Clase Matematica 11 A
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Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de las funciones exponenciales e x
y e− x, podemos obtener fácilmente las formulas de sus derivadas, mediante la aplicación de las
reglas de derivación de estas funciones. Por ejemplo
( )
x −x x −x
d d e −e e +e
( Senh x )= = =cosh x
dx dx 2 2
( cosh x )= ( )
x −x x −x
d d e +e e −e
= =Senh x
dx dx 2 2
Las otras cuatro formulas se infieren de estas dos fórmulas con ayuda de la regla del cociente y
de las identidades hiperbólicas.
d
dx
( tanh x )= (
dx cosh x )
d Senh x cosh x ( cosh x )−Senh x (Senh x)
=
cosh 2 x
2 2
cosh x−Senh x 1 2
¿ 2
= 2
=Sech x
cosh x cosh x
Del mismo modo se obtienen las fórmulas:
d d
( coth x )=−Csch2 x ( Sech x ) =−tanh x . Sech x
dx dx
d
( Csch x )=−coth x . Csch x
dx
Obsérvese que las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas son semejantes a las
de las funciones trigonométricas, con ocasionales diferencias de signo.
a ¿ y =arctan ( Senh x )
b ¿ y=ln
√ 1+cosh x
1−cosh x
1 2
c ¿ y=ln ( cosh x )− tanh x
2
Solución:
dy 1 ' cosh x 1
a ¿ y =arctan ( Senh x ) ⇒ = . ( Senh x ) = = =Sech x
dx 1+(Senh x )2
cosh x cosh x
2
b ¿ y=ln
√ 1+cosh x
1−cosh x
1
⇒ y = [ln ( 1+cosh x ) −ln ( 1−cosh x ) ]
2
[ ] ( )
' '
dy 1 ( 1+cosh x ) (1−cosh x ) 1 Senh x −Senh x
⇒ = − = −
dx 2 1+cosh x 1−cosh x 2 1+cosh x 1−cosh x
¿
2 [
Senhx 1−cosh x +1+cosh x
=
]
Senh x
=
Senh x
( 1+cosh x )( 1−cosh x ) 1−cosh x −Senh2 x
2
=−Csch x
'
1 dy ( cosh x ) Senh x
c ¿ y=ln ( cosh x )− tanh2 x ⇒ = −tanh x ( tanh x )' = −tanh x ( Sech2 x ) =tanh x−tanh x . Sech 2 x
2 dx cosh x cosh x
Realizar actividad de afianzamiento pagina 47 y 48 punto 1 y punto 5
*Objetivo: Hallar la derivada implícita de funciones derivables
TEMA: Derivación implícita 1
Ejemplo: Utilice derivación implícita para calcular la primera derivada