Horacio Itzcovich (2007): La Matemática escolar.

Editorial Aiqué, Buenos Aires.

Capítulo 4: El trabajo con la multiplicación

y con la división

La enseñanza de la multiplicación y de la división demanda varios

años de trabajo en la escolaridad para que los alumnos puedan iden-
tificar los diferentes problemas que estas herramientas permiten
resolver, logren dominar la variedad de relaciones numéricas que es
posible establecer y elaboren la diversidad de recursos de cálculo que
es pertinente disponer a propósito de estas operaciones.
En este capítulo, se desarrolla un análisis de los diferentes proble-
mas que podrían dar sentido a estas operaciones así como un abanico
de recursos de cálculo asociados a ellas, que podrían surgir a la luz
de los problemas y que permiten avanzar en el reconocimiento de las
propiedades y de las relaciones entre la multiplicación y la división,
pertinentes en los años de escolaridad primaria. Por una cuestión
organizativa, en primer lugar, se despliega el trabajo propuesto
acerca de la multiplicación y, posteriormente, el vinculado a la
división, asumiendo que ambos conceptos deberían "vivir" simul-
táneamente en el aula.

La enseñanza y el aprendizaje de la multiplicación en el Primer Ciclo

El trabajo en torno a la multiplicación podría comenzar a

desarrollarse desde los inicios de la escolaridad. Por supuesto, no
estamos pensando en alumnos de 6 años usando escrituras
multiplicativas ni disponiendo de resultados de "las tablas de
multiplicar", sino en chicos resolviendo problemas multiplicativos a
través de diversas estrategias.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
Encuentre las similitudes y las diferencias entre los tres problemas que se
proponen a continuación:
a. Si en un paquete hay 4 figuritas, ¿cuántas habrá en 3 paquetes iguales?

b. En un tablero rectangular, se pueden contar 4 filas de cuadraditos; y en

cada una de ellas, 3 cuadraditos. ¿Cuántos de estos hay en el tablero?
c. Si una nena tiene 3 pantalones diferentes y 4 remeras, también dife-
rentes, ¿de cuántas maneras distintas se puede vestir?

Evidentemente, no todos los problemas multiplicativos son de la

misma naturaleza. Los hay más sencillos y más complejos. Entre esta
variedad de problemas, es posible entonces identificar aquellos que,
para ser resueltos, sea posible sumar una cierta cantidad de números
iguales. Con frecuencia, se les propone a los alumnos esos problemas
desde el inicio del trabajo con la multiplicación. Sus características
son propias de una relación de proporcionalidad directa y podrían ser
objeto de trabajo desde primer grado. Si bien no es un objetivo del
Primer Ciclo que los alumnos hablen de la proporcionalidad ni
reconozcan sus propiedades, se busca que empiecen a utilizarlas
intuitivamente para resolver problemas. Tal podría ser el caso del
problema a. De hecho, las tablas de multiplicar no son otra cosa que
"tablas" de proporcionalidad directa, donde la constante de pro-
porcionalidad es el número asociado a la tabla (por ejemplo, la tabla
del 4 tiene como constante de proporcionalidad el número 4).
Recién en el Segundo Ciclo —como se verá más adelante—, la
proporcionalidad (sus propiedades, sus modos de representación, sus
límites en el uso) será un objeto de enseñanza. Allí se podrán anali-
zar, reconocer y sistematizar las propiedades que se usaron, de
manera intuitiva, durante el Primer Ciclo.

Una cuestión para destacar es que este sentido de "suma abrevia-

da" de la multiplicación deja de ser válido cuando se multiplican
números racionales. Es decir que, por ejemplo, no puede interpretar-
se como una suma abreviada. O sea, la frase "la multiplicación es
una suma abreviada" no es totalmente cierta. Es válido decir que toda
suma reiterada de un mismo número puede expresarse como un pro-
ducto, pero no todo producto es el resultado de una suma abreviada.
El problema b. de la actividad anterior invita a pensar la multiplica-
ción como la operación que permite resolver problemas en los cuales
los elementos que intervienen están organizados en filas y en
columnas. Es decir, se trata de organizaciones rectangulares que son
perfectamente "atrapables" por el concepto de multiplicación. En tanto
que el problema c. puede también resolverse mediante un producto,
pero no es sencillo interpretarlo como una suma reiterada. Este tipo
de situaciones, a las que solemos llamar problemas de conteo o
problemas de combinatoria, son aquellas en las que es preciso
combinar elementos de diferentes colecciones. Si los alumnos
trabajaron sólo alguno de los tipos de problemas presentados,
asociados a uno solo de los sentidos de la multiplicación, por
ejemplo, a la proporcionalidad y a sus modos de resolución, y se
basan en la suma abreviada, es difícil que puedan reconocer el
producto en los otros tipos de problemas.
Es necesario trabajar cada uno de estos tipos de problemas en la
clase, en diferentes momentos del año y a lo largo de varios años
para que los alumnos aprendan por qué la multiplicación es una
herramienta para resolver esos problemas. Sin esta labor, es difícil
que puedan identificar el producto como un modo de resolver una
clase de problemas. No nos referimos a un trabajo con problemas
tipo, sino a que los alumnos podrían ser "expuestos" a todo tipo de
situaciones analizando las razones por las cuales se elige una deter-
minada herramienta, en este caso, la multiplicación.

Problemas multiplicativos y recursos de cálculo

Es claro que, ante los problemas de proporcionalidad que "invi-

tan" a la multiplicación, los primeros recursos del cálculo de los niños
se apoyarán en dibujos, esquemas, conteos, o bien, en sumas
reiteradas;y posteriormente, como consecuencia de la interacción con
los problemas, con sus compañeros y con las intervenciones
docentes, la multiplicación será el recurso óptimo de resolución.
 Pero ¿qué harán los niños frente a los problemas de las
organizaciones rectangulares? Es esperable que nuevamente vuelvan a
los dibujos, esquemas, conteos o a las sumas, ya que están en pleno
proceso de construcción de los diferentes sentidos de esta operación,
y por lo tanto, aquello que resultó fértil para un cierto tipo de
situaciones no es evidente que sea fértil para otro tipo de situación.
Así es como, frente a problemas que implican armar patios
rectangulares usando una cierta cantidad de baldosas cuadradas,
hemos encontrado producciones de niños de 3° grado desde aquellas
que identifican la multiplicación,

como aquellas otras que aún no disponen de dicha herramienta.

 Las interacciones en el aula, el aumento en el tamaño de los

números, la sugerencia de resolver los problemas usando cálculos son

algunas de las intervenciones docentes que podrían favorecer el
identificar la multiplicación como una herramienta más pertinente
para resolver este tipo de problemas.
Del mismo modo, al presentar a los alumnos problemas de conteo
de colecciones o problemas de combinatoria, del estilo del problema
c. de la actividad anterior, las producciones de los alumnos podrán
ser similares a las siguientes:

Por otro lado, estos problemas requieren de discusiones con los

alumnos en torno a los siguientes aspectos:
 • la necesidad de combinar todos los elementos de una colección
con todos los otros de la otra;
• cómo hacer para no olvidarse de ninguno;
• la posibilidad de hacer dibujos, listas, cuadros de doble entra-
da, flechitas, etcétera;
• la utilidad de ir anotando, al lado, números para después no
confundirse al contar;
• luego de resolver el problema, se pueden hacer las sumas al
final y, posteriormente, anotar cuál podría ser la multiplicación
que resolvería el problema.

El cálculo, las tablas de multiplicar y los algoritmos

Los niños necesitarán disponer progresivamente de un conjunto

de cálculos sencillos para resolver ciertos problemas. Memorizar
ciertas relaciones numéricas es, sin duda, un recurso útil.
Durante mucho tiempo, la enseñanza de las tablas de multiplicar
se realizó de manera ordenada, desde la del 2 en adelante. Además,
se trabajó casi siempre de forma secuenciada desde, por ejemplo, 2 x
1 hasta 2 x 1 0 . Una vez "memorizada" esta tabla, se comienza con la
del 3, y así sucesivamente.
Es reconocido que los alumnos tienen dificultades para recordar
los resultados de los productos. A su vez, pocas veces, las relaciones
entre los resultados de las diferentes tablas se transforman en objeto
de enseñanza. Es decir, casi no se enseña a reconocer que el resulta-
do de 9 x 6 podría obtenerse a partir del siguiente razonamiento:
9 x 6 = 9 x 3 x 2 = 2 7 x 2 = 54. O sea, no se apela a las diferentes
relaciones y propiedades de la multiplicación; en este caso: que la
tabla del 6 es el "doble de la del 3".
Desde esta forma de concebir la matemática, proponemos un
trabajo previo a la memorización, que consiste en desarrollar
actividades dirigidas al análisis de un conjunto de productos. Por
ejemplo, en segundo año, la construcción de tablas de
proporcionalidad permite empezar a poner en juego ciertas primeras
relaciones numéricas:
Bicicletas Ruedas Triciclos Ruedas Autos Ruedas
1 2 1 3 1 4
2 4 2 6 2 8
3 6 3 9 3 12
4 8 4 12 4 16
5 Etc… 5 Etc… 5 Etc…
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10

Estas tablas, una vez analizadas, pueden constituirse en un lugar

de referencia para resolver otros problemas. Se apunta a que los
niños empiecen a reconocer que, para averiguar "cuántas patas tienen
5 perros", es posible fijarse en cuántas ruedas tienen 5 autos. Las
relaciones numéricas allí elaboradas empiezan a ser útiles para otros
problemas similares.
Para abordar todos los productos de los números del 1 al 10, se
puede trabajar con la tabla pitagórica, que consiste en un cuadro de
doble entrada para los productos hasta 10 x 10. Hay varias
estrategias para completarla, pero todas se basan en las relaciones
entre los diferentes productos. Algunos alumnos identifican que se
repiten casi todos los casilleros, por ejemplo: 3 x 4 = 4 x 3 ; excepto
los que son de multiplicación por sí mismos y que "la mitad de la
tabla es igual a la otra mitad" (tomando la diagonal principal como eje
de simetría). Otros alumnos encontraron que se puede ir llenando
verticalmente si se suma sucesivas veces el número de la columna.
Cada estrategia lleva implícita una o más propiedades de la
multiplicación y de los números involucrados.
PENSAR LAS PRÁCTICAS

¿Qué otras relaciones identifica en la siguiente tabla pitagórica? Le damos

una como puntapié inicial: "La tabla del 7 es la suma de las tablas del 2 y
del 5". ¿Por qué cree que ocurre esto?

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Los productos representados en este cuadro pueden transformarse

en objeto de análisis y de estudio durante muchas clases. Con este
objetivo, se pueden plantear preguntas como: "Unos chicos de otra
escuela dijeron que, si uno suma los números de la columna del 2 con
la columna del 3, obtiene los resultados de la columna del 5. ¿Es
verdad? ¿Pasará con otros números?"; o bien, "Fíjense si hay alguna
columna que sea el doble, el triple o el cuádruple de otra", etcétera.
Este cuadro de doble entrada podrá constituirse en "material de
consulta", los alumnos podrán utilizarlo para buscar resultados de
cálculos que surjan de problemas que se les presentan.
 Posteriormente, se propone reconstruir los productos utilizando
las propiedades y las relaciones encontradas ("No sé cuánto es 8 x 7,
pero sé que es el doble que 7 x 4, o puedo hacer 8 x 5 y 8 x 2 , y
sumarlos"). Recién después de este trabajo de análisis y
reconstrucción, se propone la memorización con actividades y con
juegos diversos.
Entre los recursos memorizados de los que los niños deben
disponer, se encuentra la multiplicación por la unidad seguida de
ceros. Para ello, se podrán abordar tales recursos a partir de algunos
problemas, cálculos de diferentes números x 10, x 20, x 30, x 100, x
200, etcétera.
La enseñanza del cálculo mental, del cálculo estimativo y del uso
de la calculadora también deberían formar parte del trabajo, incluso
en forma previa al cálculo algorítmico. Los siguientes son ejemplos de
cálculos que realizan los chicos:

También es posible proponer diversos algoritmos que, provisoria-

mente, se podrán usar en forma simultánea con la finalidad de que
los alumnos controlen los pasos intermedios que realizan.
 Los procedimientos que los chicos ponen en juego se basan en el
uso intuitivo de la propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la suma. Los nombres convencionales de estas propie-
dades se oficializarán en el Segundo Ciclo, y su empleo convive con
formas menos convencionales de enunciarlas: "Vimos que hacer 8 x 7
era lo mismo que hacer primero 8 x 5 y luego 8 x 2, y sumar todo al
final. O también, 8 x 7 es sumar 7 veces 8, que puede hacerse
sumando 5 ochos y después 2 ochos más".
El recorrido propuesto, que no es el único posible, consiste enton-
ces en resolver diferentes tipos de problemas y diversos cálculos uti-
lizando los resultados de las tablas, apelando a cálculos mentales, al
uso de resultados conocidos para encontrar resultados desconocidos,
etcétera, previos a cualquier formalización o convención.
Con este bagaje de recursos, será más factible aproximarse a los
procedimientos de cálculo más convencionales, tales como un algo-
ritmo, intentando explicitar las relaciones entre los cálculos que los
alumnos han producido y los formales o algorítmicos.
El siguiente ejemplo intenta mostrar algunas particularidades del
algoritmo de multiplicación convencional:

12
75
X 25
375
150
1875

Los pasos que se suelen seguir podrían describirse de la siguiente

manera:
1° Multiplicar cada dígito de 75 por 5: 5 x 5 = 25, pongo el 5 y
"me llevo" el 2; 5 x 7, 35, más 2 es 37.
2° Multiplicar cada dígito de 75 por 2, dejando un lugar libre:
2 x 5 = 10, pongo el 0 debajo del 7 y me llevo 1. Luego, 2 x 7 es 14,
más 1 que me llevé, 15. Hay varias cuestiones que nuevamente nos
plantean preguntas, lo que origina la siguiente reflexión.
PENSAR LAS PRÁCTICAS
• ¿Por qué se multiplica cada dígito y no, el número entero? ¿Es lo
mismo?
• ¿Qué significa la frase "me llevo 2"? ¿Puede explicarse con argumen-
tos matemáticos?
• ¿Por qué se deja un lugar al multiplicar por el segundo dígito?

Uno de los errores que hemos visto frecuentemente consiste en

que algunos alumnos suman "lo que se llevan" al número que van a
multiplicar, en lugar de sumarlo al producto. En el caso que estamos
analizando, hacen por ejemplo: "Siete más dos que me llevé, nueve;
cinco por nueve es cuarenta y cinco".
Este, como todos los errores, nos informa del estado de saber del
alumno que lo comete.
Creemos que si mediara la reflexión acerca del sentido de esta
regla del algoritmo, así como si se establecieran nexos entre los
modos de multiplicar que producen los alumnos y esta organización
del cálculo, probablemente los errores disminuirían sensiblemente.
¿Cómo se podría intervenir en el caso de que este error apareciera?
Supongamos que la cuenta resolviera el siguiente problema: "Para la
biblioteca de la escuela, se compraron 75 libros a $25 cada uno.
¿Cuánto dinero se gastó?". El maestro podría preguntar a sus alumnos
en qué cambia el problema si se suma el 2 al 7, o si se suma el 2 al
35. ¿Se mantiene igual la cantidad de libros? ¿ Y la del costo de cada
uno? Apuntamos a que los alumnos descubran que, sumando 7 + 2 =
9; 5 x 9 = 45, no solamente cometen un error con el resultado
"correcto" de la cuenta, sino que además, han cambiado el problema:
ahora ya no son 75 los libros, sino 95. Al mismo tiempo, habrá que
pedir que fundamenten, con la participación del docente, qué significa
ese 2 que se "llevan". Apelar a los conocimientos previos acerca de la
cuenta de suma puede ser una intervención interesante. Los alumnos
podrán reconocer entonces que, en la cuenta de multiplicar, también
hay que respetar el valor posicional de cada una de las cifras para
operar con ellas.
 Nuevamente aparece la necesidad de una enseñanza que tome
como eje la resolución de problemas para que los alumnos puedan
acceder al sentido del conocimiento matemático.
Resumiendo, el algoritmo convencional oculta las razones mate-
máticas por las que se hace lo que se hace en cada uno de los pasos.
Proponemos un despliegue gradual que lleve a la apropiación del
algoritmo, sin perder el sentido de cada uno de los pasos, así como
del concepto.

La multiplicación en el Segundo Ciclo

Para iniciar este apartado, le proponemos que piense en la

siguiente cuestión:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Proponga problemas que pongan en juego las diferentes propiedades de
la proporcionalidad y justifique su decisión. Aclare cuál es la finalidad
de cada uno de ellos.
¿Cuál piensa que sería una gestión docente adecuada para cada uno de
los problemas?

La proporcionalidad como objeto de enseñanza

En el Segundo Ciclo, los problemas multiplicativos asociados a las

relaciones de proporcionalidad directa deberían seguir presentes.
Pero a su vez, esta misma relación se transformará en objeto de
estudio. Es el momento de analizar, reconocer y sistematizar las
propiedades que se usaron, probablemente de manera intuitiva,
durante el Primer Ciclo. Para esto, se buscará plantear problemas cuya
finalidad sea estudiar sus propiedades (la constante de
proporcionalidad; la propiedad de que al doble el doble, al triple el
triple; que, sumando los elementos de una de las magnitudes, se
corresponderá con la suma de las magnitudes correspondientes,
etcétera); estudiar sus diferentes formas de representación (tablas,
gráficos, etcétera) y también los límites, es decir, reconocer que, para
algunos problemas, no existe una relación de proporcionalidad
(relación entre edad y peso, entre duración de una llamada telefónica
y precio, tablas con ofertas, etcétera).
En numerosas propuestas, el estudio de la proporcionalidad direc-
ta se asocia a una regla: la regla de tres simple. Si bien es una forma
correcta de resolver diferentes tipos de problemas, se debe tener pre-
sente que es un mecanismo que corre el riesgo de "esconder" el con-
cepto con el que se está trabajando y puede promover la confusión
entre la regla y el concepto.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Le proponemos que imagine diferentes modos de resolución que
podrían utilizar o elaborar los alumnos, frente al siguiente enunciado:
"20 cajas de mercadería pesan 80 kg.
Averigüen cuánto pesarán 30, 60 y 120 cajas iguales a las otras".

Algunos posibles procedimientos son los siguientes:

• Como 60 cajas es el triple de 20 cajas, 60 cajas pesarán el tri-
ple de lo que pesan 20 cajas. Con esta información se puede
obtener el peso de 30 cajas, calculando la mitad del peso de
60; y el peso de 120, como el doble.
• Calcular cuánto pesa cada caja y luego, calcular cuánto pesan
30, 60 y 120 cajas, multiplicando estos números por el peso de
una caja.
• Calcular primero el peso de 30 cajas y de 60 cajas (de alguna
de las dos formas anteriores), y luego, para calcular el peso de
120 cajas, sumar el peso de 60 y dos veces el de 30 cajas, o
dos veces el de 60 cajas o cuatro veces el de 30 cajas.
En cada uno de los procedimientos descritos, se ponen en juego
propiedades diferentes de la proporcionalidad. Sin embargo, los
alumnos no reconocerán estas propiedades si el docente no las
institucionaliza¹.

1. A grandes rasgos, el proceso de institucionalización tiene por objetivo darle un estatus

matemático a métodos que los alumnos, muchas veces, usan de manera intuitiva y, por lo
tanto, desconocen que esos métodos son reconocidos en la matemática. De este modo, una
forma de resolución que surgió en el seno de un problema pasa a ser general y permite
resolver una familia de problemas.
 • "Al doble de cajas corresponde el doble de peso; al triple el
triple; a la mitad, la mitad, etcétera".

Cajas Peso
20 80
60 60 x 4 = 240

Lo anterior también puede explicarse de manera coloquial: si 20

cajas pesan 80 kg, 60 cajas pesarán el cuádruplo: 60 x 4 = 240 kg.

• "Cálculo de la constante de proporcionalidad, que corresponde

al valor de la unidad".

Cajas Peso
20 80
1 80 ÷ 20 = 4
60 4 x 60 = 240

• "Si se suman los valores de las series, se mantiene la relación

de proporcionalidad".
Con esta frase, se quiere decir que se mantiene la misma relación
de proporcionalidad, es decir, entre las mismas variables y con la
misma constante.
Cajas Peso
30 120
+ 30 + 120
60 240

En el Segundo Ciclo, los alumnos podrán poner en juego intuiti-

vamente estas propiedades en la medida en que se les permita ela-
borar sus propios procedimientos. Estas propiedades podrán ser
explicitadas en el trabajo colectivo luego de comparar estrategias de
resolución. Se apuntará a que todos los alumnos puedan apropiarse
de las diferentes formas de resolver el problema.
En problemas posteriores, también es interesante analizar con los
alumnos la conveniencia de usar una u otra propiedad según los
datos involucrados. Por ejemplo:
 Cantidad Precio
5 125
17

19 Para estos datos, conviene calcular

el valor de la unidad.
32

Cantidad Precio
15 37,5
Para este caso es conveniente utilizar la
30
propiedad al doble, el doble; al triple,
45 el triple, etcétera.

Cantidad Precio
Para estos datos, es conveniente sumar
5 12,50
los precios de 5 y de 20 para calcular
20 50 el precio de 25.
25

Poner en discusión "la conveniencia" del uso de una herramienta

no es algo muy habitual dentro de una clase. Existe una especie de
"creencia social" según la cual, sólo las personas idóneas en
matemática tienen la "habilidad" de darse cuenta de cuándo conviene
usar una u otra herramienta, pero que esta habilidad sería inaccesible
para el común de las personas. Por el contrario, sostenemos que estas
competencias pueden ser enseñadas y pueden ser aprendidas, y que
podrán estar disponibles para todos, y no sólo para unos pocos
"elegidos", en la medida en que haya mediado el conocimiento.
 Si bien el trabajo en torno a la proporcionalidad podrá desarrollar-
se en el campo de los números naturales, hemos incluido los números
racionales, tanto en el ejemplo anterior como en la siguiente
actividad, ya que son un objeto de trabajo en el Segundo Ciclo. Les
proponemos entonces la siguiente actividad con el fin de pensar en
nuevos aspectos.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Resuelva el siguiente problema de dos formas: aplicando propiedades
de la proporcionalidad y luego, usando la regla de tres. Compare los
métodos de resolución y explíquelos matemáticamente.
El peso de 3 paquetes de fideos es 2,25 kg, mientras que 5 paquetes
de los mismos fideos pesan 3,75 kg. ¿Cuál es el peso de 2 paquetes de
fideos iguales a los anteriores?

Un modo posible de resolver este problema es restar el peso de 5

paquetes y el de 3 paquetes para obtener el valor de la diferencia, es
decir, el peso de 2 paquetes.
Otra alternativa consiste en buscar el peso de un paquete, para
luego duplicarlo. En este caso, la información acerca del peso de 5
paquetes no es relevante para encontrar la respuesta al problema. De
hecho, en el ejemplo anterior, no se ha utilizado.
Con el mismo procedimiento, se podría haber partido del dato del
peso de los 5 paquetes y no utilizar la información sobre el peso de
los 3 paquetes.
Otra posibilidad, asociada a la anterior, es recurrir a la "regla de
tres", por ejemplo, del modo siguiente:

3 paquetes….. 2,25 kg o bien: 5 paquetes……….. 3,75 kg

2 paquetes….. x 2 paquetes……….. x
Tomando como referencia esta escritura, muchos alumnos
reproducen una "relación espacial" cuando dicen: "x es igual a este
por este sobre este", mientras van señalando con el dedo el número
de la izquierda, luego el de la derecha, y por último, el de la izquierda
más arriba.
Basta con que el problema cambie y la x quede ubicada en otro lugar
para que los alumnos pierdan toda posibilidad de resolverlo. Del
mismo modo, al preguntarles las razones por las que multiplican y
dividen en ese orden, suelen expresar "No sé, a mí me lo enseñaron
así; La maestra me dijo; etcétera". Esto sucede porque el
funcionamiento de este procedimiento es oscuro. Se hace difícil
reconocer en él que lo que hace la fórmula en un solo paso es lo
mismo que cuando se pasa por la unidad.
A su vez, desde la enseñanza, pocas veces se asocian estas
relaciones con las fracciones, que podrían "explicar" algunos de los
procedimientos que se utilizan. Algunas cuestiones relativas a este
aspecto se retoman en el capítulo siguiente, que trata sobre
fracciones.
Lo que hemos intentado mostrar es que, en muchos casos, cuando
los alumnos no disponen de la "regla de tres", como un procedimiento
ya mecanizado, pueden apelar a diferentes estrategias para resolver
problemas.
Cada una de estas cuestiones que, en general, no son explicitadas
como contenidos de enseñanza, son fundamentales para hacer mate-
mática. Este tipo de habilidades vinculadas a la forma de trabajar en
matemática no deben ser relegadas de la clase. Es importante que los
docentes tengamos presente la finalidad de enseñarlas, aunque más
no sea a través de un debate.
Como dijimos, el estudio de la proporcionalidad involucra también
analizar sus límites, es decir, reconocer problemas para los cuales no
es posible aplicar este concepto. Para ello, se pueden proponer
situaciones que no involucren relaciones de proporcionalidad con el
fin de que los alumnos tengan que analizarlas y tomar decisiones
acerca de si estas propiedades están o no presentes y si el problema
tiene o no solución. Hay situaciones en las que las variables están
relacionadas de manera tal que ambas crecen o decrecen juntas, pero
no de manera proporcional. Por ejemplo, en cuarto año, se pueden
plantear problemas "sin solución" que involucren la relación entre
edad y peso, como por ejemplo: "Un niño de 10 años pesa 30 kg.
Calcular cuánto pesará a los 20, 30, 40 y 50 años". En casos como
este, el objetivo es que arriben a la conclusión de que no es posible
responder a la pregunta planteada.
En 5° y 6° años, se pueden incluir problemas en los que se
presenten relaciones entre variables, que si bien no respondan a una
relación de proporcionalidad, plantean un crecimiento uniforme. No
son relaciones de proporcionalidad, pero su crecimiento lo es. Por
ejemplo, aquellas en las que es necesario considerar un valor inicial,
como en el siguiente caso: "Un señor siempre hace un viaje en taxi de
10 cuadras y paga $3,20. Quiere hacer un viaje de 20 cuadras,
¿costará el doble?". Los alumnos podrán usar sus conocimientos
sobre la proporcionalidad para resolver parte del problema, pero será
necesario que tengan en cuenta el valor fijo correspondiente a "la
bajada de bandera" que hay que agregarle al costo de la distancia
recorrida.
Si bien los ejemplos mencionados se refieren a situaciones de
proporcionalidad directa, los alumnos del Segundo Ciclo pueden
resolver situaciones sencillas de proporcionalidad inversa que pueden
solucionarse utilizando intuitivamente sus propiedades. En una
instancia posterior, a partir del trabajo colectivo, el docente puede
promover el explicitar y el comparar estas situaciones con las de
proporcionalidad directa.
Hay otro conjunto de aspectos vinculados a la proporcionalidad
que, por una cuestión de espacio, no se desarrollan en este texto. Lo
invitamos, de todas maneras, a que piense en la siguiente cuestión:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Enumere diferentes contenidos que se podrían abordar a propósito de la
proporcionalidad (por ejemplo: el porcentaje). ¿Qué tipo de actividad
matemática cree que podría poner en juego cada uno de ellos?
Fundamente su elección.

El estudio de las propiedades de la multiplicación

En el Segundo Ciclo, el trabajo en torno al cálculo mental puede

seguir siendo fuente de nuevos problemas, en particular, cuando los
alumnos ya disponen del algoritmo de la multiplicación. A modo de
ejemplo, se proponen las siguientes producciones:
PENSAR LAS PRÁCTICAS
• Una manera posible de hallar el resultado de 35 x 29 es 35 x 20 + 35 x
9. Plantee tres formas más de encontrar el resultado del cálculo anterior.
Analice, en cada caso, cuáles son las propiedades que se ponen en
juego.
• Un alumno resolvió el siguiente cálculo:
15
X 25
75
+ 30
105
Imagine un tramo de la clase dedicado a analizar el error de la cuenta
anterior. ¿Qué deberían registrar los alumnos en sus cuadernos a propó-
sito de esto?

El análisis sobre la utilización de la propiedad distributiva de la mul-

tiplicación respecto de la suma en estos cálculos permite identificar
las razones por las cuales hay que "dejar el lugar" cuando multiplican
por dos cifras o comprender la arbitrariedad de iniciar el cálculo por
las unidades. Por ejemplo, los siguientes son cálculos equivalentes y
válidos:
450
X 14
1800 (4 x 450)
4500 (10 x 450)
6300

450
X 14
4500 (10 x 450)
1800 (4 x 450)
6300

Ambos algoritmos pueden convivir en la clase. Es interesante que

los alumnos conozcan que, usualmente, se inicia el cálculo por las
unidades, o que se "deja un lugar" en el producto de las decenas, pero
también es importante que entiendan que ambas cuestiones no cons-
tituyen la única manera de multiplicar ni son imprescindibles. El obje-
tivo es que los chicos dominen las razones que subyacen a los modos
de calcular que utilizan y que sepan también que han existido y exis-
ten diferentes formas de calcular, según los tiempos y las culturas.
Por otro lado, en el Segundo Ciclo, sigue siendo pertinente el
trabajo en torno a los problemas de organizaciones rectangulares,
contexto apto para analizar las propiedades de la multiplicación y
para profundizarlas. Sin embargo, a diferencia del Primer Ciclo, las
disposiciones rectangulares también pueden pensarse como una base
hacia el estudio de la multiplicación como un medio de cálculo en los
problemas de área, además de constituirse en el punto de partida
para el estudio de las propiedades.
Por ejemplo, los siguientes problemas pueden usarse con ese
objetivo:
• Una cierta cantidad de sillas está ubicadas en 6 filas y en 7
columnas. Si se duplica la cantidad de filas, ¿es cierto que se
duplica la cantidad de sillas?
• ¿Es posible responder al problema anterior sin hacer la cuenta?
• Una cierta cantidad de sillas está ubicada en filas y en colum-
nas. Si se duplica la cantidad de filas y la de columnas, ¿es
cierto que se duplica la cantidad de sillas?
Se trata de problemas que requieren analizar qué sucede con un
producto al multiplicar uno o ambos factores por un número no nulo.
Y más en general, se podrán ofrecer a los alumnos diferentes tipos de
situaciones que permitan analizar cómo varía el resultado de una
multiplicación cuando varían algunos de los números involucrados.
A medida que se avanza en la escolaridad, la multiplicación se
convierte en una herramienta que permite entrar en ciertas prácticas
algebraicas. El objeto central de estudio deja de ser la cuenta y pasa a
ser el análisis de las propiedades y de su validación. En esta instancia,
todo el trabajo desarrollado a lo largo de los años anteriores pasa a
ser un insumo para abordar las nuevas cuestiones, no sólo en lo
referido al aspecto matemático, sino también al tipo de práctica
desarrollada.
 El tipo de problemas planteados, junto con una gestión adecuada
de la clase, permitirían poner en discusión estas cuestiones.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Analice el siguiente problema teniendo en cuenta, en particular, el tipo
de práctica que se propicia. ¿Qué aspectos ligados a la validación cree
que se ponen en juego?

Considerando que 26 x 25 = 650 y sin hacer las cuentas, encuentre

los resultados de cada uno de los siguientes cálculos.
a. 52 x 25 b. 26 x 75 c. 13 x 25 d. 52 x 75
e. 650 ÷ 26 f. 650 ÷ 50 g. 650 ÷ 5

En problemas como el anterior, al restringir el empleo de la cuen-

ta, se está forzando a que los alumnos usen propiedades para hallar
los resultados. Además, este mismo problema que, en este caso, está
planteado en un contexto intramatemático, puede también plantearse
utilizando como contexto las organizaciones rectangulares.
Por ejemplo, el punto a. pide hallar el resultado de un producto
cuando se duplica uno de los factores. Desde otro punto de vista,
puede plantearse que: "650 baldosas están organizadas en 26 filas y
25 columnas. ¿Qué sucede con la cantidad de baldosas si se duplica la
cantidad de filas?".
Pensar un mismo problema planteado en otro contexto, muchas
veces, permite hallar su solución de una manera más simple. Como
los valores que se dan como datos no permiten realizar un dibujo, los
alumnos deberán pensarlo de un modo "genérico". Al duplicar la
cantidad de filas, se obtienen dos "rectángulos" iguales, uno al lado
del otro. Es decir, que se duplica la cantidad de baldosas.
Volviendo al problema inicial, lo anterior equivale a decir que, si se
duplica uno2 de los factores, entonces se duplica el resultado.

2 El desarrollo anterior permite decir que, si se duplica el primer factor, entonces se

duplica el producto. Habrá que trabajar con más problemas para concluir que no importa cuál

sea el factor que se duplica, también se duplica el resultado.

Un problema que aparenta ser similar al anterior es el siguiente:
• El producto entre dos números es 520. ¿Es posible encontrar el
resultado de multiplicar el doble del primer número por el triple
del segundo número? En caso de ser posible, encontrar dicho
resultado. En caso de no ser posible, explicar por qué.
Una gran diferencia entre este último problema y el anterior, que
torna a este último en el más complejo de ambos, es que no se dice
cuáles son los números que intervienen en la multiplicación. Esto hace
que muchos chicos pongan valores a los números, por ejemplo,
2 0 x 2 6 =520, y realicen la cuenta, para llegar a la conclusión de que
el resultado es el séxtuple de 520. En este momento, la gestión del
docente adquiere un rol fundamental en el aprendizaje de los
alumnos.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

¿Qué podrían hacer los alumnos que usan números (como 20 x 26) si el
docente les hace el siguiente comentario?: "No se conocen los números.
Si reemplazas por dos valores en particular, sólo estás encontrando la
relación para esos números".

En un primer momento, se impone la necesidad de que los

alumnos lleguen a la conclusión —apoyados en argumentos mate-
máticos— de que el resultado no depende de los pares de números
elegidos. Es más, la relación vale, aunque los números no sean
naturales. Surge entonces la necesidad de demostrar la afirmación.
Los problemas anteriores son sólo dos ejemplos de las posibilida-
des que se abren al tomar la multiplicación como objeto de análisis.
Es un objeto de estudio complejo que requiere de un análisis parti-
cular. Sin embargo, creemos importante que estas reflexiones
aparezcan en la clase de Matemática.

El trabajo en torno a la división

Una de las dificultades principales que se presentan en el trabajo

con la operatoria está relacionada con el tratamiento de la división.
No es raro escuchar a docentes decir que los alumnos llegan a 6 °
grado/año sin saber realizar la cuenta de dividir, y que en muchos
casos, no suelen darse cuenta de cuándo tienen que recurrir a dicha
operatoria.
Dos ideas en torno de las cuales empezaremos a trabajar son que
la división puede iniciarse desde primer año y que muchos de los
problemas que pueden resolverse con una división también pueden
ser resueltos usando una variedad de recursos diferentes.

Distintos problemas que "invitan" a la división

Los chicos están en condiciones de resolver problemas de reparto

(equitativo o no) en los que se deba determinar cuánto corresponde a
cada parte y problemas de reparto en los que se deba determinar en
cuántas partes se ha efectuado el reparto, mediante diversos pro-
cedimientos, desde mucho antes de dominar recursos de cálculo. El
objetivo de enfrentar a los alumnos a este tipo de problemas desde
los primeros años de la escolaridad es, por una parte, que aprendan a
elaborar estrategias propias de resolución de problemas cuando no
tienen aún disponible un recurso económico; y por otra parte, abona
al proceso de construcción del sentido de dicha operación.
Los alumnos no sólo podrán trabajar sobre los modos de efectuar
repartos, y discutir si deben ser equitativos o no, sino que, al mismo
tiempo, estarán aprendiendo a resolver problemas: leer enunciados,
revisarlos, transformarlos, considerar la cantidad de soluciones posi-
bles, entre otras acciones.
Por ejemplo, en un primer año, se planteó el siguiente problema:
"Un señor tiene 8 caramelos y se los da a dos niños, ¿cuántos le da a
cada uno?".
La mayor parte de los niños contestó que eran 4 para cada uno. La
maestra preguntó entonces si era posible darle 5 a uno y 3 a otro. Al
principio, los niños comentaron que sería injusto. La docente,
entonces, les propuso releer el problema para analizar si esta opción
era posible "según el enunciado". Como, en este caso, no se dice nada
acerca de lo equitativo del reparto, se plantea qué debería decir el
enunciado del problema para que "sí o sí, los dos chicos deban recibir
la misma cantidad". Los alumnos sugieren agregar al enunciado "en
partes iguales".
Estas son algunas resoluciones que los niños elaboraron frente a
problemas de reparto que no demandan la condición de lo equitativo:

Como se ve, los alumnos fueron capaces de resolver el problema

poniendo en juego dibujos y ciertas relaciones entre los números.
Cuando el reparto debe ser equitativo, al aumentar el tamaño de
los números con los que se trabaja, se requiere la elaboración de
algunos recursos más pertinentes, ya que se torna muy dificultoso
anticipar la cantidad que corresponderá a cada uno.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

¿Cuáles cree que son las diferencias principales entre los siguientes pro-
blemas?
a. Se quieren repartir 42 alfajores en cajas, En cada una, se colocarán 6
alfajores. ¿Cuántas cajas se necesitan?
b. Se quieren repartir 42 alfajores en 6 cajas. En todas, se colocará la
misma cantidad de alfajores. ¿Cuántos alfajores se pondrán en cada caja?

Hay problemas que se pueden proponer a los alumnos, como el

siguiente: "Tengo $45, gasto $5 por día. ¿Para cuántos días, me
alcanza?". Si bien parece ser un reparto, el valor de cada una de las
partes es conocido ($5). El valor que se quiere encontrar es la
cantidad de días para los cuales alcanza el total de dinero, gastando
$5 por día. En consecuencia, este tipo de problemas en los cuales se
interroga sobre la cantidad de partes resulta de naturaleza diferente
de los problemas en los cuales se interroga sobre la cantidad en cada
parte. Si los alumnos no se enfrentan a esta diferencia, no será
sencillo que reconozcan la división como una poderosa herramienta
para resolverlos. Y esta misma diferencia se manifiesta en la actividad
anterior.
En problemas como el del último ejemplo, los datos corresponden
a valores de la misma variable (en este caso, $45 y $5, que corres-
ponden a la variable "cantidad de dinero"), y se busca un valor de otra
variable, la cantidad de días. En cambio, si se tratara de un reparto
equitativo, los datos serían de variables diferentes ($45 y 5 días), y se
debería obtener el valor de una de ellas.
Los chicos pueden resolver este tipo de situaciones, en un comienzo,
apelando a diversos recursos: restas sucesivas, conteo de 5 en 5 hasta
llegar a 45, como se observa en las siguientes producciones.

En ambos casos, aparece la necesidad de controlar la cantidad de

días, ya que esta no surge directamente de las restas o de las sumas.
Un chico comienza haciendo restas sucesivas y, cuando llega a 30,
se da cuenta de que los resultados que obtiene van disminuyendo de
5 en 5.
La riqueza en la variedad de estrategias de resolución hace que sea
conveniente un trabajo colectivo del docente que tienda a socia-
lizarlas, promoviendo que los alumnos las registren en sus cuadernos,
con el objetivo de que se apropien de las distintas maneras de resol-
ver un mismo problema. A partir de 3° grado/año, podrán analizarse
estrategias multiplicativas como alternativa a las resoluciones
propuestas por los alumnos.
Otro tipo de problemas que es necesario trabajar son los que
involucran situaciones de reparto donde el resto no es cero. En estos
casos, se requiere una discusión sobre de qué modo debe
considerarse "lo que sobra". En algunos casos, el resto es fraccionable
(chocolates, líquido, etcétera); mientras que en otros, no lo es (glo-
bos, personas, etcétera). Los restos fraccionables permiten el trabajo
con fracciones, simples, en los primeros años, y más complejas, a
medida que se avanza en su estudio.
Para este problema planteado en un 2 ° grado/año: "Un señor
tiene 18 caramelos y quiere repartirlos en partes iguales para sus 4
hijos. ¿Cuántos le dará a cada uno?", una alumna realiza una partición
del resto:

En general, los chicos no tienen en cuenta la posibilidad de

repartir o no lo que sobra. Muchas veces, sucede que terminan
efectuando repartos no equitativos. A través de una instancia de
discusión, los alumnos podrán ir apropiándose de las diferentes
cuestiones para tener en cuenta. Lo aprendido será fértil para resolver
un nuevo problema.
Tampoco es suficiente con una sola situación para que los chicos
puedan aproximarse al conocimiento que está en juego. Es necesario
trabajar con una colección de problemas que apunten a los objetivos
en cuestión durante varias clases.
En este capítulo, relativo en parte a la multiplicación, se han
mostrado las organizaciones rectangulares como uno de los sentidos
de la multiplicación. Ahora bien, todo problema que puede resolverse
a partir de un producto posibilita generar dos problemas "asociados",
que involucran una división. Si se trata de filas y columnas, la
cantidad total de elementos se obtiene a partir de filas x columnas.
Luego, si se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de
filas, se obtiene la cantidad de columnas. Asimismo, el cociente entre
el total y la cantidad de columnas da la cantidad de filas. Es decir, este
tipo de problemas permite evidenciar, de manera explícita, la relación
existente entre la multiplicación y la división, en particular, si el resto
es 0. Por ejemplo, "Si se compran 75 baldosas para cubrir un patio
que tiene forma rectangular; y en cada fila, se ponen 15 baldosas,
¿cuántas filas se completan?".
Para resolver este problema, los alumnos podrán apelar a dibujos
o a cálculos que den cuenta de las relaciones que estuvimos mencio-
nando: 75 ÷ 15 = 5 pues 5 x 15 = 75.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Analice qué elementos de la cuenta de dividir es necesario considerar
para resolver cada uno de los siguientes problemas.
a. Un grupo de 46 personas tiene que realizar un viaje. Se trasladarán en
combis que tienen capacidad para 11 pasajeros. ¿Cuántas combis son
necesarias si se llena una combi antes de habilitar otra?
b. ¿Cuántas cajas de una docena de alfajores se pueden armar con 457
alfajores?
c. Al repartir 248 cartas en partes iguales entre 15 personas, a cada una,
le tocan 16. ¿Cuál es la mínima cantidad de cartas que hay que agregar
para que no sobre ninguna al repartirlas?

En el primer problema, como no es posible dejar personas sin

viajar, es necesario agregar uno al cociente, y una de las combis no
viajará completa.
 En el segundo caso, como hay que armar cajas enteras, no importa
el resto, y sólo se considera el cociente.
En el tercer caso, es necesario analizar cuánto debe agregarse al
resto para que el cociente aumente en una unidad.
Si los problemas que resuelven los alumnos únicamente demandan
considerar el cociente de la división, existe un aspecto relativo a la
construcción del sentido de este concepto que queda afuera, y no se
habilita a los alumnos a que resuelvan otros tipos de problemas que
requieren de un análisis del resto.
Hay otros problemas en los que interviene la división. Son aquellos
en los cuales se trata de averiguar cuántas veces entra un número
dentro de otro. El enunciado de estos problemas no da cuenta en un
principio de cómo se vinculan con la división. Es decir, la formulación
de estos problemas, sus enunciados, no hacen referencia a repartos,
ni a organizaciones rectangulares ni a proporciones. Sin embargo, la
herramienta óptima para resolverlos sigue siendo la división, cuestión
que deberá formar parte de la enseñanza.

A continuación, se analizan algunos ejemplos:

• Si hoy es lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 1500 días?
Este problema puede resolverse contando los días de uno en uno,
lo cual resultaría muy tedioso. Para poder avanzar, es necesario
darse cuenta de que el día de la semana se repite cada 7 días, es
decir que, cada 7 días, a partir de un lunes, será lunes. Como al
dividir 1.500 por 7, se obtiene el cociente 214 y el resto 2, se
puede deducir que, en 1.500, hay 214 sietes y 2 unidades más.
Pensando en términos del problema planteado, al contar los días
desde el lunes, 214 veces, se "cae" nuevamente en lunes. Las dos
unidades representadas por el resto indican que se trata de 2 días
más, es decir, miércoles.
• Si se parte del número 218; y se dan saltos para atrás de 3 en 3,
¿cuál es el número más cercano a cero al que se va a llegar?
De la misma manera que en el problema anterior, la cantidad de
tres que tiene 218 indica la cantidad de saltos que se pueden dar. Al
dividir 218 por 3, el cociente es 72, y el resto es 2. A partir de esto, es
posible afirmar que la máxima cantidad de saltos de 3 unidades que
se pueden dar es 72. Como 218 - 72 x 3 = 2, se llega al número 2.
Es importante tener en cuenta que problemas como los anteriores
forman parte de la construcción del sentido de la división y deben ser
considerados en un proyecto de enseñanza de este contenido. El
haber trabajado con otros sentidos de la división no necesariamente
habilita a los alumnos para reconocerla como la herramienta
adecuada para resolver estos problemas. Por otro lado, este tipo de
problemas podrán reelaborarse a la luz del trabajo con múltiplos y
divisores, dado que los restos serán las distancias a las que se
encuentra un cierto número del múltiplo de otro más cercano. En
particular, si en el segundo ejemplo, en lugar de 218, se parte de
219, por ser este un múltiplo de 3, se llega justo al 0.
Un nuevo tipo de problemas involucra las relaciones entre la divi-
sión y la noción de fracción. Quizá este sea el sentido más ausente en
la escuela. Se trata de problemas que permitan evidenciar que toda
fracción es un cociente entre enteros. Por ejemplo: "Sin hacer la
división, encuentren un número que represente el resultado de
28 ÷ 11".
Si se han abordado las relaciones entre la división y la fracción, es
pertinente arribar a que 28 ÷ 11 = 28/11.
O bien: "¿Qué número multiplicado por 4 da 21 ?".
Hay varias maneras de resolver este problema, de las cuales,
comentaremos dos:
• Si se busca un número que, multiplicado por 4 dé 21, entonces
el número buscado es el cociente entre 21 y 4, o sea 21/4.
• Como 4 x 1 / 4 = 1, entonces (4 x 1/4) x 21 = 2 1 .
Luego, 4 x (1/4x21) = 21 o, lo que es lo mismo, 4 x 21/4 =
21.

¿La cuenta o las cuentas para dividir?

Ya hemos analizado algunos de los recursos que es posible que
desplieguen los alumnos frente a la diversidad de problemas que
involucran a la división: hacer repartos equitativos, analizar el resto
de un reparto, tratar con organizaciones rectangulares, identificar
cuántas veces entra una cantidad en otra, etcétera. A la luz de estos
problemas, los alumnos elaboran dibujos, realizan conteos, se apoyan
en cálculos de sumas y restas, etcétera. La escuela es responsable de
que este tipo de recursos avancen hacia otros más pertinentes, más
económicos. No se espera que surjan "mágicamente". Es necesario
plantear nuevos desafíos, aumentar el tamaño de los números y
establecer relaciones con la multiplicación para que los alumnos
puedan producir nuevos recursos de cálculo que permitan resolver
problemas más complejos en el campo de la división. Para pensar en
estas cuestiones, le proponemos la siguiente actividad:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Resuelva el siguiente problema, sin usar la cuenta de dividir,
Se quieren repartir 4.184 caramelos en paquetes de 15.¡Cuántos
paquetes enteros se puede armar?

Hay diferentes maneras de encontrar la respuesta al problema, con

la condición de no usar la cuenta de dividir. Por ejemplo, analizar
que, si cada paquete tiene 15 caramelos, se podría sumar 15 hasta
llegar a la cantidad total de caramelos o lo más cerca posible: 15 +
15 + 15+... No sólo hay que decidir que la suma es una manera de
encontrar el resultado, sino que también hay que decidir cuándo
"parar" de sumar y, además, controlar la cantidad de veces que se
suma el 15, porque ese número es la cantidad de paquetes que se
pueden armar. Es evidente que este recurso es un tanto engorroso.
Pero, dados los números que intervienen, se permite buscar nuevas
estrategias asociadas a "sumas reiteradas", es decir, es un camino
fértil para identificar la multiplicación como un medio para elaborar
nuevos modos de resolución.
Otra posibilidad es apelar a la resta, es decir, podría restarse 15
tantas veces como sea posible al total de caramelos: 4.184 - 15 - 15
Nuevamente, es preciso tener en cuenta que, cada 15 que se resta,
corresponde a 1 paquete de caramelos. Además, hay que restar 15
hasta que no se pueda restar más por haber llegado a 0, o a un
número menor que 15.
 Una vez más, los valores elegidos hacen que restar también se
torne arduo, por lo cual es conveniente buscar nuevos modos, entre
ellos, la multiplicación, de manera tal de "resumir" la cantidad de
pasos. Muchos alumnos, viendo que la cantidad de restas "unitarias"
es muy grande, comienzan a restar varios 15 juntos, controlando
cuántos restan.
Otra posibilidad es apoyarse directamente en la multiplicación, en
particular, en aquellas multiplicaciones que estén más disponibles.
Por ejemplo: si se arman 100 paquetes, se usan 100 x 15 = 1.500
caramelos. Quedan, entonces, 4.184 - 1.500 = 2.684 caramelos. Es
posible armar 100 paquetes más, para lo cual se necesitan otros
1.500 caramelos. Quedan 2.684 - 1.500 = 1.184.
No alcanza para armar 100 paquetes más. Una manera de explorar
cuántos se pueden armar es usar las propiedades del producto. Por
ejemplo: si para 100 paquetes se usan 1.500 caramelos, para 50 se
usan la mitad, 750, luego quedan 1.187 - 750 = 434 caramelos.
Para 10 paquetes, se necesitan 1 0 x 1 5 = 150 caramelos; para 20
paquetes, 300. Quedan 434 - 300 = 134 caramelos.
Si para 10 paquetes se usan 150 caramelos, en 5 paquetes, se usa
la mitad, 75. Como para 3 paquetes se usan 45 caramelos, entonces
para hacer 8 paquetes, se necesitan 75 + 45 = 120 caramelos. En
este caso, sobran 134 - 120 = 14 caramelos.
En total, se armaron 100 + 100 + 50 + 20 + 8 = 278 paquetes; y
sobraron 14 caramelos.
Este desarrollo corresponde a una división resuelta de una manera
diferente del algoritmo, realizando una aproximación a través de
productos que permite seguir paso a paso lo que se resuelve.
Un problema central es que las representaciones de las cuentas
que se proponen en la escuela, generalmente, distan mucho de las
representaciones que elaboran los alumnos. Si para resolver un pro-
blema, algunos alumnos usan sumas o restas, o se aproximan por
multiplicaciones, difícilmente interpreten que la organización de la
cuenta de dividir indica eso mismo que ellos están pensando, pues la
cuenta de dividir esconde todos los pasos y razonamientos que
podrían estar ensayando los chicos. De esta manera, vale la pena
advertir que cualquier escritura de los cálculos que proponga un
docente debería, en cierta medida, respetar los modos de pensar que
vienen desarrollando los alumnos.
Así, por ejemplo, la resolución mediante las aproximaciones por
multiplicaciones podría adquirir alguna organización similar a las
siguientes, asumiendo que no son las únicas posibles:

4184 15 4184 15
-1500 100 -1500 100+100+50+20+8
2684 2684
-1500 100 -1500 278
1184 1184
-750 50 -750
434 434
-300 +20 -300
134 134
-120 8 -120
14 278 14

Estas formas de organizar las cuentas de división podrían plantear

muchas ventajas respecto de la escritura convencional, una de las
cuales es que cada uno de los números que aparecen tiene un signi-
ficado específico en el contexto del problema, accesible a quien lo
aplica. Por otro lado, la forma de dividir es la misma, independiente-
mente de la cantidad de dígitos que tengan los números.
Otra ventaja es que aquí se explicitan los cálculos realizados,
mientras que en el algoritmo convencional, estos cálculos se hacen,
pero se mantienen ocultos.
Para pensar un poco más acerca de la cuenta de dividir, le propo-
nemos la siguiente actividad:
PENSAR LAS PRÁCTICAS
INTENTE FUNDAMENTAR MATEMÁTICAMENTE CADA UNO DE LOS PASOS QUE SE USAN PARA
HACER UNA CUENTA DE DIVIDIR, EMPLEANDO EL ALGORITMO CONVENCIONAL. ¡ES POSIBLE
TRASFORMAR ESA FUNDAMENTACIÓN EN UN DISCURSO COMPRENSIBLE PARA UN ALUMNO?
¡DE QUÉ MANERA?

Todos nosotros hemos aprendido a dividir con el algoritmo que

ahora enseñamos a nuestros alumnos. Sabemos que es preciso tener
cuidado para no equivocarse y que es necesario conocer muchos
casos particulares (división por una cifra, por 2, por más de 2, división
entre decimales, etcétera). El dominio de todos estos recursos lleva
mucho tiempo y varios años de escolaridad.
Pensemos en una división cualquiera y en nuestro "discurso" al
resolverla. Por ejemplo:
3497 12
109 291
17
5

En el primer paso de la cuenta, se suele decir: "Como no se puede

dividir 3 en 12, entonces tomo el 34, que sí se puede dividir". Ahora
bien, cierto es que, producto de las características de nuestro sistema
de numeración decimal, ese "3", en realidad, representa un 3.000. ¿No
se puede dividir 3.000 por 12?
Entonces se propone "tomar el 34" y tratar de encontrar un núme-
ro que, multiplicado por 12, se aproxime lo más posible a 34 sin
pasarlo. Decidido que es el 2, se obtiene el producto 24 (de 12 x 2) y
se le resta a 34:

3497 12
-24 2
10
 Hasta aquí, ese "2" es, en realidad, el primer dígito del cociente,
pero no sabremos hasta terminar la cuenta si representa un 2, un 20,
un 200, etcétera, y por lo tanto, si el producto consecuente será 24,
240, 2.400, etcétera.
Si el resultado es 24, ¿cómo se puede validar que, para restar 24 a
3.497, lo ubiquemos de izquierda a derecha? ¿Quién se hace cargo de
la contradicción entre hacer esto y lo que los chicos han aprendido del
funcionamiento del algoritmo de la resta? Aun en el caso de que los
alumnos realicen la resta por diferencia, es decir, no la escriban, estas
preguntas siguen siendo pertinentes.
Siguiendo la cuenta, una vez obtenido el resto, hay que "bajar" un
número. ¿Qué significa "bajar un número"? ¿Cómo hace un alumno
para controlar la razonabilidad del resultado, si el fraccionamiento del
dividendo hace desaparecer la cantidad de partida?
Claramente, hay una gran disociación entre lo enseñado acerca del
sistema de numeración y de la resta, y este algoritmo. Tanto la cuenta
como el discurso que la acompaña podrían contradecir, desde el
punto de vista matemático, conocimientos que probablemente los
alumnos disponen de años anteriores. Estas contradicciones son
fuentes de numerosos errores de los chicos, quienes terminan
reproduciendo un procedimiento vacío de toda posibilidad de
comprensión y sentido.
Dentro de la matemática, se usan muchos algoritmos porque sim-
plifican el trabajo. Pero los algoritmos surgen de una generalización
sobre los pasos que se repiten en un procedimiento no algorítmico.
Se llega al algoritmo luego de observar pasos invariantes en otras for-
mas de resolución. Esto último permite volver a cualquier otra estra-
tegia de resolución si, por alguna razón, el algoritmo no resulta el
recurso más pertinente.
Muchas veces, al presentar directamente el algoritmo sin dar el
espacio y el tiempo necesarios para ir aproximándose a él en forma
progresiva, se corre el riesgo de quitarle todo sentido y de que se
transforme sólo en un conjunto de pasos que se deben seguir (que
bien podrían ser reemplazados por otros). Esta quizá sea una de las
principales razones por las que los alumnos tienen tantos problemas
para dividir. No siempre comprenden qué están haciendo, lo cual los
hace perder el control. No estamos queriendo decir que no se deban
enseñar los algoritmos. Decimos que sería más pertinente que surjan
como consecuencia de todo un recorrido y no, como un inicio.
Para analizar un poco más esta cuestión, le proponemos la
siguiente actividad:

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Intente explicar qué hizo un alumno que resolvió una división del modo
en que se muestra a continuación:

578 23
-4 25
17
-6
11
-10
18
-15
3

La escritura provista por el chico no incluye todo. Intentemos

dilucidar exactamente qué hizo, en términos matemáticos:
500 ÷ 20 = 20, 20 x 2 0 = 400 y 500 - 400 = 100
La suma entre el 100 que sobra y el 70 de 578 es 170.
20 x 3 = 60 y 1 7 0 - 6 0 = 110.
110 ÷ 20 = 5, 5 x 20 = 100 y 110 - 100 = 10.
La suma entre el 10 que sobra y el 8 de 578 es 18.
5 x 3 = 15 y 1 8 - 15 = 3.
La cantidad de implícitos que tenía el cálculo hecho por el alumno
hizo que fuese muy difícil darse cuenta de si era correcto o no. Fue
necesario explicitar cada uno de los cálculos y las razones por las
cuales se los efectuó para llegar a entender. Este mismo cálculo
podría organizarse de la siguiente manera:
 578 23
20 x 20 -400 20
178
3 x 20 -60
118 +5
20 x 5 -100 25
18
3x5 -15
3

La elección de la actividad tenía por objetivo mostrar lo difícil que

puede ser, para un alumno, comprender las características del
algoritmo de la división. No explicitar los pasos usados, no escribir
los ceros y, en muchos casos, no hacer las restas puede oscurecer los
cálculos y quitarles el sentido matemático. L a resolución termina
siendo, como ya vimos, una serie de pasos que se han de seguir sin
saber por qué funcionan.
Una observación que nos parece interesante enunciar es cuánto se
parece la presentación del algoritmo del chico con el usado habi-
tualmente. Pareciera que este alumno buscó expresarlo como se hace
en la escuela para darle un aspecto "más correcto".
Una de las cuestiones que juegan un rol fundamental en el control
de los resultados de las divisiones involucra estimar o anticipar la
cantidad de dígitos del cociente. En el caso del ejemplo ya tratado: "Se
quieren repartir 4.184 caramelos en paquetes de 15. ¿Cuántos
paquetes enteros se pueden armar?", es posible analizar con los
alumnos, antes de hacer cuentas, que:
• Si se hacen 10 paquetes, se usan 1 5 x 1 0 = 150 caramelos.
• Si se hacen 100 paquetes, se usan 15 x 100 = 1500 caramelos.
• Si se hacen 1.000 paquetes, se usan 15 x 1.000 = 15.000
caramelos.
La cantidad de caramelos era de 4.184, es decir, más de 1.500 y
menos de 15.000, luego se pueden armar más de 100 paquetes y
menos de 1.000. Como todos los números entre 100 y 1.000 tienen 3
dígitos, entonces la cantidad de paquetes, el cociente, es un número
que indefectiblemente tendrá 3 dígitos.
Esta información es muy importante porque indica que conviene
probar con, al menos, 100 como cociente. Ahora bien, se podrá
avanzar, usando las propiedades del producto:
15 x 100 = 1.500
15 x 2 0 0 = 2 x 1.500 = 3.000
15 x 300 = 1.500 + 3.000 = 4.500
El número 4.500 es mayor que 4.184, luego se puede empezar con
el armado de 200 paquetes. Es decir, 4.184 - 3.000 = 1.184. Ahora
se podrán hallar las decenas del cociente:
15 x 10 = 150
15 x 2 0 = 2 x 150 = 300
15 x 40 = 2 x 300 = 600
15 x 70 = 150 + 300 + 600 = 1.050
Al armar 70 paquetes, quedan 1.184 - 1.050 = 134 paquetes.
Finalmente, se pueden hallar las unidades:
1 5 x 5 = 150 ÷ 2 = 75
15 x 2 = 30
15 x 8 = 75 + 30 + 15 = 120
Quedan 134 - 120 = 14 caramelos.
La división, entonces, podría reorganizarse de la siguiente manera:
4184 15
-3000 200
1184
-1050 70
134
-120 +8
14 278

La última escritura es una "expansión" del algoritmo convencional,

donde nuevamente se explicitan por separado las unidades, decenas
y centenas, y las diferencias.
 Como ya hemos dicho, no alcanza con explicar todo lo anterior a
los alumnos. Es necesario exponerlos a una serie de problemas
secuenciados que tengan por finalidad el trabajo descrito con la
división.
La anticipación de la cantidad de cifras que va a tener el cociente
colabora, además, para poder tener un control consciente del
resultado. Sabiendo que el cociente va a tener tres cifras, si el alumno
comete alguno de los errores comunes —olvidarse de "bajar" un
número; no poner cero en el cociente cuando el resto es menor que el
divisor (en ambos casos, obtiene un resultado de dos cifras); estimar
mal el número del cociente, obtener un resto mayor que el divisor y
volver a dividirlo, y obtener un cociente de cuatro cifras, etcétera— la
situación misma le demostrará que ha cometido un error.
En síntesis, se trata de ofrecer a los alumnos la posibilidad de que,
al resolver toda una clase de problemas de división, puedan estable-
cer nuevas relaciones en función de los datos involucrados, el tamaño
de los números, las características del sistema de numeración, sus
conocimientos sobre la suma, la resta y la multiplicación como
herramientas que se pondrán en juego para elaborar nuevos modos
de encontrar resultados y de organizarlos.

La división entera como objeto de reflexión

El concepto de división entera3 no sólo es de gran importancia

dentro de la matemática, sino también en la didáctica, aunque algu-
nos de los aspectos de su tratamiento exceden el Segundo Ciclo y
deberán reservarse para más adelante.
De todos modos, queremos presentar algunos ejemplos que inten-
tan mostrar nuevas relaciones asociadas a la división.

• Encuentren una división en la que el divisor sea 25, el cociente,

14; y el resto, 23. ¿Cuántas divisiones se pueden encontrar?
Usando la relación D = d x c + r4 es posible hallar el dividendo.
D = 25 x 14 + 23 = 373, y es la única cuenta de dividir que se
puede hallar.
4Dados dos números llamados dividendo y divisor, existen dos únicos números llamados

cociente y resto, tales que dividendo = cociente x divisor + resto, donde el resto es mayor o
igual que cero y menor que el divisor. La relación anterior recibe el nombre de división entera.
 • Encuentren una división en la que el divisor sea 25; y el
cociente, 14. ¿Cuántas divisiones se pueden encontrar?
Si no se da el resto, es necesario identificar que, en este caso,
puede tomar cualquier valor entre 0 y 24, lo que da lugar a 25 divi-
siones diferentes que verifican las condiciones que se plantean en el
problema:
D = 25 x 14, D = 2 5 x 1 4 + 1 , . . . , D = 2 5 x 1 4 + 24

• Encuentren una división en la que el divisor sea 25; y el resto,

23. ¿Cuántas divisiones se pueden encontrar?
Para hallar el dividendo, es necesario conocer el valor del cociente.
Como no hay ninguna restricción para este, significa que puede
tomar cualquier valor entero no negativo:
D = 25 x 0 + 23, D = 25 x 1 + 23, D = 25 x 2 + 23, . . .
Luego, hay infinitas divisiones que verifican las condiciones dadas.

• Encuentren una división en la que el cociente sea 14; y el resto,

23. ¿Cuántas divisiones se pueden encontrar?
En este caso, es necesario conocer el valor del divisor. Como el
resto es 23, el menor valor posible para él es 24, y no hay un valor
máximo para él. Algunas posibilidades para el dividendo son:
D = 1 4 x 2 4 + 23, D = 14 x 2 5 + 23, D = 1 4 x 2 6 + 23 . . .

• Sin hacer la cuenta de dividir, determinen el resto de dividir el

número 1 8 x 1 5 x 4 + 7 por 12.
Para resolver este problema sin necesidad de resolver la división,
es necesario "leer" la expresión dada, es decir, obtener de ella la
información necesaria. Si se está dividiendo por 12, el dividendo
debería poder expresarse como 12 x c + r, a partir de donde podrá
indicarse cuál es el resto.
Si bien no hay un 12 en el primer término de 18 x 15 x 4 + 7, es
posible obtenerlo a l descomponer 18, por ejemplo, como 3 x 6 .
Entonces:
1 8 x 1 5 x 4 + 7 = ( 3 x 6 ) x 1 5 x 4 + 7 = 12x(6x15) + 7 La
última escritura permite ver que, al dividir el número dado por 12, el
cociente es 6 x 15; y el resto, 7.
La multiplicación, la división y el uso de la calculadora

La calculadora es una herramienta sumamente útil para el trabajo

matemático que se propone en las aulas. Sin embargo, todavía su uso
provoca profundas discusiones en la escuela y fuera de ella. Muchos
docentes, y también muchos padres, temen que si los chicos utilizan
la calculadora "dejen de razonar" para hacer sus tareas.
Pensamos que no se puede renegar de ella debido a su extendido
uso social y, desde el punto de vista didáctico, es posible usarla para
profundizar en los conocimientos que los alumnos elaboran.
Por supuesto, no nos referimos a un uso sin ningún tipo de
condiciones. Por ejemplo, no sería pertinente en el momento en que
se intenta enseñar a realizar ciertos cálculos. Pero cuando estos no
son el objetivo de la clase, especialmente con aquellos problemas que
requieren de varios pasos y donde la actividad central del alumno es
tomar decisiones acerca de qué cálculos hacer, es posible usar la
calculadora.
También es interesante utilizarla como un medio de control de
anticipaciones. Por ejemplo, frente a una colección de cálculos en los
que hay que estimar sus resultados, la calculadora puede emplearse
para corroborarlos.
Hay otro tipo de problemas de cálculo para resolver con la calcu-
ladora que exigen utilizar las propiedades conmutativa, asociativa y

distributiva. Por ejemplo, este trabajo de un alumno de tercer grado,

en el que se comprueba la validez o no de ciertas descomposiciones
para multiplicar dos números:
La calculadora sólo indica si el resultado es correcto o no. No da
información respecto de las razones por las cuales está bien o mal, lo
cual será tarea del alumno y de la clase con la participación del
maestro.
Les presentamos, a modo de ejemplo, otros problemas para traba-
jar con la calculadora, que permiten pensar en las propiedades, tanto
para tratar la multiplicación como la división:
• ¿Cómo se puede obtener el resultado de 25 x 20 con una cal-
culadora, si no funciona la tecla del 0?
• ¿Cómo se puede obtener el resultado de 6 x 5 x 7 x 9 x 1 0
utilizando una sola vez la tecla x ?
• ¿Cómo harías la cuenta 2.088 ÷ 8 con una calculadora a la que
no le funciona la tecla del 8 ?
• ¿Cómo se puede hallar el cociente y el resto de la división
3.543 ÷ 26 usando una calculadora?
• Una persona hizo 2.844 ÷ 18, pero en realidad tenía que hallar
2.844 ÷ 9. ¿Cómo puede obtener este resultado sin borrar el
primero obtenido?
Esta colección es solo una muestra de los problemas que permiten
hacer funcionar la calculadora en situaciones que propician el
profundizar los conocimientos que se están trabajando. Se trata de
que los alumnos puedan apoyarse en esta herramienta para avanzar
en la identificación de nuevas propiedades, nuevas relaciones, nuevos
recursos de cálculo, y también, para disponer de la calculadora a fin
de hacer cálculos, sin perder el control de los resultados que van
obteniendo. Se espera que los alumnos la incorporen, sin perder de
vista sus alcances y sus límites.
En este capítulo, hemos querido mostrar las diferentes clases de
problemas que podrían dar sentido a la multiplicación y a la división,
así como brindar un abanico de recursos de cálculo asociados, de
alguna manera, a los problemas. Este tipo de trabajo, sabemos,
requiere de mucho tiempo. Pero es más necesaria la comunicación
fluida entre los docentes de los diferentes grados, de manera tal de
poder dar continuidad a un modo de pensar la matemática y de
hacerla en función de estas operaciones.
El recorrido aquí propuesto es uno posible, pero no es el único.