Relación 2

2354.
Estadística para la Empresa II

Grado en Administración y Dirección de Empresas
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Murcia
Relación 2
Introducción a la inferencia estadística
1.- ( )
Sea X ∼ b 0,1 de la que se extrae una m.a.s de tamaño 3.
a) Obtenga todas las muestras posibles de tamaño 3.
b) Obtenga la función de probabilidad de la media muestral.
c) Calcule la media y la varianza de la media muestral.
d) Obtenga la función de probabilidad de la varianza muestral, así como su media y su varianza.
2.- Sea X una variable aleatoria N(µ, σ) y sea ( X1, X2 ) una m.a.s. de tamaño 2. Determine las
distribuciones de 2X y X1 + X2 , señalando las similitudes y diferencias entre ambas.
3.- Dada ( X1,..., X36 ) m.a.s. de una población X con distribución N ( 2,3 ) , obtenga el valor de
⎛ 36 ⎞
P ⎜ ∑ Xi ≥ 32 ⎟ .
⎝ i=1 ⎠
4.- Sea una muestra de tamaño n de una población X. Obtenga la esperanza y la varianza de la
media muestral si la población es:
a) Poisson de parámetro λ.
b) Exponencial de parámetro α.
c) Binomial de parámetros 5 y p.
5.- Sea una población Poisson de media 1 de la que se extrae una m.a.s. de tamaño 5. Calcule:
a) (
P X ≤1 )
⎛ 1⎞
b) P⎜ X −1 < ⎟
⎝ 2⎠
6.- Sea una población N(5;0,1) y una m.a.s. de tamaño 16 extraída de ella. Halle:
a) (
P 5 < X < 5,2 )
b) P (S 2
< 0,01718 )
7.- Se toma una m.a.s. de tamaño 5 de una población normal con media 2,5 y varianza 36.
a) Encuentre una cota superior de la varianza muestral, con probabilidad de al menos 0,9.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 1,3 y 3,5 si la
varianza muestral está entre 30 y 44?
8.- Considere una m.a.s. ( X1,..., Xn ) extraída de una población N(µ, σ) . Sean los estadísticos
2 2
T1 = S y T2 = S . c
a) Halle sus medias y sus varianzas. Comente las propiedades estadísticas que haya utilizado.
b) ¿Cuál o cuáles de los resultados obtenidos en el apartado a) se mantendrían si no se conociera
la distribución de la población?
RELACIÓN 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA • 1

2354. Estadística para la Empresa II. Grado en ADE
9.- Sean Sc21 y Sc22 las cuasivarianzas muestrales de dos muestras normales independientes de
tamaños 5 y 4, respectivamente. Si las varianzas poblacionales son iguales, calcule el valor de k
⎛ Sc2 ⎞
tal que P ⎜ 21 < k ⎟ = 0,95.
⎜ Sc ⎟
⎝ 2 ⎠
10.- La duración (en horas) de una cierta marca de bombillas sigue una distribución N(1000,100). Se
desea enviar una muestra de bombillas de modo que la duración media muestral no difiera de la
media poblacional en más de 50 h. con una probabilidad de al menos 0,95. Halle el tamaño que
debe tener la muestra.
11.- De una población normal de media µ y varianza 4,5, se extraen 2 mm.aa.ss. independientes entre
sí de tamaño n. ¿Qué valor debe tener n para que podamos estar seguros, con una confianza al
menos del 95%, de que las medias muestrales diferirán entre sí dos unidades como máximo?
12.- Sean X e Y dos variables aleatorias independientes, ambas N (µ,1) , de las que se extraen sendas
muestras aleatorias simples de tamaños 6 y 12, respectivamente.
a) Obtenga la distribución de X − Y.
b) Obtenga la distribución de 6 S2X + 12S2Y .
⎛ 1 ⎞
c) Calcule P ⎜ X − Y ≥ ; 3S2X + 6S2Y ≤ 16 ⎟ .
⎝ 3 ⎠

2354. Estadística para la Empresa II. Grado en ADE
Soluciones
1.- b)
k 0 1/3 2/3 1
P(X = k) 0,729 0,243 0,027 0,001
c) E ⎡⎣ X ⎤⎦ = 0,1 Var ⎡⎣ X ⎤⎦ =0,03
d)
k 0 2/9
P(S2 = k) 0,73 0,27
2.- N(2µ,2σ) y N 2µ, 2 σ( )

3.- 0,9868.
λ
4.- a) E ⎡ X⎤ = λ Var ⎡⎣ X⎤⎦ =
⎣ ⎦ n
1 1
b) E ⎡ X⎤ = Var ⎡⎣ X⎤⎦ =
⎣ ⎦ α nα2
5p (1 − p )
c) E ⎡⎣ X ⎤⎦ = 5p Var ⎡⎣ X ⎤⎦ =
n
5.- a) 0,616 b) 0,7419
6.- a) 0,5 b) 0,975
7.- a) 56,0088 b) 0,318
(n − 1)σ2 2(n − 1)σ4

8.- a) E [T1 ] = Var [T1 ] =
n n2
2σ4
E [T2 ] = σ2 Var [T2 ] =
n −1
b) Se mantendrían los resultados relativos a las esperanzas.
9.- 9,12
10.- n ≥ 16
11.- n ≥ 9
⎛ 1⎞ 2
12.- a) N ⎜ 0, ⎟ b) χ16 c) 0,2489
⎝ 2⎠

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Estadística para la Empresa II

RELACIÓN 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA • 1

RELACIÓN 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA • 2

2.- N(2µ,2σ) y N 2µ, 2 σ( )

(n − 1)σ2 2(n − 1)σ4

RELACIÓN 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA • 3

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