Guía de Práctica 7

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
Facultad de ingeniería Geológica, Minería, Metalúrgica y Geográfica

Cálculo II
Tema: Sumatoria y propiedades Semestre: 2023-0
GUÍA DE PRÁCTICA 7
I. Verificar las siguientes propiedades
1. ∑𝑛𝑖=1[𝑓(𝑖) − 𝑓(𝑖 − 1)] = 𝑓(𝑛) − 𝑓(0)
2. ∑𝑛𝑖=1[𝑓(𝑖 + 1) − 𝑓(𝑖 − 1)] = 𝑓(𝑛 + 1) + 𝑓(𝑛) − 𝑓(1) − 𝑓(0)
II. Usando propiedades de sumatorias, demuestre las identidades:
𝑛(𝑛+1) 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
3. ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = 4. ∑𝑛𝑖=1 𝑖 2 =
2 6
𝑛2 (𝑛+1)2 𝑛(𝑛+1)(6𝑛3 +9𝑛2 +𝑛−1)
5. ∑𝑛𝑖=1 𝑖 3 = 6. ∑𝑛𝑖=1 𝑖 4 =
4 30
cos(𝑛−1)𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥−1
7. ∑𝑛𝑘=1 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = − donde 𝑥 ∈ 𝑅
2𝑠𝑒𝑛𝑥
III. Halle el valor de las sumatorias en función de n.
1
8. ∑𝑛𝑖=1[√𝑖 + 1 − √𝑖 − 1] 9. ∑𝑛𝑖=1
(2𝑖−3)(2𝑖−1)
𝑛 5𝑘 +4𝑘 11. ∑𝑛
𝑘=1 𝑘! 𝑘
10. ∑𝑘=1
6𝑘
2𝑘+1 𝑛 1
12. ∑𝑛
𝑘=1 13. ∑𝑘=1
𝑘 2 (𝑘+1)2 𝑘 2 −1
14. ∑𝑛
𝑘=1 cos (𝑘𝑥)
𝑛
15. ∑𝑘=1 𝑘𝑥 𝑘−1
IV. En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales definidas
16. lim ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 . ∆𝑥 𝑒𝑛 [1, 3] 17. lim ∑𝑛𝑖=1(5𝑥𝑖2 − 3𝑥𝑖2 ). ∆𝑥 𝑒𝑛 [0, 2]

𝑛→∞ 𝑛→∞
18. lim ∑𝑛𝑖=1 𝑠𝑒𝑛2 (2𝜋𝑥𝑖 ). ∆𝑥 𝑒𝑛 [0, 1] 19. lim ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜋𝑥𝑖 ). ∆𝑥 𝑒𝑛 [0, 1]
𝑛→∞ 𝑛→∞
20. lim ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖3 + 𝑥𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑖 )∆𝑥 en [0, 𝜋] 𝜋 𝑖𝜋

21. lim ∑𝑛𝑖=1 4𝑛 𝑡𝑎𝑛 4𝑛 𝑒𝑛 [0, 1]
𝑛→∞ 𝑛→∞
1
V. En los siguientes ejercicios, dados Ln o Rn como se indica, exprese sus límites dado que
𝑛 → ∞ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos.
1 𝑖−1 1 𝑖
22. 𝐿𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑛
23. 𝑅𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑛
2 𝑖−1 3 𝑖
24. 𝐿𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(1 + 2 𝑛
) 25. 𝑅𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(3 + 3 𝑛)
VI. En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas
utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo
el eje x.
i) ii)
VII. En los siguientes ejercicios calcule el área mediante sumas

3 3
26. ∫0 (3 − 𝑥)𝑑𝑥 27. ∫−3(3 − |𝑥|)𝑑𝑥
2
28. ∫−2 √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 29. 𝑦 = 1 − |𝑥|, el 𝑒𝑗𝑒 𝑋 y las rectas
x=-2, x=2
6
30. ∫0 (3 − |𝑥 − 3|)𝑑𝑥 31. 𝑦 = 4𝑥 2 , el 𝑒𝑗𝑒 𝑋 y las rectas
x=2, x=4.
VIII. En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos
izquierdo (L) y derecho (R) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos
con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados.
32. {(0, 0), (2, 1), (4, 3), (5, 0), (6, 0), (8, 3) }𝑒𝑛 [0, 8]
33. {(0, 2), (1, 0), (3, 5), (5, 5), (6, 2), (8, 0) }𝑒𝑛 [0, 8]
34. {(−4, −4), (−2, 0), (0, −2), (3, 3), (4, 3) }𝑒𝑛 [−4, 4]
35. {(−4, 0), (−2, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 2), (4, 0) }𝑒𝑛 [−4, 4]
IX. Resolver los siguientes problemas
2𝜋 2𝜋
36. Supongamos que 𝐴 = ∫0 𝑠𝑒𝑛2 𝑡𝑑𝑡 𝑦 𝐵 = ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡𝑑𝑡. Demuestre que 𝐴 + 𝐵 =
2𝜋 𝑦 𝐴 = 𝐵.
𝜋 𝜋
𝜋
37. Supongamos que 𝐴 = ∫ 4𝜋 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡𝑑𝑡 𝑦 𝐵 = ∫ 4𝜋 𝑡𝑎𝑛2 𝑡𝑑𝑡. Demuestre que 𝐴 − 𝐵 = .
− − 2
4 4
2
1
38. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 se tiene ∫𝑖−1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖. Demuestre
𝑁 𝑁(𝑁+1)
que ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 2
.
1
39. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 se tiene ∫𝑖−1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑖 2 .
𝑁 𝑁(𝑁+1)(2𝑁+1)
Demuestre que ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 6
.

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16. lim ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 . ∆𝑥 𝑒𝑛 [1, 3] 17. lim ∑𝑛𝑖=1(5𝑥𝑖2 − 3𝑥𝑖2 ). ∆𝑥 𝑒𝑛 [0, 2]

20. lim ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖3 + 𝑥𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑖 )∆𝑥 en [0, 𝜋] 𝜋 𝑖𝜋

VII. En los siguientes ejercicios calcule el área mediante sumas

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