Tratado Genereal de Matematica

tratado geneRal de matematica
Carlos Lenin Zapata Aguilera

MATECALE
[Dirección de la compañía]
¿que? Implementar conceptos matemáticos
¿como? Utilizando el software mathematics 9
¿para qué? Para familiarizar los conceptos al lector
¿Cuando? El año 2021
Implementación de conceptos matemáticos en el software matemática
Ante la diversidad de conceptos y teorías matemáticas queremos que el lector descubra la riqueza de la
matemática
Por parte de los docentes puede suponer un impulso hacia la didáctica de la enseñanza de la
matemática, haciendo que sea de especial utilidad en la labor del docente y su interacción con el alumno
El tratado de esta obra busca la conexión de las ideas matemáticas y sus aplicaciones, frente a la
visión del estudiante sobre conceptos y
Procedimientos que a veces son muy difíciles de entender por el estudiante y el mismo lector.
Catedrático de la Universidad de Granada
PARA LA LECTURA DE
TEXTOS
DE CONTENIDO
MATEMÁTICO
Rafael Pérez Gómez
APRENDER A COMPRENDER MATEMÁTICAS
Una persona joven, que se está desarrollando,
debería ser estimulada para que se plantee problemas
y trate de resolverlos. Además, sólo deberíamos
ayudarle a resolver los problemas si necesita
ayuda. No deberíamos adoctrinarle ni imbuirle
respuestas cuando no se plantee preguntas,
cuando los problemas no vengan de dentro.
KARL R. POPPER
TU NÚMERO DE ZAPATO Y TU EDAD
Un problema antiguo y recreativo que nos permite darle un valor significativo y agradable para los
alumnos, es el que a continuación se formula si se siguen los pasos que se indican, el resultado será
un número de 4 cifras. Las dos primeras corresponderán con el número de su zapato y las dos
últimas indicarán su edad al final del año 2021
•Escriba su número de zapato.

•Multiplíquelo por 2.
•Sume 5 a ese producto.
•Multiplique esa suma por 50.
•Sume 1771.
•Reste el año de su nacimiento.
La aritmética es una rama de la matemática que nos permite explicar cómo es posible que
realizando estas operaciones podemos determinar el número de calzado de zapato y la edad que
tenemos en el año 2021
Explicación del procedimiento:
El número de zapato se escribe xy , lo que Significa que, al estar escrito en el sistema decimal, hay
“y” unidades y “x” decenas: xy =y+10*x.
•Multiplicarlo por 2, sumar 5 al resultado y, finalmente, multiplicar todo por 50, equivale a:
[(y+10*x)*2+5]*50=1000*x+100*y+250.
•Sumar 1771 hace que: 250+1761=2021, que es el año en el que estamos. Por tanto, restándole
su año de nacimiento obtendrá la edad, ab , que tendrá al final del año y que podrá escribirse
como: ab =b+10*a.
•Sumando todo, quedará: 1000*x+100*y+10*a+b, que es el número xyab
El problema que puede plantearse consiste, pues, en comprender cómo se consigue formar un
número de cuatro cifras a partir de los datos que se solicitan a una persona de tal forma que sus dos
primeras cifras se correspondan con el número del zapato de dicha persona y las dos últimas con su
edad.
Punto en el plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que se utiliza para representar

puntos en un espacio bidimensional. Este plano fue desarrollado por René Descartes, y
consta de dos ejes perpendiculares: el eje horizontal se llama eje x, y el eje vertical
se llama eje y.
Grafiquemos algunos puntos:(2,3); (-1,2); (-3,2) y (-3,-3)

3
-3 -2 -1 1 2 3
-3
Implementacion en wólfram mathematica

 Graficamos un punto con el siguiente comando
Graphics[Point[{2,3}]]
 Damos colora un punto
Graphics[{Red, Point[{2, 3}]}]
 Graficamos 2 puntos
Graphics[ Point[{{3, 4}, {3, -10}}]]
 Graficando dos puntos con el mismo color
 Graphics[{Green, Point[{{3, 3}, {2, -5}}]}]
Punto en plano tridimensional
Para localizar un punto en el espacio se requiere tres números reales (a, b, c) y tres líneas
perpendiculares llamados ejes coordenados como muestra la figura
Formándose 8 partes llamados octantes
Graficamos el punto (3,4,5)
(3,4,0)
Luego como el tercer número es 5 positivo subimos 5 hacia arriba en caso fuera negativo bajamos
(3,4,5)
Para entender mejor lo que en el mundo real seria

plano xy: El piso
Plano xz: Lado izquierdo de la pared
Plano yz: Lado derecho de la pared
Plano YZ
Plano XZ
Plano XY
o tanto, todo punto (a, b, c) determina una caja rectangular

Implementación en wólfram matemática
 Graficando un punto
Show[Graphics3D[ Point[{3, 4, 5}]]]
 Graficando un punto con color
Show[Graphics3D[{Red, Point[{3, 4, 5}]}]]
 Graficando 2 puntos con el mismo color
Graphics3D[{Green, Point[{{3, 4, 5}, {3, -10, -1}}]}]
 Graficando dos puntos con distinto colores
Show[Graphics3D[{{Green, Point[{3, 4, 5}]}, {Red,
Point[{-6, -10, -5}]}}]]
Función vectorial
Las funciones vectoriales permiten describir curvas y superficies en el espacio.

Tienen como dominio un conjunto de números reales y de rango un conjunto de
vectores.
Ejemplo:
R(t)=(t^3,√ t ,ln(3-t))
Primero establecemos el domínio =[0,3>

Ejemplo2:
R(t)=(1+t,2+5t,-1+6t)
Dominio =R
Para las gráficas se utilizará matlab

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas
Una curva definida por ecuaciones paramétricas es una forma de describir una curva en un plano o
en el espacio tridimensional utilizando un par de funciones o ecuaciones que dependen de un
parámetro común. En lugar de describir la curva mediante una única ecuación en términos de
coordenadas x e y (o x, y, z en el espacio tridimensional), se utiliza un parámetro t para describir
cómo las coordenadas cambian a medida que el parámetro varía.
Las ecuaciones paramétricas generalmente toman la forma de:

x = f(t) y = g(t)
En el caso de una curva en el espacio tridimensional, se utilizarían tres ecuaciones paramétricas:

x = f(t) y = g(t) z = h(t)
Cada una de estas ecuaciones describe cómo las coordenadas x, y e z, en el espacio tridimensional)
varían con respecto al parámetro t. A medida que cambia, la posición en la curva también cambia, lo
que permite describir curvas más complejas y variadas de lo que se podría hacer con una única
ecuación.
Las ecuaciones paramétricas son especialmente útiles para describir curvas que no son fáciles de
representar en forma específica mediante una sola ecuación. Pueden utilizarse en geometría, física,
ingeniería y otras disciplinas para describir trayectorias, curvas en el espacio y otros objetos
matemáticos de interés.
Su uso más importante de las curvas paramétricas es el diseño por computadora, algunas curvas
paramétricas son prácticas, algunas hermosas y algunas extrañas.
La bruja de Agnesi
La "Curva de Agnesi" se refiere a la curva matemática conocida como la "Brujola de María Agnesi" o
"Curva de Agnesi". Fue estudiada y nombrada en honor a Maria Gaetana Agnesi, una matemática
italiana del siglo XVIII.
La curva de Agnesi se define como el lugar geométrico de puntos en un plano que están a una
distancia fija de un punto llamado "foco" ya lo largo de una línea recta llamada "directriz".
Matemáticamente, se puede expresar mediante una ecuación en coordenadas cartesianas, y su
forma general se asemeja a una especie de ondulación suave.
La curva de Agnesi es interesante desde una perspectiva matemática, pero también se ha aplicado
en campos como la geometría, la física y la óptica. Uno de los aspectos notables de esta curva es
que fue estudiado por Agnesi como parte de su obra "Instituzioni analitiche ad uso della gioventù
italiana" (Instituciones Analíticas para el Uso de la Juventud Italiana), que fue uno de los primeros
textos matemáticos en los que se trataba del cálculo integral.
Hoy en día, la curva de Agnesi a menudo se utiliza como un ejemplo de una curva interesante en la
enseñanza de las matemáticas, especialmente cuando se abordan conceptos de geometría
analítica. Muestre que las ecuaciones paramétricas para esta curva se pueden escribir como
En estas ecuaciones, "a" es un parámetro que controla el tamaño y la forma de la curva, y "t" es el
parámetro que varía a medida que recorre la curva. A medida que "t" varía, la curva se genera.
La curva de Agnesi es una curva simétrica en relación con el eje y y está contenida en un solo
cuadrante del plano, generalmente el primer cuadrante. Su forma es similar a una especie de
campana suave y se estrecha hacia el eje x a medida que te alejas del punto de origen.
Todo triangulo dibujado sobre el diámetro de la circunferencia es un triángulo rectángulo Así

tenemos que la hipotenusa=2a=diámetro. Por lo tanto OA=2aSenoθ la ordenada del punto A es la
misma que la ordenada del punto P así obtenemos que la ordenada es 2aSenoθ Seno θ=2 a Sen 2 θ
Luego el ángulo C=θ asi la abscisa del puto C =2aCotgθ lo que es igual a la abscisa del punto P
P=( 2aCotgθ , 2 a Sen 2 θ )
Algoritmo genético:
 Seleccion:
 Cruce:
 Ordenación:
 Mutación:
 Evaluación:
Iteración y convergencia
Iteración significa repetir varias veces un proceso con la intención de alcanzar una meta
deseada, objetivo o resultado . Cada repetición del proceso también se le denomina una
"iteración", y los resultados de una iteración se utilizan como punto de partida para la
siguiente iteración.
Tomemos la función: f ( x ) =x+1
Partamos Tomando x=2
Iteremos:
f(2)=2+1=3 tomamos este resultado para hacer la siguiente iteración
f(3)=3+1=4 volvemos a tomar este resultado “4” y lo evaluamos en la función
f(4)=4+1=5
f(5)=5+1=6… y así sucesivamente. De esta manera siempre se vuelve a evaluar el valor del
resultado en la función para obtener el siguiente.
En informática y programación, una iteración es un proceso repetitivo en el que se

ejecuta un conjunto de instrucciones o un bloque de código varias veces. Cada
ejecución de este conjunto de instrucciones se conoce como una iteración o ciclo. En el
software mathematica tenemos el siguiente comando: NestList[f,expr,n] nos da una lista
de valores como resultado de aplicar “f” a “expr” n veces
Convergencia
En matemáticas, la convergencia se refiere a la propiedad de una sucesión o secuencia de

números que tiende hacia un valor específico a medida que los términos de la sucesión
avanzan. Es decir, una sucesión converge cuando sus términos se aproximan cada vez más a
un límite o un valor final a medida que se avanza en la secuencia. Por ejemplo, la sucesión
(1/n) converge hacia cero cuando n tiende a infinito, ya que los términos de la sucesión se
acercan cada vez más a cero a medida que n crece.
En general, el término "convergencia" se refiere al proceso o resultado de acercarse o

tender hacia un punto común o un estado deseado. Puede aplicarse a diferentes contextos
y disciplinas, pero aquí nos centraremos en su significado en matemáticas y en el ámbito
de la optimización.
Tomemos la función:
f (x)=x2
La función cuadrática tiene dos comportamientos de convergencia de 0 a 1 y cuando es

mayor que 1 función:
Iteremos la función 5 veces e iniciemos con x=0.8
iteraciones f(x)=x2
0.8 0.64
0.64 0.4096
0.4096 0.167772
0.167772 0.0281475
0.0281475 0.000792282
Vemos que converge a 0
Implementemos con comandos de wólfram mathematic

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Carlos Lenin Zapata Aguilera

•Escriba su número de zapato.

Punto en el plano cartesiano

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que se utiliza para representar

Grafiquemos algunos puntos:(2,3); (-1,2); (-3,2) y (-3,-3)

Implementacion en wólfram mathematica

Punto en plano tridimensional

Graficamos el punto (3,4,5)

Para entender mejor lo que en el mundo real seria

o tanto, todo punto (a, b, c) determina una caja rectangular

Las funciones vectoriales permiten describir curvas y superficies en el espacio.

Primero establecemos el domínio =[0,3>

Para las gráficas se utilizará matlab

Las ecuaciones paramétricas generalmente toman la forma de:

En el caso de una curva en el espacio tridimensional, se utilizarían tres ecuaciones paramétricas:

Todo triangulo dibujado sobre el diámetro de la circunferencia es un triángulo rectángulo Así

Tomemos la función: f ( x ) =x+1

Partamos Tomando x=2

f(2)=2+1=3 tomamos este resultado para hacer la siguiente iteración

f(3)=3+1=4 volvemos a tomar este resultado “4” y lo evaluamos en la función

En informática y programación, una iteración es un proceso repetitivo en el que se

En matemáticas, la convergencia se refiere a la propiedad de una sucesión o secuencia de

En general, el término "convergencia" se refiere al proceso o resultado de acercarse o

La función cuadrática tiene dos comportamientos de convergencia de 0 a 1 y cuando es

Iteremos la función 5 veces e iniciemos con x=0.8

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