C ontenidos E jercicios

GUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES

Matrices Idea de matriz. Elementos de una matriz. Diferentes ! Realizar cálculos en los que aparecen combinadas
tipos de matrices: matriz unidad, matriz nula, matriz distintas operaciones con varias matrices.
traspuesta, matriz inversa. Operaciones con matrices.
Ecuaciones matriciales. ! Dada una matriz de orden dos, aplicando la
definición, saber calcular, si existe, su matriz inversa.
Determ. Determinante de una matriz de orden 2. Aplicación de
los determinantes de orden dos a la solución de sencillos ! Saber resolver ecuaciones matriciales: a) sin utilizar
sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. la matriz inversa; b) haciendo uso de la matriz
Determinantes de orden 3: Regla de Sarrus. inversa.
Propiedades de los determinantes. Menor
complementario y Adjunto de un elemento de una ! Saber calcular todas las matrices que permutan con
matriz cuadrada. Determinantes de orden cuatro. una matriz dada.

Inversa Matriz inversa. Matrices regulares. Método para calcular ! Conocer, comprender y saber aplicar las
la matriz inversa de una matriz. propiedades de los determinantes.

Sistemas Expresión matricial de un sistema. Solución matricial a ! Aplicar las propiedades de los determinantes para
un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas de Cramer. hallar el valor del determinante de una matriz de
Regla de Cramer para solucionar un sistema lineal. orden cuatro.

! Saber aplicar el método que permite calcular la

matriz inversa de una matriz.

! Saber expresar matricialmente un sistema de

ecuaciones y, consecuentemente, hallar su solución
matricial.

! Reconocer los Sistemas de Cramer y usar los

determinantes para la solución de sencillos sistemas
lineales.

O tros a b
! Uso de DERIVE en el cálculo matricial. c d
! DERIVE y determinantes.
 Ecuaciones matriciales. Dada una matriz hallar todas las matrices que permutan
con ella.

Ejemplo 1 Calcula la matriz X que es solución de la ecuación matricial

Ejemplo 2 Determina todas las matrices que permutan ( conmutan ) con la matriz B del ejercicio anterior

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática s Aplicadas a las CC.SS. II . Determinantes
 Una aproximación a la utilidad de los determinantes: solución de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Vamos a solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Reducción para hallar "x" 2. Reducción para hallar "y"

Ax + By = C | #+E + AE x + BE y = + CE Ax + By = C | # +D + AD x + BD y = + CD

Dx + Ey = F | #-B - BD x - BE y = - BF Dx + Ey = F | # -A - AD x - AE y = - AF

( AE - BD ) y = ( CE - BF ) ( BD - AE ) y = ( CD - AF )

Observa los denominadores. Vamos a expresar las soluciones, con el mismo denominador:

Vamos a expresar las soluciones, usando determinantes:

¿Se puede aplicar esta regla a cualquier sistema de de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

Ejercicio Aplica las reglas anteriores para hallar la solución del sistema

a) ¿Se puede aplicar la fórmula?

x=

y=

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 Propiedades de los determinantes ( I )

Ejercicio 1 Expresa, como un solo determinante, la siguiente suma:

Ejercicio 2 Justifica por qué los dos determinantes son nulos:

Ejercicio 3 ¿Qué propiedades se han aplicado y justifican las siguientes igualdades?

Ejercicio 4 Partiendo del siguiente determinante, escribe las transformaciones necesarias para relacionarlo
con otro determinante en el que todos los elementos de la primera columna, excepto a21 , sean
nulos.

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 Propiedades de los determinantes ( II )

Ejercicio 1 Aplicando propiedades, halla el valor de los otros determinantes

Ejercicio 2 Justifica las siguientes igualdades

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 Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada. Adjunto de un
elemento de una matriz cuadrada.

Ejemplo

Un elemento : a24
Prescindimos de la fila y co-
lumna a la que pertenece el
elemento elegido.

Matriz Transformación Matriz resultante

*B*= | * B * = ____

* B * recibe el nombre de menor complementario del elemento a24

Menor complementario del elemento de una matriz cuadrada

Dada una matriz cuadrada A , y un elemento cualquiera de ella, se llama menor complementario de dicho elemento al
determinante de la matriz resultande al prescindir de la fila y columna a la que pertenece dicho elemento.

aij | su menor complementario se escribe | "ij

Ejercicio 1 Calcula "31

Adjunto del elemento de una matriz cuadrada

i+j
Si el menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada , se multiplica por (-1) , se obtiene el adjunto del
elemento de la matriz.

aij | menor complementario | "ij | adjunto del elemento | Aij = ( - 1)i+j . "ij

Ejercicio 2 Haciendo uso de los datos ya calculados, halla los adjuntos A24 y A31

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 Desarrollo de un determinante por los elementos de una cualquiera de sus líneas.

Ejemplo 1

* A * = 3 + 12 + 5 + 18 = 38 * A * = 38

Elegimos una línea del determinante, por ejemplo, la segunda fila: a21 = 0 a22 = 1 a23 = 3
Adjuntos de los elementos de la línea elegida A21 A22 A23
Calcula el valor de los adjuntos :

Multiplica cada elemento de la línea por su correspondiente adjunto y suma dichos productos :

a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23 =

VALOR OBTENIDO :

Propiedad

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una de sus líneas por los
correspondientes adjuntos.

Ejemplo 2

Elegimos una línea cualquiera que sea PARALELA a la elegida en el ejemplo primero , por ejemplo : F3
Adjuntos de los elementos de la línea elegida A31 A32 A33
Calcula el valor de los adjuntos :

Multiplicamos los elementos de la F2 por los adjuntos de los elementos de la tercera fila y sumamos los productos :

a21 . A31 + a22 . A32 + a23 . A33 =

VALOR OBTENIDO :

Propiedad 2

Si en una matriz cuadrada multiplicamos los elementos de una de sus líneas por los adjuntos de los elementos de una línea
paralela a ella, la suma de dichos productos es nula.

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 Cálculo de determinantes de orden 4

Ejemplo

< ¿Tiene el determinante dos líneas paralelas iguales?

< ¿Observas si alguna línea es combinación lineal de otras líneas paralelas?
< ¿Están todos los elementos de una línea multiplicados por un mismo número?

*A*=

< Fijamos nuestra atención ahora en *B* . Podríamos calcular este determinante sin más que elegir una
cualquiera de sus líneas, hallar sus adjuntos, y calcular la suma de los productos de los elementos de la línea
por sus adjuntos.
< En ese caso, parece claro que la tarea sería tanto más sencilla cuantos más elementos nulos tuviera la línea
elegida. Ya que, en la matriz B, no existe tal línea preferible, vamos a ver cómo podemos relacionar *B*
con un nuevo determinante en el que todos los elementos de una de sus líneas, excepto uno, sean
ceros. Por ejemplo,

F1 Y
F2 Y
F3 Y
F4 Y
Partimos del determinate.... Transformaciones Nuevo determinante
Relación entre los determinantes de C y B

det ( C ) = det ( F1 , F2 + F3 - F4 , 2F3 - F1 , 4F4 - 5F1 ) = 2.4 det ( F1 , F2 , F3 , F4 ) = 8 det ( B )

*A * | *B * *B * | *C * *A * | *C *
*A * = 6 *B * *C* = 8*B* , *B* = c *C* *A* = 6*B* = 6.c*C* = 3/4 .*C*

Cálculo del determinante de C

Valor de *A*

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 Matriz inversa de una matriz : procedimiento para calcularla . Matrices regulares y
matrices singulares.

Ejemplo

|1 Calculamos el determinante de la matriz

* A * = 20 - 8 + 24 + 80 - 6 - 8 = 102

|2 Calculamos la matriz traspuesta de la matriz A

|3 Valor de los adjuntos de los elementos de la matriz traspuesta

A11 = A12 = A13 =

A21 = A22 A23 =

A31 = A32 = A33 =

|4 Reemplazamos cada elemento de la matriz traspuesta por su correspondiente adjunto

A la matriz ADJ ( At ) se le llama matriz adjunta de la traspuesta de A

|5 Multiplicamos la nueva matriz por el inverso de * A *

|6 La matriz obtenida , X , es la matriz inversa de la matriz A : A.X = I

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 Forma matricial de un sistema de ecuaciones

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones

Considera el sistema de m ecuaciones y n incógnitas siguiente:

Smxn

; ;

A : Matriz de los coeficientes del sistema.

X : Matriz de las incógnitas del sistema.
C : Matriz de los términos independientes.

SE LLAMA EXPRESIÓN MATRICIAL DEL SISTEMA AL PRODUCTO MATRICIAL: A. X = C

Observa que, efectivamente, la igualdad es cierta. Para empezar, las matrices A y X se pueden multiplicar, y la matriz
producto es una matriz de la dimensión de la matriz C. Además, multiplica las matrices A y C y comprueba que su resultado
es la matriz C.

Amxn . Xnx1 | existe la matriz producto y su dimensión es mx1 | puede ser la matriz C

p.e. el elemento c11 : 1ª fila de A x la 1ª columna de X : a11.x1 + a12.x2 + .... + a1n.xn ... que es igual a c1

Ejercicio Escribe en forma matricial y resuelve la ecuación matricial resultante

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 Un ejemplo para aproximarnos a la Regla de Cramer para resolver un sistema de
ecuaciones lineales.

Después de introducir el concepto de determinante de orden dos, una aplicación de los determinantes al cálculo de la solución
de sencillos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Y ,

También allí advertimos que, lógicamente, esa regla sólo se podría aplicar a aquellos sistemas en los que el determinante d
ela matriz de los coeficientes ( el denominador ) fuese distinto d ecero. Lo que planteamos aquí es la siguiente cuestión : ¿se
podría aplicar la regla anterior a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas? , ¿y a sistemas de
dimensión 4x4?.

Ejercicio ¿Se podrían aplicar las fórmulas anteriores para solucionar el sistema?

| Para aplicar las fórmulas , ¿qué debería cumplirse?

| Fórmula para x

| Fórmula para y

| Fórmula para z

| Comprobación:

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 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Demostración para el caso particular de un
sistema 3x3 .

Sistemas de Cramer

Un sistema se dice que es de Cramer cuando cumple las dos condiciones siguientes: a) es cuadrado (el número de
ecuaciones coincide con el número de incógnitas) ; b) el determinante de la matriz de los coeficientes, es distinto de c

Regla de Cramer para solucionar un sistema

Escritura matricial del sistema : Y A.X=C

< Al ser un Sistema de Cramer, según la condición

| 2) *A * … 0 Y Existe la matriz A-1
< En A.X = C multiplicamos por la matriz A-1 | A-1 (A.X) = A-1 C
< Aplicando la propiedad asociativa, | ( A-1 A ) X = A-1 C | I X = A-1 C | X = A-1 C

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