PNF: VARIOS UNIDAD IV

U.C.: MATEMATICA (PIU) INTENSIVO: AGOSTO - SEPTIEMBRE 2023

Asignación Grupal (3 personas) (25%)

CONTENIDO

Ecuaciones
Igualdad: Es la expresión matemática que indica que dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales
y tienen el mismo valor. Para identificar una igualdad se utiliza el símbolo = (igual a).

Ejemplos: 4+3=7 5=5 a=b+c x = 3x +3

Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que
solo será verdadera para determinados valores de las incógnitas. En general las incógnitas se denotan con
las últimas letras del alfabeto: u, v, x, y, z.

Ejemplos: X+3=5 4x + 3 = 2x - 1

Se denomina miembro de una ecuación a las expresiones que están a cada lado del símbolo de igualdad.
De esta manera el primer miembro de una ecuación será la expresión que se encuentra al lado izquierdo
de la ecuación y el segundo miembro, a la expresión que está a la derecha de la ecuación.

El grado de una ecuación de una incógnita es el mayor exponente que posea esta incógnita. Así, la ecuación
será de primer grado cuando el mayor exponente de la incógnita sea 1. De segundo grado cuando el
mayor exponente de la incógnita sea 2.

Ejemplos:

Primer Grado: 4x – 5 = x + 4 Segundo Grado: x2 – 5x + 6 = 0

Las raíces o soluciones de una ecuación son los valores que toman las incógnitas para satisfacer la
igualdad y convertir a la ecuación en una identidad.

Ejemplos:

5x – 6 = 3x + 8 Raíz = 7 5(7) – 6 = 3(7) + 8 29 = 29

Resolver una Ecuación: Para resolver una ecuación, simplemente se hallan sus raíces. Y para poder
resolverla se deben tomar en cuenta las siguientes reglas:

1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la
igualdad subsiste.
4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la
igualdad subsiste.
5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se
extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
Resolución de Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incógnita:

1. Se efectúan las operaciones indicadas.

2. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los miembros que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita.

Ejemplos:

1. Resolver: 3(x  4)  5x  4

3x  12  5x  4 Primero se eliminan los paréntesis.

3x  5x  4  12 Se agrupan términos.

8x  16 Se reducen términos semejantes.

16
x x2 Se despeja la incógnita.
8

2. Resolver: 35  22x  6  18x  14  30x  32

 22x  18x  30x  14  32  35  6 Se agrupan términos.

 10x  5 Se reducen términos semejantes.

5 1
x x Se despeja y se simplifica la incógnita.
 10 2

3. Resolver: 15x  10  6x  (x  2)  (x  3)

15x  10  6x  x  2  x  3 Primero se eliminan los paréntesis.

15x  6x  x  x  2  3  10 Se agrupan términos.

11x  11 Se reducen términos semejantes.

11
x x 1 Se despeja la incógnita.
11

4. Resolver: 10(x  9)  9(5  6x)  2(4x  1)  5(1  2x)

10x  90  45  54x  8x  2  5  10x Primero se eliminan los paréntesis.

10x  54x  8x  10x  2  5  90  45 Se agrupan términos.

46x  138 Se reducen términos semejantes.

138
x x3 Se despeja la incógnita.
46
Resolución de Ecuaciones Fraccionarias de Primer Grado con una Incógnita:

1. Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

2. Se divide este m.c.m. entre cada denominador y cada cociente se multiplica por el numerador
respectivo.
3. Se efectúan las operaciones indicadas.
4. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los miembros que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
5. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
6. Se despeja la incógnita.
Ejemplos:

x x 1
1. Resolver:  
2 6 4
x x 1
  El m.c.m de 2,4,6 es 12.
2 6 4

6x  2x  3 Se divide 12 entre 2,4,6 y se multiplica cada cociente por su numerador

respectivo.

6x  2x  3 Se agrupan términos.

4x  3 Se reducen términos semejantes.

3
x Se despeja la incógnita.
4

2x  1 x  13 5(x  1)
2. Resolver:   3x 
3 24 8
2x  1 x  13 5(x  1)
  3x  El m.c.m de 3,24,8 es 24.
3 24 8

8(2x  1)  (x  13)  24(3x)  15(x  1) Se divide 24 entre 3,24,8 y se multiplica cada

cociente por su numerador respectivo.

16x  8  x  13  72x  15x  15 Se eliminan los paréntesis

16x  x  72x  15x  15  8  13 Se agrupan términos.

 72x  36 Se reducen términos semejantes.

36 1
x x Se despeja y se simplifica la incógnita.
 72 2

1 1 1 1
3. Resolver:   
2x 4 10x 5
1 1 1 1
   El m.c.m de 2x, 4, 10x, 5 es 20x
2x 4 10x 5

10  5x  2  4x Se divide 20x entre 2x, 4, 10x, 5 y se multiplica cada

cociente por su numerador respectivo.

5x  4x  2  10 Se agrupan términos.

x  8 Se reducen términos semejantes, se despeja y se

simplifica la incógnita.
Resolución de Ecuaciones Irracionales con una Incógnita:

1. Se aísla el radical a un lado de la igualdad.

2. Se eleva ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.
3. Se efectúan las operaciones indicadas.
4. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los miembros que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
5. Si queda algún radical, se realizan los pasos anteriores hasta eliminar todos los radicales.
6. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
7. Se despeja la incógnita.

Ejemplos:

1. Resolver: 4x 2  15  2x  1
4x 2  15  2x  1 Se aísla el radical a un lado de la igualdad

 4x 2
 15 
2
 2x  12 Se eleva ambos miembros de la ecuación a una potencia igual
al índice del radical.

4x2  15  4x2  4x  1 Se efectúan las operaciones indicadas.

4x2  4x2  4x  1  15 Se agrupan términos.

4x  16 Se reducen términos semejantes.

16
x x4 Se despeja y se simplifica la incógnita.
4

2. Resolver: x  4  x 1  5
x  4  5  x 1 Se aísla un radical a un lado de la igualdad

 x4   5 
2
x 1 
2
Se eleva ambos miembros de la ecuación a una potencia igual
al índice del radical.

x  4  25  10 x  1  x  1 Se efectúan las operaciones indicadas.

10 x  1  25  1  4  x  x Se agrupan términos.

10 x  1  20 Se reducen términos semejantes.

10 x 1 
2
 (20) 2 Se procede a aislar de nuevo el radical restante y se realizan las
operaciones anteriores

100(x  1)  400

400
x 1 
100

x 1  4

x5 Se despeja y se simplifica la incógnita

Sistema de Ecuaciones:

Es un conjunto formado por varias ecuaciones, cuyo objeto es hallar las soluciones que son comunes a
todas ellas. Para anotar que varias ecuaciones forman un sistema se escriben las mismas luego de una llave
( { ).

Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución y es incompatible cuando no tiene

solución.

Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene
infinitas soluciones.

Resolución de un Sistema de Ecuaciones:

Para resolver o hallar la solución a un sistema de ecuaciones es necesario obtener de las ecuaciones una
ecuación con una sola incógnita y esto se logra por medio de la eliminación de incógnitas.

Para lograr esta eliminación existen varios métodos. Entre los cuales tenemos: Método de Igualación,
Método de Sustitución y Método de Reducción.

Método de Igualación:

Ejemplo:

x  6y  27 (1)
1. Resolver: 
7 x  3y  9 (2)

Se despeja una de las incógnitas de las dos ecuaciones dadas.

Despejando x en (1): x  6y  27 x  27  6y

9  3y
Despejando x en (2): 7x  3y  9 x
7

Se igualan las dos ecuaciones resultantes, obteniendo una ecuación de primer grado con una
incógnita.

9  3y
 27  6y
7

9  3y  7(27  6y) Se efectúan las operaciones indicadas.

9  3y  189  42Y

42Y  3y  189  9 Se agrupan términos.

45Y  180 Se reducen términos semejantes.

180
Y Y4 Se despeja y se simplifica la incógnita.
45

De esta manera se encuentra una de las incógnitas, en este caso y. Y se sustituye en cualquiera de
las dos ecuaciones que conforman el sistema.
 Sustituyendo en (1): y4 x  6y  27

x  6(4)  27

x  24  27

x  27  24

x 3

x  3
Obteniendo de esta manera la solución del sistema: 
y  4

Método de Sustitución:

Ejemplo:

 x  3y  6 (1)
1. Resolver: 
5x  2y  13 (2)
Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones dadas.

Despejando x en (1): x  3y  6 x  6  3y

Ese valor de x se sustituye en la otra ecuación (2)

5(6  3y)  2y  13 Obteniendo una ecuación con una incógnita

30  15y  2y  13 Se efectúan las operaciones indicadas.

 15y  2y  13  30 Se agrupan términos.

 17 y  17 Se reducen términos semejantes.

 17
Y  Y 1 Se despeja y se simplifica la incógnita.
 17

De esta manera se encuentra una de las incógnitas, en este caso y. Y se sustituye en cualquiera de
las dos ecuaciones que conforman el sistema.

Sustituyendo en (1): y 1 x  3y  6

x  3(1)  6

x 3  6

x  63

x 3

x  3
Obteniendo de esta manera la solución del sistema: 
y  1
Método de Reducción:

Ejemplo:

 5x  6y  20 (1)
1. Resolver: 
4x  3y  23 (2)
Se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.

 5x  6y  20
 Se multiplica por 2 toda la ecuación (2), para obtener la igualación de
(2) 4x  3y  23
coeficientes de la incógnita y así poder eliminarla.

 5x  6y  20
 Igualados los coeficientes se realiza la suma de las ecuaciones.
8x  6y  46

 5x  6y  20

8x  6y  46 Obteniendo una ecuación de una incógnita.
13x  0 y  26

13x  26

 26
x  x  2
13

De esta manera se encuentra una de las incógnitas, en este caso x. Y se sustituye en cualquiera de
las dos ecuaciones que conforman el sistema.

Sustituyendo en (1): x  2 5x  6y  20

5(2)  6y  20

 10  6y  20

6y  20  10

6y  30

30
y y5
6

x  2
Obteniendo de esta manera la solución del sistema: 
 y5

ECUACIONES CUADRATICAS
Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación que puede escribirse en forma
reducida de esta forma: 𝒂𝒙𝟐 ± 𝒃𝒙 ± 𝒄 = 𝟎; donde x es la incógnita y a, b y c son los coeficientes de la
ecuación, siendo siempre el coeficiente de a distinto de cero.
En toda ecuación de segundo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 siempre se supone que el coeficiente a es distinto de
cero (a ≠ 0) porque si a fuera igual a cero (a = 0) resultaría bx+c=0, que es una ecuación de primer grado.

Ecuaciones completas

Si los coeficientes a, b y c son distintos de cero la ecuación que se obtiene se llama ecuación completa.

Los coeficientes a, b y c son distintos de cero,

Ecuaciones incompletas

Si algunos de los otros coeficientes b o c o los dos son cero, las ecuaciones de segundo grado que se
obtienen se llaman ecuaciones incompletas.

Los coeficientes b, c o ambos son cero.

Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

Ejemplo: Calcular la siguiente ecuación cuadrática 𝟑𝒙𝟐 – 𝟓𝒙 = 𝟎

𝒙𝟏 = 𝟎
𝟐 −(−𝟓) 𝟓}
𝟑𝒙 – 𝟓𝒙 = 𝟎 ; 𝒂 = 𝟑 ; 𝒃 = −𝟓 {
𝒙𝟐 = =
𝟑 𝟑

Sacamos factor común x en el primer miembro: 𝒙 ⋅ (𝟑𝒙– 𝟓) = 𝟎

𝒙 ⋅ (𝟑𝒙– 𝟓) = 𝟎
𝟎
𝒙= →→→ 𝒙 = 𝟎 →→→ 𝒙𝟏 = 𝟎
(𝟑𝒙– 𝟓)

𝟎
(𝟑𝒙– 𝟓) =
𝒙

𝟓
(𝟑𝒙– 𝟓) = 𝟎 →→→ 𝟑𝒙 = 𝟓 →→→ 𝒙𝟐 =
𝟑

Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Ejemplo: Calcular la siguiente ecuación cuadrática 𝟑𝒙𝟐 – 𝟏𝟐 = 𝟎

𝟏𝟐
𝟑𝒙𝟐 – 𝟏𝟐 = 𝟎 ; 𝒂 = 𝟑 ; 𝒄 = −𝟏𝟐 {𝒙 = ±√ }
𝟑
Despejamos 𝒙𝟐

𝟏𝟐 𝟏𝟐
𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟐 →→→ 𝒙𝟐 = →→→ (√) ∗ 𝒙𝟐 = ∗ (√)
𝟑 𝟑

𝟏𝟐
𝒙 = ±√ →→→ 𝒙 = ±√𝟒 →→→ 𝒙 = ±𝟐 →→→ 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒚 𝒙𝟐 = −𝟐
𝟑

Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

Si los dos coeficientes b y c son cero, resulta la ecuación 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 cuya única solución es x=0
Ejemplo: Calcular la siguiente ecuación cuadrática 𝟗𝒙𝟐 = 𝟎

𝟗𝒙𝟐 = 𝟎

𝟎
𝒙𝟐 = →→→ 𝒙𝟐 = 𝟎 →→→ (√) ∗ 𝒙𝟐 = 𝟎 ∗ (√) →→→ 𝒙 = √𝟎 →→→ 𝒙 = 𝟎
𝟗

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es:

Ejemplo: Calcular la siguiente ecuación cuadrática

Es una ecuación completa con coeficientes a=1, b=3 y c=2.

Ejemplo 2: Calcular la siguiente ecuación cuadrática 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 = 𝟎

Es una ecuación completa con coeficientes 𝒂 = 𝟐, 𝒃 = 𝟒 𝒚 𝒄 = −𝟔.

Ejemplo 2: Calcular la siguiente ecuación cuadrática 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎

Es una ecuación completa con coeficientes 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐 𝒚 𝒄 = 𝟏.

Éste tipo de ejercicio también lo podemos resolver factorizando por el

trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , ya que cumple con esa característica.

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 →→→ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) →→→ 𝒙+𝟏=𝟎 ; 𝒙+𝟏=𝟎

𝒙𝟏 = −𝟏 ; 𝒙𝟐 = −𝟏 Despejando ambos paréntesis obtenemos el

mismo resultado.
Otros ejemplos Prácticos