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Trabajo Final Algebra Lineal
Trabajo Final Algebra Lineal
Trabajo Final Algebra Lineal
Código 18210266159
Código 1911982312
Tutor
Entrega Semana 5
Abril 2019
Bogotá D.C.
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Tabla de Contenido
Observaciones ......................................................................................................................................... 3
Introducción ............................................................................................................................................ 4
1. Actividad 1........................................................................................................................................... 5
1.1 Inicio de actividad .............................................................................................................................. 5
1.2 Matriz Inversa.................................................................................................................................... 7
2. Actividad 2........................................................................................................................................... 9
2.2 Inversa de la matriz.......................................................................................................................... 10
3. Referencia bibliográfica ..................................................................................................................... 15
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Observaciones
Para la entrega final del trabajo final y guiados por los parámetros enviados por la tutora en
correos y en el foro hemos tomado la decisión de presentar el trabajo los estudiantes Heli José
Castañeda y Claudia Lorena Valencia debido a que como se puede evidencia en el foro los
participación semanal como fue solicitado, tampoco tuvieron en cuenta las recomendaciones
hechas por la tutora en la primera intervención del foro, adicional repitieron los aportes que ya
estaban hechos.
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INTRODUCCION
Una de las aplicaciones del Álgebra Lineal es la criptografía, parte de la Criptología (Estudio de
lo oculto), que trata del diseño e implementación de sistemas secretos para cifrar mensajes.
cifrado. Un sistema clásico es el Sistema de Hill o Cifrado en Bloques que fue diseñado por el
matemático Lister Hill en 1929 basado en ideas de algebra lineal, en particular, en el álgebra de
matrices.
Cada letra está representada por un número, a menudo el esquema sencillo A = 0, B = 1,..., Z =
25 es utilizado, pero esto no es una característica esencial del cifrado. Para encriptar un mensaje,
cada bloque de n letras (considerados como un vector) está multiplicado por una matriz
La matriz usada para la encriptación es la llave de cifrado, y tiene que ser escogida
adaptado a un alfabeto representado con cualquier orden numérico y/o cambiando el numero
1. Actividad 1.
Consultar el sistema de Hill para encriptar y des-encriptar mensajes. Luego, describa el proceso
asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el
palabra DEDICACIÓN.
D E D I C A C I O N
3 4 3 8 2 0 2 8 15 13
Para continuar como lo indica el sistema Hill para des-encriptar el mensaje, cada bloque es
En este paso los vectores son de dos componentes, ya que la matriz es de 2*2 de la siguiente
forma: (3.4) . (3.8) . (2.0) . (2.8) . (15.13) luego multiplicamos por la matriz
En la tabla asignación numérica contamos con 28 números, más el “0” esto sería igual a 29
números, los resultados mayores o iguales a 29 se deben reducir a módulo 29 es decir que, al
Con el resultado obtenido en la operación se asignan las letras y quedaría encriptada la palabra
inicial.
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distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de A, tal que
es de dimensión n x n
Su determinante es
es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto.
Posteriormente tomaremos cada uno de los vectores resultantes y los multiplicaremos por la
matriz inversa, los vectores resultantes que me dieron les realizo el proceso de encontrar el
Realizo nuevamente la asignación numérica con las letras del recuadro entregado en el inicio de
la palabra DEDICACIÓN.
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2. Actividad 2
8 3 2
|5 2 1|
2 1 1
mensaje.
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z - .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Para iniciar el desarrollo del ejercicio se toma la matriz clave y se halla la inversa, por el método
de determinantes.
Para confirmar si la matriz se puede invertir usáremos la Regla de SARRUS, la cual afirma que,
8 3 2
|5 2 1|
2 1 1
Si nos fijamos, la mitad de los sumandos tienen signo + y la otra mitad signo -. En este caso los
productos positivos están formados por los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas
multiplicadas por el elemento que está en el extremo opuesto. De manera análoga, los productos
negativos están formada por los elementos de la secundaria y sus paralelas multiplicadas por el
elemento extremo de las mismas. Este método es conocido como la “regla de Sarrus”.
obtenida a partir de otra, que traspuesta y dividida por el determinante de esta otra es igual a la
Se denota por (AT) y se obtiene cambiando filas por columnas de la matriz dada, de esta forma
la matriz quedaría:
A= 8 5 2 AT= 8 3 2
321 521
211 211
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Se denota Adj para cualquier matriz A, llamamos matriz adjunta de A y la denotamos por Adj
A.
2 1
𝐶11 = (−1)( 1+1) X | | = 1(2X1 − 1X1) = 1
1 1
5 1|
𝐶12 = (−1)( 1+2) X | = 1(5X1 − 1X2) = −3
2 1
5 2|
𝐶13 = (−1)( 1+3) X | = 1(5X1 − 2X2) = 1
2 1
3 2
𝐶21 = (−1)( 2+1) X | | = −1(3X1 − 2X1) = −3
1 1
8 2
𝐶22 = (−1)( 2+2) X | | = 1(8X1 − 2X2) = 4
2 1
| 12
8 2
𝐶23 = (−1)( 2+3) X | | = 1(8X1 − 3X2) = −2
3 1
3 2
𝐶31 = (−1)( 3+1) X | | = 1(3X1 − 2X2) = −1
2 1
8 2
𝐶32 = (−1)( 3+2) X | | = 1(8X1 − 2X5) = 2
5 1
8 3
𝐶33 = (−1)( 3+3) X | | = 1(8X2 − 3X5) = 1
5 1
1 1 1 −1 −1 1 −1 −1
(−1) 𝑇
𝐴 = X𝐶 = X |−3 4 2 | = |−3 4 2|
(A) 1
1 −2 1 1 −2 1
1 −1 −1
|−3 4 2|
1 −2 1
Para seguir con el desarrollo de este sistema de ecuaciones pasaremos a reducir la matriz inversa
al módulo 29 con el material de apoyo suministrado por la tutora, esto nos da como resultado:
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En el siguiente paso realizaremos la asignación numérica de las letras del mensaje oculto.
. I B F Q S Z A G N A F V L N B V D F A V D L Q . F W S W Y
28 8 1 5 17 19 26 0 6 13 0 5 22 11 13 1 22 3 5 0 22 3 11 17 28 5 23 19 23 25
.IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY
28 5 26 13 22 1 5 3 28 19
8 17 0 0 11 22 0 11 5 23
1 19 6 5 13 3 22 17 23 25
1 28 28 28 280 19
[26 4 2 ] ∗ [ 8 ] = [762] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 8 ]
1 27 1 1 245 13
1 28 28 5 1013 27
[26 4 2 ] ∗ [17] = [ 236 ] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 4 ]
1 27 1 19 483 19
1 28 28 26 194 20
[26 4 2 ] ∗ [ 0 ] = [688] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [21]
1 27 1 6 32 3
1 28 28 13 153 8
[26 4 2 ] ∗ [ 0 ] = [348] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 0 ]
1 27 1 5 18 18
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1 28 28 22 694 27
[26 4 2 ] ∗ [11] = [642] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 4 ]
1 27 1 13 332 13
1 28 28 1 701 5
[26 4 2 ] ∗ [22] = [120] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 4 ]
1 27 1 3 598 18
1 28 28 5 621 12
[26 4 2 ] ∗ [ 0 ] = [174] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [ 0 ]
1 27 1 22 27 27
1 28 28 3 787 4
[26 4 2 ] ∗ [11] = [156] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [11]
1 27 1 17 317 27
1 28 28 28 812 0
[26 4 2 ] ∗ [ 5 ] = [794] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [11]
1 27 1 23 186 12
1 28 28 19 1363 0
[26 4 2 ] ∗ [23] = [ 636 ] 𝑀𝑂𝐷𝑈𝐿𝑂 29 [27]
1 27 1 25 665 27
Realizó nuevamente la asignación numérica con las letras del recuadro entregado en el inicio de
.IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY
19 8 13 27 4 19 20 21 3 8 0 18 27 4 13 5 4 18 12 0 27 4 11 27 0 11 12 0 27 27
S I N - E S T U D I A R - E N F E R M A - E L - A L M A - -
SIN_ESTUDIAR-ENFERMA_EL_ALMA__
3. Referencia bibliográfica
https://www.geogebra.org/m/PvxPdyQC
Ibáñez, Raúl; Cayley, Arthur. (2017). Criptografía con matrices, el cifrado de Hill.
https://culturacientifica.com/2017/01/11/criptografia-matrices-cifrado-hill/
Las matemáticas.es. (13 de septiembre del 2016). Inversa de una matriz 3x3 por
https://www.youtube.com/watch?v=dtY8Io3y0ZU&t=15s
https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/matriz-inversa-Gauss-adjunta-ejemplos-
metodo-identidad.html
Profe Julio. (14 de abril del 2010). Suma del cuadrado de una matriz y su inversa - Parte
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Profe Julio. (17 de mayo del 2010). Solución de un sistema de 3×3 por Gauss-Jordan -
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