobreentiende que nos estamos refiriendo a la directividad en
la dirección de máxima emisión de radiación de la antena. Esto es, la directividad a
secas D0 (= Dmax ) viene dada por:
U (max) 4πU (max)

D0 = R φ=2π R θ=π = (5.37)
1
U (θ, φ) sen θdθdφ Prad
4π φ=0 θ=0
La directividad es una cantidad adimensional. Como la directividad es un cociente

entre densidades de potencia, la directividad en decibelios viene dada por:
D(θ, φ)dB = 10 log (D(θ, φ)) (5.38)
Una antena isótropa es una hipotética antena que radia por igual en todas las
direcciones del espacio (esta antena no es físicamente realizable, y por tanto, es un
modelo ideal de antena). Para una antena isótropa, se cumple que la intensidad de
radiación es la misma en todas las direcciones del espacio (esto es U (θ, φ) = C para
todos los valores de θ y φ, siendo C una constante), y de acuerdo con la ecuación (5.36),
se cumple que D(θ, φ) = 1 = 0 dB para valores cualesquiera de θ y φ. Por este motivo,
muchas veces se habla de la directividad de una antena como de la directividad de la
antena referida a la directividad de una antena isótropa (cociente entre la directividad
de la antena y 1), y se mide la directividad de una antena en dBi (decibelios referidos
a los de una antena isótropa).
La directividad en una dirección es una figura de mérito que nos indica la capaci-
dad que tiene la antena para concentrar la energía radiada en esa dirección. En este
sentido, es un indicador de las propiedades direccionales relativas de la antena.
Tanto la directividad (máxima) como el ancho de haz son indicativos de la habi-
lidad de focalizar la energía que tiene una antena. Un diagrama de radiación con un
lóbulo principal estrecho tendrá una alta directividad, y un diagrama de radiación con
un lóbulo principal ancho tendrá una baja directividad. Aunque parece lógico pensar
que existe una relación directa entre la directividad y el ancho de haz, en el fondo esa
relación no es del todo válida. Y esto es debido a que mientras que el ancho de haz
sólo depende de las propiedades del lóbulo principal del diagrama de radiación, en la
definición de directividad entra tanto la potencia radiada a través del lóbulo principal
como la potencia radiada a través de los lóbulos secundarios. A pesar de esta sutil
diferencia, para antenas direccionales se ha obtenido una relación aproximada entre
la directividad D0 y los valores del ancho de haz para la mitad de potencia θ1 y θ2 en
c Rafael R. Boix
°
dos planos ortogonales del lóbulo principal (aquellos que contienen los ejes menor y
mayor del contorno elíptico para la mitad de potencia). Esta relación viene dada por:
32000
D0 = (5.39)
θ 1 θ2
donde θ1 y θ2 se miden en grados. La ecuación (5.39) no sirve para calcular la direc-
tividad de antenas con diagramas de radiación omnidireccionales, y en ese caso, hay
que utilizar otras expresiones aproximadas de la directividad.
Como ya se ha comentado con anterioridad, muchas antenas son conocidas como
antenas de abertura ya que en estas antenas la emisión de radiación tiene lugar a
través de una superficie plana conocida como “abertura” (éste es el caso de las antenas
de ranura, las guías de ondas abiertas, las antenas de bocina y las antenas reflectoras).
Para una superficie de abertura dada, se puede demostrar que la máxima directividad
posible se consigue cuando los campos en la abertura son uniformes. Si la abertura
tiene un área física Af , esta directividad máxima Dap
max
que se puede conseguir con la
abertura viene dada por:
max 4πAf
Dap = (5.40)
λ20
Por ejemplo, si la abertura de la antena de bocina piramidal de la Fig. (5.12) tiene
dimensiones 2λ0 × 3λ0 , la máxima directividad posible que se puede obtener con esa
abertura vale 24π. En la práctica las aberturas no suelen estar uniformente iluminadas
y su directividad suele ser inferior a la de la ecuación (5.40). Si la directividad de una
antena de abertura vale Dap , se define la eficiencia de la abertura eap como:
Dap λ20 Dap

eap = max
= (5.41)
Dap 4πAf
Como Dap ≤ Dap max

, la eficiencia de abertura es una cantidad menor o igual que
1, y se suele expresar en tanto por ciento. Por poner algún ejemplo, una abertura
rectangular con una distribución triangular del campo eléctrico posee una eficiencia
de abertura del 75 %, y una abertura rectangular con una distribución sinusoidal del
campo eléctrico (véase el Ejemplo 5.3) posee una eficiencia de abertura del 81 %.
Ejemplo 5.5: Cálculo de la directividad de un dipolo

Calcule la directividad de una antena dipolo de longitud l cuando l ≪ λ0 y cuando
l = λ0 /2.
Solución
De acuerdo con la ecuación (5.22) y con los resultados obtenidos en el Ejemplo 5.2,
la intensidad de radiación de una antena dipolo viene dada por:
" ¡ ¢ #2
4M |I0 |2 cos k20 l cos θ − cos k20 l
¡ ¢
U (θ, φ) =
k02 sen θ
c Rafael R. Boix
°
Si l ≪ λ0 , se cumple que k0 l ≪ 1, y podemos hacer las aproximaciones cos k20 l cos θ

¡ ¢
¢2 ¡ ¢2
≈ 1 − k20 l cos θ /2 y cos k20 l ≈ 1 − k20 l /2. En ese caso, la intensidad de radiación
¡ ¡ ¢
admite la expresión más sencilla:

M |I0 |2 k02 l4
U (θ, φ) = sen2 θ
16
con lo cual, de acuerdo con (5.36), la directividad valdrá:
4π sen2 θ 2 sen2 θ
D(θ, φ) = R φ=2π R θ=π = 4 = 1,5 sen2 θ
3
sen θdθdφ
φ=0 θ=0 3
y la directividad máxima valdrá D0 = 1,5 = 1,76 dBi.

En el caso de una antena dipolo de longitud λ0 /2, los resultados del Ejemplo 5.2
nos dicen que la intensidad de radiación vale:
" ¢#
|I0 |2 η0 cos2 π2 cos θ
¡
U (θ, φ) =
2π sen2 θ
con lo cual, utilizando una vez más los resultados del Ejemplo 5.2, la directividad
vendrá dada por:
" ¢#
cos2 π2 cos θ
¡
4πU (θ, φ)
D(θ, φ) = = 1,64
Prad sen2 θ
y la directividad máxima valdrá D0 = 1,64 = 2,15 dBi.

Se observa que las directividades del dipolo corto y del dipolo λ0 /2 son bajas, lo
cual es debido a que sus diagramas de radiación son omnidireccionales.
Ejemplo 5.6: Cálculo de la directividad de una guía de ondas acabada en abierto.

Calcule la directividad de la guía de ondas rectangular acabada en abierto del
Ejemplo 5.3.
Solución
De acuerdo con los resultados obtenidos en el Ejemplo 5.3, la intensidad de ra-
diación de la guía de ondas rectangular acabada en abierto viene dada por:
a2 b2 |E0 |2 cos2 (X) sen2 (Y )
U (θ, φ) = (β10 cos θ + k0 )2 h ¡ π ¢2 i2 Y 2
128η0 2
X − 2
donde X = (πa/λ0 ) sen θ cos φ e Y = (πb/λ0 ) sen θ sen φ. Utilizando una vez más los
resultados obtenidos en el Ejemplo 5.3, la directividad de la guía de ondas rectangular
acabada en abierto valdrá:
4πU (θ, φ) πab cos2 (X) sen2 (Y )
D(θ, φ) = = (β10 cos θ + k0 )2 h ¡ ¢2 i2 Y 2
Prad 8η0 Y10
X 2 − π2
c Rafael R. Boix
°
y la directividad máxima valdrá:

µ ¶2
2ab ab 8 β10
D0 = D(θ = 0, φ) = 3 (β10 + k0 )2 = 2 1+
π η0 Y10 λ0 πη0 Y10 k0
La ecuación anterior muestra que D0 es proporcional al cociente entre el área de

la abertura (ab) y λ20 . Esta es una propiedad común a todas las antenas de abertura,
y para poder disponer de antenas de abertura muy direccionales, será necesario que
el cociente entre el área de la abertura y λ20 sea elevado (lo cual obliga a trabajar con
antenas eléctricamente grandes).
En el caso concreto de una guía de ondas rectangular WR-90 (a = 2,286 cm y
b = 1,016 cm) a una frecuencia de operación de 10 GHz (la guía WR-90 está pensada
para trabajar en régimen monomodo en el intervalo de frecuencias 8 GHz≤ f ≤12
GHz), la directividad de la guía acabada en abierto vale D0 = 2,681 = 4,283 dBi (debe
tenerse en cuenta que la directividad no es muy elevada porque ab/λ20 = 0,258064 es
una cantidad pequeña).
5.3.3. Eficiencia de radiación

Todas las antenas tienen pérdidas resistivas debidas a las pérdidas óhmicas en los
metales con las que están fabricadas, y en el caso de las antenas que incluyen dieléc-
tricos (caso de las antenas microstrip), a las pérdidas en los dieléctricos (caracterizadas
a través de la tangente de pérdidas). Todas estas pérdidas tienen como consecuencia
que exista una diferencia entre la potencia promedio suministrada en los terminales
de entrada de la antena Pin y la potencia promedio radiada por la antena Prad . Co-
mo ocurre con otros componentes eléctricos, se define la eficiencia de radiación de
una antena erad como el cociente entre la potencia deseada a la salida y la potencia
suministrada a la entrada, esto es:
Prad Prad
erad = = (5.42)
Pin Prad + Ppcd
donde Ppcd representa la potencia promedio disipada por pérdidas en conductores y

dieléctricos. De acuerdo con la definición dada en (5.42), la eficiencia de radiación es
siempre un número menor que uno, y se suele expresar en tanto por ciento. Aunque
en la ecuación (5.42) la eficiencia de radiación se define para antenas en transmisión, el
mismo concepto es válido también para antenas en recepción, siendo necesario en este
caso sustituir en (5.42) la potencia promedio radiada Prad por la potencia promedio
recibida Prec .
Aunque para antenas en transmisión y recepción existen otros factores que in-
fluyen sobre la potencia transmitida o recibida tales como la desadaptación de im-
pedancias a la entrada (antenas en transmisión) o a la salida (antenas en recepción),
o como la desadaptación en la polarización en el caso de las antenas en recepción,
todos estos factores de pérdidas son externos a las antenas y podrían ser elimina-
dos mediante el uso de redes de adaptación (para acabar con la desadaptación de
c Rafael R. Boix
°
impedancias) o mediante una colocación adecuada de las antenas en recepción (para

eliminar la desadaptación en la polarización). Dado que todos estos factores externos
no pueden ser atribuidos a las antenas, no deben ser contemplados en la definición de
la eficiencia de la antena, que únicamente está supeditada a las pérdidas disipativas
en los conductores y en los dieléctricos con los que está fabricada.
Ejemplo 5.7: Cálculo de la eficiencia de radiación de una antena dipolo.

Una antena dipolo mide l = 1 m y está fabricada con un cable de cobre (σ =
5,7 · 107 Ω−1 m−1 ) de radio a = 1,63 mm. Calcule la eficiencia de radiación de la antena
dipolo a 1MHz y a 150 MHz, teniendo en cuenta que la profundidad de penetración
en el cobre δ es mucho menor que el radio de la antena,
Solución
A 1 MHz, se cumple que λ0 = 300 m, y en consecuencia, k0 l ≪ 1. Por tanto, si en
la expresión obtenida para la intensidad
£ l de ′corriente en la antena dipolo del Ejemplo
5.2, hacemos la aproximación sen k0 ( 2 − |z |) ≈ k0 ( 2 − |z ′ |) (|z ′ | < 2l ), llegamos a la
l
¤
siguiente expresión para el fasor de intensidad de corriente en el dipolo corto:
l l
I(z ′ ) = I0 k0 ( − |z ′ |) |z ′ | <
2 2
Y además,psi tenemos en cuenta que estamos en condiciones de fuerte efecto pe-
licular (δ = 1/πµ0 σf ≪ a), podemos suponer que toda la corriente en la antena
está concentrada en una película de espesor δ alrededor de su superficie, y en ese
caso, podemos aproximar el fasor de densidad volumétrica de corriente en la antena
mediante la expresión:
½ I(z′ ) I0 k0 l
′ ′ ẑ = 2πaδ ( 2 − |z ′ |)ẑ a − δ ≤ ρ ≤ a; |z ′ | < 2l
J(ρ , z ) ≈ 2πaδ
0 ρ < a − δ; |z ′ | < 2l
La potencia óhmica promedio disipada en la antena de cobre viene dada por la

expresión:
µ ¶2 Z φ=2π ρ=a z=l/2 µ ¶2
1 1 |I0 |k0 l
Z Z Z
′ ′ 2 ′
Pohm = |J(ρ , z )| dτ = − |z | adz ′ dρ′ dφ′
′
2σ τa′ 2σ 2πaδ φ=0 ρ=a−δ z=−l/2 2
|I0 |2 k02 l3
=
48πσaδ
Por otro lado, utilizando la expresión obtenida en el Ejemplo 5.5 para la intensi-
dad de radiación de un dipolo corto (k0 l ≪ 1), tendremos que la potencia promedio
radiada por esta antena vale:
φ=2π θ=π φ=2π θ=π
M |I0 |2 k02 l4 η0 |I0 |2 k04 l4
Z Z Z Z
Prad = U (θ, φ) sen θdθdφ = sen3 θdθdφ =
φ=0 θ=0 16 φ=0 θ=0 192π
c Rafael R. Boix
°
con lo cual, la eficiencia de radiación de la antena dipolo a 1 MHz resulta ser:

η0 |I0 |2 k04 l4
Prad Prad 192π 1
erad = = = = ≈ 20 %
Prad + Ppcd Prad + Pohm η0 |I0 |2 k04 l4
+
|I0 |2 k02 l3 1 + k2δ
0 la
192π 48πσaδ
A 150 MHz, se cumple que λ0 = 2 m, y en consecuencia, l = λ0 /2 (k0 l = π), con

lo cual, no nos vale la aproximación de dipolo corto y la expresión para el fasor de
intensidad de corriente en la antena es la que aparece en el Ejemplo 5.2. Por tanto, si
seguimos suponiendo que estamos en condiciones de fuerte efecto pelicular, el fasor
de densidad volumétrica de corriente en la antena viene dado por:
( h ³ ´i
I(z ′ ) I0 π 2|z ′ |
ẑ = sen 1 − ẑ a − δ ≤ ρ ≤ a; |z ′ | < 2l
J(ρ′ , z ′ ) ≈ 2πaδ 2πaδ 2 l
0 ρ < a − δ; |z ′ | < 2l
y ahora la potencia óhmica promedio disipada en la antena vendrá dada por la expre-
sión:
¶2 Z φ=2π Z ρ=a Z z=l/2
2|z ′ |
µ · µ ¶¸
1 |I0 | 2 π
Pohm = sen 1− adz ′ dρ′ dφ′
2σ 2πaδ φ=0 ρ=a−δ z=−l/2 2 l
|I0 |2 l
=
8πσaδ
Por tanto, teniendo en cuenta el resultado obtenido en el Ejemplo 5.2 para la po-
2
tencia radiada por una antena λ0 /2 (Prad = 2,44|I8π0 | η0 ), la eficiencia de radiación de la
antena dipolo a 150 MHz valdrá:
2,44|I0 |2 η0
Prad 8π 1
erad = = 2,44|I0 |2 η0 |I0 |2 l
= l
≈ 99,8 %
Prad + Pohm + 8πσaδ 1+ 2,44aσδη0
8π
Se observa que mientras que la eficiencia del dipolo corto es pequeña, la eficiencia
del dipolo λ0 /2 está próxima a la unidad. Se ha comprobado que este resultado es
extensible a otros tipos de antenas. En general, la eficiencia de las antenas eléctrica-
mente pequeñas (dimensiones mucho menores que la longitud de onda) es baja, y en
cambio, la eficiencia de las antenas cuyas dimensiones son del orden de la longitud
de onda (o mayores) es prácticamente la unidad. La eficiencia de las antenas monopo-
lo utilizadas en los aparatos de radio y en los vehículos para recepción de señales de
AM (frecuencias en torno a 1 MHz) es pequeña ya que el tamaño de estas antenas está
alrededor de 1 m y la longitud de onda está en torno a los 300 m. Esto significa que
estas antenas sólo van a capturar una parte muy pequeña de la potencia que les llega
(a la baja recepción de potencia también contribuye la dificultad para adaptar bien es-
tas antenas eléctricamente pequeñas). A pesar de todo, este bajo nivel de potencia se
considera suficiente en recepción. Sin embargo, es inadmisible que una antena tenga
una baja eficiencia en transmisión ya que la mayor parte de la potencia entregada a
la antena se perdería en pérdidas resistivas. Por este motivo, las antenas monopolo
utilizadas en las emisoras de AM son torres de estructura metálica que tienen varias
decenas de metros (y por tanto, un tamaño comparable a la longitud de onda de ope-
ración).
c Rafael R. Boix
°
5.3.4. Ganancia
La directividad de una antena depende exclusivamente de las características de
los diagramas de radiación, y únicamente da idea de las propiedades direccionales
de la antena. Cuando una antena se utiliza en un sistema en transmisión, además de
interesarnos las propiedades direccionales de la antena, nos interesa saber también
cuál es la eficiencia de la transformación de la potencia disponible en los terminales
de entrada de la antena en potencia radiada. La ganancia de una antena es una figura
de mérito que da cuenta, tanto de las propiedades direccionales de la antena como de
la eficiencia de radiación. Se define la ganancia de una antena en una determinada di-
rección como la razón entre la intensidad de radiación en esa dirección y la intensidad
de radiación que se obtendría si toda la potencia suministrada a la antena se radiara
de forma isótropa. De acuerdo con esta definición, la ganancia de la antena G(θ, φ)
en la dirección caracterizada por las coordendas esféricas angulares θ y φ viene dada
por:
U (θ, φ) 4πU (θ, φ) Prad 4πU (θ, φ)
G(θ, φ) = Pin = = = erad D(θ, φ) (5.43)
4π
Pin Pin Prad
donde se ha hecho uso de las ecuaciones (5.36) y (5.42). De acuerdo con la ecuación
(5.43), la ganancia de una antena en una dirección es igual al producto de la eficiencia
de radiación por la directividad en esa dirección. Por tanto, la ganancia es siempre
menor o igual que la directividad. Al igual que ocurre con la directividad, si al hablar
de la ganancia no especificamos la dirección, nos estaremos refiriendo a la ganancia
máxima G0 (= Gmax ), que viene dada por:
4πU (max)
G0 = = erad D0 (5.44)
Pin
Análogamente a lo que ocurre con la directividad, como la ganancia es también
un cociente entre densidades de potencia, la ganancia en decibelios viene dada por:
G(θ, φ)dB = 10 log (G(θ, φ)) (5.45)
A veces, la ganancia de una antena se expresa en dBi, en cuyo caso se hace referen-
cia a la ganancia de la antena relativa a una hipotética antena isótropa sin pérdidas
(para la cual G(θ, φ) = 1 = 0 dB).
Al igual que ocurre con la eficiencia de radiación, la definición dada en (5.43) nos
indica que la ganancia de una antena sólo incluye las pérdidas resistivas en la antena,
y no da cuenta ni de las pérdidas por desadaptación a la impedancia de la línea de
transmisión conectada a la antena, ni de las pérdidas por desadaptación en la polari-
zación de la antena en recepción.
5.3.5. Polarización
La polarización de una antena en una dirección es la polarización del campo elec-
tromagnético emitido por la antena en esa dirección en la región de campo lejano.
c Rafael R. Boix
°
Si no se especifica la dirección, la polarización de una antena es la polarización del

campo emitido por la antena en la dirección en la que la ganancia es máxima (direc-
ción de máxima emisión de radiación) en la región de campo lejano. En la práctica,
la polarización de una antena varía con la dirección, con lo cual, partes diferentes del
diagrama de radiación pueden tener polarizaciones distintas.
La polarización de una onda electromagnética en un punto del espacio está vin-
culada al lugar geométrico de los puntos recorridos por la punta del vector campo
eléctrico en ese punto del espacio en un plano perpendicular a la dirección de propa-
gación. Según ese lugar geométrico sea un segmento, una circunferencia o una elipse,
tendremos polarización lineal, circular o elíptica. A continuación, se describen en
detalle las condiciones que conducen a esos tres estados de polarización.
De acuerdo con las ecuaciones (5.3) y (5.12), el fasor del campo eléctrico creado
por una antena en un punto P de la región de campo lejano se puede escribir:
E(P ) = E1 θ̂ + E2 φ̂ (5.46)
donde E1 y E2 son dos números complejos. Si ahora elegimos un sistema de coor-

denadas local con origen en el punto P , en el que la parte positiva del eje x vaya en
la dirección y sentido de θ̂, la parte positiva del eje y vaya en la dirección y sentido
de φ̂ y la parte positiva del eje z vaya en la dirección y sentido de r̂ (que, según las
ecuaciones (5.3) y (5.12), es la dirección y sentido de propagación de la onda esférica
emitida por la antena), el fasor de campo eléctrico en P se podrá escribir:
E(P ) = E1 x̂ + E2 ŷ = Ex0 ejφx x̂ + Ey0 ejφy ŷ (5.47)
donde Ex0 = |E1 |, Ey0 = |E2 |, φx = arg(E1 ) y φy = arg(E1 ). Y de acuerdo con (5.47) y
(5.1), el campo eléctrico instantáneo en el punto P vendrá dado por
~ t) = Re E(P )ejωt = Ex0 cos(ωt+φx )x̂+Ey0 cos(ωt+φy )ŷ = Ex (t)x̂+Ey (t)ŷ (5.48)
£ ¤
E(P,
La punta del vector campo eléctrico en el punto P describe en el plano Ex − Ey una

curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
Ex (t) = Ex0 cos(ωt + φx ) (5.49)

Ey (t) = Ey0 cos(ωt + φy ) (5.50)
Despejando el parámetro t de (5.49) y (5.50), podemos obtener la ecuación implíci-

ta de la curva, dada por:
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶µ ¶
Ex Ey Ex Ey
+ −2 cos ∆φ = sen2 ∆φ (5.51)
Ex0 Ey0 Ex0 Ey0
donde ∆φ = φy − φx . En general, la ecuación (5.51) es la ecuación de una elipse (elipse
de polarización) que se muestra en la Fig. (5.14).
Se define la razón axial RA (axial ratio AR en inglés) como el cociente entre el eje
mayor y el eje menor de la elipse de polarización (de acuerdo con la notación de la
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.14: Elipse de polarización. OA y OB representan el eje mayor y el eje menor de la

elipse respectivamente. τ es el ángulo que forma el eje mayor de la elipse con el eje de abcisas.
Fig. (5.14), se cumple que RA = OA/OB). Se puede demostrar que la RA se puede

obtener en términos de los parámetros que aparecen en la ecuación (5.51) mediante la
expresión:
(
2 2
£ 4 4 2 2
¤1/2 )1/2
Ex0 + Ey0 + Ex0 + Ey0 + 2Ex0 Ey0 cos(2∆φ)
RA = £ 4 ¤1/2 (5.52)
2 2 4 2 2
Ex0 + Ey0 − Ex0 + Ey0 + 2Ex0 Ey0 cos(2∆φ)
Asimismo, se puede demostrar que el ángulo τ que forma el eje mayor de la elipse
con el eje Ey de la Fig. (5.14) viene dado por:
· ¸
π 1 −1 2Ex0 Ey0
τ = − tan 2 2
cos(2∆φ) (5.53)
2 2 Ex0 − Ey0
Los tres estados diferentes de polarización se alcanzan cuando se dan las siguien-
tes condiciones:
Polarización lineal. Se produce cuando ∆φ = nπ (n = . . . , −1, 0, 1, . . .), o lo que

es lo mismo, cuando la diferencia de fase entre las dos componentes ortogonales
del campo eléctrico es un múltiplo entero de π. En ese caso, la elipse de polari-
zación degenera en un segmento (OB = 0) y RA = ∞ (véanse, por ejemplo las
Figs. (5.15)(a) y (5.15)(b)).
c Rafael R. Boix
°
Polarización circular. Se produce cuando Ex0 = Ey0 y cuando ∆φ = π/2 + 2nπ

o ∆φ = −π/2 + 2nπ (n = . . . , −1, 0, 1, . . .), o lo que es lo mismo, cuando las am-
plitudes de las dos componentes orotogonales del campo eléctrico son iguales
y el desfase entre esas dos componentes es un múltiplo impar de π/2. En ese
caso, la elipse se convierte en una circunferencia (OA = OB) y RA = 1. Cuando
∆φ = π/2 + 2nπ, la circunferencia de polarización se recorre en sentido horario
para un observador que mira en sentido contrario al de la propagación (véase la
Fig. (5.15)(c)) y tenemos polarización circular de la mano izquierda o PCMI (left
hand circular polarization o LHCP en inglés) ya que el campo gira como lo haría
la mano izquierda si el pulgar apuntara en la dirección de propagación. Cuando
∆φ = −π/2 + 2nπ, la circunferencia de polarización se recorre en sentido anti-
horario para un observador que mira en sentido contrario al de la propagación
(véase la Fig. (5.15)(d)) y tenemos polarización circular de la mano derecha o
PCMD (right hand circular polarization o RHCP en inglés) ya que el campo gira
como lo haría la mano derecha si el pulgar apuntara en la dirección de propa-
gación.
Polarización elíptica. Se produce cuando, o bien Ex0 6= Ey0 y ∆φ 6= nπ (n =
. . . , −1, 0, 1, . . .), o bien Ex0 = Ey0 y ∆φ 6= nπ/2 (n = . . . , −1, 0, 1, . . .), o lo que
es lo mismo, cuando la polarización ni es lineal ni es circular. En ese caso, se
cumple que 1 < RA < ∞. Al igual que ocurre con la polarización circular,
podemos tener polarización elíptica de la mano izquierda (véase la Fig. (5.15)(e))
o polarización elíptica de la mano derecha (véase la Fig. (5.15)(f)).
El estado de polarización de una antena en recepción es muy importante ya que
la captación de potencia por parte de la antena es máxima cuando la antena tiene la
misma polarización que la onda incidente, tal y como se mostrará en la sección 5.5.
Las antenas receptoras polarizadas linealmente y circularmente son muy importantes
ya que las antenas emisoras de señales de radio y televisión suelen emitir ondas pola-
rizadas linealmente o circularmente. En particular, las antenas situadas en satélites de
comunicaciones en órbita alrededor de la tierra suelen estar polarizadas circularmente
para evitar el efecto de la rotación de Faraday, y para impedir que el movimiento
del satélite dé lugar a un hipotético bloqueo de comunicaciones que se produciría
en caso de polarización lineal (este bloqueo tendría lugar si las polarizaciones de las
antenas emisora y receptora fueran ambas lineales y ortogonales). Cuando una antena
está polarizada circularmente, la polarización circular pura (RA = 1) sólo se puede
conseguir a una única frecuencia. Se suele definir el ancho de banda de una antena
polarizada circularmente como el intervalo porcentual de frecuencias en el cual la
razón axial es menor o igual que 3 dB, siendo RAdB = 20 log RA (esto es, se acepta que
la polarización de la antena es aproximadamente circular, siempre y cuando la razón
axial no suba por encima de 3 dB).
El campo eléctrico radiado por una antena se puede expresar siempre como suma
de dos componentes ortogonales con el mismo tipo de polarización (por ejemplo, una
componente de polarización lineal vertical y otra componente de polarización lineal
horizontal, o una componente PCMI y otra componente PCMD, etc.). Normalmente,
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.15: Diferentes estados de polarización. En todos los casos suponemos que la onda
se propaga perpendicularmente al papel y hacia fuera del mismo.
las antenas se diseñan para radiar un tipo específico de polarización, y dentro de

ese tipo de polarización, una componente determinada (polarización lineal vertical,
polarización lineal horizontal, PCMI, PCMD, etc.). Pues bien, se llama componente
copolar del campo radiado a la componente que se desea radiar y componente con-
trapolar (o también componente de polarización cruzada), a la que tiene el mismo
tipo de polarización que la componente copolar y es ortogonal a dicha componente.
Aunque idealmente la componente contrapolar debería ser cero, en la práctica las
antenas siempre radian un cierto nivel de polarización cruzada. Al igual que se sue-
c Rafael R. Boix
°
len hacer representaciones de los diagramas de radiación en los planos principales

(planos E y H) para antenas polarizadas linealmente, son también muy frecuentes
las representaciones de la componente copolar y contrapolar del campo eléctrico en
antenas polarizadas linealmente y circularmente.
5.3.6. Área efectiva

Las figuras de mérito directividad, eficiencia de radiación y ganancia no sólo se
usan para antenas en transmisión sino que también se usan para antenas en recep-
ción. Dada una antena en recepción, es interesante conocer la potencia captada por
la antena cuando sobre ella incide una onda plana para la que se conoce el promedio
de potencia transportada por unidad de superficie (o lo que es lo mismo, el vector
de Poyinting complejo). Este problema es el inverso a calcular el promedio de po-
tencia por unidad de superficie radiado por una antena en transmisión (véanse las
ecuaciones (5.23) y (5.24)). La determinación de la potencia captada por una antena
en recepción es importante para poder derivar la ecuación de Friis para radioenlaces,
de la que se hablará en la Sección 5.5.
Consideremos una antena cuyo centro geomético coincide con el origen de un
sistema de coordenadas (véase la Fig. (5.11)(a)), y supongamos que sobre la antena
incide una onda plana que se propaga en la dirección caracterizada por las coordena-
das esféricas angulares θ y φ. Si el promedio del vector de Poynting de la onda plana
vale Sav,i (véase la ecuación (5.21)) y la potencia promedio captada por la antena (y
entregada a la impedancia de carga conectada a la antena) vale Prec , se define el área
efectiva de la antena en recepción Ae (θ, φ) en la dirección de incidencia de la onda
plana como:
Prec
Ae (θ, φ) = (5.54)
|Sav,i |
El área efectiva tiene dimensiones de superficie (m2 en el sistema internacional) y
puede ser interpretada como el “área de captura” que presenta la antena en recepción
a la potencia transportada por la onda plana que incide sobre ella.
A partir del teorema de reciprocidad del campo electromagnético, se puede de-
mostrar que el área efectiva de una antena en recepción sin pérdidas, adaptada a la
impedancia de carga conectada a la antena, y adaptada a la polarización de la on-
da incidente sobre la antena, se puede expresar en términos de la directividad de la
antena mediante la expresión:
D(θ, φ)λ20
Ae (θ, φ) = (5.55)
4π
De acuerdo con la ecuación anterior, el área efectiva de la antena en recepción
será máxima cuando la onda que incide sobre la antena se propague en la dirección
de máxima emisión de radiación de la antena (esto es, en la dirección del máximo
del lóbulo principal de la antena). Teniendo en cuenta la ecuación (5.37), la máxima
c Rafael R. Boix
°
área efectiva de una antena sin pérdidas, adaptada a la impedancia de carga y a la

polarización de la onda incidente, vendrá dada por:
D0 λ20
Aem = (5.56)
4π
Pues bien, de acuerdo con la ecuación (5.40), en el caso particular de una antena de
abertura en la que los campos en la abertura son uniformes en transmisión, la máxima
área efectiva de la antena de abertura en recepción coincide exactamente con el área
física de la antena (esto es, Aem = Af ). Si la abertura no se ilumina uniformemente
en transmisión, se va a cumplir que Aem = eap Af < Af , siendo eap la eficiencia de la
abertura.
Cuando la antena tiene pérdidas, la potencia promedio captada por la antena Prec
se ve reducida en un factor erad con respecto al caso en que no hay pérdidas. Por
tanto, de acuerdo con las ecuaciones (5.54) y (5.55), el área efectiva de una antena con
pérdidas, adaptada a la impedancia de carga y a la polarización de la onda incidente,
viene dada por:
erad D(θ, φ)λ20 G(θ, φ)λ20
Ae (θ, φ) = = (5.57)
4π 4π
Y de acuerdo con (5.44), la máxima área efectiva de la antena con pérdidas, adap-
tada a la impedancia de carga y a la polarización de la onda incidente, valdrá:
G0 λ20
Aem = (5.58)
4π
El estudio de los efectos de la desadaptación en la impedancia de carga y de la
desadaptación a la polarización de la onda incidente sobre el área efectiva de una
antena en recepción se llevará a cabo en la Sección 5.5 cuando se estudie la ecuación
de Friis.
De las ecuaciones (5.54) y (5.57) se deduce que la potencia que una antena recep-
tora capta de una onda plana que incide sobre ella en la dirección caracterizada por
las coordenadas esféricas θ y φ es proporcional a la directividad de la antena en esa
dirección D(θ, φ). Eso significa que la potencia captada será máxima en la dirección
de máxima directividad -dirección de máxima emisión de radiación de la antena-, y
que la potencia captada será nula en las direcciones en que la directividad sea nula
-direcciones de nula emisión de radiación de la antena-. Por tanto, el comportamiento
direccional de la antena en recepción será el mismo que en emisión, o lo que es lo
mismo, los diagramas de recepción de la antena serán los mismos que los diagramas
de emisión. Esta reciprocidad del comportamiento de la antena en emisión y en recep-
ción es una consecuencia del teorema de reciprocidad del campo electromagnético.
c Rafael R. Boix
°
5.4. Parámetros de circuito de una antena 38
5.4. Parámetros de circuito de una antena

5.4.1. Impedancia de entrada
Se define la impedancia de entrada de una antena como la impedancia presentada
por la antena en sus terminales, o lo que es lo mismo, como el cociente entre los fasores
de tensión e intensidad en dichos terminales.
Figura 5.16: Antena emisora y su circuito equivalente.
En las Figs. (5.16)(a) y (5.16)(b) se muestra una antena emisora y su circuito equi-
c Rafael R. Boix
°
valente. En las dos figuras los terminales de entrada de la antena han sido llamados
a y b. Si llamamos Vab al fasor de tensión en los terminales de entrada e Ig al fasor de
la intensidad de corriente que circula por dichos terminales de entrada (véase la Fig.
(5.16)(b)), la versión fasorial del teorema de Poynting (teorema de conservación de
la energía) para el campo electromagnético permite afirmar que la potencia compleja
entregada a la antena en los terminales a y b viene dada por:
1
Pab = Vab Ig∗ = Prad + Ppcd + 2jω (Um − Ue ) (5.59)
2
donde Prad es la potencia promedio radiada por la antena (véase la ec. (5.28)), Ppcd es
la potencia promedio disipada por pérdidas en conductores y dieléctricos (véase la
ec. (5.42)), UmR es la energía magnética promedio almacenada alrededor de la antena
(Um = µ0 /4 τ∞ |H|2 dτ , siendo τ∞ todo el espacio que rodea a la antena), y Ue es
la energía eléctrica promedio almacenada (Ue = ε0 /4 τ∞ |E|2 dτ ). De acuerdo con la
R
definición, la impedancia de entrada ZA de la antena de la Fig. (5.16) viene dada por:

Vab
ZA = RA + jXA = (5.60)
Ig
donde RA = Re(ZA ) es la resistencia de entrada de la antena, y XA = Im(ZA ) es la

reactancia de entrada de la antena. Sustituyendo (5.60) en (5.59) y despejando ZA =
RA + jXA , se llega a que:
2Prad 2Ppcd
RA = + (5.61)
|Ig |2 |Ig |2
4ω (Um − Ue )
XA = (5.62)
|Ig |2
Se observa que la resistencia de entrada de la antena tiene dos sumandos. A estos

dos sumandos los llamaremos resistencia de radiación Rr y resistencia de pérdidas
RL , y de acuerdo con (5.61), Rr y RL vienen dadas por:
2Prad
Rr = (5.63)
|Ig |2
2Ppcd
RL = (5.64)
|Ig |2
Las ecuaciones (5.61) a (5.64) nos indican que ZA = (Rr + RL ) + jXA . La resistencia
de radiación Rr da cuenta de la potencia radiada por la antena, la resistencia de pér-
didas RL da cuenta de la potencia disipada en la antena en forma de calor debido a
pérdidas en los conductores y en los dieléctricos, y finalmente, la reactancia de entra-
da de la antena XA da cuenta del desequilibrio existente entre las energías magnética
y eléctrica almacenadas en los alrededores de la antena. A partir de las ecuaciones
(5.3), (5.4), (5.12) y (5.13), es fácil ver que en la región de campo lejano se cumple
que µ0 |H|2 = ε0 |E|2 , con lo cual, las densidades volumétricas de energía magnética y
c Rafael R. Boix
°
eléctrica en dicha región son iguales, y el desequilibrio entre Um y Ue proviene exclu-

sivamente de los campos existentes en las regiones de campo próximo. Utilizando las
ecuaciones (5.42), (5.63) y (5.64), es fácil deducir que:
Rr
erad = (5.65)
Rr + RL
con lo cual, para que una antena tenga una elevada eficiencia de radiación, es preciso
que RL ≪ Rr .
En la Fig. (5.16)(b) el generador y la impedancia situados a la izquierda de los
terminales a y b constituyen el equivalente Thevenin del circuito de alimentación de
la antena. En dicha figura Vg representa el fasor de tensión entre los extremos del
generador y Zg = Rg + jXg representa la impedancia interna de dicho generador. Sea
PA la potencia promedio entregada por el generador a la antena (PA = Prad + Ppcd ).
Utilizando el circuito de la Fig. (5.16)(b), se demuestra que:
1 |Vg |2 Rr + RL |Vg |2 [2(Rr + RL )] 2Rg

PA = (Rr + RL )|Ig |2 = =
2 2 (Rr + RL + Rg )2 + (XA + Xg )2 8Rg |ZA + Zg |2
|Vg |2 ZA + ZA∗ Zg + Zg∗ |Vg |2 ZA − Zg∗ ZA∗ − Zg
µ ¶ µ ¶ · µ ¶ µ ¶¸
= = 1−
8Rg ZA + Zg ZA∗ + Zg∗ 8Rg ZA + Zg ZA∗ + Zg∗
|Vg |2 £
1 − |Γg |2 (5.66)
¤
=
8Rg
donde:
ZA − Zg∗
Γg = (5.67)
ZA + Zg
es el coeficiente de reflexión entre la antena y el generador. La ecuación (5.66) nos in-
dica que, fijado el circuito de alimentación, la potencia promedio máxima que puede
transferir el generador a la antena PAmax se consigue cuando Γg = 0, o lo que es lo
mismo, cuando ZA = Zg∗ (lo cual significa que Rr + RL = Rg y XA = −Xg ). A esta
condición se la conoce como condición de adaptación conjugada (conjugate matching
en inglés). Cuando se da esta condición, se transfiere a la antena la mitad de la poten-
cia suministrada por el generador (y la otra mitad se disipa en la resistencia interna
del generador Rg en forma de calor).
En la Fig. (5.17)(b) se muestra el circuito equivalente de la antena emisora de la
Fig. (5.16) cuando dicha antena trabaja como antena receptora conectada a una carga
de impedancia ZT = RT +jXT . Lógicamente, la impedancia Thevenin que se ve desde
los terminales a y b cuando se mira hacia la antena receptora es la misma que se ve
cuando dicha antena funciona como antena emisora. Esa impedancia Thevenin es
ZA = (Rr + RL ) + jXA . Por otro lado, el fasor de tensión Thevenin VT representa la
tensión que presenta la antena receptora en sus terminales cuando está en circuito
abierto. Al igual que ocurre con la antena emisora, utilizando el circuito de la Fig.
(5.17)(b), podemos calcular la potencia promedio entregada por la antena receptora a
la carga PT . Siguiendo un camino paralelo al utilizado para obtener (5.66), se obtiene
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.17: Antena receptora y su circuito equivalente.
que:
1 |VT |2 RT
PT = (RT )|IT |2 =
2 2 (Rr + RL + RT )2 + (XA + XT )2
|VT |2 ZA − ZT∗
¶µ ∗
|VT |2
· µ ¶¸
ZA − ZT
1 − |ΓT |2 (5.68)
£ ¤
= 1− ∗ ∗
=
8(Rr + RL ) ZA + ZT ZA + ZT 8(Rr + RL )
c Rafael R. Boix
°
donde:
ZA − ZT∗
ΓT = (5.69)
ZA + ZT
es el coeficiente de reflexión entre la antena y la carga. La ecuación (5.68) nos indica
que fijada la antena, la potencia máxima que puede transferir la antena a la carga PTmax
se obtiene cuando se cumple la condición de adaptación conjugada, esto es, cuando
se cumple que ZA = ZT∗ (o lo que es lo mismo, cuando se cumple que Rr + RL = RT y
XA = −XT ). Bajo la condición de adaptación conjugada, la mitad de la potencia cap-
turada por la antena receptora es entregada a la carga, y la otra mitad de la potencia es
dispersada (o reradiada) por la antena a través de Rr y disipada en forma de calor en
la antena a través de RL . Es importante insistir en que de toda la potencia capturada
por una antena, como máximo sólo la mitad de esa potencia puede ser transferida a
la carga conectada a la antena.
5.4.2. Ancho de banda

Se define el ancho de banda de una antena como el intervalo de frecuencias en el
cual alguna característica de la antena (AHMP, AHPN, NLS, eficiencia de radiación,
ganancia, razón axial, impedancia de entrada, etc.) se mantiene dentro de unos límites
aceptables. Habitualmente, se suele definir una frecuencia central fc en el que la ca-
racterística de la antena alcanza su valor óptimo y dos frecuencias mínima y máxima,
fL y fU , que establecen los límites inferior y superior del intervalo de frecuencias
en los que la característica se mantiene dentro de valores aceptables. En antenas de
banda ancha, el ancho de banda se expresa mediante la fracción fU /fL (por ejemplo,
un ancho de banda 10:1 indica que la frecuencia superior del intervalo es 10 veces
mayor que la frecuencia inferior). En antenas de banda estrecha, el ancho de banda se
obtiene a partir de la razón (fU − fL )/fc expresada en tanto por ciento.
A la hora de hablar de ancho de banda, hay que distinguir entre el ancho de banda
para las propiedades del diagrama de radiación (el cual engloba el AHMP, el AHPN,
el NLS, la ganancia, la razón axial, etc.) y el ancho de banda para la impedancia. El
ancho de banda para las propiedades del diagrama de radiación es muy importante
en el estudio de agrupaciones de antenas (arrays en inglés). No obstante, si estamos
estudiando una antena como elemento de circuito, el ancho de banda que interesa es
el ancho de banda para la impedancia, y más concretamente, el ancho de banda para
la adaptación de la antena al circuito de alimentación (caso de una antena emisora) o
a la carga (caso de una antena receptora).
En la Fig. (5.18) se muestra un típico sistema de radio transmisor o receptor. Usual-
mente, la antena de dicho sistema se conecta al generador (en transmisión) o a la carga
(en recepción) a través de una línea de transmisión que estará adaptada a la impedan-
cia del generador o a la impedancia de la carga. Si la línea de transmisión tiene pocas
pérdidas, podemos suponer que su impedancia Z0 es real. Esta impedancia Z0 va a ser
la impedancia Zg de la ec. (5.67) para una antena en transmisión, o la impedancia ZT
de la ec. (5.69) para una antena en recepción. De acuerdo con las ecs. (5.66) y (5.68),
si queremos que sea máxima la transferencia de potencia del generador a la antena
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.18: Configuración típica de un sistema de radio transmisor o receptor.
(en transmisión) o de la antena a la carga (en recepción), es necesario que se cumpla

que la impedancia de la antena ZA sea igual a Z0 , lo cual constituye la condición de
adaptación de la antena a la línea de transmisión. En la práctica esta condición no se
suele dar, y es necesario introducir una red de adaptación como la de la Fig. (5.18)
entre la línea de transmisión y la antena para poder conseguir que la impedancia a la
entrada de la red de adaptación Zin sea igual a Z0 (la red de adaptación tendría que
cancelar primero la reactancia de entrada de la antena XA , y después transformar la
resistencia de entrada de la antena RA a la impedancia de la línea Z0 intercalando,
√
por ejemplo, una línea de transmisión λ0 /4 de impedancia característica Z0 RA ). Sin
embargo, incluso a pesar de la red de adaptación, la condición de adaptación Zin = Z0
sólo se suele conseguir a una única frecuencia. En la mayoría de las aplicaciones no
es necesario que el coeficiente de reflexión entre la línea de transmisión y la red de
adaptación Γin = (Zin − Z0 )/(Zin + Z0 ) sea estrictamente nulo, sino que basta con que
no tome valores demasiado elevados. En muchas aplicaciones, se considera que una
antena está adaptada a la línea de transmisión a la que está conectada (en transmisión
o en recepción) si se cumple que 20 log |Γin | < −10 dB, y se define el ancho de banda
(para la impedancia) de la antena como el intervalo de frecuencias en el que se cumple
esa condición de adaptación. Recordando la teoría de líneas de transmisión, se define
la razón de onda estacionaria para la tensión ROET (voltage standing wave ratio VSWR
en inglés) en la línea de transmisión de la Fig. (5.18) como:
1 + |Γin |
ROET = (5.70)
1 − |Γin |
La tabla de la Fig. (5.19) muestra los porcentajes de potencia reflejada y transmi-
tida en una antena desadaptada (que funciona como antena emisora) para distintos
valores de la ROET. Se observa que si la ROET ≤ 2, el porcentaje de potencia entrega-
da a la antena está por encima del 89 %. Pues bien, en muchas ocasiones se considera
que una antena está adaptada a la línea de transmisión conectada a ella si en la línea
la ROET ≤ 2. A partir de esta condición, se puede dar una definición alternativa de
ancho de banda (para la impedancia) de una antena como el intervalo de frecuencias
en el cual la ROET ≤ 2 en la línea de transmisión conectada a la antena (no obstante,
es fácil comprobar que esa definición es prácticamente equivalente a la definición que
c Rafael R. Boix
°
5.5. Ecuación de Friis para radioenlaces 44
Figura 5.19: ROET, potencia reflejada y potencia transmitida para una antena desadaptada.
se deriva de la condición 20 log |Γin | < −10 dB). En la Fig. (5.20) se muestra la ROET de
dos antenas dipolo de distinto radio. Para la antena de radio 0.0001 m, el intervalo de
frecuencias en el que la ROET ≤ 2 es aproximadamente el intervalo 280 MHz ≤ f ≤
304 MHz, y para la antena de radio 0.005 m, el intervalo de frecuencias en el que la
ROET ≤ 2 es aproximadamente 262 MHz ≤ f ≤ 310 MHz. Si tomamos la frecuencia
para la cual ROET=1 (Γin = 0) como frecuencia central del intervalo de adaptación
(fc = 294 MHz para la antena de 0.0001 m de radio y fc = 285 MHz para la antena de
0.005 m de radio), se cumple que el ancho de banda (para la impedancia) de la antena
de 0.0001 m de radio es aproximadamente de un 8 %, y el de la antena de 0.005 m de
radio, aproximadamente de un 16 %.
5.5. Ecuación de Friis para radioenlaces

En esta sección se obtendrá la ecuación de transmisión de Friis, que es muy útil en
el diseño de radioenlaces de comunicaciones. Esta ecuación expresa la potencia cap-
turada por una antena receptora en términos de la potencia emitida por una antena
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.20: ROET de dos antenas dipolos de diferente radio en función de la frecuencia. Se
supone que las antenas están conectadas directamente a una línea de transmisión de 72 Ω de
impedancia característica.
emisora, de las ganancias de esas dos antenas, de la distancia entre las antenas y de la
frecuencia de operación. En la sección también mostraremos cómo debe modificarse
la ecuación de Friis para tener en cuenta la desaptación de impedancias de las antenas
emisora y receptora, y la desadaptación en la polarización de la antena receptora.
5.5.1. Ecuación de Friis

En la Fig. (5.21) se muestra un radioenlace que involucra a una antena emisora
y a una antena receptora. Llamaremos θt y φt a las coordenadas esféricas angulares
que nos dan la dirección en la que se encuentra la antena receptora con respecto a un
sistema de coordenadas centrado en la antena emisora, y llamaremos θr y φr a las coor-
denadas esféricas angulares que nos dan la dirección en la que se encuentra la antena
emisora con respecto a un sistema de coordenadas centrado en la antena receptora.
Asimismo, llamaremos Gt a la ganancia de la antena emisora, Gr a la ganancia de la
antena receptora, R a la distancia entre las dos antenas, y λ0 a la longitud de onda a
la frecuencia de operación. Vamos a suponer que la antena receptora se encuentra en
la región de campo lejano de la antena emisora. Si la antena emisora está adaptada
a la impedancia del circuito de alimentación y llamamos Pt a la potencia promedio
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.21: Orientación geométrica de una antena emisora y una antena receptora, utilizada
en la obtención de la ecuación de Friis.
disponible en los terminales de entrada de dicha antena, de acuerdo con las ecua-
ciones (5.25) y (5.43), el módulo del promedio del vector de Poynting creado por la
antena emisora en la antena receptora valdrá:
U (θt , φt ) Pt Gt (θt , φt )
|Sav,i | = 2
= (5.71)
R 4πR2
Vamos a suponer también que la antena emisora está en la región de campo lejano
de la antena receptora, en cuyo caso la onda esférica radiada por la antena emisora se
verá localmente como una onda plana en los puntos de la antena receptora. En caso de
que la antena receptora está adaptada a la impedancia de carga y a la polarización de
la onda incidente, de acuerdo con las ecuaciones (5.54) y (5.57), la potencia promedio
entregada a la impedancia de carga Pr valdrá:
Gr (θr , φr )λ20
Pr = |Sav,i |Ae (θr , φr ) = |Sav,i | (5.72)
4π
Si ahora sustituimos (5.71) en (5.72), se llega a la siguiente ecuación para la poten-
cia promedio capturada por la antena receptora:
Gt (θt , φt )Gr (θr , φr )λ20

Pr = Pt (5.73)
(4πR)2
La ecuación anterior constituye la ecuación de transmisión de Friis para el caso en

que las antenas emisora y receptora están adaptadas a las impedancias de entrada y
salida respectivamente, y para el caso en que la antena receptora está adaptada a la
polarización de la onda incidente.
De acuerdo con la ecuación (5.71), si una antena emisora dispone de una poten-
cia P1 en sus terminales de entrada y tiene una ganancia máxima G, el módulo del
promedio del vector de Poynting en la dirección de máxima emisión de radiación a
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.22: Antenas utilizadas en la definición de la potencia radiada isótropa efectiva. (a)
Antena con G > 1. (b) Antena isótropa equivalente con G = 1.
una distancia R de la antena valdrá (vea la Fig. (5.22)(a)):

P1 G
|S10 | = (5.74)
4πR2
Si ahora consideramos una hipotética antena isótropa (de ganancia igual a 1) que
dispone de una potencia P2 en sus terminales de entrada, el módulo del promedio del
vector de Poynting en cualquier dirección a una distancia R de la antena valdrá (vea
la Fig. (5.22)(b)):
P2
|S20 | = (5.75)
4πR2
Para que las dos antenas consideradas en la Fig. (5.22) emitan la misma densidad
de potencia en la dirección de máxima emisión de radiación de la antena de la Fig.
(5.22)(a), será necesario que |S10 | = |S20 |, o lo que es lo mismo, que P1 G = P2 . Al pro-
ducto P1 G se le llama potencia radiada isótropa efectiva PRIE de una antena emisora
(effective isotropic radiated power EIRP en inglés) ya que representa la potencia total que
tendría que radiar una hipotética antena isótropa para que la densidad de potencia
radiada en todas direcciones poe la antena isótropa fuera la misma que la que radia
la antena emisora en la dirección de máxima emisión de radiación de su lóbulo prin-
cipal. El PRIE es uno de los factores de la ecuación de Friis (5.73) (Gt Pt ) cuando la
antena emisora radia en la dirección de máxima emisión de radiación. Este parámetro
es utilizado en la industria de la radiodifusión.
Ejemplo 5.8: Pérdidas en un enlace de comunicaciones vía satélite.

Un satélite geosíncrono orbita a 36900 km de la superficie de la tierra. El satélite
opera a 12.5 GHz y transmite con una potencia de 120 W. La antena utilizada para la
transmisión tiene una ganancia de 37 dBi. Si la antena de la estación receptora sobre
la tierra tiene una ganancia de 45.8 dBi, halle la potencia recibida. Ignore las posibles
desadaptaciones y los efectos de pérdidas de propagación.
c Rafael R. Boix
°
Solución
Como no se especifica la posición relativa de las antenas, supondremos que la
antena receptora está en la dirección de máxima emisión de radiación de la antena
emisora y viceversa. En ese caso, las ganancias que aparecen en la ecuación (5.73)
serán las ganancias máximas. Esas ganancias son las que se proporcionan en el enun-
ciado ya que no se especifica la dirección a la que corresponden las ganancias.
Operando con decibelios en la ecuación de Friis (5.73), se obtiene que:
µ ¶
λ0
Pr (dBm) = Gt (dBi) + Gr (dBi) + 20 log + Pt (dBm)
4πR
2,4 · 10−2
µ ¶
+ 10 log 1,2 · 105 dBm
¡ ¢
= 37 + 45,8 + 20 log 6
4π · 36,9 · 10
= 37 + 45,8 − 205,72 + 50,79 dBm = −72,13 dBm = 6,12 · 10−8 mW
5.5.2. Influencia de la desadaptación en las impedancias

Si la antena emisora de la Fig. (5.21) no está adaptada a la impedancia del circuito
de alimentación, de acuerdo con la ecuación (5.66), la potencia que llega a la antena
procedente del generador se verá reducida en un factor (1 − |Γt |2 ), siendo Γt el coefi-
ciente de reflexión entre la antena y el circuito de alimentación. Asimismo, si la antena
receptora de la Fig. (5.21) no está adaptada a la impedancia de carga, de acuerdo con
la ecuación (5.68), la potencia que llega a la carga procedente de la antena se verá re-
ducida en un factor (1 − |Γr |2 ), siendo Γr el coeficiente de reflexión entre la antena y
la carga. Por tanto, en caso de que haya desadaptación de impedancias pero la antena
receptora esté adaptada a la polarización de la onda incidente, la ecuación de Friis
habrá que reescribirla como:

Pr = (1 − |Γt |2 )(1 − |Γr |2 ) Pt (5.76)
(4πR)2
siendo Pt la potencia que entrega el generador a los terminales de entrada de la antena

emisora, y Pr la potencia que entrega la antena receptora a la impedancia de carga.
Las ecuaciones (5.73) y (5.76) indican que la potencia capturada por la antena re-
ceptora decae como 1/R2 conforme R aumenta. Esta dependencia es un resultado de
la aplicación del principio de conservación de la energía a una onda esférica. Aunque
pudiera parecer que la potencia decae de forma prohibitiva a grandes distancias, el
decaimiento del tipo 1/R2 es mucho mejor que el decaimiento exponencial debido a
las pérdidas en sistemas de transmisión de ondas guiadas (este decaimiento es del
tipo e−2αz , siendo α la constante de atenuación). Esto es así porque a grandes dis-
tancias la función exponencial siempre decae más rápidamente que una función que
decae algebraicamente como 1/R2 . Por tanto, para comunicaciones a grandes distan-
cias, los enlaces inalámbricos darán un mejor rendimiento que los enlaces basados en
líneas de transmisión, guías de ondas, e incluso fibras ópticas (a menos que la comu-
nicación sea por tierra o por mar, y se inserten repetidores).
c Rafael R. Boix
°
5.5.3. Influencia de la desadaptación en la polarización

Cuando una onda plana incide sobre una antena receptora, la máxima captación
de potencia por parte de la antena se produce cuando aquélla está adaptada a la po-
larización de la onda incidente, o lo que es lo mismo, cuando la antena receptora y la
onda incidente tienen exactamente la misma polarización. Cuando la antena recepto-
ra y la onda incidente no tienen la misma polarización, se produce lo que se conoce
como desadaptación en la polarización.
Supongamos que el fasor del campo eléctrico radiado por una antena en la direc-
ción caracterizada por las coordenadas esféricas θi y φi vale Er , siendo Er un vector
complejo. En ese caso, podemos definir un vector unitario complejo ûr con la misma
polarización que Er , que viene dado por
Er
ûr = p (5.77)
Er · E∗r
Asimismo, supongamos que Ei es el fasor del campo eléctrico de una onda plana
incidente sobre la misma antena en la dirección caracterizada por las coordenadas θi
y φi . Al igual que antes, podemos definir un vector unitario complejo ûi con la misma
polarización que Ei , que está dado por:
Ei
ûi = p (5.78)
Ei · E∗i
Pues bien, si los fasores Er y Ei no tienen exactamente la misma polarización, a

partir del teorema de reciprocidad del campo electromagnético, se puede demostrar
que la potencia que la antena capta de la onda incidente será inferior a la captada en
el caso en que Er y Ei tienen la misma polarización en un factor epol que vale:
epol = |ûr · ûi |2 (5.79)
Al factor epol se le llama factor de pérdidas de polarización FPP (polarization loss

factor PLF en inglés) o eficiencia de polarización, y se cumple que 0 ≤ epol ≤ 1. Cuando
Er y Ei tienen la misma polarización, se cumple que epol = 1. Y cuando Er y Ei
tienen polarizaciones ortogonales (por ejemplo, Er tiene polarización lineal horizontal
y Ei tiene polarización lineal vertical, o bien, Er tiene PCMD y Ei tiene PCMI), se
cumple que epol = 0 ya que en ese caso la antena receptora y la onda incidente están
completamente desadaptadas.
La Fig. (5.23) muestra el factor de pérdidas de polarización entre dos antenas (una
emisora y otra receptora) polarizadas linealmente. Se observa que en este caso el fac-
tor de pérdidas de polarización vale epol = cos2 (ψp ), siendo ψp el ángulo que forman
las direcciones de polarización de los campos radiados por las dos antenas (este resul-
tado nos recuerda a la ley de Malus que se obtiene en Óptica, según la cual, cuando
la luz polarizada linealmente incide sobre un polarizador lineal, la intensidad de la
luz a la salida del polarizador es igual a la intensidad de la luz incidente multiplicada
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.23: Factor de pérdidas de polarización FPP para antenas de abertura (a) y antenas
de hilo lineales (b) polarizadas linealmente.
por el coseno al cuadrado del ángulo que forman la dirección de polarización de la

luz incidente y el eje del polarizador).
Si ahora tenemos en cuenta la definición que se ha dado en (5.79) del factor de
pérdidas de polarización y volvemos a la situación estudiada en la Fig. (5.21), en caso
de que la antena receptora utilizada en la obtención de la ecuación de Friis (5.76)
no esté adaptada a la polarización de la onda incidente, dicha ecuación habrá que
reescribirla como:
Pr = (1 − |Γt |2 )(1 − |Γr |2 )|ûr · ûi |2 Pt (5.80)
(4πR)2
donde ûr es un vector unitario complejo con la polarización del fasor de campo eléc-
c Rafael R. Boix
°
trico que radiaría la antena receptora de la Fig. (5.21) en la dirección dada por θr y φr ,
y ûi es un vector unitario complejo con la polarización del fasor de campo eléctrico
que radia la antena emisora de la Fig. (5.21) en la dirección dada por θt y φt .
La ecuación (5.80) es la ecuación de transmisión de Friis para el caso en que las
antenas emisora y receptora no están adaptadas a las impedancias de entrada y sali-
da respectivamente, y para el caso en que la antena receptora no está adaptada a la
polarización de la onda incidente. Se observa que en esta ecuación los tres factores
(1 − |Γt |2 ), (1 − |Γr |2 ) y |ûr · ûi |2 son factores de pérdidas comprendidos entre 0 y 1 que
limitan la potencia entregada a la carga de la antena receptora. De acuerdo con este
último resultado, la ecuación de Friis (5.73) que obtuvimos en un principio nos daría
la potencia máxima posible que puede llegar a captar una antena receptora ya que en
la práctica existen varios factores que reducen esa potencia máxima en un radioenlace
real.
Ejemplo 5.9: Factor de pérdidas de polarización.

Una antena emisora radia un campo eléctrico con PCMI en el sentido positivo del
eje z. Calcule el factor de pérdidas de polarización cuando sobre esta antena incide:
a) una onda con el campo eléctrico polarizado linealmente en dirección vertical.
b) una onda cuyo campo eléctrico tiene PCMI.
c) una onda cuyo campo eléctrico tiene PCMD.
Solución
De acuerdo con los comentarios de la subsección 5.3.5 y de acuerdo con la ecuación
(5.47), si la antena radia una onda que se propaga en el sentido positivo del eje z y el
campo eléctrico tiene PCMI, el fasor del campo eléctrico se puede escribir como:
Er = E0r (x̂ + j ŷ)
donde E0r es una cantidad compleja. Y de acuerdo con (5.77), el vector unitario ûr
vendrá dado por:
1
ûr = √ (x̂ + j ŷ)
2
a) Si sobre la antena incide una onda con el campo eléctrico polarizado linealmente
en dirección vertical, se va a cumplir que Ei = E0i ŷ, con lo cual ûi = ŷ y el factor
de pérdidas de polarización vale:
1
epol = | √ (x̂ + j ŷ) · ŷ|2 = 0,5 = −3 dB
2
Aunque hemos supuesto que el campo eléctrico está polarizado linealmente a
lo largo del eje y, es fácil comprobar que habríamos llegado al mismo resul-
tado para epol si el campo eléctrico hubiera estado polarizado linealmente a lo
c Rafael R. Boix
°
largo del eje x, o a lo largo de cualquier otro eje. Por tanto, podemos afirmar
que cuando una onda polarizada linealmente incide sobre una antena polariza-
da circularmente, el factor de pérdidas de polarización vale 0.5, y eso significa
que la antena sólo puede capturar la mitad de la potencia disponible en la onda
incidente. Recíprocamente, es fácil comprobar que si una onda polarizada circu-
larmente incide sobre una antena polarizada linealmente, la antena sólo captura
también la mitad de la potencia disponible en la onda incidente.
b) Si el campo eléctrico de la onda incidente tiene PCMI, entonces el fasor de di-

cho campo eléctrico se puede escribir Ei = E0i (x̂ − j ŷ), y en consecuencia,
ûi = √12 (x̂ − j ŷ). De acuerdo con las explicaciones de la subsección 5.3.5, este
campo tiene PCMD para un observador que mira en el sentido negativo del eje
z (véase la Fig. (5.15)(d)), y en consecuencia, tendrá PCMI para un observador
que mira en el sentido positivo del eje z (esto es, en sentido contrario). Dado que
la onda que incide sobre la antena viaja en el sentido negativo del eje z, el campo
tendrá PCMI para un observador que mira en sentido contrario a la dirección de
propagación de esta onda ya que, en este caso concreto, ese sentido es el sentido
positivo del eje z. De acuerdo con la expresión obtenida para ûi , en este caso el
factor de pérdidas de polarización viene dado por:
1 1
epol = | √ (x̂ + j ŷ) · √ (x̂ − j ŷ)|2 = 1 = 0 dB
2 2
El resultado obtenido es el esperado ya que, al tener la antena y la onda in-
cidente la misma polarización, la antena está adaptada a la polarización de la
onda incidente, y por tanto, captura toda la potencia disponible en la onda inci-
dente.
c) Si el campo incidente tiene PCMD, entonces el fasor de dicho campo eléctrico se

puede escribir Ei = E0i (x̂ + j ŷ), y en consecuencia, ûi = √12 (x̂ + j ŷ). De acuerdo
con lo que hemos visto en la subsección 5.3.5, este campo tiene PCMI para un
observador que mira en el sentido negativo del eje z pero tiene PCMD para un
observador que mira en el sentido positivo del eje z, que es el sentido contrario
al de propagación de la onda incidente sobre la antena. En este caso, el factor de
pérdidas de polarización vale:
1 1
epol = | √ (x̂ + j ŷ) · √ (x̂ + j ŷ)|2 = 0 = −∞ dB
2 2
Se observa que en este caso la recepción de potencia en la antena es nula, lo
cual es debido a que la polarización de la antena y de la onda incidente son
ortogonales, y en consecuencia, la antena y la onda incidente están completa-
mente desadaptadas. Para ayudar a comprender este resultado, piénsese en lo
que ocurriría si una persona intentara estrechar su mano derecha con la mano
izquierda de otra persona distinta (lo lógico sería estrechar la mano derecha),
o incluso piénsese en lo que ocurriría si se intentara introducir un tornillo con
c Rafael R. Boix
°
5.6. Temperatura de ruido de una antena 53
rosca dextrógira en un agujero con rosca levógira (el agujero y la rosca deben
tener la misma “quiralidad” para que haya adaptación).
5.6. Temperatura de ruido de una antena

Aunque en el interior de un receptor de radio (véase la Fig. (5.1)) los componentes
con pérdidas (p.e., líneas de transmisión) y los dispositivos activos generan ruido,
el ruido también puede entrar en un receptor inalámbrico a través de la antena. El
ruido en la antena puede ser recibido a través del entorno exterior, o ser generado
por la propia antena como ruido térmico debido a las pérdidas. Mientras que el ruido
producido en el interior del receptor puede ser relativamente controlado (mediante
un diseño juicioso y una selección adecuada de los componentes), el ruido captado
por la antena a través de su entorno no es controlable, y puede superar el nivel de
ruido del resto del receptor. Así que es importante que seamos capaces de caracterizar
la potencia de ruido entregada a un receptor de radio por su antena. En esta sección
caracterizaremos el ruido de las antenas en recepción mediante la temperatura de
ruido equivalente de la antena.
5.6.1. Temperaturas de ruido de fondo y de brillo
Figura 5.24: Ilustración del concepto de temperatura de fondo. (a) Un resistor a temperatura
T . (b) Una antena en una cámara anecoica a temperatura T . (c) Una antena que ve un fondo
de cielo uniforme a temperatura T .
Considere las tres situaciones mostradas en la Fig. (5.24). En la Fig. (5.24)(a) se

muestra un resistor a una temperatura T (expresada en grados Kelvin) que produce a
su salida una potencia de ruido:
No = kT B (5.81)
c Rafael R. Boix
°
donde k es la constante de Boltzmann y B es el ancho de banda del sistema al que

pertenece el resistor. En la Fig. (5.24)(b) se muestra una antena encerrada en una cá-
mara anecoica a una temperatura T (la cámara anecoica es una habitación forrada con
material absorbente que es utilizada en la medida de antenas, tal y como veremos en
la sección 5.9). La cámara anecoica es un lugar cerrado que está en equilibrio térmico
con la antena. Por tanto, los terminales de la antena son indistinguibles de los termi-
nales del resistor de la Fig. (5.24)(a), y por tanto, la antena produce la misma potencia
de ruido No que el resistor. Finalmente, la Fig. (5.24)(c) muestra la misma antena di-
rigida hacia el cielo. Si el lóbulo principal del diagrama de radiación de la antena es
lo bastante estrecho como para ver una región del cielo a temperatura uniforme T ,
entonces de nuevo la antena equivale al resistor a temperatura T de la Fig. (5.24)(a),
y produce la potencia de ruido de la ecuación (5.81). Esto es verdad independiente-
mente de la eficiencia de radiación de la antena, con tal de que la temperatura física
de la antena sea T .
Figura 5.25: Fuentes de ruido de fondo naturales y producidas por el hombre.
En la práctica una antena típicamente ve un entorno mucho más complejo que el

presentado en la Fig. (5.24). La Fig. (5.25) muestra un escenario de fuentes de ruido
naturales y producidas por el hombre. Una antena con un lóbulo principal relativa-
mente ancho puede recoger potencia de ruido de muchos sitios diferentes. Además,
el ruido puede ser captado por los lóbulos laterales del diagrama de radiación, o en-
trar en la antena a través de reflexiones en el suelo o en objetos de gran tamaño. Se
define la temperatura de ruido de fondo TB (θ, φ) de una antena en la dirección carac-
terizada por las coordenadas θ y φ como la temperatura de un resistor que produce
una potencia de ruido igual a la que captaría la antena si la densidad de potencia de
ruido recibida por ella fuera la misma en todas direcciones e igual a la que llega en la
dirección dada por θ y φ. Algunas temperaturas de ruido de fondo que son relevantes
a frecuencias de microondas entre 1 y 10 GHz son:
El cielo (hacia el cenit): entre 3 y 5 K.
c Rafael R. Boix
°
El cielo (hacia el horizonte): entre 50 y 100 K.
El suelo: entre 290 y 300 K.
Se cree que la temperatura de ruido del cielo en la vertical emtre 3 y 5 K es un rema-

nente del big bang en la creación del universo. Esta sería la temperatura de ruido que
vería una antena con un lóbulo principal estrecho que apuntara hacia la vertical, lejos
de fuentes “calientes” como el sol o los objetos radioestelares. La temperatura de rui-
do de fondo del cielo aumenta conforme la dirección de apuntamiento de la antena se
mueve hacia el horizonte a causa del aumento en las pérdidas de propagación debido
al grosor cada vez mayor de la atmósfera.
Figura 5.26: Temperatura de ruido de fondo del cielo frente a la frecuencia. θ es el ángulo de
elevación medido desde el horizonte. Los datos se dan al nivel del mar, con una temperatura
en superficie de 15◦ C, y una densidad de vapor de agua de 7.5 g/m3 .
La Fig. (5.26) da una visión más completa de la temperatura de ruido de fondo del
cielo, mostrando la variación de TB frente a la frecuencia para distintos ángulos de
c Rafael R. Boix
°
elevación. Se observa que TB sigue la tendencia antes comentada, siendo mínima en

la vertical (θ = 90◦ ) y máxima en el horizonte (θ = 0◦ ). Se observan también dos picos
agudos en la temperatura de ruido a 22 GHz y a 60 GHz. El primero es debido a la
resonancia de la molécula de agua, y el segundo, a la resonancia de la molécula de
oxígeno. Estas dos resonancias aumentan las pérdidas de propagación atmosférica, y
por tanto, contribuyen a aumentar la temperatura de ruido.
Cuando el lóbulo principal de la antena es lo bastante ancho como para que partes
diferentes del diagrama de radiación vean diferentes temperaturas de ruido de fon-
do, es preciso definir una temperatura efectiva de ruido que sea el resultado de pesar
la distribución especial de la temperatura de ruido de fondo con la directividad (que
da cuenta de como se distribuye la potencia radiada por la antena en todas las direc-
ciones). Esta temperatura efectiva de ruido, conocida como temperatura de brillo de
una antena Tb , se define matemáticamente como:
R φ=2π R θ=π
φ=0 θ=0
TB (θ, φ)D(θ, φ) sen θdθdφ
Tb = R φ=2π R θ=π (5.82)
φ=0 θ=0
D(θ, φ) sen θdθdφ
donde TB (θ, φ) es la temperatura de ruido de fondo de la antena, y D(θ, φ) es la di-

rectividad. La temperatura de brillo de una antena está referida a sus terminales de
entrada. Cuando TB no varía con θ y φ, la ecuación (5.82) nos dice que Tb = TB , lo cual
se corresponde con el caso de una temperatura de ruido de fondo uniforme como el
mostrado en las Figs. (5.24)(b) y (5.24)(c). Se observa que en (5.82) no interviene ni la
eficiencia de radiación ni la ganancia de la antena, lo cual significa que la temperatura
de brillo no incluye el ruido térmico debido a pérdidas disipativas en los conductores
y dieléctricos de la antena.
5.6.2. Temperatura de ruido

Si la antena tiene pérdidas disipativas y la eficiencia de radiación erad es menor
que uno, entonces la potencia disponible en los terminales de la antena en recepción
se reducirá en un factor erad con respecto a la potencia disponible en ausencia de pér-
didas. Esto se aplica tanto a la potencia de señal recibida como a la potencia de ruido
recibida, con lo cual, la temperatura de brillo de (5.82) se verá reducida en un factor
erad . Por otro lado, se generará ruido térmico por pérdidas resistivas en la antena, y
esto tenderá a aumentar la temperatura de ruido de la antena.
El problema global de una antena con pérdidas a una temperatura física Tp que ve
una distribución de temperatura de ruido de fondo TB (θ, φ) puede ser representado
mediante el sistema mostrado en la Fig. (5.27). La antena con pérdidas se modela
como una antena ideal con erad = 1, seguida por un atenuador que tiene un factor de
pérdidas L ≥ 1 a la temperatura física Tp . Como la eficiencia de radiación es la relación
entre la potencia a la salida del atenuador y la potencia a la entrada, está claro que la
relación entre la eficiencia de radiación y el factor de pérdidas del atenuador vale
L = 1/erad . Si tenemos en cuenta que la temperatura de ruido del atenuador referida
a sus terminales de entrada vale Tat = (L − 1)Tp , y tenemos en cuenta que el ruido
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.27: Relación entre la temperatura de ruido de fondo, la temperatura de brillo de una
antena y la temperatura de ruido de la antena. Una antena con pérdidas disipativas se modela
como una antena ideal seguida por un atenuador.
del atenuador (que es el ruido térmico en la antena debido a las pérdidas) no está
correlacionado con el ruido de fondo que capta la antena, la temperatura de ruido
total a la entrada del atenuador valdrá Tb + Tat , siendo Tb la temperatura de brillo de
la antena (que es la temperatura de ruido que ve una antena ideal sin pérdidas). Por
tanto, la temperatura de ruido total a la salida del atenuador de la Fig. (5.27) (una vez
tenido en cuenta el factor L) valdrá:
1 Tb (L − 1)Tp
TA = (Tb + Tat ) = + = erad Tb + (1 − erad )Tp (5.83)
L L L
La temperatura TA que aparece en (5.83) es la temperatura de ruido de la antena
con pérdidas, y de acuerdo con la Fig. (5.27), TA es la temperatura de ruido referida
a los terminales de salida de dicha antena. De acuerdo con (5.83), esta temperatura
de ruido da cuenta, tanto del ruido de fondo captado por la antena como del ruido
térmico generado por las pérdidas disipativas en la antena. Como ocurre con otras
temperaturas de ruido, la interpretación de TA es que una carga adaptada a esa tem-
peratura producirá la misma potencia de ruido que la que produce la antena. Para
una antena ideal sin pérdidas, erad = 1 y se cumple que TA = Tb . Si erad = 0 y la antena
no capta ruido de fondo, (5.83) nos dice que TA = Tp ya que en ese caso todo el ruido
es ruido térmico debido a las pérdidas.
Si la antena está conectada a un receptor mediante una línea de transmisión con
pérdidas, que tiene una atenuación α, una longitud l y está a una temperatura física T0
(véase la Fig. (5.28)), la temperatura de ruido total a la entrada del receptor TN valdrá:
TN = Tr + T0 1 − e−2αl + TA e−2αl
¡ ¢
= Tr + T0 1 − e−2αl + erad Tb e−2αl + (1 − erad )Tp e−2αl (5.84)

¡ ¢
donde Tr es la temperatura de ruido del receptor (referida a sus terminales de entra-

da). Al obtener la ecuación (5.84), se ha tenido en cuenta que la línea de transmisión
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.28: Antena, línea de transmisión y receptor utilizados en el cálculo de la temperatura

de ruido total.
con pérdidas se comporta como un atenuador con un factor de pérdidas Ltl = e2αl ,
con lo cual la temperatura de ruido de la línea referida a sus terminales de entrada
vale Tltin = (Ltl − 1)T0 , y la temperatura de ruido de la línea referida a sus terminales
de salida vale Tltout = (Ltl − 1)T0 /Ltl = T0 (1 − e−2αl ).
Ejemplo 5.10: Temperatura de ruido de una antena.

Una antena de alta ganancia tiene un diagrama de radiación idealizado que es
rotacionalmente simétrico en azimut (no depende de la coordenada φ) y al que le
corresponde una directividad que depende de θ como se muestra en la Fig. (5.29). La
antena está en una región en la que la temperatura de ruido de fondo varía de acuerdo
con la ley:
10 K |θ| ≤ 30◦
½
TB (θ, φ) =
100 K 30◦ ≤ |θ| ≤ 90◦
Figura 5.29: Patrón idealizado de la directividad de una antena en función de θ.
c Rafael R. Boix
°
Calcule la temperatura de ruido de la antena, suponiendo que la eficiencia de ra-

diación es del 100 %.
Solución
Como erad = 1, de acuerdo con la ecuación (5.83), se cumple que TA = Tb . Por
tanto:
R φ=2π R θ=π
φ=0 θ=0
TB (θ, φ)D(θ, φ) sen θdθdφ
TA = R φ=2π R θ=π
φ=0 θ=0
D(θ, φ) sen θdθdφ
R θ=1◦ R θ=30◦ R θ=90◦
θ=0◦
10000 sen θdθ + θ=1◦ 100 sen θdθ + θ=30◦ 1000 sen θdθ
= R θ=1◦ R θ=90◦
θ=0 ◦ 1000 sen θdθ + θ=1◦
10 sen θdθ
◦ ◦ ◦
−10000 cos θ|10◦ −100 cos θ|30 90
1◦ −1000 cos θ|30◦
= = 86,4 K
−1000 cos θ|10◦ −10 cos θ|90
◦ ◦
1◦
El ejemplo muestra que la mayor parte de la potencia de ruido es capturada a

través del lóbulo lateral de la antena (el que corresponde a la región |θ| ≥ 1◦ ) ya que
el lóbulo principal (región |θ| ≤ 1◦ ) ve una temperatura de 10 K, que está muy alejada
de TA .
5.6.3. Razón G/T

La temperatura de ruido de una antena definida en (5.83) es una figura de mérito
útil para una antena en recepción porque permite caracterizar la potencia de ruido
total entregada por la antena a la entrada del receptor. Otra figura de mérito útil para
una antena en recepción es la razón G/T , que se define como:
µ ¶
G
G/T = 10 log dB/K (5.85)
TA
donde G es la ganancia de la antena y TA es la temperatura de ruido de la antena. Está
claro que las dimensiones dadas en (5.85) para 10 log (G/TA ) no son dB/K, pero esa
notación es la que se utiliza en la práctica. La cantidad G/TA es importante porque
la relación señal/ruido RSR (signal-to-noise ratio SN R en inglés) a la entrada de un
receptor es proporcional a G/TA . Para demostrar esto, vamos a considerar el radioen-
lace de la Fig. (5.21) en el caso en que las antenas emisora y receptora están adaptadas
a las impedancias de entrada y salida, y en el caso en que la antena receptora está
adaptada a la polarización de la onda incidente. En esas condiciones, de acuerdo con
la ecuación de Friis (5.73), la potencia de señal Si entregada por la antena receptora a
la entrada adaptada del receptor valdrá:
Gt Gr λ20
Si = Pt (5.86)
(4πR)2
donde Gt es la ganancia de la antena emisora en la dirección en que se encuentra la
antena receptora, Gr es la ganancia de la antena receptora en la dirección en la que
c Rafael R. Boix
°
se encuentra la antena emisora, Pt es la potencia emitida, λ0 es la longitud de onda y

R es la distancia entre el emisor y el receptor. Por otro lado, la potencia de ruido a la
entrada del receptor valdrá Ni = KTA B (véase la ecuación (5.81)), siendo B el ancho
de banda del receptor. De acuerdo con esto, la RSR a la entrada del receptor valdrá:
Gt Gr Pt λ20 Gt Pt λ20
µ ¶
Si Gr
RSR = = = (5.87)
Ni KTA B(4πR)2 TA KB(4πR)2
La ecuación muestra que la RSR a la entrada del receptor es proporcional a lo
que valga la razón G/TA en la antena receptora. Además, sólo el factor G/TA de la
RSR puede ser controlado en la antena receptora ya que los demás factores los fija
la antena emisora y su localización. Por tanto, fijado el transmisor, la optimización
del comportamiento del receptor se consigue maximizando G/TA para la antena re-
ceptora (en principio, uno podría pensar que la mejor manera de maximizar G/TA es
aumentar la ganancia de la antena; no obstante, existen aplicaciones como la telefonía
móvil en que se requieren antenas de baja ganancia, con lo cual, es preciso llegar a un
compromismo entre la aplicación que se busca para la antena y la optimización de la
RSR).
Los receptores de alta sensibilidad utilizados en comunicaciones vía satélite o en
radio enlaces punto-a-punto a menudo tienen el primer amplificador y/o mezclador
(véase la Fig. (5.1)(b)) montado sobre la antena en una unidad exterior UE (outdoor unit
ODU en inglés), y esta unidad exterior se conecta mediante una línea de transmisión
a una unidad interior UI (indoor unit IDU en inglés) donde se encuentran las etapas
de frecuencia intermedia o banda base. Esto evita tener una larga línea de transmisión
con pérdidas de RF antes de la primera etapa del receptor, y permite una mejora
significativa en la figura de ruido global del sistema. Los componentes utilizados en la
unidad exterior -amplificadores y mezcladores- se seleccionan de manera que tengan
una buena figura de ruido, y a menudo se les conoce como el bloque de bajo ruido
BBR (low-noise block LNB en inglés) del receptor. Cuando un BBR se combina con una
antena de esta manera, G/T se modifica usualmente para incluir la temperatura de
ruido combinada del BBR y de la antena.
Ejemplo 5.11: Análisis del sistema DBS.

El sistema de radiodifusión directa SRD (direct broadcast system DBS en inglés) para
comunicaciones vía satélite opera entre 12.2 y 12.7 GHz, con una potencia de emisión
de portadora de 120 W, una ganancia de antena emisora de 34 dB, un ancho de banda
de IF de 20 MHz, y una distancia entre el satélite geosíoncrono y la Tierra de 39000 km.
La antena receptora (un reflector parabólico de 46 cm de diámetro) tiene una ganancia
de 33.5 dB y ve una temperatura de brillo Tb =50 K. La antena está conectada a un
BBR que tiene una figura de ruido F = 1,1 dB. La Fig. (5.30) muestra el sistema DBS.
Calcule:
a) La PRIE del emisor.
b) La relación G/T para la antena receptora y el BBR.
c Rafael R. Boix
°
c) La potencia recibida en los terminales de entrada de la antena receptora.

d) La razón portadora ruido RP R (carrier-to-noise ratio CN R) a la salida del BBR.
Solución
Figura 5.30: Diagrama del sistema de radiodifusión directa.
Primero convertiremos las cantidades en dB a valores numéricos.

34 dB = 103,4 = 2512
1,1 dB = 100,11 = 1,29
33,5 dB = 103,35 = 2239
Además utilizaremos la frecuencia central de la banda de RF, que es fc = 12,45
GHz. Por tanto, la longitud de onda será λ0 = c/fc = 2,41 cm
a) La PRIE del emisor viene dada por:
Pt Gt = (120)(2512) = 301440 W = 54,8 dBW
b) A la hora de hacer este apartado, supondremos que la eficiencia de radiación de

la antena receptora es del 100 %. Para obtener G/T , primero calculamos la tem-
peratura de ruido efectiva de la antena seguida del BBR, y referida a la entrada
del BBR:
Te = TA + TBBR = Tb + (F − 1)T0 = 50 + (1,29 − 1)(290) = 134 K
donde se ha hecho uso de que la temperatura de ruido a la entrada de un ciruito
ruidoso vale Tc = (F − 1)T0 , siendo F la figura de ruido y T0 , la temperatura
física del circuito. Además, se ha supuesto que la temperatura física del BBR en
la Tierra es T0 = 290 K.
Una vez obtenida Te , la razón G/T para la antena combinada con el BBR vale:
2239
Gr /Te = 10 log = 12,2 dB/K
134
c Rafael R. Boix
°
5.7. Agrupaciones de antenas 62
c) De acuerdo con la ecuación de Friis, si suponemos que las antenas están adap-
tadas a la impedancia y a la polarización, la potencia en los terminales de la
antena receptora valdrá:
(Gt Pt )Pr λ20 (3,01 × 105 )(2239)(0,0241)2

Pr = = = 1,63 × 10−12 W = −117,9 dBW
(4πR)2 (4π)2 (3,9 × 107 )2
d) con lo cual, la RP R a la salida del BBR valdrá:
Pr GBBR 1,63 × 10−12

RP R = = = 44,1 = 16,44 dB
KTe BGBBR (1,38 × 10−23 )(134)(20 × 106 )
donde la ganancia del BBR, GBBR , se cancela al calcular la RP R ya que aparece

en el numerador y en el denominador de esa expresión. Una RP R de 16 dB es
adecuada para una buena calidad de video con la modulación digital de correc-
ción de error que se utiliza en el sistema de radiodifusión directa.
5.7. Agrupaciones de antenas

Los diagramas de radiación de muchas antenas elementales son relativamente am-
plios y dan lugar a valores bajos de directividad (véanse los Ejemplos 5.5 y 5.6). En
muchas ocasiones se necesitan antenas de muy alta directividad para cumplir los re-
quisitos de comunicaciones a largas distancias (éste es el caso de las antenas que in-
tervienen en los Ejemplos 5.8 y 5.11). Esto sólo se puede conseguir utilizando antenas
eléctricamente grandes (de dimensiones mucho mayores que la longitud de onda), tal
y como se comentó al final del Ejemplo 5.6. Las antenas eléctricamente grandes más
utilizadas en la práctica son las agrupaciones de antenas (arrays en inglés) y las an-
tenas de abertura (bocinas y reflectores). Las agrupaciones de antenas consisten en la
interconexión de varias antenas elementales que se sitúan siguiendo una determinada
configuración geométrica (de hecho, hay agrupaciones lineales monodimensionales,
agrupaciones planas bidimensionales y agrupaciones conformadas tridimensionales
en las que los elementos se sitúan sobre una superficie cilíndrica o esférica). Usual-
mente, las antenas utilizadas en las agrupaciones son antenas eléctricamente cortas, y
por tanto, poco directivas (dipolos, monopolos, hélices, ranuras y antenas microstrip).
Las agrupaciones de antenas tienen dos ventajas importantes frente a las antenas de
abertura. La primera es que permiten conseguir diagramas de radiación más ver-
sátiles (por ejemplo, mientras que las agrupaciones permiten dirigir el lóbulo prin-
cipal del diagrama de radiación en cualquier dirección, en las antenas de abertura
la dirección de apuntamiento del lóbulo principal suele ser la dirección perpendicu-
lar al plano de la abertura), y la segunda es que permiten controlar electrónicamente
la dirección del lóbulo principal del diagrama de radiación mediante el control de
las corrientes de excitación de las antenas de la agrupación (en antenas de abertura,
este control sólo se puede conseguir mediante el movimiento de la antena, lo cual
es más lento y lleva aparejado problemas mecánicos). Las agrupaciones de antenas
c Rafael R. Boix
°
que permiten el control electrónico del lóbulo principal del diagrama de radiación
han sido tradicionalmente utilizadas en sistemas de radar (éste es el caso de las lla-
madas agrupaciones de fase o phased arrays en las que se controlan las fases de las
corrientes de alimentación de los elementos), y en los últimos tiempos, en sistemas de
telefonía móvil (éste es el caso de las llamadas agrupaciones adaptativas o adaptive ar-
rays). Por otro lado, las antenas de abertura tamibén presentan dos ventajas sobre las
agrupaciones de antenas. En primer lugar, poseen un mayor ancho de banda para el
diagrama de radiación (el diagrama de radiación de las agrupaciones es más depen-
diente de la frecuencia que el de las aberturas). Y en segundo lugar, las pérdidas en la
alimentación de las aberturas son menores que en las agrupaciones porque las redes
de alimentación de las agrupaciones son muy sofisticadas (además, al haber menos
pérdidas en la alimentación de las antenas de abertura, también habrá en ellas menos
problemas de ruido). Por tanto, a la hora de diseñar una antena con una alta directivi-
dad, el que se utilice una agrupación de antenas o una antena de abertura dependerá
de requisitos del diseño y de las aplicaciones buscadas.
Figura 5.31: Agrupación de N antenas iguales que tienen la misma orientación.
En la Fig. (5.31) se muestra una agrupación de N antenas elementales iguales que

tienen exactamente la misma orientación (esto significa que la región del espacio ocu-
pada por cada una de las antenas puede hacerse coincidir con la región del espacio
ocupada por cualquier otra antena, recurriendo exclusivamente a una traslación). Sea
ri = xi x̂ + yi ŷ + zi ẑ (i = 1, . . . , N ) el vector de posición de los terminales de entrada
de la antena i-ésima de la agrupación, y sea Ii (i = 1, . . . , N ) el fasor complejo de
la intensidad de corriente que alimenta la antena i-ésima a través de sus terminales
de entrada. En ese caso, teniendo en cuenta que los campos eléctrico y magnético
satisfacen el principio de superposición, y teniendo en cuenta que las ecuaciones de
Maxwell son lineales (los campos son una función lineal de las corrientes), se puede
demostrar que el campo eléctrico EAA (r, θ, φ) radiado por la agrupación de antenas
c Rafael R. Boix
°
en la región de campo lejano (de las N antenas) viene dado por:
EAA (r, θ, φ) = Ee (r, θ, φ)FA(θ, φ) (5.88)
donde:
N
X N
X
jk0 r̂·ri
FA(θ, φ) = Ii e = Ii ejk0 (xi sen θ cos φ+yi sen θ sen φ+zi cos θ) (5.89)
i=1 i=1
En la ecuación (5.88) Ee (r, θ, φ) representa el campo eléctrico que crearía una de

las antenas de la agrupación en la región de campo lejano si sus terminales de entra-
da estuvieran situados en el origen de coordenadas, y la antena estuviera alimentada
con una corriente de intensidad 1 A. Por otro lado, FA(θ, φ) es una función escalar
de las coordenadas esféricas angulares θ y φ a la que se conoce como factor de la
agrupación. De acuerdo con la ecuación (5.89), FA(θ, φ) depende de las coordenadas
de los terminales de las antenas -xi , yi y zi (i = 1, . . . , N )-, de las corrientes de ali-
mentación de las antenas -Ii (i = 1, . . . , N )- y de la longitud de onda λ0 = 2π/k0 .
La ecuación (5.88) constituye la representación matemática del principio de multipli-
cación de diagramas según el cual, el diagrama de radiación de una agrupación de
antenas idénticas es igual al producto del diagrama de radiación de un elemento de la
agrupación (representado por Ee (r, θ, φ) en este caso) y del factor de la agrupación. La
ecuación (5.88) nos indica que el diagrama de radiación de una agrupación de antenas
idénticas viene determinado por la elección realizada de la configuración geométrica
de la agrupación (lineal, plana o conformada), por la elección realizada de las antenas
de la agrupación, por la posición de esas antenas en el espacio y por las amplitudes y
las fases de las corrientes de alimentación (recordemos que Ii -i = 1, . . . , N - son can-
tidades complejas). Jugando con todas esas posibilidades, se pueden conseguir dia-
gramas de radiación muy variados. Desde un punto de vista físico, una agrupación
de antenas se diseña de forma que los campos creados por las antenas de la agru-
pación interfieran constructivamente en las direcciones en las que se desea que haya
una fuerte emisión de radiación, e interfieran destructivamente en el resto de las di-
recciones del espacio. La ecuación (5.88) nos indica que la polarización de una agru-
pación de antenas idénticas es la de cada antena de la agrupación ya que FA(θ, φ) es
una función escalar. Normalmente, en agrupaciones de antenas direccionales, el fac-
tor de la agrupación varía mucho más rápidamente con las coordenadas θ y φ que
el campo eléctrico radiado por cada elemento Ee (r, θ, φ), con lo cual, el diagrama de
radiación de la agrupación puede ser aproximado por el factor de la agrupación. No
obstante, existen situaciones en los que el diagrama de radiación del elemento de la
agrupación puede condicionar la forma del diagrama de radiación y no se puede des-
preciar (piénsese, por ejemplo, en lo que ocurre cuando el diagrama de radiación del
elemento tiene un nulo en la dirección de un máximo del factor de la agrupación).
En la Fig. (5.32) se muestra una agrupación lineal de antenas equiespaciadas. Los
teminales de entrada de las antenas están situados sobre el eje z en puntos de vector
de posición ri = (i − 1)dẑ (i = 1, . . . , N ) (d es la separación entre dos antenas consecu-
tivas), y las antenas están alimentadas por corrientes de intensidad Ii−1 (i = 1, . . . , N ).
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.32: Agrupación lineal de antenas iguales equiespaciadas a lo largo del eje z.
De acuerdo con la ecuación (5.89), el factor de esta agrupación de antenas vale:

N
X
FA(θ) = Ii−1 ej(i−1)k0 d cos θ (5.90)
i=1
A continuación, vamos a suponer que el diagrama de radiación de la agrupación

de antenas de la Fig. (5.32) está dominado por el factor de la agrupación y se puede
despreciar en (5.88) la contribución del diagrama del elemento (esto equivale a su-
poner que Ee (r, θ, φ) no depende de θ y φ en (5.88), o lo que es lo mismo, a suponer
que tenemos una agrupación de antenas isótropas). En esas condiciones, se puede
demostrar que la agrupación genera un diagrama de radiación direccional si se ali-
mentan las antenas con corrientes de la misma amplitud y fase progresiva, esto es,
si Ii−1 = I0 ej(i−1)α (i = 1, . . . , N ). Las características principales de ese diagrama de
radiación son:
a) El lóbulo principal del diagrama de radiación (que tiene forma cónica por no
depender el diagrama de la coordenada azimutal φ, y tener simetría de revolu-
ción alrededor del eje z) está dirigido en la dirección θ0 = cos−1 ((−α)/(k0 d)), y
por tanto, está controlado por el factor de fase α. Si se modifica electrónicamente
α, podemos cambiar la dirección de apuntamiento del lóbulo principal del dia-
grama de radiación, y éste es el fundamento del funcionamiento de los phased
arrays.
c Rafael R. Boix
°
b) Si la separación entre antenas d es mayor que λ0 /2, pueden aparecer lóbulos

principales adicionales en el diagrama de radiación a los que se conoce como
lóbulos de difracción (grating lobes en inglés). Estos lóbulos de difracción usual-
mente deben ser evitados, y para conseguir ese objetivo, se recomienda que
d ≤ λ0 /2.
c) Conforme aumenta la razón (N − 1)d/λ0 (esto es, conforme aumenta la longi-

tud eléctrica de la agrupación), se estrecha el lóbulo principal del diagrama de
radiación, y disminuyen el AHMP y el AHPN. Asimismo, conforme aumenta
(N − 1)d/λ0 , también aumenta la directividad (por tanto, cuanto mayor sea el
número de antenas de la agrupación, mayor será la directividad).
d) El nivel de lóbulos secundarios mínimo que se puede conseguir es de -13.4 dB

cuando N → ∞ (esto es, NLS≥ 13,4 dB).
Para conseguir niveles de lóbulos secundarios inferiores a -13.4 dB con agrupaciones

lineales de antenas, es necesario que las amplitudes de las corrientes de excitación no
sean iguales sino que vayan descendiendo progresivamente desde el elemento que
ocupa el centro de la agrupación hacia los extremos de la agrupación. No obstante,
esta reducción del NLS lleva aparejada un aumento del AHMP y una disminución
de la directividad, y cuanto mayor es la reducción en el NLS, mayor tiende a ser la
reducción en la directividad. Este hecho se pone de manifiesto en las Figs. (5.33)(a)
a (5.33)(c) (véanse también las Figs. (5.34)(a) a (5.34)(c)). El NLS para una distribu-
ción uniforme de amplitudes es mayor que el NLS de una distribución triangular de
amplitudes, y éste a su vez es mayor que el NLS de una distribución binomial de am-
plitudes. Sin embargo, la directividad de la distribución uniforme de amplitudes es
mayor que la de una distribución triangular, y ésta a su vez es mayor que la de una
distribución binomial. Existe una técnica de síntesis de agrupaciones que permite con-
seguir el mínimo AHMP posible -y por tanto, una buena directividad- para un valor
dado del nivel de lóbulos secundarios. Esta técnica se conoce como técnica de síntesis
de agrupaciones de Dolph-Chebyshev, y algunos de los resultados que se obtienen
con esta técnica se han mostrado en las Figs. (5.33)(d) y (5.33)(e) (véanse también las
Figs. (5.34)(d) y (5.34)(e)). Se observa que el NLS conseguido en la Fig. (5.33)(d) es in-
ferior al conseguido en la la Fig. (5.33)(b), y a pesar de este hecho, la directividad con-
seguida en la la Fig. (5.33)(d) es mayor que la conseguida en la la Fig. (5.33)(b). Esto es
debido a que el diseño de la Fig. (5.33)(d) es un diseño que ha sido optimizado. La sín-
tesis de Dolph-Chebyshev utiliza polinomios de Chebyshev para conseguir que todos
los lóbulos secundarios del diagrama de radiación tengan el mismo nivel de rizado
(algo parecido a lo que se hace en el diseño de filtros mediante polinomios de Cheby-
shev), lo cual estiliza la silueta del lóbulo principal. Finalmente, en las Figs. (5.35)(a) y
(5.35)(b) se muestra lo que ocurre en una agrupación lineal de antenas cuando las am-
plitudes de las corrientes de excitación crecen desde de la antena que está en el centro
de la agrupación hacia las antenas que están en los extremos. Se observa que el ni-
vel de lóbulos secundarios conseguido en la Fig. (5.35)(a) es mayor que el conseguido
con la distribución de corriente uniforme en la Fig. (5.33)(a) y el AHMP es ligeramente
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.33: Diagramas de radiación de agrupaciones lineales de cinco antenas isótropas. Las
antenas están separadas una distancia d = λ0 /2, y las fases de las corrientes de alimentación
son nulas, con lo cual el lóbulo principal del diagrama de radiación se da siempre en la direc-
ción θ0 = 90◦ . Las amplitudes de las corrientes se representan en la Fig. (5.34). (a) Corrientes
uniformes 1:1:1:1:1. (b) Distribución triangular de amplitudes de corrientes 1:2:3:2:1. (c) Dis-
tribución binomial de las amplitudes de las corrientes 1:4:6:4:1. (d) Distribución de amplitudes
de corrientes Dolph-Chebyshev 1:1.61:1.94:1.61:1 para un nivel de lóbulos laterales de -20 dB.
(e) Distribución de amplitudes de corrientes Dolph-Chebyshev 1:2.41:3.14:2.41:1 para un nivel
de lóbulos laterales de -30 dB.
menor, pero en contra de lo que cabría esperar, la directividad conseguida en la Fig.

(5.35)(a) es inferior a la conseguida en la Fig. (5.33)(a). Esto quiere decir que las agru-
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.34: Amplitudes de las corrientes en las antenas de las agrupaciones analizadas en
la Fig. (5.33). Las amplitudes están normalizadas al valor de la amplitud de la corriente en la
antena situada en el centro de la agrupación.
paciones lineales de antenas con amplitudes de corrientes que crecen desde el centro
de la agrupación hacia los extremos dan lugar a unos diagramas de radiación con ca-
racterísticas menos deseables que las de los diagramas producidos por agrupaciones
con distribuciones de amplitudes de corrientes uniformes (o con distribuciones de
amplitudes de corrientes que decrecen desde el centro de la agrupación), y por tanto,
no se utilizan en la práctica. Las ideas expuestas sobre el comportamiento de agrupa-
ciones lineales de antenas son extensibles al comportamiento de agrupaciones planas
y agrupaciones conformadas. Estos dos últimos tipos de agrupaciones ofrecen mucha
más versatilidad a la hora de ajustar el diagrama de radiación a unas especificaciones
dadas ya que el número de grados de libertad existente en el factor de la agrupación
es mucho mayor (véase la ecuación (5.89)). Para optimizar la síntesis de estas agru-
paciones a partir del factor de la agrupación (esto es, para optimizar la elección de
las posiciones de las antenas y de sus corrientes de alimentación), se recurre a méto-
dos de optimización muy generales tales como el método del enfriamiento simulado
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.35: (a) Diagrama de radiación para una agrupación lineal de cinco antenas isótropas
con corrientes de alimentación de fase nula (d = λ0 /2; θ0 = 90◦ ). (b) Distribución de las
amplitudes de las corrientes 3:2:1:2:1.
(simulated annealing en inglés), los algoritmos genéticos o las redes neuronales.
Ejemplo 5.12: Análisis de una agrupación lineal de antenas.
Considere una agrupación lineal de 4 an-

tenas isótropas. Los terminales de entrada
de las antenas están situados a lo largo del
eje z en puntos de vector de posición r1 =
−(3/4)λ0 ẑ, r2 = −(1/4)λ0 ẑ, r3 = +(1/4)λ0 ẑ
y r4 = +(3/4)λ0 ẑ (vea la Fig. (5.36)), siendo
λ0 la longitud de onda. Si los fasores de las
intensidades de corriente de alimentación
de las antenas valen I1 = −1, I2 = −1,
I3 = +1 e I4 = +1, calcule:
a) El factor de la agrupación.
b) Los nulos del diagrama de radiación

en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π.
c) Los máximos del diagrama de ra- Figura 5.36: Agrupación lineal de 4 an-
tenas isótropas situadas a lo largo del eje
diación en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π.
z.
c Rafael R. Boix
°
5.8. Características de las antenas utilizadas en la práctica 70
Solución
a) Si ri = zi ẑ (i = 1, . . . , 4), de acuerdo con la ecuación (5.89), el factor de la agru-
pación valdrá:
4
X
FA(θ) = Ii ejk0 zi cos θ
i=1
3π cos θ π cos θ π cos θ 3π cos θ
= −e·−j 2 − e−j 2 + µ ej 2 + e¶¸ j 2
³π ´ 3π ³π ´ ³π ´
= 2j sen cos θ + sen cos θ = 8j sen cos θ cos2 cos θ
2 2 2 2
donde se ha tenido en cuenta que sen(3x) = 3 sen(x) − 4 sen3 (x).
b) Como las antenas son isótropas, Ee (r, θ, φ) no depende de θ y φ en la ecuación
(5.88), y por tanto, los nulos del diagrama de radiación en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π serán
los nulos de la función FA(θ) en dicho intervalo.
Los valores de θ = θn para los cuales FA(θn ) = 0 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π son:
³π ´
cos cos θn1 = 0 ⇒ θn,1 = 0 rad = 0◦
³π2 ´ π
sen cos θn2 = 0 ⇒ θn,2 = rad = 90◦
³π2 ´ 2
cos cos θn3 = 0 ⇒ θn,1 = π rad = 180◦
2
c) Utilizando el mismo razonamiento que en el apartado anterior, los máximos del
diagrama de radiación en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π serán los máximos de la función FA(θ)
en dicho intervalo. Esto es, los máximos del diagrama ¯ de radiación2 los obtendremos
¯
dFA(θ) ¯
a partir de los valores θ = θm para los cuales dθ ¯ = 0 y d FA(θ) > 0. Si
¯
dθ2 ¯
θ=θm θ=θm
tenemos en cuenta que:
dFA(θ) ³π ´h ³π ´ ³π ´i
= −4πj sen θ cos cos θ cos2 cos θ − 2 sen2 cos θ
dθ 2 2 2
es fácil deducir que los máximos de FA(θ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π son:
· µ ¶¸
−1 2 −1 1
θm,1 = cos tan √ = 1,168 rad = 66,93◦
π 2
· µ ¶¸
−1 2 −1 1
θm,2 = cos tan −√ = 1,973 rad = 113,07◦
π 2
5.8. Características de las antenas utilizadas en la prácti-

ca
5.8.1. Antenas de hilo
Las antenas de hilo mostradas en las Figs. (5.37) y (5.38) son las antenas más sim-
ples, y se construyen con hilos metálicos eléctricamente delgados (su diámetro es mu-
cho menor que la longitud de onda). En las Figs. (5.37)(a) a (5.37)(c) se muestra una
c Rafael R. Boix
°
(a) Antena dipolo (b) Monopolo (c) Dipolo doblado
Figura 5.37: Antena dipolo y variantes de la antena dipolo.
antena dipolo junto con variantes de la antena dipolo. Todas estas antenas tienen dia-
gramas de radiación omnidireccionales y baja directividad. A la antena dipolo de la
Fig. (5.37)(a) ya se ha hecho referencia en los Ejemplos 5.2, 5.5 y 5.7. Existen dos tipos
de antena dipolo que se utilizan mucho: el dipolo corto cuya longitud total es mucho
menor que la longitud de onda, y el dipolo de media onda (half wave dipole en in-
glés) cuya longitud total es aproximadamente igual a λ0 /2 (véanse los Ejemplos 5.5 y
5.7). Los dipolos cortos se suelen utilizar como antenas receptoras en radios portátiles
para captar las bandas de AM. Debido a que su eficiencia de radiación es baja (véase
el Ejemplo 5.7), los dipolos cortos son malos radiadores y no se utilizan como antenas
emisoras. Los dipolos de media onda sí tienen una alta eficiencia de radiación y son
utilizados como antenas emisoras. Estos dipolos tienen la ventaja de que su longitud
se puede ajustar ligeramente para que resuenen, en cuyo caso la reactancia de entrada
XA de la ecuación (5.60) es nula y eso facilita la adaptación (véase la subsección 5.4.2).
La antena monopolo de la Fig. (5.37)(b) es la mitad de una antena dipolo situada verti-
calmente sobre un plano conductor (que puede ser una superficie metálica o el mismo
suelo) y alimentada en el punto de contacto de la antena con el plano conductor. De-
bido a la teoría de imágenes, el monopolo y su imagen a través del plano conductor
conforman una antena dipolo eqivalente cuya longitud es el doble de la de la antena
monopolo. Por tanto, la distribución de corriente y el diagrama de radiación de un
monopolo por encima del plano conductor coinciden con la de un dipolo de doble
longitud. Al igual que ocurre con los dipolos, los monopolos eléctricamente cortos
tienen baja eficiencia de radiación y se utilizan en recepción (por ejemplo, sobre el
techo de los coches). Los monopolos de longitud λ0 /4 funcionan como dipolos de
longitud λ0 /2, y se utilizan a bajas frecuencias (por ejemplo, en las emisoras de AM)
ya que miden la mitad que los dipolos equivalentes (a 1 MHz, λ0 /2 = 150 m y λ0 /4 =
75 m). El dipolo doblado de la Fig. (5.37)(c) constituye una alternativa al dipolo de
media onda cuando L ≈ λ0 /2, y se utiliza como antena receptora para las bandas
de FM. La principal ventaja del dipolo doblado sobre el dipolo convencional es que
c Rafael R. Boix
°
permite obtener un mayor ancho de banda para la impedancia (véase la subsección

5.4.2). Además, el dipolo doblado tiene una mayor estabilidad mecánica que el dipolo
convencional (al ser mayor su rigidez estructural) y tiene una resistencia de entrada
cuatro veces mayor (aproximadamente 300 Ω a la frecuencia de resonancia), lo cual es
una ventaja a la hora de adaptar la antena con ciertas líneas de transmisión como el
cable bifilar.
(a) Antena de cuadro (b) Antena (c) Agrupación Yagi-Uda

helicoidal
Figura 5.38: Otras antenas de hilo.
La Fig. (5.38)(a) muestra una antena de cuadro circular, que básicamente se com-
porta como un dipolo magnético. Al igual que las antenas de la Fig. (5.37), las antenas
de cuadro tienen diagramas de radiación omnidireccionales y baja directividad. Las
antenas de cuadro utilizadas en la práctica son los cuadros eléctricamente pequeños y
los cuadros de longitud λ0 . Los cuadros eléctricamente pequeños se utilizan en recep-
ción, pero tienen el problema de que su eficiencia de radiación es muy inferior a la de
los dipolos cortos de dimensiones similares. Para aumentar la eficiencia de radiación,
se fabrican cuadros con bobinas de N vueltas, y se introducen en los cuadros núcleos
de ferrita con alta permeabilidad efectiva µef (dado que la resistencia de radiación Rr
de (5.63) es proporcional a N 2 y a µ2ef , al aumentar N y µef , aumenta la eficiencia de
radiación en (5.65)). Los cuadros de longitud λ0 tienen una alta eficiencia de radiación
y se utilizan como antenas emisoras. Su inconveniente es que tienen una directivi-
dad menor que la de las antenas dipolos de longitud λ0 /2. La antena helicoidal de
N vueltas de la Fig. (5.38)(b) puede ser vista como una agrupación de N dipolos y N
cuadros dispuestos alternadamente. Si la antena helicoidal de diámetro D y paso de
rosca S es eléctricamente pequeña (D ≪ λ0 y S ≪ λ0 ), su diagrama de radiación es
omnidireccional. Sin embargo, cuando πD ≈ λ0 y S ≈ λ/4, el diagrama de radiación
se vuelve direccional a lo largo del eje de la hélice, y lo que es más importante aún,
la polarización es circular del mismo sentido que la del arrollamiento de la hélice.
Además, las antenas helicoidales proporcionan anchos de banda superiores al 50 %,
tanto en lo referente a la polarización como en lo referente a la impedancia. Las ante-
c Rafael R. Boix
°
nas helicoidales son ampliamente usadas en comunicaciones vía satélite. Finalmente,

la Fig. (5.38)(c) muestra una agrupación Yagi-Uda de dipolos, que es una de las ante-
nas más populares que existe por su amplia utilización en la recepción de señales de
televisión. La agrupación Yagi-Uda es una agrupación parásita ya que en la práctica
sólo se alimenta un elemento de la agrupación conocido como elemento “conducido”
(el segundo elemento empezando por la izquierda en la Fig. (5.38)(c)), y los demás
elementos -conocidos como elementos “parásitos”- se excitan a partir del campo elec-
tromagnético producido en la región de campo próximo reactivo por el elemento con-
ducido. La agrupación Yagi-Uda produce un diagrama de radiación muy direccional
con el lóbulo principal apuntando en el sentido positivo del eje y en la Fig. (5.38)(c).
El dipolo situado a la izquierda del dipolo conducido en la Fig. (5.38)(c) es más largo
que el dipolo conducido, y se le conoce como elemento “reflector” ya que su misión es
reflejar el campo radiado por el dipolo conducido en el sentido negativo del eje y. Los
dipolos situados a la derecha del dipolo conducido en (5.38)(c) son más cortos que el
dipolo conducido y se les conoce como elementos “directores” ya que su misión es
focalizar el campo radiado por el dipolo conducido en el sentido positivo del eje y.
Se ha comprobado que la directividad de una agrupación Yagi-Uda no varía aprecia-
blemente cuando aumenta el número de elementos reflectores, con lo cual, basta con
utilizar un elemento reflector en la agrupación. En cambio, la directividad aumenta
rápidamente conforme aumenta el número de elementos directores hasta que se al-
canza un valor de saturación. En la práctica, las agrupaciones Yagi-Uda tienen entre 6
y 12 elementos directores, con los cuales se consiguen directividades que están com-
prendidas típicamente entre 10 dBi y 15 dBi. Como ya se ha comentado, las antenas
Yagi-Uda se utilizan fundamentalmente en VHF y UHF para recepción de señales
de televisión. Estas antenas pesan poco, son baratas, y al mismo tiempo, proporcio-
nan una ganancia razonable. Aunque su ancho de banda es pequeño, este problema
se resuelve parcialmente en la práctica utilizando un dipolo doblado como elemento
conducido de la agrupación. Para aumentar la ganancia, a veces se fabrican agrupa-
ciones apiladas de antenas Yagi-Uda. Estas y otras variantes de las antenas Yagi-Uda
pueden ser descubiertas por el lector si se fija cuidadosamente en las antenas que
pueblan las azoteas de los edificios.
5.8.2. Antenas de abertura

Como ya se ha comentado con anterioridad, las antenas de abertura son antenas
que radian y reciben ondas electromagnéticas a través de una abertura plana en su es-
tructura. Son muy útiles en aplicaciones aeroespaciales ya que la abertura puede ser
ajustada a la superficie de una aeronave, y a continuación, cubierta con un material
dieléctrico (conocido como radomo) para proteger la antena de los agentes meteo-
rológicos. Este tipo de montaje no modifica el perfil aerodinámico de la aeronave, lo
cual es crítico cuando se pretende que la aeronave alcance grandes velocidades. Son
las antenas más utilizadas a frecuencias de microondas, y a esas frecuencias permiten
conseguir ganancias muy elevadas (que sólo se pueden conseguir mediante otro tipo
de antenas cuando éstas se juntan en agrupaciones). Además, la ganancia de este tipo
c Rafael R. Boix
°
de antenas es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de onda (y por

tanto, proporcional al cuadrado de la frecuencia), tal y como muestran las ecuaciones
(5.40) y (5.41). Las antenas de abertura más conocidas son las antenas de bocina y las
antenas reflectoras.
Figura 5.39: (a) Antena de bocina piramidal. (b) Sección transversal en el plano x − z (plano
H). (c) Sección transversal en el plano y − z (plano E).
Las antenas de bocina constituyen la versión electromagnética de los megáfonos,

que son radiadores acústicos de bocina que permiten emitir ondas de sonido de forma
direccional. La Fig. (5.39)(a) muestra una antena de bocina piramidal. Se observa que
la antena actúa como una transición suave entre la guía de ondas rectangular que la
alimenta y el espacio libre. Esta transición suave minimiza las reflexiones en la guía
de alimentación, lo cual reduce la ROET en dicha guía y permite obtener un ancho
de banda relativamente grande. Además de proporcionar una baja ROET, las antenas
de bocina permiten conseguir una alta ganancia, son fáciles de construir y son rela-
tivamente fáciles de diseñar a partir de cálculos teóricos. Las antenas de bocina son
muy utilizadas como alimentadores de antenas reflectoras, en phased arrays, y como
antenas de ganancia patrón con vistas a la medida de la ganancia de otras antenas.
De la ecuación (5.41) se deduce que la directividad de una antena de abertura
e 4πA
viene dada por Dap = apλ2 f , siendo Af el área física de la abertura, eap la eficiencia
0
de la abertura, y λ0 la longitud de onda. De acuerdo con esto último, en un principio
cabría pensar que cuanto mayor sean las dimensiones de la abertura en la antena de
bocina piramidal de la Fig. (5.39)(a) (esto es, cuanto mayores sean A y B), mayor será
c Rafael R. Boix
°
la directividad. No obstante, esto no es cierto ya que al aumentar A y B, disminuye

la eficiencia de la abertura eap . Para explicar esto último, hay que tener en cuenta que
los campos existentes en la abertura proceden de una onda que se propaga en una
región piramidal, y para esta onda, las superficies de fase constante son curvas (las
líneas discontinuas de las Figs. (5.39)(b) y (5.39)(c) representan secciones de estas su-
perficies de fase constante). Cuando esta onda llega a la abertura, aparece un desfase
entre el valor de la onda en el centro de la abertura y su valor en los extremos, y ese
desfase aparece también en los campos de la abertura. Cuanto mayores sean las di-
mensiones de la abertura A y B, mayor será el efecto de la curvatura de las superficies
de fase constante, mayor será el desfase, y por tanto, más se alejará la distribución de
los campos en la abertura de una distribución de campos uniforme. En consecuen-
cia, de acuerdo con lo que hemos visto en la subsección 5.3.2, menor será la eficiencia
de la abertura eap (eap = 1 si los campos en la abertura son uniformes, y eap es tanto
menor cuanto mayor es la variación de los campos en la abertura). Dado que, por un
lado Dap crece al aumentar A y B (a través de Af = AB), y por otro lado, Dap dis-
minuye al aumentar A y B (a través de eap ), existen valores óptimos de A y B para
los cuales Dap alcanza
√ un máximo.√Estos valores óptimos vienen dados aproximada-
mente por Aop ≈ 3λ0 R1 y Bop ≈ 2λ0 R1 , siendo R1 y R2 distancias definidas en las
Figs. (5.39)(b) y (5.39)(c). Las antenas de bocina piramidales fabricadas con los valores
óptimos de A y B reciben el nombre de bocinas óptimas ya que tienen la propiedad
de ser las más cortas para un valor de directividad fijado. Para bocinas piramidales
óptimas, la eficiencia de abertura es del 51 % (esto es, eap = 0, 51). Por tanto, podemos
afirmar que la directividad de una bocina piramidal óptima vale Dap = 0, 51 4πAλop2 Bop .
0
Se ha comprobado que una antena de bocina piramidal tiene un ancho de banda para
sus propiedades de radiación en torno al 50 %, si bien la bocina sólo es estrictamente
“óptima” a una frecuencia, que suele ser la frecuencia central del intervalo de frecuen-
cias útil de la antena.
(a) Bocina cónica (b) Bocina corrugada
Figura 5.40: Otras antenas de bocina.
La Fig. (5.40)(a) muestra una antena de bocina cónica. De la misma manera que la
antena de bocina piramidal constituye una transición suave entre una guía de ondas
rectangular y el espacio libre, la antena de bocina cónica constituye una transición
c Rafael R. Boix
°
suave entre una guía de ondas circular y el espacio libre. El comportamiento de la

antena de bocina cónica es muy similar al de la antena de bocina piramidal. De forma
análoga a lo que ocurre con las bocinas piramidales, las dimensiones de la abertura
de una bocina cónica se pueden optimizar para conseguir una√directividad máxima.
Concretamente, el radio óptimo de la abertura debe ser aop ≈ 3λ0 L (L está definido
en la Fig. (5.40)(a)), y en esas condiciones, se consigue una eficiencia de abertura del
4π 2 a2
51 %, y en consecuencia, una directividad Dap = 0, 51 λ2 op .
0
En la abertura de la antena de bocina piramidal de la Fig. (5.39)(a), los módulos del
campo eléctrico tangencial y del campo magnético tangencial varían con x e y de for-
ma similar a como varían el campo eléctrico y el campo magnético del modo TE10 en
la guía de ondas rectangular que alimenta la antena. Esto significa, por ejemplo, que
los campos se anulan en los lados verticales de la abertura pero no se anulan en los
lados horizontales (lo cual dará lugar a que haya corrientes perpendiculares a dichos
lados horizontales, que ocasionarán difracción en los bordes horizontales de la aber-
tura). Esta asimetría en la distribución de los campos en los planos x−z e y −z (véanse
las Figs. (5.39)(b) y (5.39)(c)) da lugar a que haya asimetrías en los planos E y H del
diagrama de radiación de la antena que se manifiestan en que, por ejemplo, el AHMP
en el plano E es diferente al AHMP en el plano H (esto es, θ1 6= θ2 en la ecuación
(5.39)). Es un hecho sabido que cuando una antena reflectora se alimenta con una an-
tena que no tiene un diagrama de radiación con simetría de revolución en torno al eje
de revolución de la antena reflectora, la antena reflectora radia niveles altos de pola-
rización cruzada. Por tanto, si alimentamos una antena reflectora con una antena de
bocina piramidal como la de la Fig. (5.39)(a), tendremos niveles altos de polarización
cruzada. Este problema se puede solucionar en gran medida si se sustituye la bocina
piramidal convencional por una bocina piramidal corrugada como la que se mues-
tra en la Fig. (5.40)(b). Si las corrugaciones tienen una profundidad λ0 /4, no existirán
corrientes perpendiculares a las corrugaciones (las corrientes verán un cortocircuito
trasladado λ0 /4, o lo que es lo mismo, un circuito abierto), y en consecuencia, se anu-
lará el campo magnético en las corrugaciones -y también lo hará el campo eléctrico
por estar ligado al campo magnético a través de las ecuaciones de Maxwell-. Todo esto
dará lugar a que los campos no sólo se anulen en los lados verticales de la abertura de
la bocina piramidal corrugada, sino a que también se anulen en los lados horizontales.
La simetría de la distribución de los campos en la abertura de la bocina piramidal co-
rrugada en los planos x − z e y − z va a traer consigo que el diagrama de radiación
emitido por esta antena tenga aproximadamente simetría de revolución en torno al
eje z (eje perpendicular al plano de la abertura) con valores iguales del AHMP en los
planos E y H. Esto quiere decir que cuando la bocina piramidal corrugada se utilice
para alimentar una antena reflectora, esta última antena emitirá mucha menos pola-
rización cruzada en su diagrama de radiación que la que emitiría si estuviera alimen-
tada con una bocina piramidal convencional. Otra ventaja que presentan las bocinas
piramidales corrugadas frente a las bocinas piramidales convencionales es que pro-
porcionan una mayor directividad y un menor nivel de lóbulos secundarios. Cuando
las corrugaciones se introducen en una antena de bocina cónica, se obtiene una bocina
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°
cónica corrugada (también conocida como “bocina escalar”). Mientras que las boci-
nas cónicas no emiten diagramas de radiación con simetría de revolución alrededor
de su eje de revolución (debido a la distribución de los campos del modo TE11 en las
guías de ondas circulares que alimentan estas antenas), las bocinas cónicas corruga-
das sí emiten diagramas de radiación con absoluta simetría de revolución. Esto hace
que las bocinas cónicas corrugadas sean alimentadores óptimos para las antenas re-
flectoras cuando se desean reducir al mínimo los niveles de polarización cruzada en
los diagramas de radiación emitidos por las citadas antenas reflectoras.
Las antenas reflectoras utilizan uno o dos espejos metálicos reflectores para trans-
fomar el diagrama de radiación relativamente poco directivo de un alimentador en
un diagrama de radiación altamente directivo. Son las antenas más usadas en aplica-
ciones que requieren antenas de alta ganancia, tales como radio astronomía, comuni-
caciones vía satélite y radares de alta resolución. Con antenas reflectoras, se consiguen
fácilmente ganancias superiores a 30 dB en las bandas de microondas. La antena re-
flectora más popular es el reflector parabólico centrado (véanse las Figs. (5.41)(a) y
(5.41)(b)). Las leyes de la óptica geométrica nos dicen que si se coloca una fuente pun-
(a) Esquema de funcionamiento (b) Sección transversal
Figura 5.41: Reflector parabólico centrado.
tual isótropa en el foco de un espejo con forma de paraboloide de revolución, los rayos
emitidos por la fuente se reflejarán en el espejo y saldrán paralelos al eje de revolu-
ción del espejo, tal y como muestra la Fig. (5.41)(a). Eso significa que si pudiéramos
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°
disponer de un espejo metálico de tamaño infinito y lo alimentáramos con una antena

puntual e isótropa, habríamos fabricado una antena reflectora ideal de directividad
infinita. En la práctica, la directividad de un reflector parabólico real como el de la
Fig. (5.41) está limitada por factores tales como la difracción en los bordes del espejo
parabólico de tamaño finito y en los soportes de dicho espejo (esta difracción produce
lóbulos laterales en el diagrama de radiación del reflector parabólico), por el diagrama
de radiación no isótropo del alimentador, y por el bloqueo producido en la abertura
del reflector por el alimentador de tamaño finito y por los soportes. Los reflectores
parabólicos son antenas de banda ancha. A bajas frecuencias, el funcionamiento de
un reflector se ve limitado porque sus dimensiones tienen que contener varias lon-
gitudes de onda para mantener vigentes los principios de la óptica geométrica. A
altas frecuencias, las rugosidades de la superficie limitan el funcionamimento del re-
flector ya que estas rugosidades deben ser una fracción pequeña de la longitud de
onda para no introducir errores de fase importantes en la distribución de los campos
en la abertura del reflector. En la práctica, el ancho de banda de la antena utilizada
como alimentador suele ser menor que el ancho de banda del propio reflector, y en
consecuencia, el ancho de banda del reflector queda limitado al de su alimentador.
Como ya se comentó al hablar de las antenas de bocina, la pureza de la polarización
emitida por un reflector depende de las características del alimentador. Si el diagra-
ma de radiación del alimentador tiene simetría de revolución alrededor del eje de
revolución del reflector, no habrá polarización cruzada en la radiación emitida por
el reflector. En caso contrario, habrá polarización cruzada en aquellos planos que no
sean de simetría especular para el diagrama de radiación del alimentador (por ejem-
plo, si el reflector es alimentado con una antena dipolo situada perpendicularmente
al eje de revolución del reflector, no habrá polarización cruzada ni en el plano que
contiene a la antena dipolo y al eje de revolución ni en el plano perpendicular, pero
habrá polarización cruzada en cualquier otro plano). En principio, la directividad de
un reflector parabólico será tanto mayor cuanto más uniformes sean los campos pro-
ducidos en su abertura por el alimentador ya que ese hecho incrementa la eficiencia
de abertura. No obstante, si el diagrama de radiación del alimentador es muy poco
directivo e ilumina muy uniformemente la abertura del reflector, dado que el reflec-
tor tiene un tamaño finito (en la práctica se utilizan valores de la razón “distancia
focal/diámetro del reflector”, F/D, entre 0,3 y 1,0 -véase la Fig. (5.41)(b)-), parte de la
potencia radiada por el alimentador no tocará al reflector, y se perderá siendo emiti-
da en direcciones distintas a la del haz principal del reflector. A este fenómeno se le
conoce en inglés como spillover. Se ha comprobado que para obtener un compromiso
óptimo entre la eficiencia de abertura (cuanto más uniforme sea la iluminación de la
abertura, mejor) y las pérdidas por spillover (cuanto más directivo sea el alimentador
y menos se desaproveche la potencia radiada por éste, mejor), es preciso iluminar el
borde del reflector a 11 dB por debajo del valor de la iluminación en el centro del re-
flector. En esas condiciones, idealmente se consiguen eficiencias de abertura de hasta
el 80 % (esos valores de eficiencia de abertura incluyen las pérdidas por spillover ya
que la potencia radiada Prad de la ecuación (5.37) que se utiliza en el cálculo de la
directividad en la ecuación (5.41) no es en este caso la potencia radiada por el reflec-
c Rafael R. Boix
°
tor sino la potencia radiada por el alimentador), que están muy por encima de las
que se consiguen con antenas de bocina óptimas. En la práctica, el bloqueo de aber-
tura producido por el alimentador y los soportes, la utilización de alimentadores que
no tengan simetría de revolución (y que por tanto, generen polarización cruzada),
los errores de fase producidos por deformaciones en el reflector o por el mal posi-
cionamiento del alimentador (el centro de fase del alimentador debe coincidir con el
foco del paraboloide) hacen que las eficiencias de abertura de los reflectores parabóli-
cos centrados reales estén entre el 60 % y el 65 %.
El reflector parabólico descentrado (offset parabolic reflector en inglés) de la Fig.
(5.42)(a) es una alternativa interesante al reflector parabólico centrado estudiado an-
teriormente. Con la configuración del reflector parabólico descentrado, se puede con-
seguir que el alimentador y los soportes queden fuera de la trayectoria de los rayos
colimados que conforman el haz principal del diagrama de radiación de un reflector
parabólico centrado (véase la Fig. (5.41)(a)), con lo cual, se elimina completamente el
efecto del bloqueo de abertura. Esto permite aumentar la eficiencia de abertura (se
consiguen eficiencias de abertura entre el 70 % y el 75 %) y reducir el nivel de lóbulos
secundarios. La principal desventaja que presenta el reflector parabólico descentrado
con respecto al centrado es que no tiene simetría de revolución, y eso incrementa los
niveles de polarización cruzada. En aplicaciones en las que se requiere polarización
lineal, el problema de la polarización cruzada se puede eliminar si se sustituye la su-
perficie metálica del reflector por una rejilla de hilos metálicos paralelos con forma de
paraboloide (la distancia entre dos hilos consecutivos debe ser mucho menor que la
longitud de onda). Estos reflectores de rejilla sólo reflejan la componente del campo
(a) Reflector parabólico descentrado (b) Reflectores Cassegrain y gregoriano
Figura 5.42: Otras antenas reflectoras.
eléctrico paralela a los hilos, y permiten conseguir niveles muy bajos de polarización
cruzada. Los reflectores descentrados no sólo se utilizan para producir emitir diagra-
mas de radiación de haz enfocado (tipo “pincel”) sino que también se utilizan para
c Rafael R. Boix
°
emitir diagramas de radiación de haz contorneado en los cuales el haz principal del
diagrama de radiación cubre todo un intervalo angular de direcciones. Para conseguir
estos diagramas de radiación de haz contorneado, es preciso moldear la superficie
del reflector, que en consecuencia, deja de ser una superficie parabólica. Las antenas
con diagramas de radiación de haz contorneado se suelen utilizar en los satélites en
órbita geoestacionaria para iluminar de forma más o menos homogénea un país o
un continente de la Tierra. A los diagramas de radiación así obtenidos se les conoce
como diagramas de huella (footprint patterns en inglés). Los reflectores dobles de la
Fig. (5.42)(b) constituyen otra alternativa a los reflectores parabólicos convencionales
(centrados o descentrados). En los reflectores dobles se utiliza un subreflector entre
el reflector parabólico y el alimentador. Si el subreflector es convexo y tiene la for-
ma de un hiperboloide de revolución, al reflector doble se le conoce como reflector
Cassegrain. Si el subreflector es cóncavo y tiene la forma de un elipsoide de revolu-
ción, al reflector doble se le conoce como reflector gregoriano. En los reflectores dobles
el alimentador se coloca en uno de los focos del subreflector (F ′ en la Fig. (5.42)(b))
y el otro foco del subreflector se hace coincidir con el foco del reflector parabólico
(F en la Fig. (5.42)(b)). Los rayos salen del alimentador y una vez reflejados en el
subreflector, se comportan como si procedieran del foco del reflector parabólico, con
lo cual, cuando se reflejan en el reflector parabólico, salen colimados como ocurre
en un reflector parabólico convencional. Mientras que en los reflectores parabólicos
covencionales el alimentador está situado en el foco, los reflectores dobles tienen la
ventaja de que el alimentador está situado aproximadamente en el centro del reflec-
tor principal (compare la Fig. (5.41)(a) con la Fig. (5.42)(b)). Esto facilita el acceso a
la región de alimentación, reduce el problema del soporte del alimentador, y elimina
el problema de la larga línea de transmisión con pérdidas que se necesita para lle-
gar al alimentador en un reflector parabólico convencional. Asimismo, los reflectores
dobles eliminan problemas de ruido en antenas receptoras situadas sobre la Tierra
que reciben señales del espacio. Mientras que en un reflector parabólico convencional
el alimentador -que ahora actúa como receptor- apunta hacia el suelo donde la tem-
peratura de ruido de fondo es alta, en un reflector doble el alimentador apunta hacia
el cielo donde la temperatura de ruido de fondo es baja (vea la subsección 5.6.1). Los
reflectores dobles proporcionan eficiencias de abertura que son típicamente un 10 %
mayores que las de reflectores parabólicos de similares dimensiones. No obstante, se
han diseñado reflectores dobles con superficies moldeadas con el fin de uniformizar
la distribución de los campos en la abertura del reflector principal y reducir a la vez
las pérdidas de spillover. Pues bien, con estos reflectores dobles moldeados, se han
llegado a conseguir eficiencias de abertura del 85 %.
5.8.3. Antenas impresas

Las antenas impresas se construyen utilizando técnicas de fabricación de circuitos
impresos. Las antenas impresas más populares son las antenas microstrip, a las que
también se conoce como antenas parche (véase la Fig. (5.43)(a)). Estas antenas constan
de un parche metálico de espesor despreciable situado sobre una de las caras de una
c Rafael R. Boix
°
lámina dieléctrica, a la que se suele llamar sustrato. En la otra cara del sustrato hay un
plano de masa metálico. Tanto el parche metálico como el plano de masa suelen ser
de cobre. El espesor del sustrato es eléctricamente pequeño (típicamente comprendi-
do entre 0,003λ0 y 0,05λ0 ), y el elemento radiante de la antena es el parche metálico.
Las antenas microstrip son antenas resonantes (como las antenas dipolo de media on-
Figura 5.43: (a) Antena microstrip alimentada por línea microstrip. (b) Distribución del campo
eléctrico bajo una línea microstrip.
da), y se diseñan de manera que sus dimensiones sean del orden de media longitud de
onda (concretamente, para la antena microstrip rectangular de la Fig. (5.43)(a), se suele
c Rafael R. Boix
°
√
tomar L ≈ 0, 5λ0 / εr ). Este hecho hace que las antenas microstrip se utilicen prefe-
rentemente a frecuencias de microondas entre 1 GHz y 100 GHz ya que a frecuencias
más bajas, las antenas resultantes son excesivamente grandes. La constante dieléctri-
ca εr de los sustratos utilizados en la práctica varía entre 1 y 10, si bien el sustrato
preferido es el teflón reforzado con fibra de vidrio, que tiene una constante dieléctrica
comprendida entre 2 y 3. Las antenas microstrip como la de la Fig. (5.43)(a) emiten ra-
diación hacia la región de aire situada por encima del parche metálico (región z > 0),
tienen un diagrama de radiación poco direccional y la dirección de máxima emisión
de radiación es la dirección perpendicular al parche metálico (la dirección del eje z
en la Fig. (5.43)(a)). Junto a las antenas microstrip de geometría rectangular (como la
de la Fig. (5.43)(a)), son también muy populares las antenas microstrip de geometrías
circular, anular y elíptica. En la práctica no se utilizan mucho antenas de geometrías
más complicadas porque dan lugar a niveles más altos de polarización cruzada.
El uso de las antenas microstrip se ha extendido mucho en los últimos 30 años.
Esto es debido a que estas antenas poseen muchas características atractivas. Concre-
tamente, tienen un bajo perfil y son poco voluminosas, pesan poco, son adaptables
a todo tipo de superficies (planas, cilíndricas o esféricas), son fáciles de fabricar (me-
diante la tecnología de fabricación de circuitos impresos) y se pueden integrar con
dispositivos de estado sólido. Esto ha hecho que las antenas microstrip se utilicen tan-
to en aplicaciones militares -formando parte de aeronaves, misiles y cohetes-, como
en aplicaciones civiles comerciales -en teléfonos móviles, receptores GPS, sistemas de
teledetección y aplicadores de calor en tratamientos de hipertermia-. Las principales
desventajas de las antenas microstrip son su poca capacidad para manejar niveles al-
tos de potencia, su poca pureza de polarización (los niveles de polarización cruzada
emitidos son elevados), su tendencia a excitar ondas de superficie en el sustrato con
la consiguiente disminución de la eficiencia de radiación, y por encima de todo, su
pequeño ancho de banda para la impedancia. Por ejemplo, una antena microstrip rec-
tangular como la que se muestra en la Fig. (5.43)(a) tiene típicamente un ancho de
banda comprendido entre el 2 % y el 5 %. Se ha comprobado que el ancho de ban-
da de las antenas microstrip aumenta conforme disminuye la constante dieléctrica del
sustrato y conforme aumenta el espesor del sustrato. La relación entre el ancho de
banda y la constante dieléctrica justifica que se usen en su fabricación sustratos de
baja constante dieléctrica como el teflón reforzado con fibra de vidrio. Uno de los
mecanismos que permite aumentar el ancho de banda es el aumento del espesor del
sustrato. Desgraciadamente, este aumento del espesor del sustrato lleva aparejado
un aumento de la excitación de ondas de superficie en el sustrato, y este fenómeno
tiene un efecto nocivo en las propiedades de radiación de las antenas. Por un lado,
las ondas de superficie que se propagan por el sustrato capturan parte de la potencia
disponible en los terminales de entrada de las antenas microstrip y reducen su eficien-
cia de radiación. Por otro lado, las ondas de superficie se propagan por el sustrato
y terminan difractándose en los bordes del mismo, interfiriendo esa difracción con el
diagrama de radiación de las antenas y produciendo una degradación del mismo y de
sus características de polarización. Por tanto, dado que la excitación de ondas de su-
perficie es un efecto secundario que debe ser minimizado en el diseño de las antenas
c Rafael R. Boix
°
microstrip, no es recomendable aumentar el ancho de banda de este tipo de antenas

mediante un aumento del espesor del sustrato. Se han propuesto varios mecanismos
alternativos para aumentar el ancho de banda de las antenas microstrip, tales como
apilar varios parches metálicos o introducir ranuras en los parches (en ambos casos,
lo que se persigue es que las antenas tengan dos resonancias muy próximas para au-
mentar el intervalo de frecuencias en el que la ROET tiene valores bajos). No obstante,
en el primer caso aumenta el perfil de las antenas, y en el segundo caso, aumentan los
niveles de polarización cruzada radiados.
En las Figs. (5.44)(a) a (5.44)(g) se muestran varios métodos de alimentación de
antenas microstrip mediante sonda coaxial y mediante sonda microstrip. Los méto-
dos de alimentación mostrados en las Figs. (5.44)(a) a (5.44)(c) proporcionan una ali-
mentación inductiva mediante contacto directo al parche. Son los más sencillos pero
dan lugar a anchos de banda estrechos -hay que trabajar con sustratos de espesor pe-
queño para no aumentar mucho la autoinducción de las sondas de alimentación- y
a altos niveles de polarización cruzada -lo cual es debido a las asimetrías introduci-
das en las corrientes de las antenas por parte del mecanismo de alimentación-. Los
métodos mostrados en las Figs. (5.44)(d) a (5.44)(f) persiguen una alimentación ca-
pacitiva mediante el hueco (gap en inglés) existente entre las líneas de alimentación y
las antenas. Estos esquemas de alimentación permiten conseguir un ancho de banda
mayor que el se consigue con alimentación inductiva ya que la capacidad del hueco
cancela la autoinducción de las sondas de alimentación, y esto permite trabajar con
sustratos de mayor espesor. Aún así, los niveles de polarización cruzada que se ob-
tienen siguen siendo altos. Finalmente, el método de alimentación mediante ranura
de la Fig. (5.44)(g) es el que probablemente presenta más ventajas. En primer lugar,
permite separar el sustrato de las antenas microstrip del sustrato de las líneas microstrip
de alimentación, lo cual es una ventaja ya que mientras que las antenas requieren sus-
tratos de baja constante dieléctrica y espesor moderado (para aumentar el ancho de
banda, y en general, para favorecer la radiación), las líneas de alimentación requieren
sustratos de alta constante dieléctrica y pequeño espesor para que los campos queden
bien confinados bajo las metalizaciones y no se vea favorecida la radiación. En se-
gundo lugar, una vez fijadas las características de los sustratos de las antenas y líneas
de alimentación, el método permite disponer de dos grados de libertad geométricos
independientes-la longitud de las líneas microstrip de alimentación y la longitud de las
ranuras- para ajustar por separado la resistencia de entrada y la reactancia de entrada
de las antenas (véanse las ecuaciones (5.61) y (5.62)), y así favorecer su adaptación.
En tercer lugar, como el método de alimentación propuesto es simétrico, no degrada
la pureza de la polarización emitida por las antenas. Por último, hay que añadir que
los anchos de banda conseguidos con el método de alimentación de la Fig. (5.44)(g)
son inferiores a los conseguidos con los métodos de las Figs. (5.44)(d) a (5.44)(f) pero
superiores a los conseguidos con los métodos de las Figs. (5.44)(a) a (5.44)(c), con lo
cual, el método de alimentación de la Fig. (5.44)(g) es el que probablemente permite
obtener un mejor compromiso entre las propiedades de radiación y las propiedades
de circuito de las antenas microstrip alimentadas.
Los métodos de alimentación mostrados en la Fig. (5.44) hacen uso de una única
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°
Figura 5.44: Métodos de alimentación de antenas microstrip.
sonda para alimentar antenas microstrip rectangulares que radian ondas polarizadas
linealmente. Partiendo de pequeñas perturbaciones de la geometría cuadrada o circu-
lar, es posible diseñar antenas microstrip que radian ondas polarizadas circularmente
cuando son alimentadas con una única sonda, tal y como ocurre con las antenas de
la Fig. (5.44). El problema que tienen estas antenas polarizadas circularmente es que
su ancho de banda para la polarización circular (intervalo de frecuencias en que la
razón axial es menor o igual que 3 dB) es muy pequeño (usualmente inferior al 0,5 %).
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°
Figura 5.45: Configuraciones de antenas microstrip cuadradas y circulares para polarización

circular.
Para disponer de antenas microstrip polarizadas circularmente con un ancho de banda

razonable para la polarización circular, es necesario alimentar estas antenas con dos
sondas de alimentación, tal y como muestran las Figs. (5.45)(a) a (5.45)(c). En estas
figuras se muestran parches cuadrados o circulares en los que se excitan dos modos
resonantes ortogonales mediante dos sondas de alimentación que transportan señales
de la misma amplitud en cuadratura de fase. Por un lado, la excitación de los modos
resonantes ortogonales requiere que el ángulo formado por las líneas que unen los
dos puntos de alimentación con el centro de los parches sea un ángulo de 90◦ (véanse
las Figs. (5.45)(a) a (5.45)(c)). Por otro lado, para que las señales de alimentación ten-
gan la misma amplitud y estén en cuadratura de fase, es preciso que provengan de un
divisor de potencia seguido en una de sus ramas por un desfasador (línea de trans-
misión λ/4) como se muestra en la Fig. (5.45)(a), o que provengan de un híbrido de
90◦ (acoplador branch line) como se muestra en las Figs. (5.45)(b) y (5.45)(c).
Las agrupaciones de antenas microstrip como la mostrada en la Fig. (5.46) ofre-
cen la ventaja de que las redes de alimentación y las antenas se pueden imprimir en
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°
Figura 5.46: Agrupación de antenas microstrip con una red de alimentación que produce ex-
citaciones de igual amplitud e igual fase en los elementos de la agrupación.
una misma cara del sustrato mediante técnicas de fabricación de circuitos impresos.
El principal problema que tienen agrupaciones como las de la Fig. (5.46) es que, de-
bido a la radiación emitida por la red de alimentación, los diagramas de radiación
emitidos por las agrupaciones tienen niveles relativamente altos de lóbulos secunda-
rios (el NLS está típicamente entre -25 dB y -15 dB) y de polarización cruzada. Para
conseguir niveles más bajos de lóbulos secundarios y de polarización cruzada, sería
preciso que las antenas de la agrupación fueran alimentadas mediante ranuras, tal y
como se muestra en la Fig. (5.44)(g). En ese caso, las antenas de la agrupación se fa-
bricarían en un sustrato y las líneas de alimentación en otro sustrato distinto, estando
separados los dos sustratos por un plano de masa. Esto permitiría que la posible ra-
diación emitida por la red de alimentación de la agrupación no interfiriera con el
diagrama de radiación generado por las antenas.
Aunque las antenas microstrip y sus agrupaciones se pueden analizar aproximada-
mente utilizando modelos (tales como el modelo de línea de transmisión o el modelo
de cavidad), estos modelos están limitados a geometrías sencillas y son poco precisos
en determinadas circunstancias (por ejemplo, cuando los sustratos son moderada-
mente gruesos). Para analizar antenas microstrip de geometría arbitraria con garan-
tías, es preciso recurrir a métodos numéricos de análisis electromagnético tales co-
mo el método de los momentos(method of moments MOM en inglés), el método de las
diferencias finitas en el dominio del tiempo (finite-difference time-domain FDTD en in-
glés) y el método de los elementos finitos (finite element method FEM en inglés). Estos
c Rafael R. Boix
°
5.9. Medida de antenas 87
métodos llevan a cabo una resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell sujetas
a las condiciones de contorno apropiadas, y son matemáticamente complejos y difí-
ciles de programar. Afortunadamente, existen herramientas de CAD comerciales que
han implementado estos métodos. Entre las más adecuadas para el análisis de ante-
nas microstrip hay que mencionar en primer lugar a Ansoft Designer y a Zeland IE3D
(estas dos herramientas están basadas en la resolución de ecuaciones integrales de po-
tenciales mixtos mediante el método de los momentos), y en segundo lugar, a HFSS
(basada en el método de los elementos finitos) y a CST (basada en el método de las
diferencias finitas en el dominio del tiempo).
5.9. Medida de antenas
Figura 5.47: Sistema de medida conceptual en el que se mueve un dipolo receptor sobre la
superficie de una esfera situada en la región de campo lejano de la antena que se desea medir.
De acuerdo con lo que hemos visto en las secciones 5.2 y 5.3, para medir las
propiedades de radiación de una antena -cuya dimensión máxima vale D- en la región
de campo lejano, habría que medir el campo eléctrico radiado por la antena sobre la
superficie de una esfera de radio r > 2D2 /λ0 (estando la esfera centrada en la ante-
na) en función de las coordenadas esféricas angulares θ y φ (el campo magnético no
es preciso medirlo ya que se obtiene trivialmente a partir del campo eléctrico en la
región de campo lejano haciendo uso de las ecuaciones (5.4) y (5.13)). La Fig. (5.47)
muestra una manera de llevar a cabo esta medida. Se elige un dipolo corto en cir-
cuito abierto como antena receptora, se sitúa el dipolo corto sobre la la superficie de
c Rafael R. Boix
°
la esfera citada y se mide la tensión en circuito abierto en los terminales del dipolo.
Si el dipolo está orientado en un punto de la esfera a lo largo del vector θ̂, la tensión
medida será proporcional a la componente Eθ del campo eléctrico en ese punto (ca-
so mostrado en la Fig. (5.47)), y si el dipolo está orientado a lo largo del vector φ̂, la
tensión medida será proporcional a la componente Eφ . El problema que tiene este sis-
tema de medida es que es poco útil. En la práctica, a la hora de medir una antena real,
se suele utilizar una antena polarizada linealmente de propiedades conocidas como
antena emisora -a la que se suele llamar antena fuente-, y se suele situar la antena
bajo prueba ABP (antenna under test AUT en inglés) como antena receptora (véase la
Fig. (5.48)). El que la ABP actúe en recepción no es un problema ya que, de acuerdo
con las ecuaciones (5.54) y (5.57), el diagrama de una antena en recepción coincide
con el diagrama de la antena en emisión, y eso significa que el diagrama de radiación
de una antena se puede medir tanto en emisión como en recepción. Además, en vez
de mover la antena fuente, lo que se suele hacer es rotar la ABP alrededor de dos
ejes de rotación ortogonales que pasan por su centro de fase (centro de las superficies
esféricas de fase constante emitidas por la antena en la región de campo lejano), tal
y como muestra la Fig. (5.48). El giro alrededor de un eje equivale a la variación de
la coordenada esférica θ que aparece en la Fig. (5.47) (ángulo de elevación), y el giro
Figura 5.48: Sistema de medida real en el que la antena que se desea medir es la antena
receptora, que gira alrededor de dos ejes ortogonales. La tensión medida en los terminales
de salida nos da el diagrama de radiación de la antena cuando ésta rota alrededor de los ejes
citados.
alrededor del eje ortogonal equivale a la variación de la coordenada esférica φ (ángulo

azimutal). Para obtener las dos componentes del campo eléctrico de la ABP, primero
se mide la ABP con la antena fuente polarizada verticalmente, y a continuación, se
repiten las medidas con la antena fuente polarizada horizontalmente (para lo cual
habrá que girar previamente la antena fuente un ángulo de 90◦ ). Si bien una repre-
sentación completa de las propiedades de radiación de una antena obligaría a medir
las dos componentes del campo eléctrico para todos los posibles valores de θ y φ, en
la mayoría de las aplicaciones basta con medir las componentes copolar y contrapolar
del campo eléctrico en los planos principales E y H (véase la Fig. (5.12)). Cuando la
ABP se utiliza como antena receptora, las ecuaciones (5.54) y (5.57) son estrictamente
c Rafael R. Boix
°
válidas si sobre la ABP incide una onda plana en la cual el campo eléctrico está uni-
formemente distribuido en módulo y fase en un plano perpendicular a la dirección de
incidencia. Dado que en la práctica la ABP recibe el campo eléctrico emitido por otra
antena situada en su región de campo lejano, el campo eléctrico que le llega a la ABP
es el de una onda esférica y ese campo no está uniformemente distribuido en un plano
perpendicular a la dirección de incidencia (de hecho, puede haber variaciones en la
fase de hasta 22,5◦ con respecto a la fase de una onda plana). Esta falta de uniformidad
en la iluminación de la ABP introduce errores en la medida. Estos errores serán tanto
más pequeños cuanto más se parezca la onda que ilumina la antena a una onda plana
(en principio, cuanto más lejos esté la ABP de la antena fuente, más uniforme será la
iluminación de la ABP, pero la separación entre las dos antenas no puede aumentar
indefinidamente).
5.9.1. Sistemas de medida de diagramas de radiación

Las instalaciones utilizadas para medir las propiedades de radiación de las antenas
se conocen en inglés como antenna ranges. Dado que antenna ranges se traduce al caste-
llano como “campos de antenas”, y que los “campos de antenas” se pueden confundir
con los “campos electromagnéticos radiados por una antena”, nosotros llamaremos
“sistemas de medidas de antenas” a las instalaciones utilizadas para la medida de las
antenas. Existen sistemas de medida de antenas construidos a la intemperie y sistemas
de medida construidos dentro de edificios. Mientras que los sistemas a la intemperie
tienen la desventaja de no estar protegidos frente a condiciones meteorológicas ad-
versas, los sistemas situados dentro de los edificios están limitados por restricciones
de espacio (téngase en cuenta que si la máxima dimensión de la antena que se desea
medir D es muy grande, las medidas en campo lejano no son viables dentro de un
edificio).
Los sistemas de medidas de antenas pueden clasificarse en sistemas de medida en
reflexión y sistemas de medida en espacio libre. Los sistemas de medida en reflexión
son sistemas de medida a la intemperie. Tal y como muestra la Fig. (5.49), en estos
sistemas la antena fuente y la ABP se sitúan sobre dos torres de manera que la antena
fuente esté en la región de campo lejano de la ABP (esto es, se debe cumplir que
RD > 2D2 /λ0 , siendo D la máxima dimensión de la ABP). La antena fuente y la ABP
se sitúan de manera que los rayos que llegan a la ABP directamente desde la antena
fuente interfieren constructivamente con los rayos que llegan a la ABP desde la antena
fuente después de reflejarse en el suelo. Esa interferencia constructiva produce un
patrón de iluminación muy uniforme en la región de la ABP, región a la que se conoce
como “zona tranquila”. Este sistema de medida es muy adecuado para medir antenas
grandes poco directivas.
Los sistemas de medida en espacio libre están diseñados de manera que a la ABP
le lleguen preferentemente los rayos directos procedentes de la antena fuente, y se
reduzcan al mínimo los rayos que llegan a la ABP procedentes de reflexiones en los
objetos situados en las proximidades de la antena fuente y la ABP. Dentro de los sis-
temas de medida en espacio libre, hay que distinguir entre los sistemas de medida a
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.49: Sistema de medida en reflexión.
la intemperie y los sistemas de medida dentro de edificios. Y dentro de los sistemas

de medida en espacio libre a la intemperie, hay que distinguir entre los sistemas e-
levados y los sistemas inclinados, tal y como muestran las Figs. (5.50)(a) y (5.50)(b).
Tanto en los sistemas elevados como en los sistemas inclinados, la antena fuente se
sitúa en la región de campo lejano de la ABP (esto es, R > 2D2 /λ0 en la Fig. (5.50)(a)).
En los sistemas elevados las dos antenas se sitúan sobre torres muy altas (de mayor
altura que las que se utilizan en los sistemas en reflexión) o sobre tejados de edificios,
y se minimizan las reflexiones en el suelo (por ejemplo, colocando sobre aquél vallas
de difracción que dispersan los campos radiados hacia el suelo por la antena fuente).
En los sistemas inclinados la antena fuente se coloca sobre el suelo y la ABP se coloca
en lo alto de una torre. El lóbulo principal del diagrama de radiación de la antena
fuente apunta hacia el centro de la ABP, y el primer nulo de dicho diagrama de ra-
diación apunta hacia la base de la torre que sostiene la ABP. Asimismo, la citada torre
se construye con materiales no conductores para reducir las reflexiones. Los sistemas
inclinados requieren, en general, menos espacio que los sistemas elevados.
En la Fig. (5.51) se muestran dos de los sistemas de medidas en espacio libre dentro
de edificios, que son las cámaras anecoicas para medidas en campo lejano y los sis-
temas compactos. Cuando se utilizan para medidas en campo lejano (manteniendo la
antena fuente en la región de campo lejano de la ABP), las cámaras anecoicas tienen
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.50: Sistemas de medida en espacio libre a la intemperie. (a) Sistema elevado. (b)
sistema inclinado.
un funcionamiento muy similar al de los sistemas elevados e inclinados mostrados

en la Fig. (5.50) con la ventaja de que no se ven afectadas por las inclemencias meteo-
rológicas. Las cámaras anecoicas se construyen en una habitación de un edificio, y las
paredes de esa habitación se cubren con absorbentes de RF para evitar que lleguen a
la ABP las reflexiones en dichas paredes de las ondas procedentes de la antena fuente.
Usualmente, los absorbentes de RF tienen forma piramidal con el vértice dirigido ha-
cia el interior de la cámara para evitar que las ondas se reflejen en superficies planas
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.51: Cámara anecoica para medidas en campo lejano (izquierda) y sistema de medida
compacto (derecha).
paralelas a las paredes. El problema que tienen las cámaras anecoicas para medidas
de campo lejano es que sólo permiten medir antenas eléctricamente pequeñas ya que
la separación entre la antena fuente y la ABP debe ser mayor que 2D2 /λ0 , y esa dis-
tancia puede ser mucho mayor que las dimensiones de cualquier habitación si la ABP
es una antena eléctricamente grande. Este problema se puede resolver en parte si
se utiliza un sistema compacto como el mostrado en la Fig. (5.51). En los sistemas
compactos la ABP es iluminada por las ondas casi planas emitidas por un reflector
descentrado (que puede ser simple o doble). Dado que por definición las antenas re-
flectoras emiten un haz de rayos muy colimado en la región de campo próximo, los
sistemas compactos tienen la ventaja de que no tienen que cumplir los requisitos de
separación entre la antena fuente y la ABP que aparecen en los sistemas de medida
en campo lejano, y por tanto, permiten medir antenas eléctricamente grandes den-
tro de un edificio (la única restricción es que el tamaño de la ABP no debe superar
la tercera parte del tamaño del reflector). Los sistemas compactos tienen problemas
de interferencias por reflexiones en las paredes, pero esos problemas desaparecen si
dichos sistemas se introducen en cámaras anecoicas, tal y como muestra la Fig. (5.51).
Por otro lado, es sabido que la difracción en los bordes del reflector perjudica a los sis-
temas compactos ya que degrada la uniformidad de la iluminación en la región de la
ABP. Se ha comprobado que este problema se reduce considerablemente si los bordes
del reflector se cortan en forma de dientes de sierra (véase la Fig. (5.51)) o se curvan
hacia la parte posterior del reflector.
Existe un último tipo de sistemas de medida en espacio libre que permite medir
antenas eléctricamente grandes en espacios pequeños dentro de un edificio. Nos es-
tamos refiriendo a los sistemas de medida en campo próximo. En estos sistemas de
medida la ABP actúa como antena emisora y una antena receptora toma medidas del
campo próximo creado por la ABP en una superficie que puede ser plana, cilíndrica
o esférica (véase la Fig. (5.52)). El campo lejano de la ABP se obtiene a partir de las
medidas realizadas en campo próximo mediante transformadas de Fourier (que sal-
vo en el caso del sistema esférico, se pueden llevar a cabo mediante el algoritmo de
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.52: Superficies utilizadas para la adquisición de datos en los sistemas de medida en
campo próximo. (a) Campo próximo plano. (b) Campo próximo cilíndrico. (c) Campo próximo
esférico.
FFT). El fundamento de los sistemas de medida en campo próximo se encuentra en las

ecuaciones (5.10) a (5.19), según las cuales se puede obtener el campo creado por una
antena en la región de campo lejano si se conoce el valor de los campos en una superfi-
cie que rodea a la antena y está situada en la región de campo próximo. La separación
entre la ABP y la sonda receptora en un sistema de medida en campo próximo suele
estar entre 4λ0 y 10λ0 , que normalmente es una distancia mucho menor que la que se
exige en los sistemas compactos y en los sistemas de medida en campo lejano. La Fig.
(5.53) muestra los movimientos que ejecutan la ABP y la sonda receptora en los dis-
tintos sistemas de medida en campo próximo. En el sistema plano, la sonda receptora
se mueve en los puntos de un plano mientras la ABP se mantiene fija. En el sistema
cilíndrico, la sonda receptora se mueve en dirección vertical y la ABP rota variando el
ángulo azimutal. En el sistema esférico, la sonda receptora está fija y la ABP rota en
torno a dos ejes ortogonales variando el ángulo de elevación y el ángulo azimutal. De
los tres sistemas de medida en campo próximo, el más preciso es el esférico ya que es
el único que permite medidas en una superficie cerrada que rodea completamente a la
antena. Los otros dos sistemas medida están sometidos a errores de truncación, y sólo
proporcionan resultados precisos si el campo próximo tiene valores despreciables en
las porciones de la superficie que rodea a la antena donde no se toman muestras (por
ejemplo, en aquellos puntos del plano infinito que contiene a las muestras de la Fig.
(5.52) y donde no se han tomado muestras, o en aquellos puntos del cilindro infinito
que contiene a las muestras de la Fig. (5.52) y donde no se han tomado muestras). El
c Rafael R. Boix
°
principal problema que tiene el sistema esférico frente a los sistemas plano y cilín-
drico es que requiere unos cálculos matemáticos mucho más complejos. Una ventaja
adicional de los sistemas de medida en campo próximo es que permiten realizar diag-
nósticos a partir de los datos de campo próximo, tales como detectar un elemento que
no funciona correctamente en una agrupación de antenas.
Figura 5.53: Desplazamiento de las antenas utilizadas en los sistemas de medida en campo
próximo plano (izquierda), cilíndrico (centro) y esférico (derecha).
5.9.2. Medida de ganancia

La medida del diagrama de radiación de una antena bajo prueba (ABP) es una me-
dida relativa que nos da idea de como se distribuye angularmente la potencia radiada
por la antena. Aparte del diagrama de radiación, también es muy importante medir
la ganancia para conocer la eficiencia y la direccionalidad de la radiación emitida por
la antena (cuando hablamos de medir la ganancia, nos referimos a medir la ganan-
cia máxima definida en la ecuación (5.44)). Existen técnicas basadas en la ecuación
de transmisión de Friis que permiten medir la ganancia absoluta de una antena. No
obstante, la mayoría de las veces lo que se mide es la ganancia de una ABP relativa
Figura 5.54: Medida de la ganancia de una antena bajo prueba GT a partir de la ganancia GS
de una antena de ganancia patrón mediante el método de comparación de ganancias.
c Rafael R. Boix
°
a la ganancia de otra antena patrón de ganancia conocida (standard gain antenna en

inglés). Esta técnica de medida se conoce como método de comparación de ganancia
o método de transferencia de ganancia (gain comparison method o gain transfer method
en inglés). La Fig. (5.54) muestra el esquema de la técnica para una ABP y una antena
patrón que tienen exactamente la misma polarización. Un transmisor de potencia de
entrada fija Pt se conecta a una antena fuente que actúa como antena emisora. A con-
tinuación, la dirección de máxima emisión de radiación de la antena fuente se alinea
con la de la antena de ganancia patrón, y se mide la potencia recibida por dicha antena
PS . Con posterioridad, se retira la antena de ganancia patrón, se coloca exactamente
en el mismo lugar la ABP, y se mide la potencia recibida por la ABP PT . En caso de
que todas las antenas estén adaptadas a las impedancias de entrada y salida, y en caso
de que la antena de ganancia patrón y la ABP estén adaptadas a la polarización de la
onda emitida por la antena fuente, si GS es la ganancia de la antena patrón y GT es la
ganancia de la ABP, de acuerdo con la ecuación (5.73), se va a cumplir que:
PT
GT = GS (5.91)
PS
donde se ha tenido en cuenta que Gt , λ0 , Pt y R son las mismas para la ABP y para
la antena patrón en (5.73) (Gt es la ganancia de la antena fuente y Pt es la potencia
entregada a dicha antena). La ecuación (5.91) se puede reescribir en decibelios como:
GT (dB) = PT (dBm) − PS (dBm) + GS (dB) (5.92)
Este último resultado es intuitivo y simplemente establece que la ganancia en dB

de la ABP difiere de la ganancia en dB de la antena patrón en la diferencia entre las
potencias recibidas por la ABP y la antena patrón en dBm.
De acuerdo con (5.91) y (5.92), para medir GT con precisión, es preciso medir con
precisión PT y PS . Esto es a menudo posible con los receptores modernos. Una estrate-
gia que permite medir PT y PS sin tener que preocuparse por la falta de linealidad del
receptor es hacer uso del método de sustitución de RF. En este método se coloca un
atenuador entre la antena y el receptor, y se ajusta el atenuador de modo que la lec-
tura en el receptor sea la misma con la ABP y con la antena patrón. En ese caso, la
diferencia PT (dBm) − PS (dBm) viene dada exclusivamente por la diferencia entre las
posiciones del atenuador con la antena patrón y con la ABP.
La precisión en la medida de GT también depende de la precisión con la que se
conozca GS . A la hora de medir ABP polarizadas linealmente, lo habitual es utilizar
dipolos de media onda como antenas de ganancia patrón por debajo de 1 GHz, y
antenas de bocina como antenas patrón por encima de 1 GHz. De acuerdo con la
ecuación (5.44) y con los ejemplos 5.5 y 5.7, la ganancia de un dipolo de media onda es
de aproximadamente 2,15 dB. Por otro lado, los fabricantes de bocinas patrón suelen
dar fórmulas polinómicas que permiten calcular las ganancias de estas bocinas en sus
rangos de frecuencias de operación.
Para poder medir la ganancia de ABP polarizadas circular y elípticamente me-
diante las ecuaciones (5.91) y (5.92), se necesitarían antenas de ganancia patrón que
c Rafael R. Boix
°
tuvieran exactamente la misma polarización circular o elíptica que la ABP. En la prác-

tica, lo que se suele hacer es trabajar con una antena de ganancia patrón polarizada
linealmente. En ese caso, se calculan las ganancias GT v y GT h que se obtienen para la
ABP mediante (5.91) y (5.92) cuando la antena patrón está polarizada, primero verti-
calmente, y después horizontalemente. De acuerdo con las ecuaciones (5.43) y (5.25),
la ganancia total GT de la ABP polarizada circular o elípticamente se puede obtener
en términos de las ganancias parciales GT v y GT h mediante la ecuación:
GT (dB) = 10 log (GT v + GT h ) (5.93)
La precisión del método de medida de la ganancia a partir de las ganancias par-

ciales (ecuación (5.93)) depende de la pureza de la polarización lineal de la antena
fuente. Afortunadamente, las antenas de ganancia patrón polarizadas linealmente
que se utilizan en la práctica (dipolos de media onda y bocinas) suelen tener una
razón axial mayor que 40 dB (RA> 102 en (5.61)), lo cual no introduce errores signi-
ficativos en el cálculo de GT mediante (5.93).
5.9.3. Medida de polarización

Cuando la ABP está polarizada linealmente y presenta un pequeño nivel de polari-
zación cruzada, para medirla se utiliza una antena fuente polarizada linealmente con
una alta pureza de polarización. En estos casos, lo habitual es medir únicamente las
componentes copolar y contrapolar de la ABP en los planos principales E y H (para
la medida de la componente copolar, se mantienen paralelas las polarizaciones de la
ABP y de la antena fuente conforme varía el ángulo correspondiente, y para la medida
de la componente contrapolar, se mantienen perpendiculares las polarizaciones de las
dos antenas al variar el ángulo).
Sin embargo, cuando se trata de medir antenas polarizadas elípticamente con una
baja razón axial (esto es, cuando se trata de medir antenas cuyo estado de polarización
está muy alejado de la polarización lineal pura), a la hora de medir correctamente el
estado de polarización, es conveniente acudir a otros métodos, como por ejemplo,
el método del diagrama de polarización (polarization pattern method en inglés) al que
hace referencia la Fig. (5.55). Para explicar este método de una forma sencilla, vamos a
suponer que la antena emisora es la ABP polarizada elípticamente y que la antena re-
ceptora es una antena polarizada linealmente con una elevada pureza de polarización
(en la práctica, en el laboratorio se suele utilizar la antena polarizada linalmente co-
mo antena emisora y la ABP como receptora, y aún así, el resultado obtenido con
el método del diagrama de polarización es el mismo ya que las antenas funcionan
igual en emisión y en recepción de acuerdo con el teorema de reciprocidad). La punta
del campo eléctrico radiado por la ABP polarizada elípticamente en un punto O des-
cribe la elipse de polarización que se muestra en línea discontinua en la Fig. (5.55).
Pues bien, la tensión recibida por la antena receptora polarizada linealmente va a ser
proporcional al valor máximo de las proyecciones de los puntos de la elipse de po-
larización sobre la dirección de polarización de la antena receptora (en la Fig. (5.55)
c Rafael R. Boix
°
Figura 5.55: Elipse de polarización de una antena bajo prueba (línea discontinua) y respuesta
producida por esta antena en una antena receptora polarizada linealmente cuando la antena
receptora gira alrededor de la línea que une las dos antenas (línea continua).
este máximo se alcanza para el punto T de la elipse de polarización, y la proyección

de T sobre la dirección de polarización de la antena receptora es el punto P ). Si ahora
giramos la antena receptora alrededor de la línea que une las dos antenas -esto es, si
variamos el ángulo α de la Fig. (5.55) en el intervalo 0 ≤ α ≤ 2π-, el punto P de la
Fig. (5.55) (punto de la dirección de polarización en la que se alcanza el máximo de las
proyecciones de la elipse de polarización) describe una curva cerrada conocida como
diagrama de polarización (que, generalmente, tiene forma de ocho). Se observa que
esta curva cerrada toca a la elipse de polarización en los puntos en los que la elipse in-
tersecta a su eje mayor y a su eje menor (véase la Fig. (5.55)), y no sólo eso sino que los
puntos del diagrama de polarización que están más lejos y más cerca de O coinciden
exactamente con los puntos de la elipse de polarización que también están más lejos
y más cerca de O. Esto significa que el cociente entre el máximo y el mínimo del dia-
grama de polarización medido nos da la razón axial de la ecuación (5.61). Además la
dirección del máximo del diagrama de polarización nos permite encontrar el ángulo
de inclinación τ de la elipse de polarización. Lo único que no permite determinar este
método de medida es el sentido de la polarización elíptica de la ABP: PCMD o PCMI.
Para poder obtener este último dato sobre la polarización, hay que sustituir primero
c Rafael R. Boix
°
la antena receptora polarizada linealmente por una antena helicoidal con polarización
circular PCMD, y después por una antena helicoidal con polarización circular PCMI.
De las dos antenas con polarización circular, aquélla que registra una mayor tensión
de salida es la que indica el sentido de la polarización elíptica de la ABP.
5.9.4. Medida de impedancia de entrada

La impedancia de entrada de una antena está relacionada con los valores del cam-
po eléctrico y magnético en la región de campo próximo reactivo de la antena. Por
tanto, a la hora de medir la impedancia de entrada, es conveniente que en la región
de campo próximo reactivo de la antena exista un entorno anecoico (que se puede
conseguir rodeando la antena con una concha con forma semiesférica forrada de ab-
sorbentes de RF) para evitar que los campos en esa región se vean perturbados por
reflexiones en los objetos próximos a la antena.
Para medir la impedancia de entrada de una antena, de acuerdo con la ecuación
(5.67), basta conectar la antena a una línea de transmisión (o una guía de ondas) de
impedancia conocida (esta impedancia es Zg en la ecuación (5.67)) y medir el coe-
ficiente de reflexión (o lo que es lo mismo, el parámetro de scattering S11 ) en dicha
línea de transmisión. Antiguamente, el módulo del coeficiente de reflexión se medía
mediante un medidor de ROET (vea la ecuación (5.70)), y la fase del coeficiente de
reflexión se medía a partir de la distancia existente entre un mínimo de la línea acaba-
da en la antena y el mínimo adayacente de la misma línea acabada en cortocircuito,
siendo preciso disponer de una línea ranurada para poder medir esos dos mínimos.
Además, la medida del módulo y la fase del coeficiente de reflexión había que repe-
tirla a cada frecuencia. Hoy en día, se hacen medidas en banda ancha del módulo y la
fase del coeficiente de reflexión mediante analizadores de redes vectoriales. Además
estos analizadores permiten representar el módulo y la fase por separado frente a la
frecuencia (en escala logarítmica en el caso del módulo, y en escala lineal en el caso
de la fase), o también representar directamente el coeficiente de reflexión complejo en
carta de Smith.
Bibliografía
1.- W. L. Stutzman and G. A. Thiele, Antenna Theory and Design, 2nd Edition, Wiley,
New York, 1998.
2.- C. A. Balanis, Antenna Theory: Analysis and Design, 3rd Edition, Wiley, New York,
2005.
3.- D. M. Pozar, Microwave and RF Design of Wireless Systems, Chapter 4, Wiley, New
York, 2001.
4.- Special issue, Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 1, January 1992.
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°
Problemas
5.1 Una estación base de telefonía móvil opera a 860 MHz y consiste en una agru-
pación de 3 dipolos de media onda que están separados a una distancia de
0, 45λ0 . Encuentre la longitud de onda de operación y la distancia a la cual
comienza la región de campo lejano.
5.2 La intensidad de corriente en una ¡antena

¢ dipolo de longitud l se aproxima me-
diante la expresión I(z ) = I0 cos l z (|z | ≤ 2 ). Calcule los campos radiados
′ 2 π ′ ′ l
por la antena en la región de campo lejano.
5.3 Considere una abertura rectangular de dimensiones a × b, que está situada en el

plano z ′ = 0 y está centrada en el origen de coordenadas. Si el campo eléctrico
en la abertura vale Ea = E0 ŷ (|x′ | ≤ a2 , |y ′ | ≤ 2b ) y el campo magnético vale
Ha = −(E0 /η0 )x̂ (|x′ | ≤ a2 , |y ′ | ≤ 2b ), calcule los campos radiados por la abertura
en la región de campo lejano.
5.4 Considere una abertura circular de radio a, centrada en el origen de coordenadas

y situada en el plano z ′ = 0. Suponga que el campo eléctrico en la abertura es
uniforme y vale Ea = E0 ŷ (|ρ′ | ≤ a), y que el campo magnético en la abertura
vale Ha = −(E0 /η0 )x̂ (|ρ′ | ≤ a). Calcule los campos radiados por la abertura en
la región de campo lejano, utilizando para ello los resultados matemáticos:
Z 2π
′
ejx cos(t−t ) dt′ = 2πJ0 (x)
0
Z β
xJ0 (x)dx = βJ1 (β)
0
donde J0 (•) y J1 (•) son funciones de Bessel de orden cero y orden uno respecti-
vamente.
5.5 La intensidad de radiación normalizada de una antena (véase la ec. (5.31)) vale:
sen2 (θ) sen3 (φ) 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ π

½
Un (θ, φ) =
0 0 ≤ θ ≤ π, π < φ ≤ 2π
Calcule:
a) La directividad (sin dimensiones y en dB)

b) Los AHMP en los planos θ = π/2 y φ = π/2.
5.6 Suponga que es un ingeniero de antenas, y que le piden diseñar una antena de
alta directividad para un sistema de comunicaciones vía satélite que opera a 10
GHz. Las especificaciones de la antena indican que su diagrama de radiación no
c Rafael R. Boix
°
debe contenener lóbulos secundarios (o si los contiene, deben ser despreciables

frente al lóbulo principal). Además, el diagrama de radiación no debe depender
de la coordenada azimutal φ, y el lóbulo principal debe tener un ancho de haz
para la mitad de potencia de 10◦ . Para acelerar el diseño, supondremos que la
intensidad de radiación normalizada de la antena se puede aproximar por:
cosn (θ) 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π

½
Un (θ, φ) =
0 π/2 < θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π
En esas condiciones determine:
a) El valor de n (no necesariamente un entero) para cumplir con las especifi-

caciones del lóbulo principal.
b) La directividad exacta de la antena para ese valor de n (sin dimensiones y
en dB).
c) La directividad aproximada que se obtiene para la antena cuando se utiliza
la ecuación (5.39).
5.7 Considere la abertura rectangular descrita en el Problema 5.3 en el caso en que

a = 3λ0 y b = 2λ0 . Para esas dimensiones, calcule:
a) El AHPN en el plano E.
b) El AHMP en el plano E.
c) La directividad de la abertura (sin dimensiones y en dB).
5.8 Un avión vuela paralelo a la tierra en la dirección del eje z a una altura h cons-
tante como se muestra en la Fig. (5.56). La antena de un radar de búsqueda en
superficie debe estar diseñada de manera que el eco de radar que recibe la an-
Figura 5.56: Avión que se aleja de la antena de un radar de superficie a una altura h constante.
tena procedente del avión sea independiente de la distancia entre la antena y

el avión R. Como la potencia recibida por la antena procedente del avión varía
c Rafael R. Boix
°
como 1/R2 (véase la ecuación (5.73)), y como R = h csc θ (véase la Fig. (5.56)), si
la intensidad de radiación de la antena -y por tanto, la directividad- son propor-
cionales a csc2 θ, la potencia recibida por la antena será independiente de R de
acuerdo con la ecuación (5.73). A un diagrama de radiación de este tipo se le lla-
ma un diagrama de radiación “cosecante”. Suponga que la antena de un radar
de búsqueda tiene un diagrama de radiación “cosecante”, y que su intensidad
de radiación normalizada se puede aproximar mediante la expresión:
0,25 csc2 (θ) π/6 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π

½
Un (θ, φ) =
0 en cualquier otro sitio
Calcule la directividad de la antena (sin dimensiones y en dB).
5.9 Una antena helicoidal anclada en el suelo está situada en el origen de un sistema
de coordenadas y se utiliza como antena receptora. El campo eléctrico creado
por la antena helicoidal en modo de transmisión en un punto de la región de
campo lejano de coordenadas esféricas (r0 , θ0 , φ0 ) viene dado por:
e−jk0 r0
Eah = E0 (j θ̂ + 2φ̂)f0 (θ0 , φ0 )
r0
Una antena emplazada en un avión y situada en el punto de coordenadas es-
féricas (r0 , θ0 , φ0 ) emite una onda electromagnética que es captada por la antena
helicoidal. El campo eléctrico que llega a la antena helicoidal procedente de la
antena del avión se puede escribir:
e+jk0 r0
Eaa = E1 (2θ̂ + j φ̂)f1 (θ0 , φ0 )
r0
A partir de esos datos, determine:
a) El tipo de polarización (lineal, circular o elíptica) de la antena helicoidal en

el modo de transmisión, y el sentido de rotación de la polarización (PCMD
o PCMI) si procede.
b) El tipo de polarización (lineal, circular o elíptica) de la onda que incide so-
bre la antena helicoidal, y el sentido de rotación de la polarización (PCMD
o PCMI) si procede.
c) El factor de pérdidas de polarización (sin dimensiones y en dB) debido a la
desadaptación entre la antena helicoidal y la onda incidente.
5.10 Una abertura rectangular está centrada en el origen de coordenadas y está con-
tenida en el plano z = 0. El campo eléctrico radiado por la abertura rectangular
en la región de campo lejano viene dado en coordenadas esféricas por:
³ ´
E(r, θ, φ) = θ̂ cos φ − φ̂ sen φ cos θ f (r, θ, φ)
c Rafael R. Boix
°
Supongamos que la onda radiada por la abertura rectangular es recibida por

una antena situada en el eje z (en la región de campo lejano de la abertura rec-
tangular). Si la antena receptora está polarizada linealmente a lo largo del eje x,
calcule el factor de desadaptación en la polarización.
5.11 Una antena reflectora parabólica utilizada como receptor DBS (Direct Broadcast
Satellite) tiene un diámetro de 18 pulgadas (1 pulgada=2.54 cm) y opera a 12.4
GHz. Si la eficiencia de la abertura es del 65 % y la eficiencia de radiación es del
100 %, calcule la directividad de la antena.
5.12 Una antena está alimentada en sus terminales de entrada por una corriente al-
terna cuya intensidad tiene una amplitud 0.04 A. El campo eléctrico radiado por
la antena en la región de campo lejano vale:
e−jk0 r
½
21, 8 0 ≤ θ ≤ π/18
E(r, θ, φ) = θ̂
r 0 π/18 < θ ≤ π
Si la eficiencia de radiación de la antena es del 80 %, calcule la ganancia en dB

de la antena. Calcule también la resistencia de radiación de la antena.
5.13 Una estación base de telefonía móvil se va a conectar a su oficina de conmutación

de telefonía móvil OCTM (mobile telephone switching office MTSO en inglés), que
está a 5 km de distancia. Existen dos posibilidades: (1) un radioenlace a 28 GHz
que utiliza dos antenas adaptadas (en la impedancia y en la polarización) de
ganancias Gt = Gr = 25 dB; y (2) un enlace mediante un cable coaxial de ate-
nuación 0.05 dB/m con cuatro repetidores amplificadores de 30 dB a lo largo del
cable. Si el mínimo nivel de potencia recibida que se requiere con cada opción
es la misma, ¿cuál opción requerirá menos potencia de transmisión?
5.14 Un sistema de comunicación inalámbrico a 2 GHz utiliza dos antenas, una en

la estación base y otra en la unidad móvil, que están separadas 16 kilómetros.
Mientras que la antena emisora en la estación base está circularmente polari-
zada, la antena receptora en la unidad móvil está linealmente polarizada. La
ganancia máxima de la antena emisora es de 20 dB y la ganancia de la antena re-
ceptora es desconocida. La potencia a la entrada de la antena emisora es de 100
watios, y la potencia obtenida en el receptor es de 5 nanowatios. Suponiendo que
las antenas están mutuamente orientadas en las direcciones de máxima emisión
de radiación, y suponiendo que las antenas están adaptadas a las impedancias
de entrada y salida, calcule la ganancia máxima de la antena receptora (sin di-
mensiones y en dB).
5.15 La atmósfera no tiene un grosor definido ya que gradualmente se enrarece con

la altura, con una consiguiente disminución en la atenuación. No obstante, si
usamos un modelo de “cáscara de naranja” de la tierra con su atmósfera como
el de la Fig. (5.57) y suponemos que la atmósfera puede ser aproximada por una
capa uniforme de grosor fijo, podemos estimar la temperatura de ruido de fondo
c Rafael R. Boix
°
que se ve desde la tierra a través de la atmósfera. Suponiendo que el grosor de

la atmósfera es de 4000 m y sabiendo que el radio de la tierra es 6400 km, calcule
el valor de l en la Fig. (5.57), que representa la distancia entre la superficie de
la tierra y el borde de la atmósfera cuando se mira hacia el horizonte. Una vez
calculado l, sabiendo que la temperatura de ruido de fondo en el espacio más
allá de la atmósfera es de 4 K y que la atenuación promedio en la atmósfera
es de 0.005 dB/km, obtenga la temperatura de ruido de fondo que ve desde la
superficie de la tierra una antena que apunta hacia el cenit y una antena que
apunta hacia el horizonte.
Figura 5.57: Modelo de “naranja con cáscara” de la tierra con su atmósfera.
5.16 Una premisa clave en muchas películas de ciencia ficción es la idea de que las
señales de radio y televisión emitidas en la tierra pueden viajar a través del
espacio y ser recibida por receptores en otros sistemas estelares. Muestre que
esta hipótesis es una falacia calculando la máxima distancia de la tierra a la que
puede viajar una señal con una relación señal ruido de 0 dB en presencia de una
temperatura de ruido de fondo interestelar de 4 K. En los cálculos, suponga que
la señal es una señal de televisión de VHF del canal 4 con una frecuencia de
portadora de 67 MHz y un ancho de banda de 4 MHz, que la potencia emitida
es de 1000 W, que las antenas emisora y recepctora tienen una ganancia de 4 dB,
que dichas antenas están adaptadas a las impedancias de entrada y salida, que
la antena receptora está adaptada a la polarización de la onda incidente, y que
el ruido en el receptor es despreciable. Compare la máxima distancia obtenida
con 4, 2 × 107 km, que es la distancia existente entre la tierra y Venus, el planeta
más próximo. ¿Cuánto disminuye la máxima distancia obtenida si en el receptor
se exige una relación señal ruido de 30 dB? (30 dB es un valor típico para una
buena recepción de una señal de video analógica)
c Rafael R. Boix
°
5.17 Una antena parabólica para SRD (sistema de radiodifusión directa) es reem-
plazada por una agrupación de antenas microstrip. Aunque la agrupación de
antenas microstrip ofrece un perfil plano que es estético a la vista, sufre pérdi-
das disipativas en su red de alimentación, lo cual conduce a un incremento en
la temperatura de ruido. Si la temperatura de brillo que ve la agrupación de
antenas microstrip es Tb = 50 K, la ganancia de la agrupación es de 33.5 dB, la
eficiencia de radiación de la agrupación es del 56 % (esta eficiencia de radiación
incluye las pérdidas en la red de alimentación), y la figura de ruido del BBR a la
que está conectada la agrupación es de 1.1 dB, encuentre la relación G/T global
para la agrupación de antenas microstrip y el BBR. ¿Está el valor obtenido por
encima del mínimo valor exigido de 12 dB/K? Suponga en la realización del
problema que la agrupación de antenas está a una temperatura física de 290 K.
5.18 El sistema de telefonía móvil AMPS opera en recepción con una frecuencia de
882 MHz. Si la estación base transmite una PRIE (potencia radiada isótropa efec-
tiva) de 100 W y el teléfono móvil tiene una antena con una ganancia de 2 dB
y una temperatura de ruido de 200 K, encuentre la distancia máxima a la que
puede operar el teléfono de la estación base si se requiere que la mínima relación
señal ruido a la salida del receptor sea de 18 dB. El ancho de banda del canal es
de 30 KHz, y la figura de ruido del receptor es de 6 dB. A la hora de hacer el
problema, suponga que las antenas emisora y receptora están adaptadas a las
impedancias de entrada y salida, que la antena receptora está adaptada a la po-
larización de la onda incidente y que la temperatura física de la antena receptora
es de 290 K.
5.19 Considere dos dipolos cortos de longitud l ≪ λ0 (vea el ejemplo 5.5). Los dipo-
los están orientados paralelamente al eje z y sus terminales de entrada están
situados sobre el eje z en puntos de vector de posición r1 = −(1/4)λ0 ẑ y r2 =
+(1/4)λ0 ẑ, siendo λ0 la longitud de onda. Si los fasores de las intensidades de
corriente de alimentación de los dipolos valen I1 = −I0 e I2 = +I0 , calcule el
campo eléctrico radiado por los dos dipolos en la región de campo lejano e in-
dique los valores de θ para los que se anula el campo eléctrico en el intervalo
0 ≤ θ ≤ π.
5.20 Considere una agrupación lineal de 3 antenas isótropas. Los terminales de en-
trada de las antenas están situados a lo largo del eje z en puntos de vector de
posición r1 = −(1/2)λ0 ẑ, r2 = 0 y r3 = +(1/2)λ0 ẑ, siendo λ0 la longitud de on-
da. Si los fasores de las intensidades de corriente de alimentación de las antenas
valen I1 = −j, I2 = +1 e I3 = +j, calcule:
a) El factor de la agrupación.
b) Los nulos del diagrama de radiación en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π.
c) Los máximos del diagrama de radiación en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π.
c Rafael R. Boix
°

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Figura 5.2: La antena como un dispositivo de transición.

5.2. Campo electromagnético y potencia radiados por una

La región de campo próximo reactivo se define como “aquella porción de la

Figura 5.3: Regiones de campo de una antena.

R1 = 0,62 D3 /λ0 (véase la Fig. (5.3)), siendo D la dimensión máxima de la

antena. Para antenas eléctricamente pequeñas (esto es, de dimensiones mucho

La región de campo próximo radiante se define como “aquella región de campo

y R2 = 2D2 /λ0 (R1 < R2 ), siendo D la dimensión máxima de la antena (véase la

de radiación se suaviza y empieza a formar un lóbulo (como veremos más adelante,

Ejemplo 5.1: Región de campo lejano de una antena

5.2.2. Campos radiados en la región de campo lejano

~ y, z, t) = Re E(x, y, z)ejωt (5.1)

donde k0 = 2π/λ0 es el número de ondas en el espacio libre, η0 = µ0 /ε0 = 377 Ω

siendo N1x , N1y y N1z las componentes cartesianas del vector:

En la ecuación (5.7) J(x′ , y ′ , z ′ ) representa el fasor de densidad de corriente volu-

Finalmente si la antena es un conductor filiforme y puede modelarse mediante una

donde τ̂ ′ es un vector unitario tangente a Γ′a en cada punto.

Kee (x′ , y ′ , z ′ ) = n′ × H(x′ , y ′ , z ′ ) (x′ , y ′ , z ′ ) ∈ Sap

donde n′ es un vector unitario normal a Sap ′

de campo lejano de la antena, a partir de las ecuaciones de Maxwell y del principio

5.2.3. Vector de Poynting, intensidad de radiación y potencia radia-

siendo M = (k02 η0 )/(32π 2 ). Y si sustituimos (5.3) en (5.22), se obtiene el promedio del

U I (θ, φ) = M |N1θ (θ, φ)|2 + |N1φ (θ, φ)|2 (5.26)

Ejemplo 5.2: Campos y potencia radiados por un dipolo

Y de acuerdo con (5.23), el promedio del vector de Poyinting en la región de campo

región z < 0 envolviendo a la guía de ondas, Sab ′

y como los campos son despreciables en el resto de la superficie Sap ′

Y10 |E0 |2 a/2 b/2

5.3. Parámetros de radiación de una antena

En ocasiones, se hacen representaciones tridimensionales (polares o cartesianas)

y (5.11). Una medida alternativa de la anchura relativa del lóbulo principal la da el

Figura 5.12: Planos principales E y H para una antena de bocina piramidal.

En el diseño de una buena antena direccional se debe minimizar el AHMP (para

(para que la mayor parte de la potencia disponible se concentre en el lóbulo princi-

Ejemplo 5.4: Cálculo de AHMP, AHPN y NLS

AHM P = 2θh = 0,5 rad = 28,65◦

Finalmente, para obtener el NLS, debemos obtener¯los máximos de Un¯(θ), o lo que

razón entre la intensidad de radiación en esa dirección y la intensidad de radiación

U (θ, φ) 4πU (θ, φ)

donde se ha hecho uso de la ecuación (5.28). Si al hablar de directividad, no se es-

U (max) 4πU (max)

La directividad es una cantidad adimensional. Como la directividad es un cociente

D(θ, φ)dB = 10 log (D(θ, φ)) (5.38)

Dap λ20 Dap

Como Dap ≤ Dap max

Ejemplo 5.5: Cálculo de la directividad de un dipolo

Si l ≪ λ0 , se cumple que k0 l ≪ 1, y podemos hacer las aproximaciones cos k20 l cos θ

admite la expresión más sencilla:

y la directividad máxima valdrá D0 = 1,5 = 1,76 dBi.

y la directividad máxima valdrá D0 = 1,64 = 2,15 dBi.

Ejemplo 5.6: Cálculo de la directividad de una guía de ondas acabada en abierto.

y la directividad máxima valdrá:

La ecuación anterior muestra que D0 es proporcional al cociente entre el área de

5.3.3. Eficiencia de radiación

donde Ppcd representa la potencia promedio disipada por pérdidas en conductores y

impedancias) o mediante una colocación adecuada de las antenas en recepción (para

Ejemplo 5.7: Cálculo de la eficiencia de radiación de una antena dipolo.

siguiente expresión para el fasor de intensidad de corriente en el dipolo corto: