FORMACIÓN HUMANÍSTICA

EXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO

GUÍA PRÁCTICA N° 10
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

1
 MATERIAL INFORMATIVO

ECUACION DE PRIMER GRADO

DEFINICION DE TERMINOS
IGUALDAD: es una expresión algebraica que relaciona dos miembros a través de un signo
igual. La igualdad se tiene que cumplir. Esto quiere decir que tiene el mismo valor en ambos
lados del signo de igualdad si sustituimos las letras por un valor determinado.

Se denota: A = B
Primer Miembro Segundo Miembro

Se presentan en dos clases:

IGUALDAD ABSOLUTA E INCONDICIONAL: Es aquella que se verifica para todos los

valores asignados a sus incógnitas.

Ejemplo: (x - 2)2 = x2 - 4x + 4

(La igualdad se verifica para cualquier valor real de ‘’x’’)

IGUALDAD RELATIVA O CONDICIONAL: Es aquella que se verifica para determinados

valores que se atribuye a sus incógnitas

Ejemplo:

3x  1
7
2
Se verifica solo para: x = 5

3(5)  1
7
2

IDENTIDAD: Son ecuaciones que son siempre ciertas para cualquier valor de la variable, es
decir, para todos los valores del dominio de la ecuación. Así, por ejemplo:
 5x=5x siempre es cierto para cualquier valor de x.
 y+1=y+1 siempre es cierto para cualquier valor de y.
 2x + 2 = 2(x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2
 (x+y)2 = x2+2xy+y2 son identidades.
En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que se escriben
matemáticamente diferentes son de hecho el mismo objeto. Las identidades suelen utilizarse para
transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una
ecuación.

2
ECUACION

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos
una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.

Ejemplos:

 x3 – 5x2 + 3 = 0
5 1
+
 x x−2 = 0

 √ x−3 –x=0

INCÓGNITA: Es la representación de una cantidad desconocida preferentemente por las últimas

letras del alfabeto.

Ejemplo: x, y, z.

CONSTANTES: Son símbolos que representan a una cantidad definida, es decir su valor es único
(fijo). Si dicho valor está determinado se le da una representación numérica, por Ejemplo: 5; π.

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS: Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un

miembro a otro. Ello se realiza aplicando la operación contraria.

RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN: Son los valores de las incógnitas que verifican o
satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidas en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación
en identidad.

Así, en la ecuación: 5x – 6 = 3x + 8

La raíz es 7 porque sustituyendo x=7 se tiene:

5(7) - 6 = 3 (7) + 8
29 = 29

Se observa que 7 satisface la ecuación.

CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.):

Es el conjunto formado por todas las soluciones.

Ejemplo: Si en la ecuación: x2 - 5x + 6 = 0, sus soluciones son: x = 2; x = 3

Entonces: C.S. = {2; 3}

3
 ECUACION DE PRIMER GRADO

Es aquella ecuación cuyo exponente de la incógnita es la unidad.

Forma General:

ax + b = 0 x : Incógnita
a y b: Coeficientes (a  0 ) (a  R  b  R)
Despejemos x: ax = - b
b
−
x= a

El conjunto solución de una ecuación de primer grado con una incógnita, es el conjunto que tiene
como único elemento a la solución de la ecuación.

TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

A) ECUACIONES ENTERAS: son aquellas ecuaciones que contiene coeficientes enteros.

Ejemplo: 5x - (4x+3) = 7x – (2 + 3x) + 25

B) ECUACIONES FRACCIONARIAS: son aquellas ecuaciones que tienen coeficientes

fraccionarios.
2 3 1
− +
Ejemplo: 7 (2x+1) 5 (3x-1) = 2x + 6

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACION:

 Eliminar signos de colección.

 Quitar los denominadores multiplicando a ambos miembros por el MCM de los
denominadores.
 Transponer los términos.
 Reducir los términos semejantes.
 Despejar la incógnita y hallar la solución.
 Comprobar.

Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de: 2(2x – 3) = 6 + x

PA
SO OPERATIVIDAD
S
Eli
min
ar
4x – 6 = 6 – x
par
ént
esis
Tra 4x – x = 6 + 6

4
 nsp
one
r
los
tér
min
os
se
mej
ant
es
Red
uci
mo
s
los
tér
3x = 12
min
os
se
mej
ant
es
Des
pej
em
os 12
x= =4
la 3
inc
ógn
ita
Hall
am
os
el
con
C.S= {4}
jun
to
sol
uci
ón
Co
mp 2(2.4 – 3) = 6 + 4
rob 2(5) = 10
aci 10 = 10
ón:

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de:

5
 5x 7x 4x−5 8x−5 11 x−3
− − = 4+ −
2 5 2 5 2

PA
SO OPERATIVIDAD
S
Sup
rimi
mos
los
den
omi
nad
ores
(MC MCM (2 ; 5)=10
M
de
los
den
omi
nad
ores
).
Mult
iplic
am
os a
la
ecu
ació
n
por
el
MC
25x –14x –5(4x – 5) = 40 + 2(8x–5) – 5(11x – 3)
M y
obt
ene
mos
la
ecu
ació
n
equi
vale
nte.
Quit
am
os
25x – 14x – 20x + 25 = 40 + 16x – 10 – 55x + 15
par
ént
esis

6
Tra
nsp
one
r
tér
25x – 14x – 20x -16x +55x = 40 – 10 + 15 - 25
min
os
sem
eja
ntes
Red
uci
mos
los
tér
30x = 20
min
os
sem
eja
ntes
Des
pej
em
os 20 2
x= =
la 30 3
incó
gnit
a
Hall
am
os
el
conj C.S= {2/3}
unt
o
solu
ción

TRADUCIR AL LENGUAJE MATEMÁTICO LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS

ENUNCIADO LENGUAJE ALGEBRAICO

Un número cualquiera x
El duplo de un número 2x
El tercio de un número x/3
El cuadrado de un número x2
Un número aumentado en 3 x+3
Un número disminuido en 1 x-1

7
 El duplo de un número, disminuido en 35 2x- 35
El cuadrado de un número menos el número x2 – x
El 7% de un número 7x/100
Tres números consecutivos x , x+1 , x+2
Tres números pares consecutivos 2x , 2x+2 , 2x+4
Tres números impares consecutivos 2x+1 ;2x+3 ; 2x+5

RESOLUCION DE PROBLEMAS

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS:

Paso 1: Leer cuidadosamente el problema hasta comprender de que se trata.

Paso 2: Ubicar los datos y la pregunta.

Paso 3: Elegir las variables con las cuales se va a trabajar.

Paso 4: Relacionar los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones.

Paso 5: Resolver la ecuación

Paso 6: Interpretar la respuesta y comprobar

Problema 1: Lalo, Richard y Manuel son tres estudiantes de marketing que planean viajar a
Huancayo para hacer un estudio de mercado a cerca de las ventas de polos, para tal viaje deciden
hacer una bolsa de viaje. Lalo puso una cierta cantidad, Richard puso el doble que Lalo, y Manuel
puso el triple del aporte de Lalo. En total reunieron 900 soles. ¿Cuánto puso cada uno?

Solución:

Paso1: Comprender el problema

(Identificación de datos).
Lalo tiene una cierta cantidad
Richard puso el doble que Lalo
Manuel puso el triple que Lalo

Paso 2: Configurar un plan

(Planteo de la ecuación.)
Sea “x” la cantidad en soles.
Lalo tiene: x
Richard tiene. 2x
Manuel tiene: 3x

Paso 3: Ejecutar el plan:

x+ 2x + 3x = 900
6x= 900
x= 900/6= 150

Paso 4. Probar el resultado

8
 (Escribir la respuesta completa con
sus unidades).
Lalo tiene: x = 150 soles
Richard tiene: 2x = 2(150)= S/.300
Manuel tiene: 3x= 3(150) = S/.450

INECUACIÓN

CONCEPTOS PREVIOS:

1) RELACIÓN DE ORDEN:
Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al
campo de los números reales.
El campo real es un campo ordenado.

2) SÍMBOLO DE LA RELACIÓN DE ORDEN

a>b : a mayor que b desigualdades estrictas

a<b :a menor que b }
a ≥ b : a mayo r o igual que b desigualdades no estrictas
a ≤ b : a menor o igual que b}

3) DESIGUALDAD Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde

aparece la relación: "<", ">", "≤" y "≥".

a) DESIGUALDAD ABSOLUTA: Es aquella que se verifica para todos los valores reales
de las letras que intervienen en ella.

2
Ejemplo: (a - b) > -1
Es cierta para todos los valores reales de "a" y "b", ya que el cuadrado de todo número real
es un número positivo o cero.

b) DESIGUALDAD CONDICIONAL: Es aquella que solo es cierta para determinados

valores de las letras.

Ejemplo: x-5>3
Solo es verdad para "x" mayor que 8.

4) INTERVALOS: Los intervalos son subconjuntos de los números reales, que

gráficamente son segmentos de recta o semirrecta y sus elementos satisfacen
ciertas desigualdades.

a) INTERVALO ACOTADO (Intervalos Finitos)

 Intervalo Cerrado : [a, b] = {x  R/ a  x  b}

- a x b +

9
  Intervalo Abierto : <a, b> = {x  R/ a < x < b}
- a x b +

 Intervalos semiabiertos :
[a, b> = {x  R/a  x < b}
- a x b +

<a, b] = {x  R/a < x  b} - a x b +

b) INTERVALOS NO ACOTADOS:Se denomina así, si por lo menos uno de los extremos es

+ ó -; estos intervalos son de la forma:

 Intervalo acotado inferiormente

<a; +> = {x ∈ R / x > a} -  + 

a
 [a; +> = {x ∈ R / x  a}
-  + 
a
Ejemplo:
* Números reales mayores que -3, que se denota por <-3; +> es el conjunto de números
reales "x" tales que: x > -3.
< -3 ;+  >
Gráficamente:
-  + 
-3
R

* Números reales mayores o iguales que -3 se denota por [-3; +> es el conjunto de números
reales "x" tales que: x  -3.

Gráficamente:
[-3 ;+  >
-  + 
-3
R

 Intervalo acotado superiormente

<-; a> = {x ∈ R / x < a} -  +

a

10
 <-; a] = {x ∈ R / x  a} -  +
a

NOTA:
La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indica
que a partir de un número "x" hay números tan grandes como se quiera, por la derecha (+) o
por izquierda (-).

R
* <-; +> = {x ∈R / x ∈R }
-  +

OBSERVACIONES

• Si al reducir los términos desaparece la variable y la desigualdad que queda es verdadera el

conjunto solución son los reales.
Ejemplo:

3(x + 4) + 3x > 4x - 5 + 2 (x + 3)
3x + 12 + 3x > 4x - 5 + 2x + 6
3x + 3x - 4x - 2x > -5 + 6 - 12
0 > - 11 (es verdadera)
x ∈R

• En caso contrario si la desigualdad es falsa, no hay solución.

Ejemplo:

3(x + 2) + 2x < - 8 + 5x
3x + 6 + 2x < - 8 + 5x
3x + 2x - 5x < - 8 - 6
0 < -14 (es falsa)

1)INECUACIÓN
Es una desigualdad condicional que mantiene el sentido sólo para ciertos valores de las
variables, tomando entre los valores para los que sus miembros están definidos.
Forma general de las inecuaciones:
 P(x) > 0
 P(x) < 0
 P(x)  0
 P(x)  0

Ejemplos:
• 2x < 4
• 3x + 1  -5
• x+47

2) CONJUNTO SOLUCIÓN

11
Es aquel conjunto que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una
inecuación.

INECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

1) Definición: Una inecuación lineal o de primer grado en una variable "x", es una
desigualdad de la forma:
P(x) = ax + b > 0
P(x) = ax + b < 0
P(x) = ax + b  0
P(x) = ax + b  0 Siendo: a y b ∈ R , a  0

O toda aquella que pueda transformarse en una de las cuatro anteriores se denomina
“desigualdad de primer grado” con una incógnita.

Por ejemplo:
 3x – 8 < 0
 5x + 13 > 0
 2x + 3  0
 3x + 9  0

2) Resolución de una Inecuación:

Se siguen los siguientes pasos:

Paso 1 : Se siguen los mismos pasos que para la solución de ecuaciones.

Paso 2 : Se encuentra el conjunto solución "C.S." (Conjunto de valores que satisface la

desigualdad)

Debe tener en cuenta:

Si un número entero positivo pasa a dividir de un miembro al otro miembro de la
desigualdad, la desigualdad no se altera.

Ejemplos:

 3x < 12
x < 4

 4x > 20
x > 5

Si un número entero negativo pasa a dividir de un miembro al otro miembro de la

desigualdad, la desigualdad cambia de "sentido".

12
 -x ≤ 15

x ≥ -15

PLANTEO DE INECUACIONES

No olvides que, para resolver, debemos traducirlo, del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico;
se aconseja proceder de la manera similar a la forma de resolver una ecuación y tener en
cuenta las propiedades.

Ejemplo ilustrativo:

Un ingeniero de Sistema está a cargo de un centro de cómputo, donde se ensamblan una cierta
cantidad de computadoras de las cuales se vendió 38 quedando más de la tercera parte. Si
luego se ensamblan 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 19 computadoras,
¿cuántas computadoras se ensamblaron inicialmente?

Solución:
Cantidad de computadoras: x
 Vendió 38 computadoras quedando más de la tercera parte:
x-38> x/3
→ x>57 ………I

 Ensambló 8 y enseguida se venden 10 quedando menos de 19 computadoras:

x – 38 + 8 – 10 < 19
→ x<59 ……….II

Interceptando I y II

X=58

Respuesta: Inicialmente se ensamblaron 58 computadoras.

13
 CASOS DIDÁCTICOS
I. Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

A) 6 X−7 3 X −5 5 X +78
3(12 - x) - 4x = 2(11 - x) B) 4
+
7
=
28
+ 9x

C) (x + 5) (x + 7) = (x + 5) D) 3( 4 - x ) = 18 x + 5
x

14
 x−4 x−2 (x−3)
E)
x 2 x 10 x
+ − =1 F) 5
=
3
−
4
3 5 15

II. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

A) 6x – (x + 2) + 3 < 15x – 10 7−3 X 5−2 X 3−X

B) 6
+
3
+
2
<1

C)( x +4 )2 ≤( x +2)( x+5) D) 2 – 2(x–3) ≥ 3(x–3) – 8

15
 2 x +1 3 x−5 4 x−3 x+1 3x 1 3x x
E) 3 + 4 < 5 + 2 F) 2 + 4 +2< 4 − 3

III) Resuelva las situaciones problemáticas dadas a continuación. Para la resolución

de cada una de las mismas debes tener en cuenta los aspectos siguientes: identificar
los datos significativos, reconocer las magnitudes y sus relaciones para establecer
planteamientos, resolver las interrogantes e interpretar los resultados.

1. Tres hermanos consumen 47 litros de agua luego de actividades

físicas realizadas durante una semana. Si el segundo consume el
triple del primero y el consumo del tercero excede en 12 al
segundo. ¿Cuántos litros de agua tomó cada uno durante la
semana?

DATOS
2. U n e s t u d i a n t e
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

propina. Por cada día gasta las dos terceras partes de su propina y la quinta parte en otras
atenciones. Si en un mes ha ahorrado S/ 50, en el cual dos días no recibió propina,
entonces calcula cuánto recibe diariamente de propina dicho estudiante.

DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA 16
3) A un practicante de Derecho le dieron cierta cantidad de
expedientes para revisar como prueba de desempeño laboral,
de los cuales revisó 20 y le quedaron más de la tercera parte.
Luego le devuelven 5 expedientes, y revisó después 10 con lo
que le restan menos de 7 expedientes ¿Cuántos expedientes le
dieron para revisar?

DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA:

PENSAMIENTO EN ACCIÓN

Resuelva las situaciones problemáticas dadas a continuación. Para la

resolución de cada una de las mismas debes tener en cuenta los
aspectos siguientes: identificar los datos significativos, reconocer las
magnitudes y sus relaciones para establecer planteamientos,
resolver las interrogantes e interpretar los resultados.

1) Dos hermanos son conscientes que en el futuro tendrán

necesidades económicas, por ello cultivan el hábito del
ahorro. A la fecha Bryan tiene S/ 20 000 y Renzo S/ 7 500 y
cada uno ahorra anualmente S/ 500. Calcula los años que
tiene que pasar para que los ahorros de Bryan sean el doble
de los de Renzo.

2) DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1
770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres
y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo
valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y
cuántas mujeres son”

17
3) DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

Ana, Berta y Carmen son enfermeras de un conocido hospital y juntas pueden atender
100 pacientes en su turno. Si Berta atiende el doble de pacientes que Ana, menos
cinco, y Carmen atiende dos tercios de los que atiende Berta, ¿cuántos pacientes
atiende cada una?

DATOS
4)
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

calcular los metros que debe tener la base de un rectángulo de forma que, si su altura es de 3
metros menor, la superficie es inferior a 28 metros cuadrados, y su altura es de 2 metros
menos, la superficie es superior a 15 metros cuadrados.

18
5) DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

Las entradas para un concierto se pusieron a la venta al principio de la semana: el lunes se

vendieron 2/5 del total, el martes 2/3 de las restantes, el miércoles 150 y sobraban
todavía 1/10 del total de entradas. ¿Cuál era el aforo del local?

DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

6) En una tienda de pantalones y camisas, Xiomara se compró 2 pantalones y 3 camisas,

que le costaron menos de los S/230 que llevaba. Sin embargo, Raúl, con sus S/270, no
tuvo suficiente para comprar 3 pantalones y 2 camisas. Sabiendo que los pantalones
eran S/50 más caros que las camisas y que el precio de estas era una cantidad exacta
de soles, calcular el precio de cada prenda.

19
 DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

7) Para la confección de la parte final de un libro había cierto número de problemas, se

duplicó este número y se eliminaron 39 problemas porque eran muy sencillos, de este
modo quedaron menos de 65 problemas. Si se hubiera triplicado el número original de
problemas y aumentando luego 150 hubiera quedado menos del séxtuplo de la cantidad
inicial. ¿Cuántos problemas había inicialmente?

DATOS
8)
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

RESPUESTA

Un grupo de alumnos del IX ciclo de Marketing realizaron un estudio de campo sobre las
preferencias de los jóvenes al comprar un celular. Luego se les encomendó vender cierta
cantidad de celulares, de los que venden 200 y les quedaron más de la tercera parte. Luego
les devuelven 15, y venden después 35 con lo que les restan menos de 82 celulares.
¿Cuántos celulares lograron vender?
DATOS
SIGNIFICATIVO PLANTEAMIENTO - RESOLUCIÓN
S

20
RESPUESTA