Taller Lineal
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COLEGIO DE LA SALLE PEREIRA Hacia un liderazgo integral Taller de lgebra lineal Entregar al final de la clase
1. aplique el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas. a) 2X Y Z = 4 3X 2Y + 4Z = 11 6X + 8Y 4Z = 22 b) X + 5Y + 11Z = -5 2X + 3Y + 8Z = 4 - X + 2Y + 3Z = -9
2. Sin utilizar lpiz ni papel determine cules de los siguientes sistemas homogneos de ecuaciones lineales, tienen soluciones no triviales. X1 + 3X2 + 5X3 + X4 = 0 4X1 7X2 3X3 X4 = 0 3X1 + 2X2 + 7X3 + 8X4 = 0 c) b) 2X1 + 3X2 + X3 = 0 3X1 + 7X2 4X3 = 0
a)
3. resolver los siguientes sistemas homogneos de ecuaciones lineales, por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan. 2X1 + X2 + 3X3 = 0 X1 + 2X2 =0 X2 + X3 = 0 c) 2X1 4X2 + X3 + X4 = 0 X1 5X2 + 2X3 =0 - 2X2 2X3 X4 = 0 X1 + 3X2 + X4 = 0 X1 2X2 X3 + X4 = 0 b) 3X1 + X2 + X3 + X4 = 0 5X 1 X2 + X3 X4 =
a)
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1. Si A=
4 3 1
2 0 -1
3 5 9
a) Hallar la matriz de la segunda fila. b) Hallar la matriz de la tercera columna. c) Llevar la matriz a su forma escalonada reducida. 2. Dada la matriz ampliada 1 0 0 0 1 2 -1 0 2 0 0 1 0 1 0 1 2 3
m xn
a) hallar el sistema correspondiente. b) Qu clase de solucin tiene el sistema anterior.? c) Quines son m y n.? d) Quin es A13, A32, A43.? 3. Ser posible obtener la matriz idntica a partir de la matriz: 1 5 7 4 3 0 . . .? Por qu.?
4. Utilizar el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas: a) 3X + 5Y = 15 + 4Z 2W = 3 X 3Y = -9 3Z + W = 9 5Z + 6W = 10 5Y + 4Z 7W = -2 (0, 3) 1, 0, 1) (-30, 14 5) (2, b) X + 3Y + Z = 7 3X + 6Y Z = -1 2X + 4Y + Z = -9 c) 4X 3Y 3X + 2Y 2X
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TALLER Producto de matrices 1. suponga que A y B son dos matrices de 4 x 5 y que C, D y E son matrices de tamao 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. Determine cules de las siguientes expresiones matriciales estn definidas. Para las que estn definidas, especifique el tamao de la matriz resultante. a) B x A, + B, e) E(A + B), b) (A x C) + D, f) E(A C) c) (A x E) + B, d) (A x B)
E =
Calcular: a) A x B, b) E x D, c) D x E, e) Hallar solo el primer rengln de B x C. f) Hallar solo la segunda columna de A x C. d) -A x (-C)
3. Resolver la siguiente ecuacin matricial para W, X, Y y Z. WX 3Z + Y X + Y = 2W 4Z 7 6 4. Se dice que una matriz cuadrada es una matriz diagonal, si todos los elementos que no estn en la diagonal principal son ceros. Demuestre con tres ejemplos, que el producto de matrices diagonales tambin es una matriz diagonal. A manera de conclusin encuentre una regla para multiplicar matrices diagonales. 5. Escriba los siguientes sistemas como una ecuacin matricial:
a)
b)
3X + 2Y 4Z = 9
c)
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8X
X1 4X 3 + 2Z = 4 X1 =5
=1 + 7X2 + X3
X + 3Y 2Z = 4 + 2X4 = 8
2X 3Y
Y1 = 3Z1 + 2Z2 Y2 = -Z1 Z2 Y3 = 4Z1 3Z2 Y1 = Z1 + 3Z2 + 2Z3 Y2 = 2Z1 Z2 Z3 Y3 = 3Z1 4Z3 Y4 = Z1 + 5Z2 + Z3
b)
MATRIZ INVERSA
Si se tiene una matriz cuadrada A, y se puede hallar otra matriz B del mismo tamao, tal que AB = BA = I, decimos que A es inversible y la matriz B se llamar matriz inversa de A.
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Ejemplos: en cada caso, probar que B es una matriz inversa de A: 1. B= 3/5 2. 1 B= 4 -9/67 6 Importante:
8/5
2 3
7 8 4 2 3 -2
26/67 -14/67
A=
3 1
Si una matriz A es inversible, su inversa se denota por A-1. AA-1 = I y A-1A = I. Una matriz cuadrada A que posee una inversa, se llama matriz no singular. Si no posee inversa se llama matriz singular. Si una matriz tiene inversa, esta es nica.
no singular , A-1 se encuentra d -b
Si una matriz A de segundo orden, es mediante la siguiente ecuacin: a Si A = C Ejemplos: 1. Hallar la inversa de: 4 a) A= 2 Ejercicio: 1. Verificar que B es inversa de A: 1 2 -5 a) B = A= 0 -1 3 1/3 0 1 A= 0 5 -1 d b
A-1 =
1 ad bc
-c
3 b) A= 2
12 8
0 b) 3
5 B =
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c) B =
1/2 0 -1/2
3/2 1 1/2
1/2 0 1/2 2 4
A=
1 0 1
-1 1 -2
-1 0 1
es singular.
Teorema. Si A y B son matrices de orden n, inversibles, entonces AB es inversible y (AB)-1 = B-1A-1 la inversa del producto es el producto de las inversas en orden contrario. Ejercicio: Probar el teorema con: 1. A= 5 2. A= 1 Definicin: Matriz elemental de orden n: Una matriz elemental de orden n es una matriz nxn que se obtiene al aplicar una sola operacin elemental a una fila de la matriz idntica ( In). Las operaciones elementales son:
-3 y 3 2 3 B=
1 4 3 2
2 7 2 2
Intercambiar filas. Multiplicar una fila por una constante K diferente de cero. (K Sumar un mltiplo de una fila a otra.
0)
METODO PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR MEDIO DE MATRICES ELEMENTALES
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Para encontrar la inversa de una matriz inversible A, se debe encontrar una sucesin de operaciones elementales, en los renglones, que transformen a A en la matriz idntica y a esta en A-1: De [A |I n] se llega a [In | A-1]
Ejemplos: Hallar la inversa de las siguientes matrices, si existen, es decir, verificar si son o no singulares: a) 1/5 1 2 b) B= 5 2 4 6 0 3 2 0 0 1 c) C= 1/5 1/5 -2/5 1/5 A= 1/5 -4/5 1/10 3 1/10
d) D =
Cos -Sen 0
Sen Cos 0
0 0 1
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