Taller2 Algebra Lineal

Algebra Lineal Taller No 2 Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell n Semestre 01 - 2014
1. Encuentre la soluci on para cada uno de los siguientes ejercicios (a) 3x 6y = 0 (c) x + 2y + 3z + 4 (b) 2x1 + 3x2 = 5 (d) 4x1 + 3x2 + 2x3 = 1
2. Determine Geom etricamente si cada uno de los siguientes sistemas tiene soluci on u nica, un n umero innito de soluciones o ninguna soluci on. Posteriormente resuelva Algebraicamente el problema para conrmar su respuesta (a) x+y =0 2x + y = 3 (b) x 2y = 7 3x + y = 7 (c) 3x 6y = 3 x + 2y = 1
3. Resuelva el sistema dado mediante sustituci on hacia atr as (a) x 2y = 1 y=3 (b) 2u 3v = 5 2v = 6 =1 =0 =0 =1 (c) xy+z =0 2y z = 1 3z = 1
x1 + 2x2 + 3x3 = 0 5x2 + 2x3 = 0 (d) 4 x3 = 0
x1 + x2 x3 x4 x2 + x3 + x4 (e) x3 x4 x4
(f )
x 3y + z = 5 y 2z = 1
4. Escoja la mejor estrategia para resolver los siguientes sistemas (a) x=2 2x + y = 3 3x 4y + z = 10 (b) x 1 = 1 1 2 x1 + x2 = 5 3 2 x1 + 2 x2 + x3 = 7
5. Encuentre las matrices aumentadas de los siguientes sistemas lineales (a) xy =0 2x + y = 3 (b) 2x1 + 3x2 x3 = 1 x1 + x3 = 0 x1 + 2x2 2x3 = 0 a 2b + d = 2 a + b c 3d = 1
x + 5 y = 1 (c) x + y = 5 2x + 4y = 4 1
(d)
6. Encuentre un sistema lineal 0 1 (a) 1 1 2 1 7.
cuya matriz aumentada coincida con las matrices siguientes 1 1 1 1 0 3 1 2 0 1 (b) 1 1 2 1 1 4 1 1 0 1 0 2 3 0
(i) Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc ognitas x, y , cuyo conjunto soluci on est e dado por las ecuaciones param etricas x = t y y = 3 2t. (ii) Encuentre otra soluci on del sistema del anterior literal en que y = s donde s es el par ametro.
8.
(i) Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales con tres inc ognitas x, y y z , cuyo conjunto soluci on est e dado por las ecuaciones param etricas x = t y y = 1 + t y z = 2 t. (ii) Encuentre otra soluci on del sistema del anterior literal en que x = s donde s es el par ametro.
9. En cada uno de los siguientes ejemplos determine si la matriz dada est a en forma escalonada por renglones. De estarlo indique tambi en si est a en forma escalonada reducida por renglones 0 0 1 7 0 1 0 0 0 0 0 1 3 0 (a) 0 0 3 (b) 0 1 1 4 (c) (d) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 5 1 2 3 0 0 1 1 0 3 4 0 0 0 1 1 1 0 0 (h) (g ) (e) 0 0 0 0 0 (f ) 0 1 0 0 0 0 3 0 1 1 1 0 0 0 1 5 0 1 0 0 0 0 0 0 1 10. Considere las siguientes matrices 0 0 1 (a) 0 1 1 1 1 1 (d) 2 3 4 6 2 2 6 6
(b)
3 1
2 4 2 1 3 1 1 1
3 (e) 2 4
3 5 (c) 5 2 2 4 2 6 7 (f ) 3 9 10 1 3 3
(i) Utilice operaciones elementales de la para llevar cada matriz a su forma escalonada por renglones. (ii) Utilice operaciones elementales de la para llevar cada matriz a su forma escalonada reducdida por renglones. 11. Dada una matriz cualquiera, considere las siguientes operaciones elementales de la Ri Rj , (k Ri ) Ri y (Ri + k Rj ) Ri . (i) Cu al es la matriz que corresponde dichas operaciones elementales? (ii) Cu al es la operaci on elemental que deshace cada una de las operaciones mencionadas? (iii) Cu al es la matriz que corresponde las operaciones elementales del anterior literal? 2
12. Los estudiantes frecuentemente utilizan el siguiente tipo de c alculo para introducir un cero en una matriz 3 2 3 1 3R1 2R2 1 4 0 10 Explique por qu e esta NO es una operaci on elemental con renglones. Muestre c omo lograr el mismo resultado utilizando operaciones elementales por renglones. 13. Cuales son las posibles formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices de 3 3? 14. Resuelva los siguientes sistemas utilizando eliminaci on Gausiana (a) x1 + 2x2 3x3 = 9 2x1 x2 + x3 = 0 4x1 x2 + x3 = 4 3w + 3x + y = 1 2w + x + y + z = 1 2w + 3 x + y z = 2 x1 3x2 2x3 = 0 (b) x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 4x2 + 6x3 = 0 (d) 2r + s = 3 4r + s = 7 2r + 5s = 1
(c)
15. Demuestre que si ad bc = 0 entonces el siguiente sistema tiene soluci on u nica ax + by = r cx + dy = s 16. Proporcione ejemplos de ecuaciones sistemas homog eneos de k n tales que (i) Tengan soluci on u nica. (ii) Tengan un n umero innito de soluciones. Haga esto para el caso en que k = n y para el caso en que k > n. 17. (i) De un ejemplo de tres planos que tengan una recta de intersecci on com un. (ii) Proporcione ejemplos de tres planos que se intersecten por pares pero que no tengan un punto com un de intersecci on. (iii) De un ejemplo de tres planos en el que exactamente dos de ellos son paralelos. (iv) De un ejemplo de tres planos que se intersecten en un solo punto. Advertencia. En todos los literales de este ejercicio el objetivo es dar ejemplos tan simples como sea posible. Todas las preguntas disponen de tales ejemplos. 18. Determinar si la matriz A es invertible y de serlo 1 2 3 0 2 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 calcule su inversa. 4 5 4 5 4 5 4 5 0 5
Advertencia. Este ejercicio se puede resolver de una manera estrat egica en cuatro pasos. Si procede de forma mec anica los c alculos se vuelven abrumadores. 3
19. Considere las siguientes armaciones I. Un sistema lineal se vuelve triangular superior despu es de aplicar eliminaci on Gaussiana. II. Un sistema triangular superior se resuelve por sustituci on hacia atr as empezando desde la ultima la con pivote. III. Los pivotes no pueden ser nulos. Cuales de ellas son verdaderas? (a) I solamente (b) II solamente (c) III solamente (d) I y II solamente (e) I, II y III
20. Escoja un valor de k para el cual el sistema tiene innitas soluciones. Encuentre dos de dichas soluciones 3x + 2y = 10 6x + 4y = k 21. Escoja un coeciente b para el cual el sistema tiene se hace singular. Despu es elija un valor de k para el cual el sistema tiene al menos dos solcuiones y encuentrelas 2x + by = 10 4x + 8y = k 22. Para qu e n umero b se hace necesario un intercambio de la en el sistema siguiente y cu al es dicho sistema? 2x + 5 y + z = 0 4x + by + z = 2 yz =3 Qu e valor de d vuelve al sistema singular? Observaci on. En esta pregunta no busca cultivar la capacidad de c alculo sino mas bien el concepto de c omo funciona el algoritmo de eliminaci on. 23. (i) De un ejemplo de un sistema de 3 3 tal que alcance su forma triangular con dos intercambios de columna y tambi en la soluci on. (ii) De un ejemplo de un sistema de 3 3 tal que necesite de un intercambio de las para poder proceder con la eliminaci on Gaussiana pero que en posteriores etapas se vuelve inconsistente. 24. Se tiene un sistema de 3 3 (i) Si las las 1 y 2 son iguales cu an lejos se puede llegar con la eliminaci on Gaussiana (permitiendo intercambio de las)? (ii) Si la primera y segunda columna son iguales, qu e pivote falta? 25. Construya un sistema lineal de 3 3 que tenga nueve coecientes distintos en el lado izquierdo y tal que las las 2 y 3 se anulen durante la eliminaci on Gaussiana. Cuantas soluciones tiene su sistema si b = (1, 10, 100), si b = (0, 0, 0)? 26. Demuestre que un sistema lineal no puede tener exactamente dos soluciones.
27. Si 666 planos se intersectan en dos puntos, en que donde m as se intersectan? 28. Suponga que la eliminaci on Gaussiana arroja el siguiente sistema x+y+z =0 y+z =0 z=0 Encuentre tres posibles matrices originales A. 29. Es una matriz triangular superior necesariamente no singular? De ser la respuesta negativa, bajo qu e condiciones es no singular?

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x1 + 2x2 + 3x3 = 0 5x2 + 2x3 = 0 (d) 4 x3 = 0

6. Encuentre un sistema lineal 0 1 (a) 1 1 2 1 7.

cuya matriz aumentada coincida con las matrices siguientes 1 1 1 1 0 3 1 2 0 1 (b) 1 1 2 1 1 4 1 1 0 1 0 2 3 0

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