Notas de Cátedra - Contenidos Previos 2023

Materia: Matemática I
Unidad 0: Álgebra y Geometría Elemental
Sección 2: Geometría Elemental
Comisión: Prof. Carlos Trucchi

1. Introducción
La geometría es una disciplina en las Matemáticas que estudia las idealizaciones sobre el
espacio, en términos de medidas y propiedades de las figuras geométricas. Deriva su nombre
del griego. Etimológicamente hablando, significa “Medida de la Tierra”. El estudio de la
geometría es muy extenso y comenzar viendo todos los elementos que ésta disciplina contiene
es remontarnos a los comienzos de algunas civilizaciones, pero nuestro interés se centra en la
geometría analítica, quien tiene unos inicios en la primera mitad del siglo XVII cuando se dice
que la misma comenzó a desarrollarse desde allí hasta nuestros días, y abrieron nuevos campos
de investigación que permitieron el desarrollo de muchísimas ciencias aplicadas.

La geometría analítica plana es el área de estudio de las figuras geométricas a partir de un

sistema de coordenadas, representándolas mediante ecuaciones y gráficos, empleando
métodos propios del álgebra y el análisis matemático. Por lo tanto, el estudio que abordaremos
en la presente unidad constituye un puente entre el Algebra y la Geometría que hace posible
resolver geométricamente problemas algebraicos y también permite resolver algebraicamente
o analíticamente problemas geométricos, específicamente cuando dichos problemas son
estructuras de modelos económicos, contables o administrativos.

2. Elementos en Geometría
La geometría tiene tres entes o elementos fundamentales, ellos son: punto, recta, plano. Son
conceptos geométricos que no pueden definirse formalmente, diríamos que son ideas
formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno, y solamente podemos hacer
representaciones concretas de ellas. También en geometría trabajamos con otros conceptos
muy importantes:

A) El Espacio: La idea del espacio es un concepto primitivo, que puede ser definido como
medio físico en el que se sitúan los cuerpos y los movimientos. El mismo suele caracterizarse
por conceptos como: Homogéneo, Continuo, de cierta Dimensión e Ilimitado. Estos
conceptos pueden ser definidos de la siguiente manera:

 Homogéneo: Formado por elementos con características comunes referidas a su

misma clase o naturaleza, lo que permite establecer entre ellos una relación de
semejanza y uniformidad.
 Continuo: Que no presenta interrupciones.
 Ilimitado: Que no tiene un límite definido ni en términos de tiempo ni espacio.
 Dimensión: Tamaño, extensión de cierto elemento físico o ideal, que suele ser medido
o magnificado de forma tal que ocupe mayor o menor espacio.

La geometría plana, nos circunscribe al desarrollo de elementos geométricos que pueden

ser representados en un plano. Por lo tanto, será materia de estudio el Espacio
Bidimensional, que hace referencia a un espacio homogéneo, continuo e ilimitado de dos
dimensiones, en el cual representaremos en forma gráfica o geométrica a puntos y rectas.
Y desarrollaremos en los siguientes apartados.

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3. Dimensiones

A) Espacio Bidimensional o Espacio de 2 dimensiones: R2

Como hemos mencionado anteriormente, la geometría plana se desarrolla en forma analítica

sobre las figuras geométricas en el espacio bidimensional, es decir en un espacio de dos
dimensiones.

El plano o espacio bidimensional R2 en geometría euclidiana, es el conjunto de todos los pares

ordenados ( x, y ) de números reales, representados en dos ejes numéricos perpendiculares
que se denominan abscisa y ordenada respectivamente, y se cortan en un punto denominado
centro u origen del sistema de ejes cartesianos.

R 2 = R x R = ( x, y) / x  R  y  R

Así en geometría euclidiana, el plano es igual al plano cartesiano, denominado también espacio
producto. De esta manera queda establecida una correspondencia biunívoca entre pares
ordenados de números reales y puntos del plano.

Aquí repasamos los nombres de los ejes perpendiculares que se cortan en el centro del origen
del sistema de ejes cartesianos, el nombre de los cuadrantes y las coordenadas de algunos
puntos representados en el plano.

B) Espacio Tridimensional o Espacio de 3 dimensiones R3

El espacio tridimensional R3 es el conjunto de todos las ternas ordenados ( x, y, z ) de números

reales, representados en tres ejes numéricos perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del sistema.

R 3 = R x R x R = ( x, y, z) / x  R  y  R  z  R
Existe una correspondencia biunívoca entre una terna y un punto en el espacio R3

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Un punto en el espacio es una terna (x, y, z) puede visualizarse realizando un gráfico en

perspectiva, o bien utilizando un programa como el Geogebra que recomendamos a los
estudiantes familiarizarse y profundizar en su utilización.
Proponemos una terna (x, y, z) = (-2, 3, 4) a modo de ejemplo

4. Representación Gráfica de una Ecuación Lineal

Una ecuación lineal, es una igualdad en la que intervienen variables, dependiendo de la
cantidad de variables en ella, indicarán en que dimensión se podrá representar. De forma
tal que:
 Una ecuación con una única variable: Se representa gráficamente en una recta R
 Una ecuación con dos variables: Se representa gráficamente en un plano R2
 Una ecuación con tres variables: Se representa gráficamente en un espacio R3
 Una ecuación con más de tres variables: No se puede representar gráficamente

La recta en el plano será el conjunto de infinitos puntos de pares ordenados que satisfacen
una ecuación lineal de la forma: a1 x + a2 y = b con la aclaración de que ambos valores a1 y a2 no
sean ambos nulos.

Existen diversas maneras con las cuales los estudiantes se han familiarizado para su
representación gráfica. Una de ellas es valernos de dos puntos, ya que se conoce el teorema
que por dos puntos pasa una y solo una recta. Suelen utilizarse algunas tablas de tabulación
o simplemente la ubicación de los puntos en el plano. Dejamos libertad en el método usado
por cada estudiante para realizar la representación gráfica. En algunas oportunidades
podemos proponer el uso de programas o software, o aplicaciones App que permite al
estudiante verificar la representación gráfica y compararla con lo que ha realizado en la hoja
de trabajo.

Ejemplo: Representar Gráficamente la recta 3 x + 2 y = 18

Hallaremos los puntos de corte con los ejes. Denominados como raíces de la ecuación:

La abscisa al origen: (x , y ) = (0, y0)

La ordenada al origen: (x, y)= (x0, y)

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Abscisa al Origen

Si x = 0  3 (0) + 2 y = 18
2 y = 18
y=9
Ordenada al Origen

Si y= 0  3 x + 2 (0) = 18
3 x = 18
x=6

5. Expresiones Analíticas de la Recta en R2

Podemos expresar la recta mediante una igualdad algebraica, existiendo tres formas
de expresarla ellas son:
a) Ecuación Explícita de la Recta
b) Ecuación General o Implícita de la Recta
c) Ecuación Segmentaria de la Recta

a) Forma Explícita de la Recta y = a . x + b , en donde “x” e “y”, son las variables y los valores
“a” y “b”, son parámetros o constantes los cuales representan números reales. El parámetro
“a”, se lo denomina pendiente o coeficiente angular, y el parámetro “b” es el punto de corte
de la recta con el eje de las ordenadas, conocido como ordenada al origen.

 En ausencia del parámetro b, la ecuación de la recta quedaría expresada como y = ax

 En ausencia del parámetro a, la ecuación de la recta quedaría expresada como y = b

Ejemplo Nº4: Expresar la Forma explícita de la Recta en los siguientes casos:

a) 3 x + 2 y = 18 Forma Explícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) 9 x = 20 - 5 y Forma Explícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
c) 9 x + 5 y = x + 3 y -1 Forma Explícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
d) 2 y = -16 Forma Explícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
e) 31 = x.(6) Forma Explícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejemplo Nº5: Esta actividad consiste en ingresar al programa GEOGEBRA, puede ingresar
desde la web y trabajar online o puede descargar el programa en la PC, o bien como App

Investigar:

a) Recorre los accesos directos en la Barra de Herramientas

b) Accede al Menú, e investiga las diferentes vistas.
c) Observa el Sistema de Ejes cartesianos y visualiza en configuración todas las
opciones para darle color, letra negrita, nombre de ejes, estilo de trazo
d) Graficar las ecuaciones del ejercicio anterior.

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b) Forma Implícita de la Recta A x + B y + C = 0 , en donde “ x” e “ y”, son las variables

y los valores “A”, “B” y “C”, son parámetros o constantes los cuales representan números
reales. El parámetro A es el coeficiente que acompaña al término que contiene la variable x, el
parámetro B es el coeficiente que acompaña al término que contiene la variable y, por último,
el parámetro C es un término independiente.

Ejemplo Nº6: En cada una de las expresiones analíticas de la recta, exprese su forma implícita
e identifique el valor de los parámetros A, B y C

a) 6 y - 4 x + 3 = 0 Forma Implícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Valor de A: _ _ _ _ Valor de B: _ _ _ _ Valor de C. _ _ _ _

b) 4y = - 2x + 32 Forma Implícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Valor de A: _ _ _ _ Valor de B: _ _ _ _ Valor de C. _ _ _ _

c) y = 4 x + 9 Forma Implícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Valor de A: _ _ _ _ Valor de B: _ _ _ _ Valor de C. _ _ _ _

d) 1/2x = 4y Forma Implícita de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Valor de A: _ _ _ _ Valor de B: _ _ _ _ Valor de C. _ _ _ _

Ejemplo Nº7: Hallar la expresión analítica de la forma implícita de la recta conociendo las
coordenadas de los puntos: P(2,1) y Q(4,6).

c) Forma Segmentaria de la Recta en donde “ x” e “ y”, son las variables y los parámetros m y n son
los puntos de corte de la recta con los ejes cartesianos.
x y
  1 siempre que la ecuación Ax + By =C con C≠0
n m
Esta forma es para toda recta que no pase por el origen del sistema cartesiano. Es decir, con la
condición de que su forma implícita sea de la siguiente manera:

Ejemplo Nº8: Conociendo las expresiones analíticas de las rectas, en cada caso se pide que
encontrar las expresión de las mismas en su forma segmentaria:

a) 6 y - 4 x + 3 = 0 Valor de m: _ _ _ _ Valor de n: _ _ _ _

Forma Segmentaria de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) 4y = - 2x + 32 Valor de m: _ _ _ _ Valor de n: _ _ _ _

Forma Segmentaria de la Recta: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

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Ejemplo Nº 29 Ecuación Lineal

Dada la siguiente ecuación lineal: 7 x + 5 y = 24 se pide:

a) Identificar cada parámetro, su valor y su significado.

b) Expresar la Ecuación Lineal en la Forma Implícita de la Recta y sus parámetros.
c) Expresar la Ecuación Lineal en la Forma Explícita de la Recta y sus parámetros.
d) Expresar la Ecuación Lineal en la Forma Segmentaria de la Recta y sus parámetros.
e) Comparar los valores de cada parámetro obtenido anteriormente
f) Representar la ecuación lineal en un sistema de ejes cartesianos, Realizar el gráfico en
Geogebra.
g) Explorar en Geogebra el cambio de algunos parámetros.

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