MI 1 - Proyecto 1

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Ciencias
Departamento de Matemática
Proyecto 1
Keyla Yasmín de León Calderón 202200037

Carlos Eduardo Lau López 202202812
Guatemala, 1 de marzo de 2023

INDICE
Objetivos ................................................................................................................ 3
Introducción ........................................................................................................... 4
MARCO TEÓRICO ................................................................................................ 5
1. Criptografía ............................................................................................................................5
2. Matriz inversa .........................................................................................................................5
3. Integrales Impropias ...............................................................................................................6
4. Regla de Simpson ...................................................................................................................6
5. Regla de Trapecios..................................................................................................................7
Resultados ............................................................................................................. 8
Conclusiones ....................................................................................................... 16
Recomendaciones ............................................................................................... 17
Bibliografía ........................................................................................................... 18
OBJETIVOS
General
Desarrollar habilidades para la solución a problemas matemáticos por

medio de un software computacional.
Específicos
1. Encontrar el mensaje encriptado en una matriz.
2. Encontrar la solución de una integral expresada como la suma de varias

integrales impropia definida.
3. Comparar por método de aproximación de Simpson el resultado de una

integral definida y su valor exacto.
4. Comparar por método de aproximación de trapecio el resultado de una

integral definida y su valor exacto.
INTRODUCCIÓN
Para el curso de matemática intermedia 1 se implementó un proyecto para

desarrollar habilidades en la solución de distintos problemas haciendo uso de un
software de cómputo.
La primera parte del proyecto consta de la encriptación de mensajes, lo cual

es muy usado en informática para guardar cierta información que sea difícil
desencriptar para personas a las que no se les quiere dar acceso de cierta
información. La desencriptación de mensajes fue hecha con el uso de algebra
matricial y haciendo uso de Scientific Notebook para encontrar el mensaje contenido
en algunas matrices.
La segunda parte del proyecto consta de la resolución de una integral

impropia, expresándola como una suma de varias integrales impropias, haciendo
uso de Geogebra para graficar y facilitar su resolución, así como Scientific notebook
para resolver la integral definida.
La tercera parte consta de la utilización de métodos de aproximación de

Simpson y la regla de trapecios para encontrar valores aproximados de dos
integrales definidas y con Scientific Notebook poder encontrar su valor exacto.
MARCO TEÓRICO
1. Criptografía
Es una práctica que consiste en proteger información mediante el uso de

codificación. La criptografía se creó con la necesidad de poder enviar y recibir
mensajes sin que su contenido pudiera ser leído sin su clave correspondiente. En
la mayoría de los casos de usa algebra matricial para encriptar mensajes en
matrices. Se escoge una matriz A que tenga una matriz inversa, la cual solo debe
ser conocida por las personas que envían y las personas que reciben el mensaje,
la cual se usara para encriptar y su inversa se usara para desencriptar el mensaje.
Al tener cierto mensaje que queremos enviar encriptado, se reemplaza por

sus respectivos números, haciendo uso del abecedario enumerado. Luego se
ordenan los números en una matriz de cinco filas y las columnas que sean
necesarias, para luego multiplicar por la izquierda la matriz A y poder obtener una
matriz con un mensaje encriptado.
Para lograr desencriptar un mensaje es necesario obtener la inversa de la

matriz A para luego multiplicar por la izquierda con la matriz que contiene el mensaje
codificado y luego haciendo uso del abecedario enumerado obtener el mensaje
oculto.
2. Matriz inversa
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única

matriz que cumple que:
A·A-1 = I = A-1·A
Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella

obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.
3. Integrales Impropias
Integral definida donde el intervalo es infinito y donde f tiene discontinuidad

infinita en [a, b], en este caso la integral se llama impropia.
Para el tipo 1 de integrales impropias, Son integrales en los que su límite de

integración superior o inferior es un numero desconocido, que puede ser infinito en
este caso es -∞, o +∞. Para la resolución de este tipo de integrales de debe de
sustituir el límite de integración que sea -∞ o +∞., por una variable nueva, así para
comportarse como una integral definida normal, pero con un límite tendiendo al valor
de la variable sustituida, para ser remplazada al final y resolverla.
Para el tipo 2 de integrales impropias, son integrales con límites de

integración conocidos, pero es una integral discontinua en un límite superior, inferior
o entre los dos limites, en este caso se debe de expresar como la suma de varias
integrales definidas, aplicando el límite de una variables que tiende por la izquierda
o la derecha, ya sea al límite superior o inferior de la integral discontinuo.
La integral impropia converge si existe el límite correspondiente, y diverge si

el límite no existe.
4. Regla de Simpson
Regla para integración aproximada resulta del uso de parábolas en lugar de

segmentos de recta para aproximar la curva. Se divide [a, b] en n subintervalos de
igual longitud h = ∆x = (b - a) /n, donde n es un número par.
Fuente: Stewart J. “Cálculo Trascendentes Tempranas”
5. Regla de Trapecios
Se divide [a, b] en n subintervalos de igual longitud h = ∆x = (b - a)/n, donde se
evalúan en la función y luego se multiplican por una secuencia de 1,2,2,2,2…,1, que
se llama secuencia de trapecios y la sumatoria de todos los valores evaluados en la
función se multiplican con el ∆x/2.
Fuente: Stewart J. “Cálculo Trascendentes Tempranas”

RESULTADOS
Problema 1.a)
1) Obtener la inversa de la matriz M:
2) Multiplicarla por la izquierda con la matriz dada del mensaje encriptado:
3) Se obtiene la matriz desencriptada numérica:
4) Mensaje Final:
Este semestre, estoy dispuesto a estudiar lo necesario, para aprender bien los temas de la
matemática intermedia I.
Problema 1.b) Parte 1
1) Obtener la inversa de la matriz M en términos de a, b y c.
2) Multiplicarla por la izquierda con la matriz dada del mensaje encriptado:
3) Se obtiene la matriz desencriptada en términos de a, b y c (primera columna):
4) Se obtiene un sistema de 3 ecuaciones, en términos de a, b y c, utilizando el hecho de

que la primera palabra del mensaje es ‘como’:
5) Se sustituyen los valores de a, b y c en la matriz M inicial y se obtiene su inversa de nuevo:
6) Se obtiene la matriz desencriptada al multiplicar la nueva inversa con la matriz encriptada

inicial:
7) Primera parte del mensaje:
Como mi futuro depende de lo que haga hoy, no mañana, hoy debo tomar decisiones firmes y
llevarlas a cabo en el momento preciso. Puedo tener objetivos
Parte 2:
1) Se utilizan los valores de a, b y c de la parte 1 y se sustituyen en la matriz M dada, luego
se sigue el mismo procedimiento del problema 1.a), se obtiene la matriz desencriptada
numérica:
2) Se obtiene la segunda parte del mensaje:
a largo plazo, pero en la medida que cumpla las pequeñas tareas diarias me acercaré al futuro
que tanto quiero.
Mensaje Final del problema 1.b):
Como mi futuro depende de lo que haga hoy, no mañana, hoy debo tomar decisiones firmes y
llevarlas a cabo en el momento preciso. Puedo tener objetivos a largo plazo, pero en la medida que
cumpla las pequeñas tareas diarias me acercaré al futuro que tanto quiero.
Problema 2:
1) Gráfica de la función :
2) :
3) Evalúe a mano las integrales planteadas en el inciso anterior:
4) :
Problema 3:
1) :
2)
≅
Error Porcentual Relativo:

CONCLUSIONES
1. El procedimiento para desencriptar el mensaje es cálculo matricial, en esta

ocasión la matriz dada es muy grande y realizarlo manualmente tomaría
mucho tiempo, por lo tanto, es necesario el uso de la tecnología, en nuestro
caso el software matemático Scientific Notebook. En el problema 1b, también
fue necesario resolver un sistema de 3 ecuaciones para encontrar las
variables a, b y c.
2. Para el problema 2, de la misma manera se necesita orientar al programa,

ya que no es capaz de decirnos si la integral converge o diverge al ingresarla
tal y como aparece en el enunciado. Es necesario primero separar esa
integral en varias integrales impropias, de esta forma el programa determina
que cada integral tiende a infinito, es decir que diverge.
3. En el problema 3, el programa Excel fue la herramienta utilizada, facilitando

el trabajo de cálculo. El valor aproximado con el método de Simpson y el
valor exacto tienen un error relativo porcentual de 0.54%.
4. El valor aproximado con el método de trapecios y el valor exacto no difieren

mucho uno del otro, teniendo un error relativo porcentual de 0.24%.
RECOMENDACIONES
1. En el problema 1, recomendamos Scientific Notebook para el cálculo de

matrices y sistemas de ecuaciones, ya que no necesita conexión a internet,
es gratuito, fluido y sencillo de utilizar.
2. Para evaluar las integrales impropias y definidas de los problemas 2 y 3,

utilizamos el mismo programa por su practicidad.
3. Para los métodos de aproximación recomendamos realizar las tablas en

Excel, ya que acelera el proceso de cálculo y es capaz de mostrar más
decimales que una calculadora de mano.
BIBLIOGRAFÍA
1. GuilleVen. (2018, marzo 30). ¿Qué es la Criptografía? Tecnología +

Informática; https://www.tecnologia-informatica.com/que-es-la-criptografia/
2. Matriz inversa. Ieszaframagon.com. Recuperado el 26 de febrero de 2023,

de
https://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/algebra/3_matr
iz_inversa.html
3. Stewart, J. Cálculo–trascendentes tempranas 8a. Edición, Editorial Cengage,

México, 2018.
4. Scientific notebook (5.5). (2023, 25 de febrero). [Software de ordenador].

https://www.mediafire.com/file/t2zwnmznbji/Scientific_Notebook_5.5.rar/file
5. Excel. (2023, 25 de febrero). [Software de ordenador]. Microsoft 365.

https://www.microsoft.com/es-gt

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MARCO TEÓRICO ................................................................................................ 5

Desarrollar habilidades para la solución a problemas matemáticos por

1. Encontrar el mensaje encriptado en una matriz.

2. Encontrar la solución de una integral expresada como la suma de varias

3. Comparar por método de aproximación de Simpson el resultado de una

4. Comparar por método de aproximación de trapecio el resultado de una

Para el curso de matemática intermedia 1 se implementó un proyecto para

La primera parte del proyecto consta de la encriptación de mensajes, lo cual

La segunda parte del proyecto consta de la resolución de una integral

La tercera parte consta de la utilización de métodos de aproximación de

Es una práctica que consiste en proteger información mediante el uso de

Al tener cierto mensaje que queremos enviar encriptado, se reemplaza por

Para lograr desencriptar un mensaje es necesario obtener la inversa de la

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella

Integral definida donde el intervalo es infinito y donde f tiene discontinuidad

Para el tipo 1 de integrales impropias, Son integrales en los que su límite de

Para el tipo 2 de integrales impropias, son integrales con límites de

La integral impropia converge si existe el límite correspondiente, y diverge si

Regla para integración aproximada resulta del uso de parábolas en lugar de

Fuente: Stewart J. “Cálculo Trascendentes Tempranas”

2) Multiplicarla por la izquierda con la matriz dada del mensaje encriptado:

3) Se obtiene la matriz desencriptada numérica:

2) Multiplicarla por la izquierda con la matriz dada del mensaje encriptado:

3) Se obtiene la matriz desencriptada en términos de a, b y c (primera columna):

4) Se obtiene un sistema de 3 ecuaciones, en términos de a, b y c, utilizando el hecho de

6) Se obtiene la matriz desencriptada al multiplicar la nueva inversa con la matriz encriptada

7) Primera parte del mensaje:

2) Se obtiene la segunda parte del mensaje:

Error Porcentual Relativo:

1. El procedimiento para desencriptar el mensaje es cálculo matricial, en esta

2. Para el problema 2, de la misma manera se necesita orientar al programa,

3. En el problema 3, el programa Excel fue la herramienta utilizada, facilitando

4. El valor aproximado con el método de trapecios y el valor exacto no difieren

1. En el problema 1, recomendamos Scientific Notebook para el cálculo de

2. Para evaluar las integrales impropias y definidas de los problemas 2 y 3,

3. Para los métodos de aproximación recomendamos realizar las tablas en

1. GuilleVen. (2018, marzo 30). ¿Qué es la Criptografía? Tecnología +

2. Matriz inversa. Ieszaframagon.com. Recuperado el 26 de febrero de 2023,

3. Stewart, J. Cálculo–trascendentes tempranas 8a. Edición, Editorial Cengage,

4. Scientific notebook (5.5). (2023, 25 de febrero). [Software de ordenador].

5. Excel. (2023, 25 de febrero). [Software de ordenador]. Microsoft 365.

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