El trabajo con la multiplicación

y con la división

La enseñanza de la multiplicación y de la división demanda varios

años de trabajo en la escolaridad para que los alumnos puedan iden-
tificar los diferentes problemas que estas herramientas permiten
resolver, logren dominar la variedad de relaciones numéricas que es
posible establecer y elaboren la diversidad de recursos de cálculo que
es pertinente disponer a propósito de estas operaciones.
En este capítulo, se desarrolla un análisis de los diferentes proble-
mas que podrían dar sentido a estas operaciones así como un abanico
de recursos de cálculo asociados a ellas, que podrían surgir a la luz
de los problemas y que permiten avanzar en el reconocimiento de las
propiedades y de las relaciones entre la multiplicación y la división,
pertinentes en los años de escolaridad primaria. Por una cuestión
organizativa, en primer lugar, se despliega el trabajo propuesto
acerca de la multiplicación y, posteriormente, el vinculado a la
división, asumiendo que ambos conceptos deberían "vivir" simul-
táneamente en el aula.

La enseñanza y el aprendizaje de la multiplicación en el Primer Ciclo

El trabajo en torno a la multiplicación podría comenzar a

desarrollarse desde los inicios de la escolaridad. Por supuesto, no
estamos pensando en alumnos de 6 años usando escrituras
multiplicativas ni disponiendo de resultados de "las tablas de
multiplicar", sino en chicos resolviendo problemas multiplicativos a
través de diversas estrategias.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Encuentre las similitudes y las diferencias entre los tres problemas que se
proponen a continuación:
a. Si en un paquete hay 4 figuritas, ¿cuántas habrá en 3 paquetes iguales?

b. En un tablero rectangular, se pueden contar 4 filas de cuadraditos; y en

cada una de ellas, 3 cuadraditos. ¿Cuántos de estos hay en el tablero?

c. Si una nena tiene 3 pantalones diferentes y 4 remeras, también dife-

rentes, ¿de cuántas maneras distintas se puede vestir?

Evidentemente, no todos los problemas multiplicativos son de la

misma naturaleza. Los hay más sencillos y más complejos. Entre esta
variedad de problemas, es posible entonces identificar aquellos que,
para ser resueltos, sea posible sumar una cierta cantidad de números
iguales. Con frecuencia, se les propone a los alumnos esos problemas
desde el inicio del trabajo con la multiplicación. Sus características
son propias de una relación de y podrían ser
objeto de trabajo desde primer grado. Si bien no es un objetivo del
Primer Ciclo que los alumnos hablen de la ni
reconozcan sus propiedades, se busca que empiecen a utilizarlas
intuitivamente para resolver problemas. Tal podría ser el caso del
problema a. De hecho, las tablas de multiplicar no son otra cosa que
"tablas" de proporcionalidad directa, donde la constante de pro-
porcionalidad es el número asociado a la tabla (por ejemplo, la tabla
del 4 tiene como constante de proporcionalidad el número 4).
Recién en el Segundo Ciclo como se verá más adelante , la
proporcionalidad (sus propiedades, sus modos de representación, sus
límites en el uso) será un objeto de enseñanza. Allí se podrán anali-
zar, reconocer y sistematizar las propiedades que se usaron, de
manera intuitiva, durante el Primer Ciclo.

Una cuestión para destacar es que este sentido de "suma abrevia-

da" de la multiplicación deja de ser válido cuando se multiplican
números racionales. Es decir que, por ejemplo, no puede interpretar-
se como una suma abreviada. O sea, la frase "la multiplicación es
una suma abreviada" no es totalmente cierta. Es válido decir que toda
suma reiterada de un mismo número puede expresarse como un pro-
ducto, pero no todo producto es el resultado de una suma abreviada.
El problema b. de la actividad anterior invita a pensar la multiplica-
ción como la operación que permite resolver problemas en los cuales
los elementos que intervienen están organizados en filas y en
columnas. Es decir, se trata de que son
perfectamente "atrapables" por el concepto de En tanto
que el problema c. puede también resolverse mediante un producto,
pero no es sencillo interpretarlo como una suma reiterada. Este tipo
de situaciones, a las que solemos llamar o
son aquellas en las que es preciso
combinar elementos de diferentes colecciones. Si los alumnos
trabajaron sólo alguno de los tipos de problemas presentados,
asociados a uno solo de los sentidos de la multiplicación, por
ejemplo, a la proporcionalidad y a sus modos de resolución, y se
basan en la suma abreviada, es difícil que puedan reconocer el
producto en los otros tipos de problemas.
Es necesario trabajar cada uno de estos tipos de problemas en la
clase, en diferentes momentos del año y a lo largo de varios años
para que los alumnos aprendan por qué la multiplicación es una
herramienta para resolver esos problemas. Sin esta labor, es difícil
que puedan identificar el producto como un modo de resolver una
clase de problemas. No nos referimos a un trabajo con problemas
tipo, sino a que los alumnos podrían ser "expuestos" a todo tipo de
situaciones analizando las razones por las cuales se elige una deter-
minada herramienta, en este caso, la multiplicación.

Problemas multiplicativos y recursos de cálculo

Es claro que, ante los problemas de proporcionalidad que "invi-

tan" a la multiplicación, los primeros recursos del cálculo de los niños
se apoyarán en dibujos, esquemas, conteos, o bien, en sumas
reiteradas;y posteriormente, como consecuencia de la interacción con
los problemas, con sus compañeros y con las intervenciones
docentes, la multiplicación será el recurso óptimo de resolución.
 Pero ¿qué harán los niños frente a los problemas de las
organizaciones rectangulares? Es esperable que nuevamente vuelvan a
los dibujos, esquemas, conteos o a las sumas, ya que están en pleno
proceso de construcción de los diferentes sentidos de esta operación,
y por lo tanto, aquello que resultó fértil para un cierto tipo de
situaciones no es evidente que sea fértil para otro tipo de situación.
Así es como, frente a problemas que implican armar patios
rectangulares usando una cierta cantidad de baldosas cuadradas,
hemos encontrado producciones de niños de 3° grado desde aquellas
que identifican la multiplicación,

como aquellas otras que aún no disponen de dicha herramienta.

 Las interacciones en el aula, el aumento en el tamaño de los
números, la sugerencia de resolver los problemas usando cálculos son
algunas de las intervenciones docentes que podrían favorecer el
identificar la multiplicación como una herramienta más pertinente
para resolver este tipo de problemas.
Del mismo modo, al presentar a los alumnos problemas de conteo
de colecciones o problemas de combinatoria, del estilo del problema
c. de la actividad anterior, las producciones de los alumnos podrán
ser similares a las siguientes:

Por otro lado, estos problemas requieren de discusiones con los

alumnos en torno a los siguientes aspectos:
 la necesidad de combinar todos los elementos de una colección
con todos los otros de la otra;
cómo hacer para no olvidarse de ninguno;
la posibilidad de hacer dibujos, listas, cuadros de doble entra-
da, flechitas, etcétera;
la utilidad de ir anotando, al lado, números para después no
confundirse al contar;
luego de resolver el problema, se pueden hacer las sumas al
final y, posteriormente, anotar cuál podría ser la multiplicación
que resolvería el problema.

El cálculo, las tablas de multiplicar y los algoritmos

Los niños necesitarán disponer progresivamente de un conjunto

de cálculos sencillos para resolver ciertos problemas. Memorizar
ciertas relaciones numéricas es, sin duda, un recurso útil.
Durante mucho tiempo, la enseñanza de las tablas de multiplicar
se realizó de manera ordenada, desde la del 2 en adelante. Además,
se trabajó casi siempre de forma secuenciada desde, por ejemplo, 2 x
1 hasta 2 x 1 0 . Una vez "memorizada" esta tabla, se comienza con la
del 3, y así sucesivamente.
Es reconocido que los alumnos tienen dificultades para recordar
los resultados de los productos. A su vez, pocas veces, las relaciones
entre los resultados de las diferentes tablas se transforman en objeto
de enseñanza. Es decir, casi no se enseña a reconocer que el resulta-
do de 9 x 6 podría obtenerse a partir del siguiente razonamiento:
9 x 6 = 9 x 3 x 2 = 2 7 x 2 = 54. O sea, no se apela a las diferentes
relaciones y propiedades de la multiplicación; en este caso: que la
tabla del 6 es el "doble de la del 3".
Desde esta forma de concebir la matemática, proponemos un
trabajo previo a la memorización, que consiste en desarrollar
actividades dirigidas al análisis de un conjunto de productos. Por
ejemplo, en segundo año, la construcción de tablas de
proporcionalidad permite empezar a poner en juego ciertas primeras
relaciones numéricas:
Bicicletas Ruedas Triciclos Ruedas Autos Ruedas
1 2 1 3 1 4
2 4 2 6 2 8
3 6 3 9 3 12
4 8 4 12 4 16
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10

Estas tablas, una vez analizadas, pueden constituirse en un lugar

de referencia para resolver otros problemas. Se apunta a que los
niños empiecen a reconocer que, para averiguar "cuántas patas tienen
5 perros", es posible fijarse en cuántas ruedas tienen 5 autos. Las
relaciones numéricas allí elaboradas empiezan a ser útiles para otros
problemas similares.
Para abordar todos los productos de los números del 1 al 10, se
puede trabajar con la tabla pitagórica, que consiste en un cuadro de
doble entrada para los productos hasta 10 x 10. Hay varias
estrategias para completarla, pero todas se basan en las relaciones
entre los diferentes productos. Algunos alumnos identifican que se
repiten casi todos los casilleros, por ejemplo: 3 x 4 = 4 x 3 ; excepto
los que son de multiplicación por sí mismos y que "la mitad de la
tabla es igual a la otra mitad" (tomando la diagonal principal como eje
de simetría). Otros alumnos encontraron que se puede ir llenando
verticalmente si se suma sucesivas veces el número de la columna.
Cada estrategia lleva implícita una o más propiedades de la
multiplicación y de los números involucrados.
PENSAR LAS PRÁCTICAS

¿Qué otras relaciones identifica en la siguiente tabla pitagórica? Le damos

una como puntapié inicial: "La tabla del 7 es la suma de las tablas del 2 y
del 5". ¿Por qué cree que ocurre esto?

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Los productos representados en este cuadro pueden transformarse

en objeto de análisis y de estudio durante muchas clases. Con este
objetivo, se pueden plantear preguntas como: "Unos chicos de otra
escuela dijeron que, si uno suma los números de la columna del 2 con
la columna del 3, obtiene los resultados de la columna del 5. ¿Es
verdad? ¿Pasará con otros números?"; o bien, "Fíjense si hay alguna
columna que sea el doble, el triple o el cuádruple de otra", etcétera.
Este cuadro de doble entrada podrá constituirse en "material de
consulta", los alumnos podrán utilizarlo para buscar resultados de
cálculos que surjan de problemas que se les presentan.
 Posteriormente, se propone reconstruir los productos utilizando
las propiedades y las relaciones encontradas ("No sé cuánto es 8 x 7,
pero sé que es el doble que 7 x 4, o puedo hacer 8 x 5 y 8 x 2 , y
sumarlos"). Recién después de este trabajo de análisis y
reconstrucción, se propone la memorización con actividades y con
juegos diversos.
Entre los recursos memorizados de los que los niños deben
disponer, se encuentra la multiplicación por la unidad seguida de
ceros. Para ello, se podrán abordar tales recursos a partir de algunos
problemas, cálculos de diferentes números x 10, x 20, x 30, x 100, x
200, etcétera.
La enseñanza del cálculo mental, del cálculo estimativo y del uso
de la calculadora también deberían formar parte del trabajo, incluso
en forma previa al cálculo algorítmico. Los siguientes son ejemplos de
cálculos que realizan los chicos:

También es posible proponer diversos algoritmos que, provisoria-

mente, se podrán usar en forma simultánea con la finalidad de que
los alumnos controlen los pasos intermedios que realizan.
 Los procedimientos que los chicos ponen en juego se basan en el
uso intuitivo de la propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma. Los nombres convencionales de estas propie-
dades se oficializarán en el Segundo Ciclo, y su empleo convive con
formas menos convencionales de enunciarlas: "Vimos que hacer 8 x 7
era lo mismo que hacer primero 8 x 5 y luego 8 x 2, y sumar todo al
final. O también, 8 x 7 es sumar 7 veces 8, que puede hacerse
sumando 5 ochos y después 2 ochos más".
El recorrido propuesto, que no es el único posible, consiste enton-
ces en resolver diferentes tipos de problemas y diversos cálculos uti-
lizando los resultados de las tablas, apelando a cálculos mentales, al
uso de resultados conocidos para encontrar resultados desconocidos,
etcétera, previos a cualquier formalización o convención.
Con este bagaje de recursos, será más factible aproximarse a los
procedimientos de cálculo más convencionales, tales como un algo-
ritmo, intentando explicitar las relaciones entre los cálculos que los
alumnos han producido y los formales o algorítmicos.
El siguiente ejemplo intenta mostrar algunas particularidades del
algoritmo de multiplicación convencional:

12
75
X 25
375
150
1875

Los pasos que se suelen seguir podrían describirse de la siguiente

manera:
1° Multiplicar cada dígito de 75 por 5: 5 x 5 = 25, pongo el 5 y
"me llevo" el 2; 5 x 7, 35, más 2 es 37.
2° Multiplicar cada dígito de 75 por 2, dejando un lugar libre:
2 x 5 = 10, pongo el 0 debajo del 7 y me llevo 1. Luego, 2 x 7 es 14,
más 1 que me llevé, 15. Hay varias cuestiones que nuevamente nos
plantean preguntas, lo que origina la siguiente reflexión.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
l número entero? ¿Es lo
mismo?
-
tos matemáticos?

Uno de los errores que hemos visto frecuentemente consiste en

que algunos alumnos suman "lo que se llevan" al número que van a
multiplicar, en lugar de sumarlo al producto. En el caso que estamos
analizando, hacen por ejemplo: "Siete más dos que me llevé, nueve;
cinco por nueve es cuarenta y cinco".
Este, como todos los errores, nos informa del estado de saber del
alumno que lo comete.
Creemos que si mediara la reflexión acerca del sentido de esta
regla del algoritmo, así como si se establecieran nexos entre los
modos de multiplicar que producen los alumnos y esta organización
del cálculo, probablemente los errores disminuirían sensiblemente.
¿Cómo se podría intervenir en el caso de que este error apareciera?
Supongamos que la cuenta resolviera el siguiente problema: "Para la
biblioteca de la escuela, se compraron 75 libros a $25 cada uno.
¿Cuánto dinero se gastó?". El maestro podría preguntar a sus alumnos
en qué cambia el problema si se suma el 2 al 7, o si se suma el 2 al
35. ¿Se mantiene igual la cantidad de libros? ¿ Y la del costo de cada
uno? Apuntamos a que los alumnos descubran que, sumando 7 + 2 =
9; 5 x 9 = 45, no solamente cometen un error con el resultado
"correcto" de la cuenta, sino que además, han cambiado el problema:
ahora ya no son 75 los libros, sino 95. Al mismo tiempo, habrá que
pedir que fundamenten, con la participación del docente, qué significa
ese 2 que se "llevan". Apelar a los conocimientos previos acerca de la
cuenta de suma puede ser una intervención interesante. Los alumnos
podrán reconocer entonces que, en la cuenta de multiplicar, también
hay que respetar el valor posicional de cada una de las cifras para
operar con ellas.
 Nuevamente aparece la necesidad de una enseñanza que tome
como eje la resolución de problemas para que los alumnos puedan
acceder al sentido del conocimiento matemático.
Resumiendo, el algoritmo convencional oculta las razones mate-
máticas por las que se hace lo que se hace en cada uno de los pasos.
Proponemos un despliegue gradual que lleve a la apropiación del
algoritmo, sin perder el sentido de cada uno de los pasos, así como
del concepto.

La multiplicación en el Segundo Ciclo

Para iniciar este apartado, le proponemos que piense en la

siguiente cuestión:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Proponga problemas que pongan en juego las diferentes propiedades de
la proporcionalidad y justifique su decisión. Aclare cuál es la finalidad
de cada uno de ellos.
¿Cuál piensa que sería una gestión docente adecuada para cada uno de
los problemas?

La proporcionalidad como objeto de enseñanza

En el Segundo Ciclo, los problemas multiplicativos asociados a las

relaciones de proporcionalidad directa deberían seguir presentes.
Pero a su vez, esta misma relación se transformará en objeto de
estudio. Es el momento de analizar, reconocer y sistematizar las
propiedades que se usaron, probablemente de manera intuitiva,
durante el Primer Ciclo. Para esto, se buscará plantear problemas cuya
finalidad sea estudiar sus propiedades (la constante de
proporcionalidad; la propiedad de que al doble el doble, al triple el
triple; que, sumando los elementos de una de las magnitudes, se
corresponderá con la suma de las magnitudes correspondientes,
etcétera); estudiar sus diferentes formas de representación (tablas,
gráficos, etcétera) y también los límites, es decir, reconocer que, para
algunos problemas, no existe una relación de proporcionalidad
(relación entre edad y peso, entre duración de una llamada telefónica
y precio, tablas con ofertas, etcétera).
En numerosas propuestas, el estudio de la proporcionalidad direc-
ta se asocia a una regla: la regla de tres simple. Si bien es una forma
correcta de resolver diferentes tipos de problemas, se debe tener pre-
sente que es un mecanismo que corre el riesgo de "esconder" el con-
cepto con el que se está trabajando y puede promover la confusión
entre la regla y el concepto.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Le proponemos que imagine diferentes modos de resolución que
podrían utilizar o elaborar los alumnos, frente al siguiente enunciado:
"20 cajas de mercadería pesan 80 kg.
Averigüen cuánto pesarán 30, 60 y 120 cajas iguales a las otras".

Algunos posibles procedimientos son los siguientes:

Como 60 cajas es el triple de 20 cajas, 60 cajas pesarán el tri-
ple de lo que pesan 20 cajas. Con esta información se puede
obtener el peso de 30 cajas, calculando la mitad del peso de
60; y el peso de 120, como el doble.
Calcular cuánto pesa cada caja y luego, calcular cuánto pesan
30, 60 y 120 cajas, multiplicando estos números por el peso de
una caja.
Calcular primero el peso de 30 cajas y de 60 cajas (de alguna
de las dos formas anteriores), y luego, para calcular el peso de
120 cajas, sumar el peso de 60 y dos veces el de 30 cajas, o
dos veces el de 60 cajas o cuatro veces el de 30 cajas.
En cada uno de los procedimientos descritos, se ponen en juego
propiedades diferentes de la proporcionalidad. Sin embargo, los
alumnos no reconocerán estas propiedades si el docente no las
institucionaliza¹.

1. A grandes rasgos, el proceso de institucionalización tiene por objetivo darle un estatus

matemático a métodos que los alumnos, muchas veces, usan de manera intuitiva y, por lo
tanto, desconocen que esos métodos son reconocidos en la matemática. De este modo, una
forma de resolución que surgió en el seno de un problema pasa a ser general y permite
resolver una familia de problemas.
 triple; a la mitad, la mitad, etcétera".

Cajas Peso
20 80
60 60 x 4 = 240

Lo anterior también puede explicarse de manera coloquial: si 20

cajas pesan 80 kg, 60 cajas pesarán el cuádruplo: 60 x 4 = 240 kg.

de
al valor de la unidad".

Cajas Peso
20 80
1 80 ÷ 20 = 4
60 4 x 60 = 240

de proporcionalidad".

Con esta frase, se quiere decir que se mantiene la relación

de proporcionalidad, es decir, entre las mismas variables y con la
misma constante.
Cajas Peso
30 120
+ 30 + 120
60 240

En el Segundo Ciclo, los alumnos podrán poner en juego intuiti-

vamente estas propiedades en la medida en que se les permita ela-
borar sus propios procedimientos. Estas propiedades podrán ser
explicitadas en el trabajo colectivo luego de comparar estrategias de
resolución. Se apuntará a que todos los alumnos puedan apropiarse
de las diferentes formas de resolver el problema.
En problemas posteriores, también es interesante analizar con los
alumnos la conveniencia de usar una u otra propiedad según los
datos involucrados. Por ejemplo:
 Cantidad Precio
5 125
17

19 Para estos datos, conviene calcular

el valor de la unidad.
32

Cantidad Precio
15 37,5
Para este caso es conveniente utilizar la
30
propiedad al doble, el doble; al triple,
45 el triple, etcétera.

Cantidad Precio
Para estos datos, es conveniente sumar
5 12,50
los precios de 5 y de 20 para calcular
20 50 el precio de 25.
25

Poner en discusión "la conveniencia" del uso de una herramienta

no es algo muy habitual dentro de una clase. Existe una especie de
"creencia social" según la cual, sólo las personas idóneas en
matemática tienen la "habilidad" de darse cuenta de cuándo conviene
usar una u otra herramienta, pero que esta habilidad sería inaccesible
para el común de las personas. Por el contrario, sostenemos que estas
competencias pueden ser enseñadas y pueden ser aprendidas, y que
podrán estar disponibles para todos, y no sólo para unos pocos
"elegidos", en la medida en que haya mediado el conocimiento.
 Si bien el trabajo en torno a la proporcionalidad podrá desarrollar-
se en el campo de los números naturales, hemos incluido los números
racionales, tanto en el ejemplo anterior como en la siguiente
actividad, ya que son un objeto de trabajo en el Segundo Ciclo. Les
proponemos entonces la siguiente actividad con el fin de pensar en
nuevos aspectos.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Resuelva el siguiente problema de dos formas: aplicando propiedades
de la proporcionalidad y luego, usando la regla de tres. Compare los
métodos de resolución y explíquelos matemáticamente.
El peso de 3 paquetes de fideos es 2,25 kg, mientras que 5 paquetes
de los mismos fideos pesan 3,75 kg. ¿Cuál es el peso de 2 paquetes de
fideos iguales a los anteriores?

Un modo posible de resolver este problema es restar el peso de 5

paquetes y el de 3 paquetes para obtener el valor de la diferencia, es
decir, el peso de 2 paquetes.
Otra alternativa consiste en buscar el peso de un paquete, para
luego duplicarlo. En este caso, la información acerca del peso de 5
paquetes no es relevante para encontrar la respuesta al problema. De
hecho, en el ejemplo anterior, no se ha utilizado.
Con el mismo procedimiento, se podría haber partido del dato del
peso de los 5 paquetes y no utilizar la información sobre el peso de
los 3 paquetes.
Otra posibilidad, asociada a la anterior, es recurrir a la "regla de
tres", por ejemplo, del modo siguiente:

3 paquetes 2,25 kg o bien: 5 paquetes 3,75 kg

2 paquetes x 2 paquetes x
Tomando como referencia esta escritura, muchos alumnos
reproducen una "relación espacial" cuando dicen: "x es igual a este
por este sobre este", mientras van señalando con el dedo el número
de la izquierda, luego el de la derecha, y por último, el de la izquierda
más arriba.
Basta con que el problema cambie y la x quede ubicada en otro lugar
para que los alumnos pierdan toda posibilidad de resolverlo. Del
mismo modo, al preguntarles las razones por las que multiplican y
dividen en ese orden, suelen expresar "No sé, a mí me lo enseñaron
así; La maestra me dijo; etcétera". Esto sucede porque el
funcionamiento de este procedimiento es oscuro. Se hace difícil
reconocer en él que lo que hace la fórmula en un solo paso es lo
mismo que cuando se pasa por la unidad.
A su vez, desde la enseñanza, pocas veces se asocian estas
relaciones con las fracciones, que podrían "explicar" algunos de los
procedimientos que se utilizan. Algunas cuestiones relativas a este
aspecto se retoman en el capítulo siguiente, que trata sobre
fracciones.
Lo que hemos intentado mostrar es que, en muchos casos, cuando
los alumnos no disponen de la "regla de tres", como un procedimiento
ya mecanizado, pueden apelar a diferentes estrategias para resolver
problemas.
Cada una de estas cuestiones que, en general, no son explicitadas
como contenidos de enseñanza, son fundamentales para hacer mate-
mática. Este tipo de habilidades vinculadas a la forma de trabajar en
matemática no deben ser relegadas de la clase. Es importante que los
docentes tengamos presente la finalidad de enseñarlas, aunque más
no sea a través de un debate.
Como dijimos, el estudio de la proporcionalidad involucra también
analizar sus límites, es decir, reconocer problemas para los cuales no
es posible aplicar este concepto. Para ello, se pueden proponer
situaciones que no involucren relaciones de proporcionalidad con el
fin de que los alumnos tengan que analizarlas y tomar decisiones
acerca de si estas propiedades están o no presentes y si el problema
tiene o no solución. Hay situaciones en las que las variables están
relacionadas de manera tal que ambas crecen o decrecen juntas, pero
no de manera proporcional. Por ejemplo, en cuarto año, se pueden
plantear problemas "sin solución" que involucren la relación entre
edad y peso, como por ejemplo: "Un niño de 10 años pesa 30 kg.
Calcular cuánto pesará a los 20, 30, 40 y 50 años". En casos como
este, el objetivo es que arriben a la conclusión de que no es posible
responder a la pregunta planteada.
En 5° y 6° años, se pueden incluir problemas en los que se
presenten relaciones entre variables, que si bien no respondan a una
relación de proporcionalidad, plantean un crecimiento uniforme. No
son relaciones de proporcionalidad, pero su crecimiento lo es. Por
ejemplo, aquellas en las que es necesario considerar un valor inicial,
como en el siguiente caso: "Un señor siempre hace un viaje en taxi de
10 cuadras y paga $3,20. Quiere hacer un viaje de 20 cuadras,
¿costará el doble?". Los alumnos podrán usar sus conocimientos
sobre la proporcionalidad para resolver parte del problema, pero será
necesario que tengan en cuenta el valor fijo correspondiente a "la
bajada de bandera" que hay que agregarle al costo de la distancia
recorrida.
Si bien los ejemplos mencionados se refieren a situaciones de
proporcionalidad directa, los alumnos del Segundo Ciclo pueden
resolver situaciones sencillas de proporcionalidad inversa que pueden
solucionarse utilizando intuitivamente sus propiedades. En una
instancia posterior, a partir del trabajo colectivo, el docente puede
promover el explicitar y el comparar estas situaciones con las de
proporcionalidad directa.
Hay otro conjunto de aspectos vinculados a la proporcionalidad
que, por una cuestión de espacio, no se desarrollan en este texto. Lo
invitamos, de todas maneras, a que piense en la siguiente cuestión:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Enumere diferentes contenidos que se podrían abordar a propósito de la
proporcionalidad (por ejemplo: el porcentaje). ¿Qué tipo de actividad
matemática cree que podría poner en juego cada uno de ellos?
Fundamente su elección.

El estudio de las propiedades de la multiplicación

En el Segundo Ciclo, el trabajo en torno al cálculo mental puede

seguir siendo fuente de nuevos problemas, en particular, cuando los
alumnos ya disponen del algoritmo de la multiplicación. A modo de
ejemplo, se proponen las siguientes producciones:
PENSAR LAS PRÁCTICAS
es 35 x 20 + 35 x
9. Plantee tres formas más de encontrar el resultado del cálculo anterior.
Analice, en cada caso, cuáles son las propiedades que se ponen en
juego.
siguiente cálculo:
15
X 25
75
+ 30
105
Imagine un tramo de la clase dedicado a analizar el error de la cuenta
anterior. ¿Qué deberían registrar los alumnos en sus cuadernos a propó-
sito de esto?

El análisis sobre la utilización de la propiedad distributiva de la mul-

tiplicación respecto de la suma en estos cálculos permite identificar
las razones por las cuales hay que "dejar el lugar" cuando multiplican
por dos cifras o comprender la arbitrariedad de iniciar el cálculo por
las unidades. Por ejemplo, los siguientes son cálculos equivalentes y
válidos:
450
X 14
1800 (4 x 450)
4500 (10 x 450)
6300

450
X 14
4500 (10 x 450)
1800 (4 x 450)
6300

Ambos algoritmos pueden convivir en la clase. Es interesante que

los alumnos conozcan que, usualmente, se inicia el cálculo por las
unidades, o que se "deja un lugar" en el producto de las decenas, pero
también es importante que entiendan que ambas cuestiones no cons-
tituyen la única manera de multiplicar ni son imprescindibles. El obje-
tivo es que los chicos dominen las razones que subyacen a los modos
de calcular que utilizan y que sepan también que han existido y exis-
ten diferentes formas de calcular, según los tiempos y las culturas.
Por otro lado, en el Segundo Ciclo, sigue siendo pertinente el
trabajo en torno a los problemas de organizaciones rectangulares,
contexto apto para analizar las propiedades de la multiplicación y
para profundizarlas. Sin embargo, a diferencia del Primer Ciclo, las
disposiciones rectangulares también pueden pensarse como una base
hacia el estudio de la multiplicación como un medio de cálculo en los
problemas de área, además de constituirse en el punto de partida
para el estudio de las propiedades.
Por ejemplo, los siguientes problemas pueden usarse con ese
objetivo:
Una cierta cantidad de sillas está ubicadas en 6 filas y en 7
columnas. Si se duplica la cantidad de filas, ¿es cierto que se
duplica la cantidad de sillas?
¿Es posible responder al problema anterior sin hacer la cuenta?
Una cierta cantidad de sillas está ubicada en filas y en colum-
nas. Si se duplica la cantidad de filas y la de columnas, ¿es
cierto que se duplica la cantidad de sillas?
Se trata de problemas que requieren analizar qué sucede con un
producto al multiplicar uno o ambos factores por un número no nulo.
Y más en general, se podrán ofrecer a los alumnos diferentes tipos de
situaciones que permitan analizar cómo varía el resultado de una
multiplicación cuando varían algunos de los números involucrados.
A medida que se avanza en la escolaridad, la multiplicación se
convierte en una herramienta que permite entrar en ciertas prácticas
algebraicas. El objeto central de estudio deja de ser la cuenta y pasa a
ser el análisis de las propiedades y de su validación. En esta instancia,
todo el trabajo desarrollado a lo largo de los años anteriores pasa a
ser un insumo para abordar las nuevas cuestiones, no sólo en lo
referido al aspecto matemático, sino también al tipo de práctica
desarrollada.
 El tipo de problemas planteados, junto con una gestión adecuada
de la clase, permitirían poner en discusión estas cuestiones.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Analice el siguiente problema teniendo en cuenta, en particular, el tipo
de práctica que se propicia. ¿Qué aspectos ligados a la validación cree
que se ponen en juego?

Considerando que 26 x 25 = 650 encuentre

los resultados de cada uno de los siguientes cálculos.
a. 52 x 25 b. 26 x 75 c. 13 x 25 d. 52 x 75
e. 650 ÷ 26 f. 650 ÷ 50 g. 650 ÷ 5

En problemas como el anterior, al restringir el empleo de la cuen-

ta, se está forzando a que los alumnos usen propiedades para hallar
los resultados. Además, este mismo problema que, en este caso, está
planteado en un contexto intramatemático, puede también plantearse
utilizando como contexto las organizaciones rectangulares.
Por ejemplo, el punto a. pide hallar el resultado de un producto
cuando se duplica uno de los factores. Desde otro punto de vista,
puede plantearse que: "650 baldosas están organizadas en 26 filas y
25 columnas. ¿Qué sucede con la cantidad de baldosas si se duplica la
cantidad de filas?".
Pensar un mismo problema planteado en otro contexto, muchas
veces, permite hallar su solución de una manera más simple. Como
los valores que se dan como datos no permiten realizar un dibujo, los
alumnos deberán pensarlo de un modo "genérico". Al duplicar la
cantidad de filas, se obtienen dos "rectángulos" iguales, uno al lado
del otro. Es decir, que se duplica la cantidad de baldosas.
Volviendo al problema inicial, lo anterior equivale a decir que, si se
duplica uno2 de los factores, entonces se duplica el resultado.

2 El desarrollo anterior permite decir que, si se duplica el primer factor, entonces se

duplica el producto. Habrá que trabajar con más problemas para concluir que no importa cuál

sea el factor que se duplica, también se duplica el resultado.

Un problema que aparenta ser similar al anterior es el siguiente:

resultado de multiplicar el doble del primer número por el triple

del segundo número? En caso de ser posible, encontrar dicho
resultado. En caso de no ser posible, explicar por qué.
Una gran diferencia entre este último problema y el anterior, que
torna a este último en el más complejo de ambos, es que no se dice
cuáles son los números que intervienen en la multiplicación. Esto hace
que muchos chicos pongan valores a los números, por ejemplo,
2 0 x 2 6 =520, y realicen la cuenta, para llegar a la conclusión de que
el resultado es el séxtuple de 520. En este momento, la gestión del
docente adquiere un rol fundamental en el aprendizaje de los
alumnos.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

¿Qué podrían hacer los alumnos que usan números (como 20 x 26) si el
docente les hace el siguiente comentario?: "No se conocen los números.
Si reemplazas por dos valores en particular, sólo estás encontrando la
relación para esos números".

En un primer momento, se impone la necesidad de que los

alumnos lleguen a la conclusión apoyados en argumentos mate-
máticos de que el resultado no depende de los pares de números
elegidos. Es más, la relación vale, aunque los números no sean
naturales. Surge entonces la necesidad de demostrar la afirmación.
Los problemas anteriores son sólo dos ejemplos de las posibilida-
des que se abren al tomar la multiplicación como objeto de análisis.
Es un objeto de estudio complejo que requiere de un análisis parti-
cular. Sin embargo, creemos importante que estas reflexiones
aparezcan en la clase de Matemática.

El trabajo en torno a la división

Una de las dificultades principales que se presentan en el trabajo

con la operatoria está relacionada con el tratamiento de la división.