MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD CATÓLICA
DE SANTA MARÍA
PRECATÓLICA 2021 - II
MATEMÁTICA
Claudia Patricia Cárdenas Ticona
Arequipa – Perú
Ingreso 2021
MATEMÁTICA
Solución:
TEORIA DE EXPONENTES Previamente debemos analizar la base para
verificar si es distinto de cero.
Este tema desarrolla dos operaciones 2 2 2 2 8

   
fundamentales que son la potenciación y la 3 15 35 63 9
radicación con sus respectivas propiedades 2 2 2 2 8
en el campo de los números reales.     
1 3 3  5 5  7 7  9 9
1. Potenciación en R  1  1 1  1 1  1 1 8
 1               
Es considerada como una multiplicación  3 3 5 5 7 7 9 9
abreviada, donde el exponente indica las 1 8
 1   0
veces que se multiplica la base y se obtiene 9 9
un resultado denominado potencia. 0
Por tanto: E  0  1
an  P ; a R ; n  Z ; P R
2. Determinar el valor de:
Donde: 2 5 1 0
a: base 𝑃=( − + )
3 4 2
n: exponente
P: potencia Solución:
1.1 Definiciones importantes Reducimos la base
2 5 1
1.1.1 Exponente natural − +
3 4 2
En la potenciación, si el exponente “n” es un
número natural y la base “a” es un número 8 − 15 + 6 1 0
= (− ) = 1
real se define:1 12 12
a) Exponente Cero
Toda cantidad real a excepción del cero b) Exponente Uno
elevada al exponente cero es igual a la Todo número real elevado al exponente
unidad. natural uno es igual al mismo número.
0 a1  a , a  R
a 1, a R  a  0
Observación importante
0 0 , es una indeterminación, (no es 1 ni 0) Ejemplo:
3. Reduce la expresión:
Ejemplos: 1
1. Dar el valor si existe en:  1 132 57
9
E    2 1
2 2 2 2 8
0 5
E     
 3 15 35 63 9 
1UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

Ciencias 2017”.Ingreso 2018
1 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II
MATEMÁTICA
Solución: 1.1.2 Exponente Entero Negativo
1
E  2 1 Nos indica que la base diferente de cero
5
1 afectada de exponente negativo se invierte.
E 3 (Inverso multiplicativo)2
5
16
E Si a  0  nN se define :
5
n
n 1  1
c) Exponente entero positivo a  n  
Una cantidad real elevada a un exponente a a
“n” natural mayor que 1, equivale a
Ejemplos:
multiplicar “n” veces dicha cantidad (base).
1 1
an  a . a . a  a 7. 3 2  2

  3 9
" n" factores
8.  5 3  1 1 1
 
Donde: aR; nN  n  1
 5 3  125 125
9.  2 6 = 1 = 1 1

Ejemplos:  26 26 64
3 3
5
4. 3  3x 3 x 3 x 3 x 3  243 3 5 53 125
 10.      3 
5 veces 5 3 3 27
5. (7)3 = (7) ( 7) (7) =  343
6. (2a)(2a)(2a) (2a)  (2a)10 1.2 Teoremas de la potenciación
  
10 veces
A continuación enunciamos los teoremas:
Observación Sea: {a; b}  R  {m; n; p}  Z3
Todo lo expuesto anteriormente se puede
esquematizar de la siguiente forma: Teorema 1: Multiplicación de potencias
de igual base
a
.a.
a
a; si n N  n  1 a m . an  am  n
 n veces
n 
a  1 ; si n  0 , a  0
a Teorema 2: División de potencias de
; si n  1, aR
 igual base

am m  n
 a ; a0
an
2UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – 3

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I
Ciencias 2017”.Ingreso 2018 – Ciencias 2017”.Ingreso 2018
MATEMÁTICA
Teorema 3: Potencia de potencia llamada raíz. La operación de radicación la
definimos, así:4
 
p
 am n   am.n.p n
a  r  a  rn ; n  N  n  1
 
Donde:
Teorema 4: Potencia de una
multiplicación Indice (n  N)
n
a.b  n n n a = r
 a .b
Radicando Raíz enésima
a . b 
m p n
 am.n .bp.n
Teniendo en cuenta el cuadro anterior y
Teorema 5: Potencia de una división como se trabaja únicamente en R se
establece:
n
a an
   n
, b0  Si n es par  a  0  0
r
b
  b raíz principal
n
 am  mn  Si n es par  a < 0  r  R
   a , b0
 bp  bp.n
   Si n es impar  a  0  r  0
Teorema 6: Exponente de exponente  Si n es impar  a < 0  r < 0
Una potencia con exponentes en cadena,
(exponente de exponente o exponentes Ejemplos:
sucesivos), se reduce desde la parte 4
superior. 11. 81  
3  34 = 81
w raíz real
p T principal
n w
m m T
12. 5 32 = 2  25 = 32
a = a = a = I
Observación importante 13. 3  125 = 5  (5)3 = 125
 
p p
2.1 Definición de exponente fraccionario
 am n   mn
a
  m
  Exponente de
Potencia de Exponente an  n am
potencia
m
Siendo una fracción irreductible
2. Radicación en R. n
Ejemplos:
Es una operación inversa a la potenciación,
1
donde a partir de dos cantidades: índice y
14. 83 3 8 2
radicando obtendremos otra cantidad
4 UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I

– Ciencias 2017”.Ingreso 2018
MATEMÁTICA
1
 1 m a n b p mnp ( anb)p  c
15. 81 4
1
 4 81  31   x x xc  x
3
3
m a n b p c mnp ( anb)p  c
16. 55  5 53  5 125  x : x : x  x
5
7 5
17. 2  27 Teorema 5: Valor principal de una
radicación
2.2 Teoremas de la radicación
A continuación enunciamos los siguientes n
A n  r ; si A  R   nN (n  2)
teoremas:5
Teorema 1: Raíz de una multiplicación Luego:
n
ab  n a . n b ; n a ; n b R 2n a ; si x  0
a 2n  a  
Si n es par entonces a  0  b  0  a; si x  0
Ejemplos:
Teorema 2: Raíz de una división
18. 32  | 3 |  3
n
a

n
a ; b0, n a ; n b R
b n
b 19.  32  | 3 |  3
Si n es par entonces a  0  b > 0
20.
4
3  5 2 4  5 2 3 ; 3  5 2 < 0
Teorema 3: Raíz de una raíz
m n p
a 
mnp
a ; m, n, p  R
21.
6
6  3 6  6  3 ; 6 3 >0
Si mnp > 0  a  0 Corolario: 2n1 2n1

a a
Teorema 4 Ejemplos:
p mnp
m an
x y b z c  m x a . mn y b . zc 22. 3  23  2
 mnp x anp . y bp . z c 23. 5 35  3

Observaciones
ab ac
Del teorema anterior, si las bases x, y, z Corolario: x  b xc
son iguales, se concluye a una forma
práctica de reducir, veamos: Si a.b es par  x  R  x  0
24.

MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS6
E=
52 x 1. 3x 1 52. 3  5  
Ejercicio 1 52 x 1. 3x 1 5 . 3  1
Simplificar: 70
E= E=5
216 𝑥 353 𝑥 803 14
𝐸=
154 𝑥149 𝑥302 Al obtener como resultado una expresión
numérica donde la letra x ya no aparece,
Solución:
concluimos que la expresión es
Previamente descomponemos las bases en
independiente de x, es decir para cualquier
el producto de sus factores primos:
valor que tome x, la respuesta siempre será
3  7  5  7  2 4  5
6 3 3
E 5.
3  54  2  79  2  3  52 Luego, los valores de verdad son:
Aplicando potencia de un producto: I) F
II) V
36  76  53  73  212  53 III) V
E 4 4 9 9 2 2 2
3 5 2 7 2 3 5 Ejercicio 3
Multiplicando y dividiendo potencias con xx
bases iguales: Si: x
x 2
x
36  79  56  212 x x  xxx  xx
E  6 6 11 9 Calcular: E = x x
3 5 2 7
Solución:
E=2
Aplicando los teoremas:
Ejercicio 2 m n
 a  am . an
Al reducir la expresión:
E=
2 x 1
5 .3  5 .3x 2x x 1  am.n  am    a n n m
52 x . 3x  52 x 1 . 3x 1 an
Se puede afirmar que:  a mp  n
a mp .an
  a mp 
 
I. Si x es una cantidad positiva muy grande,
la expresión E es igual a 1. Se obtiene:
x xx
xx xx  x
II. Si x = 8 la expresión E es igual a 5. x .x
E= x
III. La expresión E no depende de x.
x xx
Solución: x xx
.x xx . xx
E= x
Factorizando en el numerador y
denominador: 52 x 1 . 3x 1

MATEMÁTICA
1 4
 xx 

 x 
 
x
 xxx 

x 
 4 x3  16x3  25x3 

E =  x x 
xx 


  2

  = 3 
 5  9x5  4 202 
4 2

E = 22
2

 

  x4 
1
E = 24  2 3  4 35 3  2 
= 3  
E = 16  5  3 5  20  
 
Ejercicio 4 2
Determinar el valor de:  3 
= 3 
5 3  2 5 
3 2 2
32 . 272 2
E= 2 4 2 5
5 3  3 
4 . 81  3 
Solución: 3 45  20

=
Aplicando la definición de exponente 3
fraccionario en cada radical, se obtiene: Ejercicio 6
6 4
325 . 27 3  32 .  27
5 6 3 4 Halle el exponente de x x en:
E= 5 3
 1
25 . 33
4 2 . 814  x x x2 x  x x . x 
x
1 x1 x
 
26.34
E= 5 3 Solución:
2 .3
Previamente factorizamos el exponente del
E=6 radicando:
Ejercicio 5 2x x x x
x  x . x  x ( x  x)
Reducir: Y efectuando:
 1 4
  1 xx
 12  148  75  2
1 x1 x
, se obtiene: x
x x
E= 3  4 4
 
 25  45  400  
  Luego, reemplazando en la expresión inicial,
tenemos:
Solución: xx
 x x x x ( x x  x)  x x  x
 x 
 

MATEMÁTICA
xx
-1
- 1/2
x 9
- 2
9 1/3
x x x 1 * 8 =8 =8 =2
 (x )
0
x x 1
Luego el exponente de x es x - 4
- 4
1
Ejercicio 7 16 1
* 16 1/4
1/2  16 2  4
Efectuar:
 3 1
 
2
 
3
Reemplazando los valores en P:
E =  32   32 
5 5
  P = 10 + 2 + 4
 
P = 16
Ejercicio 9
Solución: 7 57
5 3
Efectuando cada sumando del corchete: Reducir: 3
4
 24
2
5  322  41

 32  5  32 2 
5
Solución:
3

 32
5
 5  32 3   23   81 5 3
7 5 7
3 4
 24
Luego, reemplazamos en E:
3

1 3 4
 2 4
 1 1 3
E=   
 4 8
1
4
 24 2
 1
 1 3
E=   2  83 Si simplificamos directamente se podría
8
llegar a una contradicción, pero la
Ejercicio 8
Calcular el valor de: expresión si existe pues  24  24 es
83
1
1 40 positivo.
32 25 9 2 16 4
P = 100 8  16
Solución:
Efectuando cada uno de los términos por Ejercicio 10
separado: Reducir a su forma más simple:
-1 1/3
-3
3
3
x2 3 x2 3 x2 .... x2 , n radicales.
- 8
- 25 M=
32 1/2
* 100 1/5 = 10
1/2

MATEMÁTICA
Solución: 3. Reducir:
Por inducción: 1
𝑃 = [((8)2 )0,5 ]2 + ((−19)9 )9
3 3
Para 1 radical: x2 = x31 − (−7)3
A) 342
3 32
3
x2 x2 =
2
1
Para 2 radicales: x3 B) 288
C) 192
Para 3 radicales:
D) 388
3 23 23 2 33 3 3 1
x x x = x . E) 268
Entonces, para “n” radicales:

3 23 2 3 2 3 2 3n 3n 1
x x x ... x  x
4. Calcular el valor de:
1 −5 1 −4
𝑀 = (− ) + (− ) + (−9)2
PROBLEMAS PROPUESTOS 2 4
A) 280
(32)3 × (625)3 ×(15)2
1. Simplificar: B) 348
(125)4 ×(40)2 ×(48)2
A) 5 C) 175
B) 12 D) 305
C) 8 E) 85
D) 4
E) 2
5. El valor de:
3 ̅
1 −0,2 1 5 1 −0,3
𝑃= ( ) − ( ) + (− )
243 32 27
2. Simplifica:
(12)6 × (45)3 × (30)4 ×(343)4
A) 3
(21)6 × (35)6 × (18)5
1
A) 10 240 B) −
8
B) 20 480 C) 0
C) 1 024 1
D)
4
D) 2 048
E) 2
E) 2 550

MATEMÁTICA
6. Simplifica la expresión: 9. Determinar el valor de 𝑀2 , si:
−1
0,40,1  0,30,2  0,20,3  0,10,4 3

3x +5 − 7.3x +2 + 8. 3x +1
3 3
E 0,8 𝑀=
0,50,5  0,3 3 3
61. 3x + 3x +2 − 19.3x
3
A) 0,06
A) 2
B) 0,12
B) 3
C) 0,6
D) 1,2 C) 2
E) 51 D) 1
E) 2−1
1
1 −
( ) 3
7. Determinar el valor de: 𝐸 27 − 2 10. Si A = B, entonces el valor de
1, 6̂ 0, 3̂ 3 2 6𝑛 − 2√𝑛 es:
𝐸=( − )( + 0,16̂ − ) 6 5
0, 3̂ 1, 6̂ 2, 6̂ 3 𝐴 = √𝑥 4𝑛−3 . [(𝑥 2 )𝑛 ]6
−1
A) 0 −1 36−2
92 4
𝐵 = [(𝑥 𝑛 ) ] . 𝑥2
B) 1
C) 52 A) 50
D) 5 B) 48
E) 53 C) 37
D) 25
E) 72
8. Determina el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:
I. (𝑎 + 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 + 𝑏 𝑚 11. Simplificar la expresión, si 𝑚 ≠ 0:
1 1 1 −3𝑚 1 −1
II. Siempre se cumple que 𝑎−1 = 1 1 −2( 𝑚 𝑚 𝑚 )(𝑚)
−( 𝑚 𝑚 )( ) 𝑚 .𝑚 .𝑚
.( )
𝑚
𝑎
5 𝑥 𝑚 5+𝑥+𝑚
1 𝑚 .𝑚 𝑚
III. 7 + 7 + 7 = 7 4( )
𝑚
IV. [[(25 )2 ]0 ]−1 = 1
A) FFFV A) m
B) FFFF B) 2m
C) VFVF C) 3m
D) FVFV D) 4m
E) VVFV E) 5m
MATEMÁTICA
12. Calcular el valor de: A) 64
𝑎 3𝑎+1 B) 80
𝐸 = √ 𝑎+2
√9 √ 9 𝑎 C) 40
A) 5 D) 56
B) 1 E) 72
C) 2
D) 3 15. Simplifica la expresión y agrega al
4
E) 9 resultado −21𝑥 √𝑥 3
3 4 51
√ √𝑥 6
13. Calcular el valor de: 5 3 𝑥
2−1 √𝑥 2 √𝑥 4 √𝑥 7
8
25 +3 ∶
𝑀= ( √52 . 54 . 5258 . 5258 ) √ 𝑥2
3
𝑛+
1 A) 12𝑥 4
𝑛 25 4 . √5𝑛−2
−√ 7
B) −20𝑥 4
√1 √52𝑛
5 7
C) 18𝑥 2
A) 42 5
B) - 20 D) −16𝑥 4
4
C) - 13 E) 28𝑥 5
D) 10
E) 15
𝑚
16. Si se cumple que: √3𝑛 √3𝑝 = √27,
determinar el valor de:
14. Renato recibe de su mamá una propina
3𝑚−𝑝 25𝑝
semanal equivalente al doble de la 𝑄= √
(15625)𝑚−𝑛
expresión simplificada:
5 3 15
(√25) ( √5) (√25)
11 3 2 A) 5
3 25 B) 4
(√5) √125
2√27 + 5 √729
4 C) 0,5
+
7 √3 D) 7,5
E) 12

MATEMÁTICA
17. Un ingeniero veterinario está realizando 19. Durante un experimento cierta colonia
el cálculo de la superficie en Km2 que de bacterias crece triplicando su número
necesita para abastecer a una población de individuos cada día inicialmente hay
de ganado porcino y vacuno, si la 1000 bacterias en la colonia ¿Cuántas
superficie para el ganado vacuno está
bacterias habrá dentro de 4 días?
𝑛2 2
90𝑛 +1
dado por √ 2 2 y la A) 2,7 x 104
9𝑛 +2 + 9𝑛 +1
superficie para el ganado porcino está B) 1,8 x 104
4𝑎+2𝑏 . 2𝑎+2
dado por . Indicar cuál de C) 106
8𝑎−1 .16𝑏+1
las siguientes proposiciones es correcta: D) 8,1 x 104
A) El ganado vacuno necesita más
superficie que el porcino. E) 9 x 103
B) El ganado porcino necesita más 20. Con los datos del problema anterior,
superficie que el vacuno.
C) El ganado vacuno y porcino necesitan luego de cuantos días habrá 7,29 x 105
igual superficie A) 8
D) El ganado vacuno necesita superficie B) 10
mayor a 12 𝐾𝑚2 C) 12
E) El ganado porcino necesita superficie
D) 6
mayor a 12 𝐾𝑚2
E) 9
TEORÍA DE EXPONENTES
1 2 3 4 5
E A D D B
18. Un biotecnólogo obtiene una expresión
6 7 8 9 10
M que representa a los días de vida de
una bacteria ¿Cuántos días vive la C C A A B
bacteria?
11 12 13 14 15
2𝑛 . 2𝑛+1 + 50𝑛 𝑛+1
𝑛 5 2
. √5𝑛 −1
𝑛
𝑀 = √ 5 .8 − 5
𝑛+1 D D B D B
1⁄
𝑛
√25−1 . √5−1 16 17 18 19 20
A) 100 A A D A D
B) 180
C) 150
D) 250
E) 320
MATEMÁTICA
4. Producto de dos binomios con término
común
PRODUCTOS NOTABLES
(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab
Son los resultados de ciertas 5. Cubo de un binomio

multiplicaciones indicadas que se obtienen
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3
en forma directa, sin necesidad de efectuar
la operación de multiplicación.
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Los principales productos notables son:7
1. Binomio al cuadrado También podemos utilizar sus
equivalentes:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Sumando o restando miembro a miembro
Consecuencias:
las igualdades anteriores se deducen las
siguientes identidades: (a+b)3 + (a–b)3  2a (a2+3b2)
Identidades de Legendre (a+b)3 – (a–b)3  2b (3a2+b2)
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 5. Suma y diferencia de cubos
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Consecuencias:
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab
7. Trinomio al cubo
a2 + b2 = (a–b)2 + 2ab
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(a+c)
(a+b)4 – (a – b)4= 8 ab (a2+b2)
2. Trinomio al cuadrado (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 +
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) + 3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc
3. Diferencia de cuadrados Igualdades condicionales:
(a + b) (a – b) = a2 – b2 Si: a + b + c = 0, se cumple:
1° a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
(am + bn) (am – bn) = a2m – b2n 2° (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
3° a3 + b3 + c3 = 3abc
MATEMÁTICA
E = n (2  3 ) (2  3 )
PROBLEMAS RESUELTOS8
Ejercicio 1 E  n 22 - 3 2
Efectuar
E = (x+a) (x-a) (x2 + a2) (x4+ a4) + a8 En 4-3
Solución: En 1 = 1
Teniendo en cuenta que:
(a +b) (a –b) = a2 – b2
Entonces: Ejercicio 4
 (x + a)(x – a) = x2 – a2 Calcular: E = ( 2  1) 5
 (x2 – a2)(x2 + a2) = x4 – a4
Solución:
 (x4 – a4)(x4 + a4) = x8 – a8
Expresando convenientemente, se tendría:
Por consiguiente:
E = x8 – a8 + a8 E = [( 2  1) 2 ]2 .( 2  1)
E = x8 Operando por partes:
Ejercicio 2 [( 2 -1)2]2 = (2 – 2 2 +1)2 = (3–2 2 )2

Si: a+b=5 ab=7, calcular: 𝑎4 + 𝑏 4 = 9 – 12 2 + 8
Solución: = 17 – 12 2
De la condición inicial elevamos al cuadrado Con lo cual, se tendría:
y luego reemplazamos: E = (17 – 12 2 ) ( 2 -1)
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 E = 17 2 – 17 – 24 + 12 2
→ 52 = 𝑎2 + 2(7) + 𝑏 2 E = 29 2 - 41
→ 𝑎2 + 𝑏 2 = 11
Elevamos al cuadrado la igualdad: Ejercicio 5
(𝑎2 + 𝑏 2 )2 = 112 1
Sabiendo que: 𝑥 − = 2
→ 𝑎4 + 2(𝑎𝑏)2 + 𝑏 4 = 121 𝑥
1
→ 𝑎4 + 2(49) + 𝑏 4 = 121 calcular el valor de: C= 𝑥 2 +
𝑥2
𝑎4 + 𝑏 4 = 23
Solución:
Ejercicio 3
Simplificar: De la condición, elevando al cuadrado:
E = n 2  3. n 2  3. 1 2 1 1
(𝑥 − ) = 22 → 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 = 4
𝑥 𝑥 𝑥
Solución: 1 1
Teniendo en cuenta que: → 𝑥2 − 2 + 2 = 4 → 𝑥2 + 2 = 6
𝑥 𝑥
n a . n b  n ab Por consiguiente:
a0b0
C=6

MATEMÁTICA
Ejercicio 6 Desarrollando cada término
1 3 3 E = x3 + 3x2c + 3xc2 + c3
Si: x  x  6 . Calcular x  x
-x3 + 3x2c – 3xc2 + c3
Solución: -c3 - 3c2y – 3cy2 - y3
Elevando la condición al cubo, se obtiene: -c3 + 3c2y2 – 3cy2 + y3
( x  x 1 ) 3 = ( 6 ) 3 ----------------------------------
x 3  x  3  3x.x 1( x  x 1 )  6 6 E = 6x2 c - 6c2 y2
E = 6 c [x2 – y2 ]
Dado que: x + x-1 = 6
Volviendo a las variables originales:
x3  x 3 + 3 6 = 6 6 E = 6c [ (a + b)2 – (a –b)2 ]
x3  x 3 = 3 6 . E = 6c [ a2 +2ab + b2 –a2 + 2ab –b2]
E = 6c [4ab]
Ejercicio 7 E = 24abc .
Si: a2+b2+c2=14. Calcular el valor de: Ejercicio 99
E = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 + Sabiendo que:
E = (x - 5) (x  6) (x - 1) (x  2)  196
+ (a – b + c)2 + (b + c – a)2
Solución: Hallar: G = E  16, 25
Desarrollando cada término, se tendría:
E = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc+ Solución:
Observemos que:
a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc+
a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc+ E = (x - 5) (x  6) (x - 1) (x  2)  196
a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc Se transforma en:
Reduciendo tenemos: E = (x 2  x - 30) (x 2  x - 2)  196
E = 4a2 + 4b2 + 4c2 Haciendo: x2 + x = a
Factorizando “4”: E = 4(a2+ b2 +c2) E = (a  30) (a  2)  196
E=4×14 = 56 E = a2 - 32 a  256
Como la cantidad subradical es un cuadrado
Ejercicio 8 perfecto.
Simplificar: E = (a  16)2  E = a – 16
E = (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – E = x2 + x – 16
– (a – b + c)3 – (– a + b + c)3 Reemplazando en G:
Solución: G = x2  x - 16  16,25
Haciendo el cambio de variables: 1
G= x2  x 
a+b=x 4
a–b=y Siendo la cantidad subradical, un cuadrado
Se tendría en E. perfecto
E = (x + c)3 – (x – c)3 –(c + y)3 – (c–y)3

MATEMÁTICA
1 1 Por proporciones:
G= (x  ) 2  G= x+ (x + y)2 = 4xy
2 2
ó lo que es lo mismo Desarrollando y simplificando, vemos que:
2 x 1 x2 + 2xy + y2 = 4xy
G= x2 – 2xy + y2 = 0
2
Ejercicio 10 (x – y)2 = 0  x = y
x9 a Reemplazando “x” por “y” en E; se obtiene:
Sabiendo que: 9   7
x a y2  y2 y
R= 2
  1- 1
2y y
a x9
Calcular: 4 4 R = 0
x9 a
Solución Ejercicio 12
a x9 Siendo:
Sea: E  4 4
x9 a ab= 3 100  3 10  1
Elevando el cuadrado, se obtiene: a2  b2  1  3 10

a a x9 x9
E2 =  2 4 .4 + Determine el valor de (a - b)4 - (a+b)4
x9 x9 a a
Solución:
x9a
E2–2 = 
x9 a Se pide: (a - b)4 - (a+b)4= - 8ab(a2+b2)
Nuevamente elevando el cuadrado Reemplazando datos:
obtenemos:  
(a  b)4  (a  b)4  8 1  3 10 1  3 10  3 100


x9 a
(E2 = 9
–2)2 +2 E   8(1  10)
x a
E   88
Reemplazando el valor de la condición:
Ejercicio 13
E2 – 2 = 72 3 Reducir:
De donde: 3
√(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)(𝑥6 − 𝑥3 + 1)(𝑥18 − 𝑥9 + 1) − 1
E2 = 5  E= 5 Solución:
Teniendo en cuenta la suma de cubos,
Ejercicio 11 procedemos así:
1 1 4 T = 3√(𝑥 3 + 1)(𝑥 6 − 𝑥 3 + 1)(𝑥 18 − 𝑥 9 + 1) − 1
Si:  
x y xy
x2  y2 x →T= 3√(𝑥 9 + 1)(𝑥18 − 𝑥 9 + 1) − 1
Calcular: E = 
2xy y 3
→ T= √(𝑥 3 + 1) − 1
Solución:
Operando en la condición:
3
→ T= √𝑥 27
xy 4
 T=𝑥 9
xy xy
MATEMÁTICA
A) -2
PROBLEMAS PROPUESTOS
B) -1
1. Sabiendo que:
C) 0
x + y = 3 ; xy = 4
Calcula el valor de: D) 1
E = x 2 + 2x + y 2 + 2y E) 2
2 2
A) 7 5. Si: x + y = 3xy , entonces el valor
2
B) 5 (x + y )
de: , es:
xy
C) 1
A) 1
D) 6
B) 3
E) 8
C) 5
2. Calcula el valor de: E = x 4 + x - 4 , D) 2

sabiendo que se cumple: x - x - 1 = 2 E) 6
A) 38 6. Sean x , y números reales tales que
B) 36 x 2 + y 2 = 4 x - 2y - 5
C) 4 Halle el valor de
D) 2 x2 + y 2
E) 34 xy + 1
A) 3
B) 2
3. Si: x  48  4  3 1
Calcula el valor de: E = x 4 - 2x 2 + 7
C) -5
A) 3 D) -1
B) 9 E) –3
C) 4 7. Si se sabe que:
x + y = 11
D) 5
xy = 4
E) 3 2
Calcule el mayor valor de x- y
A) 2
4. Calcula el valor de: B) 3
x2 + y 2 x - y C) 1
E= + , si se cumple
xy 2x
D) 2
2 2 2 2
que: (x - 2y ) + (2x - y ) = x + y 3
E)
MATEMÁTICA
8. Al reducir la expresión: A) 2
2 2
B) 4
E= ( 5- x 2
) ( 5- x - x)
+x + 2
,
C) 6
se obtiene:
A) 2 D) 8
B) 5 E) 10
C) 10
12. Si: x = 1- y , calcule el valor de la
D) 2x 2
expresión:
E) 4x 2
(x - y )(x 2 + y 2 )+ y 4
E=
9. El valor equivalente de: x2
2 2 2 A) 1
[(√5 + √3) − (√5 − √3) ]
𝐸= B) x
2 2
(√5 + √3) + (√5 − √3) C) x 2
es: 2
D) y
A) 5
E) xy
B) 15
C) 10 13. Si: x  2  2
4
D) 20 Calcular: E  x 
2
x2
E) 2 A) 1
B) 3
10. El valor de la expresión:
1 1 C) 6
𝐸 = (√5 + 1) [ + ]
√5 + √3 √3 + 1
es: D) 12
A) 1
E) 8 2
B) 2
14. Reducir la expresión:
C) 4 2
(x 2 + 8x + 11) - (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
D) 6
A) 16
E) 8
B) 12
2 2
11. Calcula el valor de: E = 8xy ( x + y )
C) 15
Si se cumple que:
D) 9
2x  4 8  4 2
E) 6
2y  4 8  4 2

MATEMÁTICA
15. Simplifica la siguiente expresión. A) 1
2
E = (x - 1)(x )(x + 1)(x + 2)- (x 2 + x - 1) B) 2
A) 1 C) 3
B) -1 D) 4
C) 2 E) 5
D) -2
E) 0 19. Si se cumple que:
1
x- = 2
x
16. Calcula el valor de:
Calcula el valor de la expresión
E = (x 2 - 4)(x + 5)(x + 1), sabiendo
1
2
que: x = 5 - 3x
E = x3 -
x3
A) -35 A) 1
B) 6
B) 2
C) -24
C) 3 2
D) 12
E) -25 D) 2 2
E) 5 2
17. Siendo x ; y ; z números reales positivos,
que cumplen las condiciones:
20. Si: x + y = 3 ; xy = 4
x2 + y 2 + z2 = 5
Calcula el valor de
xy + yz + xz = 2
x 3 + y 3 + 4 13
Calcula el valor de: E=
2 x2 + y 2
E = (x + y + z + 1)
A) 4 A) 13
B) 5 13
B) 9
13
C) 16 C) 13
5
D) 25 5
D) 13
E) 49 21
13
18. Si se cumple que: E) 13
5
x 3 + y 3 = 18
xy = 1
El valor de x + y es:

MATEMÁTICA
21. Si
1 1 1
, el valor de A) 8
+ =
x y x+ y
B) 1
6 6 6
(x + y ) - 6(x + y ) C) 27
E= 3
(xy ) D) 64
A) -12
E) 125
B) -11
25. Si: xy + xz + yz = - 3
C) -15 x2 + y 2 + z2 = 6
D) -10 Determine el valor de
2 2 2
E) -9 x (y + z ) + y (x + z ) + z (x + y )
E=
xyz
22. Si: x 3 = 8 Calcular el valor de: A) 1
E = x 2 + 2x + 16 , siendo 𝑥 ≠ 2 B) 2
A) 6
C) 3
B) 8
D) 4
C) 9
E) 6
D) 10
E) 12
CLAVE DE RESPUESTAS
23. Sabiendo que: x + y = 3 xy 1 2 3 4 5
Calcula el valor de:
3 3 A E A E C
æx ö
÷ æy ö
ç
E = ç + 1÷ ç ÷
çè y ÷ + ççè x + 1ø
ø
÷
÷ 6 7 8 9 10
A) 27 C E C B B
B) 81
11 12 13 14 15
C) 97
C C D A B
D) 162
E) 486 16 17 18 19 20
A C C E A
24. Si: 9m + 9n = 5 ; 21 22 23 24 25
3m+ n = 2
m n 3 B E E C C
Calcula el valor de E = (3 + 3 )

MATEMÁTICA
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Al expresar: 24 = 3 x 8; se ha factorizado 24
en producto de enteros; siendo 3 y 8 factores
2. Factor primo
enteros de 24. A su vez: 24= 3 x 23; 3 y 2 son
Es un factor irreductible de un polinomio,
también factores de 24 y se llaman factores
sobre un determinado campo.12
primos. NOTA: Cuando no se especifica el campo se debe
Al expresar un polinomio como el producto sobreentender que es sobre los racionales (Q)
de otros polinomios pertenecientes a un
conjunto, se ha efectuado una factorización TEOREMA: Todo polinomio de primer grado
de polinomios.10 es irreductible en cualquier campo
No todos los polinomios se pueden numérico.
factorizar.de la misma manera. De acuerdo a
las características que presentan los Ejemplo 1:
polinomios se puede aplicar tal o cual f ( x)  x 4  49
método, por ejemplo: a) Factorizando en el conjunto Q.
ax2y2 + bxy3z + cx3my4 → Factor común f ( x)  ( x 2 ) 2  72  ( x 2  7)( x 2  7)
 
Pr imos en Q
Ax2n + Bxnym + Cy2m → Aspa simple
Existen 2 factores primos en Q
Ax2n + Bxnym + Cy2m+Dxn + Eym + F → Aspa doble
b) Factorizando en el conjunto R
Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E → Aspa doble especial
f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)
Ax3+Bx2+Cx+D → Divisores binómicos f ( x)  ( x 2  7)( x  7 )( x  7 )
  
1. Definición Pr imos en R
Es el proceso que consiste en transformar un Existen 3 factores primos en ℝ
polinomio racional entero en una
multiplicación de dos o más polinomios de c) Factorizando en C, tendremos:
grados mayores o iguales a uno, llamados f ( x)  ( x 2  7)( x  7 )( x  7 )

factores y si estos no se pueden
descomponer en más factores se les
denomina factores primos. f(x) = [x2 – ( 7 i)2 ] (x+ 7 ) (x – 7 )
Podemos concluir que la factorización es un
proceso que permite expresar a un polinomio f ( x)  ( x  7i)( x  7i) ( x  7 )( x  7 )

como una multiplicación de sus factores Pr imosen C
primos.11 Existen 4 factores primos en C
10 UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I 12UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I
– Ciencias 2017”.Ingreso 2018 – Ciencias 2017”.Ingreso 2018

MATEMÁTICA
3. Número de factores primos Ejemplo 5:
El número de factores primos depende del
conjunto numérico en el que se trabaje. En P(x, y) = x2y, tienen los siguientes, factores:
los racionales el número de factores primos 1 : Polinomio de grado cero,es factor
se calcula contando los factores de la 
base.13  de cualquierpolinomio

x : Factor primo

Ejemplo 2: x 2 y y : Factor primo
F(x) = (x + 1) (x2–x+1) tiene 2 factores xy : Factor compuesto
primos 
x 2 : Factor compuesto

Ejemplo 3:  2
x y : Factor compuesto
P(x) = (x–1)2 (x+2) (x+2) (x–5)3
P(x)  tiene 3 factores primos Por lo tanto:
P(x) =5(x-2)2(x2+3x+1) x2y: tiene en total 6 factores, de los cuales 2
tiene 2 factores primos y 5 no es son factores primos (x e y), hay 3 factores
considerado factor en este caso por ser compuestos (xy; x2; x2y) y el 1 que no es
de grado nulo. primo ni compuesto
4. Número de factores de un polinomio Cálculo de manera directa: P(x, y) = x2y

Dado el polinomio “P”, el cual luego de ser N° factores = (2+1)(1+1) = 6
factorizado totalmente se expresa así: N° factores compuestos = 6 – 2 – 1= 3
P  A aBb C c
6. Métodos de factorización15
Siendo A, B y C sus factores primos; el 6.1 Factor común monomio y polinomio
número de factores del polinomio P, se Se utiliza cuando todos los términos del
calcula de la manera siguiente:14 polinomio tienen un factor que le es común.
El factor común puede ser un monomio o
N de factores  (a  1)(b  1)(c  1) un polinomio.
Ejemplo 6:
Ejemplo 4: Factorizar:
5x10 y 5  10 x 7 y 8  25 x11y 9
Sea P(x)= (x–1)2
(x+2) (x–5)3
N° factores = (2+1) (1+1)(3+1) = 5x 7 y 5 ( x 3  2y 3  5 x 4 y 4 )

N Factores  24 Factor común
monomio
NOTA: Al factor de un polinomio también se le
llama divisor, que no necesariamente es primo
Ejemplo 7:
5. Número de factores compuestos
Los factores compuestos resultan de la Factorizar:
combinación de los factores primos: P(x, y, z) = (x – y + z) a + (y – x – z) b

MATEMÁTICA
P(x, y, z) = (x – y + z) a – (x – y + z) b A( x, y )  ( x  y )( x 2  y 2 )( x 4  y 4 )
P (x, y, z) = (x  y  z) (a  b)
 
Factor común
polinomio Obsérvese que:
6.2 Por agrupación de términos Existen 3 factores primos:
Consiste en agrupar los términos del (x+y), (x2 + 42) y (x4 + y4)
polinomio por binomios, trinomios, que luego Presenta 1 factor lineal: (x + y)
de descomponerlos a su vez en dos factores, Presenta 1 factor cuadrático: (x2 + y2)
aparece algún factor común polinomio en
todas las agrupaciones realizadas. 6.3 Por identidades
En este caso utilizaremos las equivalencias
Ejemplo 8: algebraicas en sentido inverso al de los
Factorizar: productos notables.
F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1
Solución:
Agrupando en la forma indicada. 1. (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
F  abc ab ac  bc  a  b  c  1 2. (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
  3. (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1) 4. (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
F  (c  1) (ab  a  b  1) 5. (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)] 6. (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑
Del corchete se extrae el factor común 7. (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) = 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
(b + 1): 8. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 +
𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄
F  (c  1)(b  1)(a  1)
Ejemplo 9: Ejemplo 10:
Factorizar: Factorizar
N = x6 – x4 + 2x2 – 1
A ( x, y )  x 7  x 6 y  x 5 y  x 4 y 3  x 3 y 4  x 2 y 5
 xy 6  y 7 Solución:
Agrupando los tres últimos términos y
Solución:
extrayendo el signo (–).
Agrupando convenientemente: 4 2
N = x6 – ( x  2 x  1 )
A(x, y)=x6(x+y)+ x4y2(x+y)+x2y4(x+y)+y6
N=x6 – ( x 2  1) 2
(x+y)
N  ( x 3  x 2  1)( x 3  x 2  1)
Extrayendo Factor común:
6 2 4
2 4 6
A(x, y)=(x + y) ( x  x y  x y  y ) Ejemplo 11:
Factorizar:
A(x, y)=(x + y) [x4 (x2 + y2)+ y4 (x2 + y2)] P(a,b,c,d) =
b 2  c 2  a 2  d 2  2ad  2bc
Extrayendo el factor común: (x2 + y2) dentro
del corchete se tiene: Solución:
= (b 2  c 2  2bc )  (a 2  d 2  2ad)

MATEMÁTICA
= (b  c ) 2  (a  d) 2 . Pasos:
1° Se trazan 2 aspas simples entre los
P(a,b, c, d)  (b  c  a  d)(b  c  a  d) términos:
(Ax2 Cy2), además (Cy2 F)
6.4 Método del aspa simple 2° Si faltaran términos se completarán con
Se utiliza para factorizar polinomios que ceros.
adoptan la siguiente forma general: 3° Se traza un aspa simple de
comprobación entre los extremos.
ax 2n  b n y n  cy 2n 4° Se forman factores como el método
anterior (horizontalmente)
El método consiste en descomponer los
Ejemplo 14:
términos extremos, de tal manera que al
Factorizar
multiplicar en aspa y sumar los resultados y
A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
nos produzca el término central, siendo los
Solución:
factores las sumas horizontales.
Ejemplo 12:
A (x,y) = 3x2+ 4xy + y 2+ 4x + 2y + 1
Factorizar: 8x2 – 22x + 15
3x +y +1
Solución: (I) (III) (II)
8x2 – 22x + 15 x +y +1
4x – 5 = – 10x
2x – 3 = – 12x Comprobaciones:
– 22x (I): (3x) y + x (y) = 4xy
(II): y (1) + y (1) = 2y
Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)
(III): 3x (1) + x (1) = 4x
Ejemplo 13:
Finalmente:
Factorizar: abx2 + (a2 + b2)x + ab
(3x + y + 1) (x + y + 1)
Solución:
abx2 + (a2 + b2)x + ab
6.6 Criterio de divisores binómicos
ax +b = b2 x
Se utiliza para factorizar los polinomios en
bx +a = a2 x
una variable y de grado superior, siempre y
x(a2 + b2)
cuando admita por lo menos un factor lineal.
Los factores son: (ax + b) (bx + a)
Cero de un polinomio (Raíz de un
polinomio)
6.5 Método del aspa doble Es el valor o conjunto de valores que tienen
Se utiliza para factorizar a los polinomios la propiedad de anular (valor numérico
de la siguiente forma general. cero) a determinado polinomio.
𝐴𝑥 2𝑛 + 𝐵𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 + 𝐶𝑦 2𝑚 + 𝐷𝑥 𝑛 + 𝐸𝑦 𝑚 + 𝐹 Ejemplo 16:
Sea: F(x) = x3 + 3x – 4

MATEMÁTICA
Para: x = 1 Solución:
F (1) = 13 + 3(1) – 4 = 0 Posibles ceros de Q(x) = 1 , 3 ,  6
 1 será un “cero” de F Para x = 2, se anula, entonces tendrá un
Determinación de los posibles ceros o factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini
raíces racionales (P.C.R) de un
polinomio P(x) 1 0 -1 -6
Para conocer los posibles ceros racionales 2 2 4 6

de un polinomio P(x) de coeficientes
enteros. 1 2 3 0
𝑃(𝑥) = 𝑎0 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ; 𝑎0 . 𝑎𝑛
≠0
Se utilizara el siguiente criterio Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)
Divisores de |an |
P. C. R = ± { }
Divisores de |a0 |
Ejemplo 19
TEOREMA: Un polinomio tiene factores de Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21
primer grado de coeficientes racionales, si
y solo si, si tiene raíces racionales.16 Solución:
Nota: Toda raíz racional de un polinomio Posibles ceros de P(x) =  1,  3,  7,  21
pertenece, necesariamente al conjunto de los Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor
posibles ceros racionales.
(x – 1) determinando el otro factor por la
Ejemplo 17: Regla de Ruffini.
Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21
1 -11 31 -21
Solución:
Posibles ceros de P(x) =  1,  3,  7,  21
Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor 1 1 -10 21
(x – 1) determinando el otro factor por la
Regla de Ruffini. 1 -10 21 0
1 -11 31 -21 P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)
1 1 -10 21
Ejemplo 20
1 -10 21 0 Factorizar: Q(x) = x3 – x – 6
P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21) Solución:

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3) Posibles ceros de Q(x) =  1 ,  3 ,  6
Para x = 2, se anula, entonces tendrá un
Ejemplo 18: factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini
Factorizar: Q(x) = x3 – x – 6
16UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I

MATEMÁTICA
1 0 -1 -6 1. Indicar cuál (es) polinomios están
expresados en sus factores primos:
I. 𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 7
2 2 4 6
II. 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 − 3𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
III. 𝑄(𝑥) = (𝑥 2 − 9)(𝑥 − 2)
1 2 3 0 IV. 𝑄(𝑥) = 2(𝑥 − 9)4 (𝑥 − 2)5
A) Sólo II
Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)
B) II y III
6.7 Método del quita y pon
Consiste en sumar y restar C) Sólo IV
simultáneamente una misma expresión o D) I , II y III
descomponer algún término del polinomio,
de tal modo que, una expresión E) III y IV
aparentemente no factorizable se
transforme en otro, fácilmente. 2. Indicar el número de factores primos de
Para polinomios de grado par: Consiste los siguientes polinomios:
en buscar un trinomio cuadrado perfecto 𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 2 − 16)(𝑥 − 2)
para luego llevarlo a una diferencia de 𝑃(𝑥) = 4(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)5
cuadrados.} 𝑃(𝑥) = 5(𝑥 3 − 8)(𝑥 − 2)3
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 6 − 1)
Ejemplo 21 A) 4 – 2 – 2 – 3
Factorizar: f(𝑥) = 𝑥 4 + 28𝑥 2 + 256
e indicar la suma de coeficientes de uno de B) 2 – 2 – 2 – 2
sus factores primos. C) 3 – 4 – 3 – 4
Solución: D) 4 – 2 – 2 – 4
Formando el trinomio cuadrado perfecto
(sumar y restar 4𝑥 2 ) E) 4 – 2 – 1 – 4
𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 28𝑥 2 + 256 + 4𝑥 2 −
4𝑥 2 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 32𝑥 2 + 256 − 4𝑥 2 3. Luego de factorizar el polinomio:
Luego se tiene: 𝑃(𝑥; 𝑦) = 4𝑚2 (𝑎 − 𝑏 2 ) + 6𝑚𝑛
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 16)2 − 4𝑥 2 (𝑎 − 𝑏 2 ) + (−8𝑎𝑚3 + 8𝑏 2 𝑚3 )
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 16)2 − (2𝑥)2 indica un factor primo.
Descomponiendo una diferencia de A) 𝑚
cuadrados:
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 16 + 2𝑥)(𝑥 2 + 16 − 2𝑥) B) 𝑎 − 𝑏
Ordenando tenemos: C) 𝑚 + 𝑛
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 2𝑥 + 16)(𝑥 2 − 2𝑥 + 16)
Los factores primos son: D) 𝑚2 + 𝑛2
𝑥 2 + 2𝑥 + 16 ; 𝑥 2 − 2𝑥 + 16 E) 2𝑚 + 𝑛 + 4𝑚2
Suma de coeficientes de (𝑥 2 + 2𝑥 + 16)
es 19
Suma de coeficientes de (𝑥 2 − 2𝑥 + 16)
es 15

MATEMÁTICA
4. Hallar la suma de los factores primos del A) 2𝑥 − 1
polinomio: B) 𝑥−1
(𝑎 − 1)(𝑏 − 2) + 𝑎2 + (𝑏 + 2) C) 𝑥−5
(𝑐 − 3) + (𝑐 − 2)(𝑎 − 2)
D) 2𝑥 + 1
A) 2a + b + c – 4
E) 𝑥+1
B) a – 2b + c + 2
C) 3a – 2b 8. Determinar el número de factores primos
del polinomio:
D) a – 3 (𝑦 + 1)(2𝑦 − 1)2 − (𝑦 + 1)3
E) 3a – b + 2c – 1 A) 1
B) 3
5. El número de factores primos del C) 4
polinomio: z6 a+ y3a+ z6b + y3 b + z6 c
+y3c es: D) 2
A) 5 E) 5
B) 4
C) 3 9. Determinar la suma de los factores
D) 2 primos del polinomio:
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 − 27 + 3𝑥 2
E) 1
A) 2𝑥 + 6
6. La tasa educativa semestral de la B) 2𝑥 − 7

universidad de Mariana está dada por el C) 2𝑥
polinomio:
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + (𝑥 − 3) D) 4𝑥
(𝑥 − 1) + (𝑥 − 1) E) 4𝑥 − 3
La tasa mensual está dada por el mayor
factor primo
A) x – 2 10. Luego de factorizar el polinomio:
B) x + 3 𝑃(𝑥) = (2𝑥 2 − 3𝑥 5)2  (𝑥 2 − 3𝑥 − 4)2
se obtiene un factor (𝑥 + 𝑎)2 indica el valor
C) x – 1 de a:
D) x + 4 A) 3
E) x + 6 B) 1
C) 2
7. Indicar uno de los factores primos del D) – 1

polinomio: E) – 2
(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)2 − (𝑥 + 5)(𝑥 − 1)2

MATEMÁTICA
11. Indicar el número de factores 15. Indicar el número de factores primos del
cuadráticos del polinomio: polinomio:
𝑦8 − 1 (𝑥 2 − 𝑥)3 − 2(𝑥 2 − 𝑥) − (𝑥 2 − 𝑥)2
A) 1 A) 2
B) 2 B) 3
C) 0 C) 5
D) 3 D) 4
E) 4 E) 1
12. Al Factorizar el polinomio: 16. Luego de factorizar el polinomio:

1 + 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 𝑥 8 +64𝑦 8
se obtiene un factor (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2 , indicar la suma de los factores primos
indicar la suma de: 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 A) 3𝑥 4 − 8𝑥 2 𝑦 2
A) 18
B) 12𝑦 4 + 8𝑥 2 𝑦 2
B) 15
C) 4𝑥 4 − 8𝑦 4
C) 21
D) 2𝑥 4 − 16𝑦 4
D) 11
E) 0
E) 10
17. Factorizar:
13. Un factor del polinomio es: 10𝑥 2 − 2𝑦 2 + 7𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 − 3𝑧 2
−12𝑥 2 − 108𝑥 − 243 − 13𝑥𝑧
A) 𝑥 2 + 1 e indica la suma de coeficientes de un
factor primo.
B) 𝑥 − 3
C) 2𝑥 + 9 A) – 6
D) 𝑥 2 + 3 B) 2
E) 3𝑥 − 7 C) – 1
D) 4
14. Determinar la suma de los factores
E) 3
primos del polinomio:
12𝑥 − 48 + 𝑥(2𝑥 − 11)(𝑥 − 4)
A) 2𝑥 + 9 18. El área de un terreno rectangular está
B) 4𝑥 − 5 dado por el polinomio :
C) 3𝑥 − 11 12𝑥𝑦 + 26𝑥 − 44𝑦 2 + 9 − 4𝑦
D) 2𝑥 − 13 + 17𝑥 2
E) 3𝑥 − 7 Determina una de las dimensiones del
terreno, si estas son los factores primos
del polinomio.

MATEMÁTICA
A) 𝑥 + 2𝑦 + 1 A) 3𝑥 2 − 24𝑥 + 40
B) 2𝑥 − 𝑦 + 1 B) 5𝑥 2 + 29𝑥 + 40
C) 𝑥 − 𝑦 − 1 C) 5𝑥 2 − 12𝑥 + 24
D) 17𝑥 + 22𝑦 − 3 D) 3𝑥 2 + 18𝑥 + 14
E) 17𝑥 − 22𝑦 − 9 E) 2𝑥 2 + 16𝑥 − 17
22. Pedro tiene dos terrenos de igual área
19. Determinar la suma de los términos como se muestra en la figura, determinar
independiente de los factores primos del el valor de h:
polinomio:
4𝑥 5 − 29𝑥 3 − 24𝑥 2 + 7𝑥 + 6
A) 7 𝐴 = 𝑎3 + 𝑏 3
h
B) 8
C) 1 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑎𝑏
D) -9 A) 2b
E) 0 B) 2a
C) 2(𝑎 + 𝑏)
20. Si Gustavo factoriza el siguiente D) 𝑎 + 𝑏
polinomio: E) 2(𝑏 − 𝑎)
𝑥 6 − 4𝑥 5 − 9𝑥 4 + 16𝑥 3 + 20𝑥 2
Recibirá un premio en soles igual al cubo FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
del número de factores primos del
polinomio. 1 2 3 4 5
A) 27
C D A A C
B) 216
6 7 8 9 10
C) 125
D) 8 D E B C B
E) 64 11 12 13 14 15
A D C E C
21. Ricardo tiene una pecera en forma de un
paralelepípedo y su capacidad esta 16 17 18 19 20
expresada por 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 26𝑥 + 24,
determina el área total de la pecera si las D D A E C
tres dimensiones están expresados en
factores lineales. 21 22
B C

MATEMÁTICA
17 = 13 (falsa)
TEORIA DE ECUACIONES
Luego, 6 no es una solución
E INECUACIONES
Si una ecuación no posee solución alguna,
1. Definición de ecuación entonces definiremos a su conjunto solución
Una ecuación es una igualdad condicional como el vacío y lo denotaremos por .
entre dos expresiones matemáticas
3. Conjunto solución de una ecuación
definidas sobre un mismo conjunto
(C.S.)
numérico, donde participa por lo menos una
Es la reunión de todas las soluciones que
variable (cantidad desconocida llamada
presenta la ecuación.18
incógnita). Es todo enunciado abierto en que
Ejemplo:
aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad
se determina mediante su correspondiente Halla el conjunto solución de la ecuación:
conjunto de valores admisibles para la x 3  4x
variable (conjunto solución).17 Solución:
Ejemplo
Las ecuaciones: Si x = 1: 13= 4(1)  1=4
a) 5x  13  7  x Proposición falsa
2
b) x  5  0 Si x = 2: 23= 4(2)  8=8
Proposición verdadera
Son igualdades condicionales, las cuales
serán verdaderas o falsas dependiendo de Si x = 2: (2)3=4(2)  8 = 8
los valores que se le atribuya a la incógnita Proposición verdadera
“x” Si x = 0: 03= 4(0)  0= 0
2. Solución de una ecuación. Proposición verdadera
Llamada también raíz de una ecuación. De lo expuesto, vemos que 2, 2, 0 son
Es el valor o valores que al reemplazar en la soluciones de la ecuación de acuerdo a la
incógnita permiten que la ecuación sea una definición, luego el conjunto solución es:
proposición verdadera. C.S   2; 0; 2
Ejemplo Observación
En la ecuación: 5x  13  7  x Otra forma de hallar el conjunto solución de
Si reemplazamos x = 5 x 3  4x
5(5)  13 = 7+ 5 Solución:
25  13 = 12 x 3  4x
12 = 12 (verdadera) Igualando a cero tenemos:
Luego, 5 es una solución
x 3  4x  0
Pero si reemplazamos x = 6 Factorizando tenemos:
5(6)  13 = 7+ 6 x( x  2)( x  2)  0
30  13 = 13 Igualando cada factor a cero:
17UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I ACADEMIA ADUNI. “Compendio Académico de
18
– Ciencias 2017”.Ingreso 2018 Matemática” Pág. 215

MATEMÁTICA
x 0  x 20  x -20
x  2  5x  0
Luego los valores de la variable son:
x0  x  2  x 2
Por lo tanto: C.S   2; 0; 2 b) Ecuación trascendente
 Exponencial
4. Clasificación de las ecuaciones19
Ejemplo:
4.1 De acuerdo a su conjunto solución
a) Ecuación compatible 32 x 1  27
Es toda ecuación que tiene al menos  Logarítmica
una solución. Puede ser: Ejemplo:
 Compatible determinada log2 (3x  1)  3
Tiene un número finito de
soluciones  Trigonométrica
Ejemplo Ejemplo:
x3 = x,  CS = {1; 0; –1} 2sen(2x)  1  0
 Compatible indeterminada
Tiene un número infinito de 4.3 Según el grado
soluciones a) Ecuación de primer grado:
Ejemplo Tiene la forma:
2x + 1 = 5x + 1 – 3x  CS = R
ax  b  0, a0
b) Ecuación incompatible
b) Ecuación de segundo grado:
Llamada también absurda o
inconsistente Tiene la forma:
Es toda ecuación que no tiene solución. ax 2  bx  c  0, a  0
Su C.S =  c) Ecuación de tercer grado:
Ejemplo Tiene la forma:
1
= 0  CS =  ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0
x
4.2 Por su estructura 5. Ecuaciones equivalentes
a) Ecuación algebraica Dos ó más ecuaciones son equivalentes si
están en una misma incógnita y tienen el
 Polinomial
mismo conjunto solución.
Ejemplo:
Ejemplo
2x 2  3x  2  0 x 2x
  14  CS = {12}
2 3
 Racional
5x – 36 = 24  CS = {12}
Ejemplo: Como los conjuntos solución son iguales,
2 x entonces ambas ecuaciones son
 1
x 1 x  2 equivalentes.
 Irracional
Ejemplo:
19
Siglo XXI “Algebra”. Pág 159- 160
MATEMÁTICA
x
Resolver: 2( x  5)   x  12
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 3
Solución:
EN UNA VARIABLE
Suprimiendo el denominador tenemos:
1. Definición. 6( x  5)  x  3( x  12)
Se denomina ecuación de primer grado de 6x  30  x  3x  36
incógnita “x” a toda proposición abierta de la 5x  30  3x  36
forma20: 5x  3x  36  30
2x  6
ax  b  0
Luego: C.S  3
Siendo a y b números reales, pero a ≠ 0
Comprobación
2. Teorema. 2(3  5) 
3
 3  12
Toda ecuación de primer grado ax + b = 0 3
16  1  15
consistente tiene un conjunto unitario de
15  15 (Verdadera)
b
elemento  como conjunto solución. 3. Análisis de las soluciones de la
a ecuación paramétrica
Es decir:21
Ax  B ….()
Si: ax  b  0 , con a  0
Donde: x es la incógnita
 b A y B son parámetros
Entonces: C.S   
 a Caso I:
Ejemplos: Si A  0 (no importa el valor de B), y
reemplazando en (*), obtendremos que:
a) 5x + 10 = 0  C.S   2 B
x , es decir que tiene una sola solución,
2  A
b) 3x – 2 = 0  C.S    con lo cual su conjunto solución es finito. Por
3 
tanto, la ecuación Ax  B es compatible
c) 3x + 5 = x  1 determinada.
Transponiendo tenemos:
Ejemplo
3x – x = –1 – 5 2x + 8 = x – 7
2x = 6 x = –15
 C.S   3 Luego: C.S = {15} (es el único valor que
cumple la ecuación)
Otro ejemplo
20TORRES MATTOS, Carlos. “Algebra Teoría y Práctica” 21TORRES MATTOS, Carlos. “Algebra Teoría y Práctica”
Pág. 742. Pág. 742.
MATEMÁTICA
Caso II: Solución:
Si: A = 0 y B = 0, y reemplazando en (*), a) Para que sea compatible determinada
obtendremos 0x = 0, lo cual se cumple para debe cumplir que:
infinitas soluciones. Por tanto, la ecuación m  5
Ax  B es compatible indeterminada (m5)(m+3)  0, de donde: 
m  3
Ejemplo Luego, se cumple: mR– {–3, 5}
5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3
0x = 0 b) Para que sea compatible indeterminada
Cualquier número real cumple la ecuación debe cumplir que:
Luego: C.S = R (infinitas soluciones) (m – 5)(m + 3)= 0  (m + 2)(m + 3)= 0
(m = 5; m = – 3)  (m = – 2; m = – 3)
Caso III:
Luego, se cumple: m= – 3
Si: A = 0, B  0, y al reemplazar en (*) se
obtiene 0x = B, la cual carece de soluciones, c) Para que sea incompatible debe cumplir
con lo cual su conjunto solución es vacío. que:
Por tanto, la ecuación Ax  B es (m – 5)(m + 3) = 0  (m + 2)(m + 3)  0
incompatible (m=5; m= –3)  (m  –2; m  –3)
Ejemplo Luego, se cumple: m=5
x = 3x – 2x + 4
0x = 4 Observaciones importantes
No existe ningún número real que cumpla la Para resolver ecuaciones en general y de
ecuación primer grado en particular es necesario
Luego: C.S =  (no hay solución) tener en cuenta lo siguiente:
a) Si se divide ambos miembros de una
Ejemplo ecuación por una misma expresión que
En la ecuación paramétrica de variable “x”: contenga a la incógnita, entonces se
perderán soluciones. Esto se puede
(m – 5) (m + 3) x = (m + 2) (m + 3)
evitar si la expresión que se divide
Halle los valores de “m” para que la (simplifica) se iguala a cero.
ecuación sea: Ejemplo
a) Compatible determinada Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x - 2)
b) Compatible indeterminada Solución
c) Incompatible Simplificando (x - 2) para no perder
solución: x – 2 = 0  x = 2
Luego, tendremos: x + 3 = 4  x = 1
La ecuación tiene 2 soluciones:

MATEMÁTICA
x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a 32  7  3  7
cero, hubiéramos perdido la solución
x=2). 16   4
4  4
b) Si se multiplican ambos miembros de
Lo cual resulta una proposición falsa, ya
una ecuación por una misma expresión
que no cumple, luego: x = 3 es una
que contenga a la incógnita, entonces se
solución extraña, y la ecuación es
puede introducir soluciones extrañas.
incompatible, pues no tiene solución.
Esto se puede evitar si previamente se
simplifica por separado cada miembro Observación
de la ecuación. Siempre que se potencie los dos
Ejemplo miembros de una ecuación. El valor o los
x  3x  2  4 valores obtenidos para “x” deben
Resolver: comprobarse en la ecuación original
x2
pues pueden no ser soluciones
Solución verdaderas
Primero simplificamos (x - 2), y
d) El conjunto solución de una ecuación
tendremos; x + 3 = 4  x = 1
depende del conjunto numérico en que
Observación:
se quiere resolver la ecuación, por
Si hubiésemos trasladado (x - 2) a
ejemplo:
multiplicar, tendríamos que una solución
Si queremos resolver en el conjunto de
sería x = 2, que es una solución extraña,
los racionales (Q), entonces el conjunto
pues no verifica la igualdad.
solución de la ecuación: x2 = 2, es vacío;
c) Si se eleva ambos miembros de una pues no existe número racional cuyo
ecuación a un mismo exponente, cuadrado es 2. Sin embargo, si
entonces se pueden introducir resolvemos en el conjunto de los reales
soluciones extrañas. (R), entonces el conjunto solución es
Ejemplo { 2 , 2 }.
Resolver: x 2  7  x  7
Solución De la misma manera, la ecuación
Elevando al cuadrado ambos miembros x2 = – 1, no tiene solución en R, pero si
de la ecuación propuesta: tiene en el conjunto de los números
complejos (C). Al despejar x se obtiene:
x 2
7 
2
 x  7
2
x=  1 ó x =   1.
x2 + 7 = x2 – 14x + 49
Si definimos  1 = i (i es la unidad
14x = 42 imaginaria del conjunto C, el conjunto
x=3 solución es: {- i; i}.
Pero si reemplazamos; x = 3 en la
ecuación dada tendremos:

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS primer grado y tiene como conjunto
solución a  13 
1. El valor de x que verifica la ecuación:  .
 37 
0,5(3x  4)  0,2( x  3) , es: Entonces el inverso multiplicativo de “k”
A) 2 es:
B) 1 A) 6
C) ‒2 B) 1
D) ‒1 C) ‒6
E) 0,5 1
D)
6
2. El conjunto solución de la ecuación: 1
x 2 x 6 21 x  12 E) 
 3  , es: 6
2 6 4 12
5. Si k es el conjunto solución de la
A) 7
ecuación:
B) 7 ( x  3)( x  4)  ( x  5)( x  5)  2x 2  4x  1
C) 3 Calcula el valor de: E  k 2  k
A) 30
D) 3 B) 25
E) 7  1 C) 16
D) 20
3. El valor de “x” que satisface la E) 12

ecuación: 6. Determina el conjunto solución de la
x  2500  96 2 x  2304  100 2
  98 ecuación: (a  5)x 2  2x  a  4  3ax ,
48 50 sabiendo que se reduce a una
, es: ecuación de primer grado en "x"
A) 1 A) ‒1
B) 4 B) ‒16
C) ‒1 15
C) 
D) ‒4 17
E) 5 1
D) 
4. Si la ecuación en x: 17
2𝑥+1 𝑥+3 1
+ 𝑘𝑥 = + 1 , es de E) 
3 2 9

MATEMÁTICA
7. Si la ecuación: A) a  b
(3a  4)x 2  2x  18  ax 2  2(ax  1) , B) a  b
se reduce a una ecuación de primer C) a 2  b2
grado en “x". Calcula el valor de "x".
5 D) 2(a  b)
A)
2 a b
E)
4 2
B)
3
8 10. Calcula el valor de ab, sabiendo que la
C) ecuación de incógnita “x”:
3
36x  8  4ax  b  13ax  b  2 , tiene
2 infinitas soluciones
D)
5
A) 10
3
E) B) 24
4
C) 20
8. El conjunto solución de la ecuación en D) 32

variable “x” E) 44
abx abx a  b
 2  , es:
b2 a ab 11. Si la ecuación lineal en “x”:
A)  1  3m( x  2)  p  n(2x  5) , es
a  b  indeterminada. Calcula el valor de:
B)  1 m 3  n3  p3
 
 ab 
E
mnp
C) a  b 5
A)
8
D)  1  1
a  b  B)
9
E) a  b 25
C)
4
9. De la ecuación: 9
D)
16
x  a x  a x  b 2 x  b
   4
k ab ab k E)
9
Calcula el valor de “k” sabiendo que el
valor de “x” que verifica la ecuación
dada es 3(a  k )
MATEMÁTICA
12. Si la ecuación: n2 ( x  1)  7n  4x  10 , A) 22
es incompatible en “x”. Calcula el valor B) 21
n3  1 C) 20
de: E 
n
D) 19
A) 4,5
E) 18
B) 3,5
C) 2,5 15. Un examen de la PRECATOLICA consta
D) ‒2,5 de 50 preguntas. Cada pregunta
respondida correctamente tiene un
E) ‒2
puntaje de 2 puntos, cada pregunta
respondida incorrectamente tiene un
puntaje de ‒0,5 puntos. Si un estudiante
13. Si el triple de la edad que tendrá German respondió todas las preguntas y obtuvo
dentro de 15 años se le aumenta el doble 55 puntos, ¿Cuántas preguntas
de la edad que tenía hace 10 años, respondió incorrectamente?
resulta 110 años. ¿Qué edad tenía el
año pasado?
A) 32
A) 9 años B) 18
B) 12 años C) 36
C) 16 años D) 14
D) 17 años E) 28
E) 22 años
16. Un estudiante tiene 32 soles, primero
gasta "x" soles y tres soles más; luego
14. En un aula de la PRECATOLICA donde gasta la mitad de lo que resta. Si aún le
hay 20 estudiantes, cada uno iba a quedan 10 soles. ¿Cuánto gastó la
recibir 2 lapiceros como regalo de la primera vez?
Dirección. Pero antes de la repartición se A) 9 soles
perdieron algunos lapiceros, por lo que
el Director mando a que traigan tantos B) 14 soles
lapiceros como lapiceros habían C) 12 soles
quedado y dos lapiceros más para
D) 8 soles
reponer lo perdido. Calcula la cantidad
de lapiceros que se perdieron. E) 10 soles

MATEMÁTICA
17. Hace 3 años la relación de las edades de A) 50 soles
German y Claudia era como 3 es a 1. B) 100 soles
Actualmente, la edad de German es el
doble de la edad de Claudia más 2 años. C) 150 soles
Dentro de 5 años, la suma de sus D) 200 soles
edades será:
E) 250 soles
A) 36 años
B) 30 años
20. German recorre las dos terceras partes
C) 26 años
de una distancia en bicicleta a razón de
D) 20 años 32 km/h, el resto recorre a pie a razón de
4 km/h, tardando en total 7,5 h.
E) 18 años
Determina la distancia recorrida en
bicicleta.
A) 72 km
18. Un padre reparte S/. 3000 entre sus B) 24 km
cuatro hijos, de tal manera, que al primer
hijo le corresponde S/. 400 más que al C) 48 km
segundo hijo; y a éste, 3/5 de lo que le D) 36 km
corresponde al tercer hijo, y a éste S/.
600 más que al cuarto hijo. ¿Cuánto E) 64 km
recibió el segundo hijo?
A) S/. 500
B) S/. 490
CLAVE DE RESPUESTAS
C) S/. 575
1 2 3 4 5
D) S/. 600
E) S/. 800 A B D D D
6 7 8 9 10
D C D A C
19. David compra con 400 soles un 11 12 13 14 15

pantalón, una camisa y par de zapatillas.
E B C B B
Si las zapatillas cuestan 50 soles más
que el pantalón, y este, cuesta el triple 16 17 18 19 20
de lo que cuesta la camisa. Determina el
precio de las zapatillas. A A D D C

MATEMÁTICA
2.2 Por fórmula general
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Se aplica la fórmula cuando la factorización

no es inmediata.
1. Definición.
Llamada también ecuación cuadrática, que - b  b 2 - 4 ac
x
tiene la forma: 2a
ax 2  bx  c  0 Al radicando: b2 – 4ac, se le denomina

discriminante y se denotará así:  = b2 –
Donde:
4ac22
a, b y c son números reales, pero a ≠ 0
Ejemplo
2. Resolución de una ecuación
2
cuadrática. Resolver: x  x  1  0
Para hallar el conjunto solución de una Solución
ecuación cuadrática se puede resolverse:
Previamente: a = 1; b = 1; c = 1
2.1 Por factorización  ( 1)  ( 1) 2  4(1)(-1)
x
Ejemplo 2 (1)
2
Resolver 2x  5x  3  0 Efectuando las operaciones tenemos las
raíces:
Solución: 1- 5 1 5
x1  ; x2 
Factorizando: 2 2
(2x  1)( x  3)  0 1  5 1  5 
Luego: C.S   ; 
Aplicando el teorema:  2 2 
ab  0  a  0  b  0
Es decir:
Recuerda que:
2x  1  0  x  3  0
2
1 El trinomio ax  bx  c , es factorizable
x  x  3 en Q cuando la discriminante es un cuadrado
2 perfecto (0; 1; 4; 9; 16;…etc.)
1
Luego, las soluciones o raíces son: ;3
2 Sugerencia
Por lo tanto: C.S   1  2
 ;  3 Cuando el trinomio ax  bx  c , no es
2 
factorizable en Q, lo más razonable es aplicar
la fórmula general.
22
UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – Ciencias
2017”.Ingreso 2018
MATEMÁTICA
3. Naturaleza de las raíces de la 9
ecuación de segundo grado k=  k=3
25
Teniendo en cuenta que las raíces de la
2
4. Propiedades de las raíces.24
ecuación: ax  bx  c  0 , son:
Sea: x1 y x 2 las raíces de la ecuación
 b Δ  b Δ
x1  ; x1  ax2 + bx + c = 0
2a 2a
Entonces se cumple que:
Entonces, las raíces de la ecuación, b
depende del radicando, es decir de la  Suma de raíces: x1  x 2  
a
discriminante ( = b2 – 4ac)
c
De acuerdo a esto:  Producto de raíces: x1.x 2 
a
 Si:   0 entonces las dos raíces son
 Diferencia de las raíces:
reales y diferentes.
 Si:  = 0 entonces las dos raíces son 
x1  x 2  ; ( x1  x 2 )
reales e iguales. (tiene una raíz doble) a
 Si:   0 entonces las dos raíces son Observaciones
números complejos y conjugados. (no En una ecuación cuadrática:
tiene raíces reales)23 ax2 + bx + c = 0
Ejemplo  Las raíces son simétricas, si b = 0

Hallar los valores de “k” en la ecuación: (raíces simétricas u opuesta son
(k + 1)x2 – (5k – 3)x + 9 = 0, sabiendo que aquellas raíces numéricamente iguales y
sus raíces son iguales de signo contrario, por lo tanto su suma
es cero)
Solución
 Las raíces son recíprocas, si a=c
Desde que las raíces son iguales entonces:
(Raíces recíprocas o inversas son
 = b2 – 4ac = 0, es decir: aquellas raíces que su producto es 1)
[(5k – 3)] 2 – 4(k + 1)(9) = 0
Ejemplo
Desarrollando, obtenemos la ecuación: ¿Qué relación guardan los coeficientes de la
ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0, si una de
25k2 – 66 k –27 = 0
sus raíces es el triple de la otra?
(25k + 9)(k  3) = 0
Solución
De donde: De acuerdo a los datos, se tiene:
25k + 9 = 0  k3=0 b
x1  x 2   ........ (1)
a
23UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I 24UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I
MATEMÁTICA
c Como las raíces irracionales se presentan
x1.x 2  ........ (2)
a por pares conjugados, entonces:
x1  3x 2 ........ (3) x1  2  6  x 2  2  6
Reemplazando, (3) en (1): Con lo cual:

b b x1  x 2  2  6  2  6  4
3x2 + x2 = -  x2 = -
a 4a
x1.x 2  (2  6 )(2  6 )  2
3b
Asimismo: x1 = - Reemplazando en la fórmula, obtenemos la
4a
Reemplazando en (2), tendríamos: 2
ecuación: x  4 x  2  0
  3b    b  c 2
     3b  16 a c
 4a   4a  a
Ejemplo
5. Formación de una ecuación de Formar una ecuación de segundo grado de
segundo grado conociendo sus coeficientes reales, si una de sus raíces es:
raíces 3 + 2i, (i es la unidad imaginaria)
Conociendo que: x1 y x 2 son las raíces Solución
de la ecuación de segundo grado, entonces
se cumple que: ( x  x1)(x  x 2 )  0 25 (Teniendo en cuenta que: i =  1 ; i2 = 1)
Ya que las raíces complejas se presentan
Transformando a la forma canónica, se
tendría la fórmula: por pares conjugados se tiene que:
x 2  ( x1  x 2 ) x  x1.x 2  0 x1  3  2i  x 2  3  2i
Que también podemos expresar así:

x1  x 2  3  2i  3  2i  6
2 x1.x 2  (3  2i)(3  2i)  9  4i2  9  4(1)  13
x  Sx  P  0
Donde: Reemplazando en la fórmula, se obtiene:
S es la suma de las raíces: x1  x 2 x 2  6x  13  0
P es producto de las raíces: x1.x 2 6. Ecuaciones de segundo grado que
tienen las mismas raíces
Ejemplo Si las ecuaciones cuadráticas:
Formar una ecuación de segundo grado de ax 2  bx  c  0
coeficientes reales, si una de sus raíces es:
mx2  nx  p  0
2 6 . Tienen el mismo conjunto solución
Entonces se cumple que:26
Solución:
a b c
 
m n p
MATEMÁTICA
Ejemplo 3. Determinar el mayor valor entero que
Calcular “a” y “b” en las ecuaciones: satisface a la ecuación :
(a  3)x2 – (a  4) x + 3 = 0 𝑥 2 − 5𝑥 − 2√𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 0
(b + 1)x2 – (2b4) x + 6 = 0 A) 6
Sabiendo que tienen las mismas raíces B) 1
Solución: C) 8
Ya que las raíces son las mismas, se D) 9
cumple que: E) 2
a 3 a4 3 1
  
b  1 2b  4 6 2
4. Dada la ecuación: 3𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑎 = 0
De donde obtenemos, el sistema: sabemos que una de sus raíces es -2,
2a - b = 7 calcular la otra raíz.
a–b=2 A) 3
Resolviendo obtenemos: B) 0
a=5  b=3
C) 5
PROBLEMAS PROPUESTOS D) 2
1. Hallar el conjunto solución de la E) 1
ecuación:
(𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 5𝑥(𝑥 − 4)
A) {−2; 4}
5. Calcular el valor de 25ab, si las
B) {1; 3} ecuaciones son equivalentes:
1 (5𝑎 − 28)𝑥 2 − (𝑎 − 4)𝑥 + 4 = 0
C) {− ; 4} (5𝑏 + 4)𝑥 2 − 5𝑏𝑥 + 20 = 0
2
D) {2; 4}
A) 128
3
E) { ; 2} B) 347
2
C) 198
2. Determine la suma de las raíces que D) 341
satisfacen la ecuación:
E) 262
√𝑥 + 6 + √𝑥 + 3 = √2𝑥 + 13
A) – 7
B) – 9 6. Indicar los valores que puede tomar k,
C) – 2 para que la ecuación tenga raíces reales
iguales:
D) – 14 𝑥 2 − 𝑘𝑥 − 1 + 𝑘 = 0
E) 7

MATEMÁTICA
A) ℝ − {2} 10. Calcular el valor de m en la ecuación, si
sus raíces son reciprocas:
B) ℝ − {5}
(𝑚 − 1)𝑥 2 − 5𝑥 = 7 − 3𝑚
C) ℝ − [−2; 2] A) 3
D) {2} B) 4
E) ]−2; 2[ C) – 2
D) 5
7. Calcular la suma de los valores de m, si E) 9
las raíces de la ecuación son iguales:
𝑥 2 + 2(𝑚 + 2)𝑥 + 9𝑚 = 0
11. Hallar el valor de 𝑚 si las raíces de la
ecuación son simétricas:
A) 4
6𝑥 2 − (2𝑚 + 5)𝑥 + 9 = 0
B) 1
2
C) 2 A)
3
D) 5 B) 4
E) 3 C) −
5
2
8. Si {𝑎; 𝑏} es el conjunto solución de la D) 3

ecuación 𝑥 2 + 14𝑥 − 1 = 0 y {𝑟; 𝑠} E) −
5
es el conjunto solución de la ecuación 3
𝑥 2 + 17𝑥 + 2 = 0. Hallar el valor de
𝑄 = 3𝑎𝑏 + 𝑟 2 + 𝑠 2 − 5𝑠𝑟 + 4(𝑎 + 𝑏)
12. Calcular el mayor valor de 4𝑚 – 3𝑞 en
A) 180
la ecuación cuadrática cuyas raíces son
B) 128 simétricas y reciprocas:
1024𝑥 2 − (𝑚𝑞 − 9)𝑥 + 𝑞10 = 0
C) 245
D) 216 A) 3
E) 312 B) 6
9. Dada la ecuación: 2𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 C) – 9
cuyas raíces son α y β, hallar el valor de:
D) 12
𝑃 = (2 + 𝛼)(2 + 𝛽) − 5
A) 7 E) – 18
B) 9 13. Dada la ecuación:
3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
C) 16
Determinar el valor de:
D) 21 𝑟 𝑠
𝑄= +
E) 18 𝑠 𝑟
Si r y s son las raíces de la ecuación
MATEMÁTICA
A)
2 A) 3
5
1 B) 4
B) −
9
C) 5
2
C) − D) 6
3
2
D) E) 7
9
3
E)
5
17. Si la diferencia de las raíces de la
ecuación: 𝑥 2 − 7𝑥 + 𝑚 = 0 es 3,
14. Determinar el valor de 3m, si 𝑥1 y 𝑥2 calcula el valor de “2m”.
son las raíces de la ecuación: A) 16
𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 16 B) 28
Si se cumple que:
1 1 5 C) 35
+ =
𝑥2 𝑥1 8 D) 18
A) 45 E) 20
B) 30
C) 36 18. Hallar el valor de 3a – b + 2c en la
D) 42 ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 cuyo
conjunto solución es 𝑥1 , 𝑥2 y se cumple
E) 21
que: 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1 𝑥2 = 2
A) 8a
B) 9a
15. Las raíces de la ecuación:
𝑥 2 − (𝑝 − 3)𝑥 + 2𝑝 + 5 = 0 C) 10a
son r y s. Calcular los valores de p, si se D) 11a
cumple que:
𝑟 2 + 5𝑟𝑠 + 𝑠 2 = 28 E) 12a
A) ±4
B) ±7 19. Determinar el valor de 𝑚 en la
C) ±2 ecuación:
2𝑚𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑚 = 0
D) ±5 Si una raíz es el doble de la otra
E) ±3 A) ±2
B) ±5
16. Hallar el valor de k+2, si la suma de las C) ±3
9
raíces de la ecuación es D) ±1
2
(𝑘 + 1)𝑥 2 − (𝑘 + 8)𝑥 + 10 = 0 E) ±4
MATEMÁTICA
20. Construye la ecuación cuadrática que Si se sabe que la otra raíz de la ecuación
cumple las siguientes condiciones: es -10
𝑥
𝑥1 − 𝑥2 = 6 ∧ 1 = 2 A) 1
𝑥2
A) 𝑥 − 6𝑥 − 2 = 0
2 B) 2
B) 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 = 0 C) 6
C) 𝑥 2 + 2𝑥 − 6 = 0 D) 4
D) 𝑥 2 − 18𝑥 + 72 = 0 E) 8
E) 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0
24. El área de un rectángulo es de 63m2, si
la altura mide 38m menos que el
quíntuplo de su base. Determinar loa
longitud de su diagonal.
A) 22,2
B) 12,3
21. Calcular la edad actual de Mariana, si C) 11,4
hace 20 años el cuadrado de su edad
era igual a 121. D) 7.8
A) 40 E) 14,8
B) 39
C) 31 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
D) 42
1 2 3 4 5
E) 28
C C A B D
22. El área de un triángulo es 27m2, si la 6 7 8 9 10
base mide tres metro más que su altura.
Determina la suma de las longitudes D D D B A
A) 18
11 12 13 14 15
B) 15
C) 21 C B D B C
D) 24 16 17 18 19 20
E) 12 A E B D D
23. Juancito perdió su celular y su mamá le
dice que le comprará otro, dentro de un 21 22 23 24
tiempo (meses) igual a la otra raíz de la C B A C
ecuación aumentada en 4:
𝑥 2 + (−𝑎 + 3)𝑥 + 𝑎 + 40 = 0
MATEMÁTICA
Despejamos “y” de la ecuación (2)
SISTEMAS DE ECUACIONES y = 9 – 3x… (3)
Reemplazamos (3) en (1):
LINEALES 5x – 2(9 – 3x) = 4
5x – 18 + 6x = 4
1. Definición 11x = 22
Se denomina sistema de ecuaciones, al x = 2… (4)
conjunto de ecuaciones que verifican Remplazamos (4) en (3)
simultáneamente para los mismos valores y = 9 – 3(2)
de sus incógnitas. y=3
Por lo tanto: C.S. = {(2,3)}
2. Sistema de ecuaciones de primer
2. Método de igualación, consiste en:
grado (lineales) con dos incógnitas.
1° Se despeja en las ecuaciones la misma
Tiene la siguiente forma: incógnita.
a 1 x  b 1 y  c 1 2° Se iguala las dos expresiones de la
 incógnita despejada.
a 2 x  b 2 y  c 2
3° Se resuelve la ecuación obtenida.
4° Se sustituye la solución obtenida en
3. Resolución de un sistema de
cualquier de las expresiones de la
ecuaciones lineales con dos
incógnita.
incógnitas.
Resolver un sistema de ecuaciones, implica Ejemplo
determinar el conjunto solución (C.S), el Resolver:
cual es un par ordenado (x; y) de números 5x  3y  8 ... (1)
reales y que al ser sustituido en las 
3x  2y  3 ... (2)
ecuaciones las convierte en identidades
Solución:
3.1 Métodos de resolución Despejando “y” en las ecuaciones (1) y
Para obtener el conjunto solución se puede (2):
aplicar cualquiera de los siguientes 8  5x
métodos: y . . . (3)
3
a) Método de sustitución, consiste en:
3  3x
1° De una ecuación, se despeja una y . . . (4)
incógnita. 2
2° Se sustituye la incógnita despejada en la Igualando (3) y (4)
otra ecuación del sistema, obteniendo así 8  5x 3  3x

una ecuación solamente con una incógnita. 3 2
3° Se resuelve la ecuación obtenida. 16 – 10x = 9 – 9x
4° Se sustituye la solución obtenida en la x = 7… (5)
expresión de la otra incógnita. Reemplazando (5) en (2)
Ejemplo 3(7) + 2y = 3
Resolver: 21 + 2y = 3
5x  2y  4 ... (1) 2y = - 18

3x  y  9 ... (2) y=-9
Solución: Por lo tanto: C.S. = {(7,-9)}
MATEMÁTICA
3. Método de reducción, consiste en: a) Compatible determinada
1° Se multiplica a los dos miembros de las  Si el sistema tiene una solución única
dos ecuaciones por ciertos números, de  Además se cumple que:
tal forma que los coeficientes de una
a1 b1
incógnita sean opuestos. 
2° Se suman las dos ecuaciones miembro a a2 b2
miembro.  Interpretación gráfica: corresponde a
3° Se resuelve la ecuación obtenida. dos rectas secantes
4° Se sustituye la solución obtenida en Ejemplo
cualquiera de las dos ecuaciones Gráficamente el sistema:
iniciales para hallar la otra incógnita.
5x  2y  19 ... (1)

Ejemplo 4 x  3y  6 ... (2)
Resolver: Sería tal como se muestra:
8x  5y  28 ... (1)

3x  2y  11 ... (2)
Solución:
Multiplicando la primer ecuación por 3 y
la segunda por – 8
24x + 15y = -84
-24x - 16y = 88
-y=4
y = - 4… (3)
El punto de intersección de ambas rectas
Reemplazamos (3) en (2) es (3;2), por lo tanto: C.S={(3;2)} es la
3x + 2(- 4) = -11 única solución
3x – 8 = -11 b) Compatible indeterminada
3x = - 3  Si el sistema tiene infinitas
x=-1 soluciones
Por lo tanto: C.S. = {(-1;-4)
 Además se cumple que:
4. Análisis de la solución de un sistema a1 b1 c1
 
de ecuaciones lineales con dos a2 b2 c 2
incógnitas.  Interpretación gráfica: corresponde a
Un sistema de ecuaciones de la forma: dos rectas coincidentes
a1x  b1y  c1 Ejemplo
 Puede ser:
a 2 x  b 2 y  c 2
Gráficamente el sistema:
x  y  4 ... (1)

3x  3y  12 ... (2)
4.1 Compatible Sería tal como se muestra:

Si por lo menos presenta una solución. A su
vez puede ser:
MATEMÁTICA
1. El conjunto solución del sistema de
ecuaciones:
4 x  y  12

3x  5y  26
es ( x 0 ; y 0 )
Calcula el valor de x 0  y 0
Dado que las rectas coinciden en todos A) 5
sus puntos, por lo tanto, el sistema tiene B) 6
infinitas soluciones
C) 7
4.2 Incompatible D) 8
 No tiene solución E) 9
 También se le llama inconsistente
2. Luego de resolver el sistema:
 Además se cumple que:  x  0,2y  5
a1 b1 c1 
  x
a2 b2 c 2   y  3
3
 Interpretación gráfica: corresponde Calcula el valor de x+y
a dos rectas paralelas A) 8
Ejemplo B) 11
Gráficamente el sistema: C) 13
x  y  4 ... (1)
 D) 16
3x  3y  12 ... (2)
Sería tal como se muestra: E) -11
3. Luego de resolver el sistema de
ecuaciones:
 3 1
   1,25
x 1 y

 7  4  0,25

x 1 y
Calcula el valor de xy
A) 5
Dado que las rectas son paralelas y no
B) 6
tienen ningún punto en común, por lo tanto,
el sistema no tiene solución. C) 8
D) 9
E) 10
MATEMÁTICA
4. Si ( x 0 ; y 0 ) es la solución del sistema: 7. Dado el sistema:
y ( x  1)  0,5 2x  (2m  n) y  n m n  6m  4
 
y ( x  1)  1 (m  2n) x  y  4  3n
m
Calcula el valor de: x 0 .y 0 Si: m  2n  3 ; 2m  n  1

3 Calcula el valor de: 2x 0  y 0  m  n
A)
4 donde:
1 ( xo , y 0 ) es solución del sistema.
B) 
4
2 A) 11
C)
3 B) 19
3 C) 3
D) 
2 D) 4
1
E) E) 0
2
5. Luego de resolver el sistema: 8. Determina el valor de k, para que el
 3x  5y  9  3x  5y  4  7 sistema:
 kx  (2k  1)y  6
 3x  5y  9  3x  5y  4  1 
4 x  7,5y  3
Calcula el valor de x+y
Tenga infinitas soluciones
A) 4
A) 7
B) 5
B) 9
C) 6
C) 3
D) 7
D) 5
E) 8
E) 6
9. Determina el valor de k, para que el

6. En el sistema de ecuaciones: sistema:
 x  2y  k  2  x  ky  1
 
2x  y  k  1 k ( x  3y  2)  3
¿Qué valor debe tener “k”, para que el No tenga solución
valor de “x” sea el triple de “y”? A) 2
A) 5
B) 3
B) 2
C) 4
C) 8
D) -3
D) 2,5
E) -2
E) 0,4
MATEMÁTICA
10. Si el sistema: 13. En una librería, 10 lapiceros y 7
3x  y  2m  ny  1 plumones cuestan 41 soles y 8 lapiceros
 y 5 plumones cuestan 31 soles, ¿Cuánto
2x  (n  1) y  n  1 cuesta 1 lapicero y 1 plumón?
Es compatible indeterminado. Calcula el A) 5 soles
valor de mn
A) 10 B) 7 soles
B) 16 C) 6 soles
C) 25 D) 9 soles
D) 32 E) 8 soles
E) 35 14. Para pagar una deuda de 2180 soles,
Luis tiene solamente 52 billetes, todos
11. Si ( x 0 ; y 0 ; z0 ) es la solución del sistema: ellos de 50 soles o 20 soles. ¿Cuánto
dinero tiene Luis solo con los billetes de
3 x  2 y  1  0 20 soles?

 x  2z  17 A) 240 soles
7y  z  42
 B) 280 soles
C) 320 soles
( x  y 0 )2 ( y 0  z0 )2 ( x 0  z0 )2
E 0   D) 700 soles
8 12 5
E) 1900 soles
A) 36
B) 38 15. En una granja hay cerdos, vacas y
caballos, siendo en total 82 animales. Si
C) 40 el número de vacas representa los 3/4
D) 42 del número de cerdos y el número de
caballos representa los 2/5 del número
E) 50 de vacas, ¿cuántos animales de la
granja no son caballos?
12. Para un evento artístico una entrada de A) 12
un adulto cuesta el doble de lo que vale B) 70
una entrada para un niño. Si un grupo de
6 adultos y 9 niños pagó 168 soles, C) 30
¿cuánto pagarían 3 adultos y 2 niños? D) 52
A) 48 soles E) 72
B) 54 soles
16. Anteayer tenía una cantidad de dinero,
C) 72 soles pero ayer gasté la tercera parte más S/.
D) 64 soles 10 en el cine y el día de hoy gasté las 3/5
partes de lo que me quedaba más S/. 14
E) 56 soles en comprar alimentos. ¿Cuánto tenía
MATEMÁTICA
inicialmente si al final me quedaron S/. Calcula el peso del hijo mayor, sabiendo
30? que su peso excede al peso de su
A) 150 soles hermano en 9 kg.
A) 36
B) 180 soles
B) 27
C) 120 soles
C) 45
D) 200 soles
D) 56
E) 160 soles
E) 47
17. Luis observó que cuando cumplió años
en el año 1992 descubrió que su edad 20. German va al mercado con una cierta
era igual a la suma de las tres últimas cantidad de dinero y compra "A"
cifras del año de su nacimiento. naranjas y se da cuenta que le sobran
¿Cuántos años cumple Luis en el 2020? "a" soles. Pero, si compraría "B"
A) 45 naranjas, entonces le faltarían "b" soles.
¿Cuánto cuesta cada naranja?
B) 47
ab
A) soles
C) 46 BA
D) 48 ab
B) soles
AB
E) 52 BA
C) soles
18. Las edades de un padre y su hijo vienen b a
representadas por las mismas cifras a b
D) soles
pero invertidas. Si hace un año el padre BA
tenía el doble de la edad del hijo. b a
E) soles
¿Cuántos años tiene el hijo ahora? BA
A) 45
CLAVE DE RESPUESTAS
B) 54
C) 73 1 2 3 4 5
D) 36 B B B A A
E) 37 6 7 8 9 10
19. Una pareja de esposos que tienen dos D A E D C

hijos se pesaron y lo hicieron del
siguiente modo: se pesaron los padres y 11 12 13 14 15
resultó 126 kg; luego, se pesó la madre
con el hijo menor y resultó 83 kg, y C D A B B
finalmente, se pesó el padre con el hijo
16 17 18 19 20
mayor y resultó 106 kg.
B B E A A

MATEMÁTICA
Si a, bR con a < b, se llama intervalo
DESIGUALDADES E abierto y se denota por a; b o ]a; b[,
INECUACIONES al conjunto de números reales x, tales
que: a < x < b, es decir:
1. Desigualdad a;b = {xR / a < x < b }

Es una comparación que se establece entre Ilustración gráfica:
dos números reales, mediante los símbolos
de la relación de orden como son:27 x
; ; ; a b
Por tanto, si a y b son números reales,
xa; b  a<x<b
entonces: a  b; a  b; a  b; a  b se llaman
desigualdades, y se leen: b) Intervalo cerrado
a  b: “a menor que b” Si a, bR, con a  b, se llama
a  b: “a mayor que b” intervalo cerrado y se denota por
a  b: “a menor o igual a b” [a; b], al conjunto de números reales
a  b: “a mayor o igual a b” x, tales que: a  x  b, es decir
[a; b] = {xR / a  x  b}
2. Clases de desigualdades
2.1 Desigualdad absoluta Ilustración gráfica:
Es aquella desigualdad que se cumple
x
para cualquier valor de sus variables.
Ejemplo a b
(x + 5)2 + 4 > 0 x[a; b]  axb
2.2 Desigualdad relativa
Es aquella que cumple para un número
limitado de valores. c) Intervalo semiabierto
Ejemplo Si a, bR son extremos de un
2x – 8 > 0 intervalo y uno de ellos, no está en
dicho intervalo semiabierto, entonces
puede presentarse dos tipos de
3. Intervalos
intervalos:
Es un subconjunto de números reales R, es  [a; b (semiabierto por la derecha)
decir, que un intervalo es el conjunto de [a; b = {xR/ a  x < b }
todos los números reales que están
comprendidos entre dos extremos (que Ilustración gráfica:
pueden ser finitos o ideales).
x
4. Clases de intervalos28 x[a; ba  a bx < b
4.1 Intervalos acotados
a) Intervalo abierto  a, b] (semiabierto por la
izquierda)
a, b] = {xR / a < x  b}
MATEMÁTICA
Ilustración gráfica: g) Si: a < b
c<d
x a+c<b+d
a
xa; b]  a <bx  b
h) Si:
4.2 Intervalos no acotados 0a<b
Tienen un extremo ideal +, ó –. 0c<d
Pueden ser: 0  ac < bd
Nota:
x Si se cumple que: 0 < a a Ejemplo
4 8
1. 4 < 8  1 < 2  <
1 2
x i) ab > 0  (a>0  b>0)  (a<0  b<0)
- a
j) ab < 0  (a>0  b<0)  (a<0  b>0)
x- ;a]  xa
1
k) a > 0  >0
a
x
- a 1
l) b < 0  <0
x- ; a  x<a b
m) Si a y b tienen el mismo signo, entonces:
5. Teoremas de las desigualdades 1 1
a , es decir:
Sean a, b, c, d números reales, luego:29 a b
a) a >0
a b
c)  c > 0 : a bc a<b<0  0> >
a b
e) a –b
n) Sean a < 0  b > 0, luego:
f)  a  R : a2 0 a < x 18x + 25x
6. Inecuaciones de primer grado con 129 > 43x
una variable 129
43x < 129 x
Son desigualdades de la forma:30 43
 ax + b  0 x<3 Luego: x-; 3
 ax + b  0
 ax + b  0 Ejemplo
 ax + b  0 4. Resolver: 3x  5  3  x  5 
Considerando que: a; bR, a  0  3
Solución:
6.1 Resolución de una inecuación de Efectuando la multiplicación indicada:
primer grado 3x – 5 > 3x - 5
Resolver una inecuación de primer grado Reduciendo:
es obtener el intervalo al que pertenece 0>0
la variable de tal manera que verifique la Lo cual es falso, por lo tanto la inecuación
desigualdad y para ello será suficiente es incompatible:
despejar la variable teniendo en cuenta Luego: x (no hay solución)
los teoremas de las desigualdades.31
Ejemplo
Ejemplo
x x x 5. Resolver:  5  x  1   3  5x
  5  5
2. Resolver: 3 2 6 Solución:
Efectuando la multiplicación indicada:
Solución -5x + 1  3 – 5x
MCM (3; 2; 6) = 6 Reduciendo:
2x  3x  x 13
5
6 Lo cual es verdadero, y ello implica que la
6x inecuación no va a depender de “x” ya que
5 siempre se llegará a esa conclusión
6
verdadera.
x>5 Luego: x5; +
Luego: xR
7. Inecuaciones de segundo grado en
Ejemplo
una variable
3. Resolver:
Una inecuación de segundo grado o
(3x+2)(x–5) – (12x–76) > 3(x+7)(x–1) – 42
cuadrática en una variable x, es una
Solución: desigualdad de la forma:32
3x2 –13x–10–12x+76 > 3x2 + 18x–21– 42
3x2 – 25x + 66 > 3x2 + 18x – 21 – 42  ax 2  bx  c  0
-25x + 66 > 18x – 63  ax 2  bx  c  0
Transponiendo términos:  ax 2  bx  c  0

MATEMÁTICA
2
 ax  bx  c  0 Luego igualando a cero obtenemos los
puntos críticos: x=4 y x=3
Siendo: a; b, cR, a  0 Ubicando los puntos críticos en la recta
real y colocando los signos (+) y ()
7.1 Solución de una inecuación
alternadamente, tenemos el siguiente
cuadrática por el método de puntos
esquema:
críticos
Procedimiento33
a) Se hallan los dos puntos críticos, +  +
previamente factorizando y luego se
-
-3 4 +
ubican en la recta real, de tal manera

Elegimos las zonas (+)
que determina un cierto número de
Luego: C.S =];3[  ]4;+  [
intervalos.
b) A partir del primer intervalo de la
8. SISTEMAS DE INECUACIONES EN
derecha se colocan alternadamente
UNA VARIABLE
los signos (+) y ().
Conjunto de inecuaciones de primer grado o
c) Si la desigualdad es de la forma:
segundo grado con una incógnita, para
ax2+bx+c > 0 ó ax2+bx+c  0, el
resolver un sistema de inecuaciones
conjunto solución estará dado por los
primero se resuelven cada una de las
intervalos que tengan el signo (+).
inecuaciones que forma parte del sistema y
la solución del sistema es la intersección de
d) Si la desigualdad es de la forma:
los diferentes conjuntos soluciones de las
ax2+bx+c < 0 ó ax2+bx+c  0, el
inecuaciones que formaron parte del
conjunto solución estará dado por los
sistema.
intervalos que tengan el signo (). Ejemplo
9. Determinar el conjunto solución de:
Nota −2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
En las desigualdades estrictas (> ó <)
≤ 15 + 𝑥
los puntos críticos son abiertos y en las
Solución
desigualdades no estrictas (  ó  ) los
Primero se generan las dos inecuaciones
puntos críticos son cerrados.
−2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
Es necesario que todos los factores
3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
sean de la forma: ax+b, con a>0. En
Luego se resuelven de manera
caso de que a<0, bastará con multiplicar
independiente
por (1) a dicho factor y cambiar el
−2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
orden de la desigualdad.
−10 + 2𝑥 + 8 < 3𝑥 + 5𝑥 − 20
18 < 6𝑥 3 < 𝑥 CS 1
Ejemplo
3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
6. Resolver: x2x12>0
3𝑥 + 5𝑥 − 20 ≤ 15 + 𝑥
7𝑥 ≤ 35 𝑥 ≤ 5 CS 2
Solución:
Solución del sistema
Previamente factorizando x2x12,
CS 1 ∩ CS 2 𝑥 ∈ ]3; 5]
tenemos: (x4) (x+3)
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS 9
A) ] ; +∞[
1. Determinar el conjunto solución de la 8
inecuación: B) ]−∞; − [
9
2
3(𝑥 + 8) − 12 ≥ 7𝑥 − 2(9 − 4𝑥)
3
C) ] ; +∞[
5 4
A) ]−∞; ]
2 D) ]−∞; 9[
B) ]−∞; 2] 3
E) ]−∞; [
5 4
C) [ ; +∞[
4
D) [8; +∞[ 5. Indicar el menor valor entero positivo

E) ]−∞; ]
1 que satisface la desigualdad:
8
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) + 3(𝑥 − 3)
2. Indicar el menor valor entero que ≥ (𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
satisface la desigualdad: A) -1
0,75𝑥 − 6 + 0,15(5 − 4𝑥) < 𝑥 +
8 B) 1
3
0,25(3𝑥 + 9) C) 0
A) 1
D) 3
B) -1
E) 2
C) 0
D) – 2
6. Determina la suma de los valores
E) – 3 enteros que satisfacen la desigualdad:
1
3. Dar como respuesta el menor valor −12 ≤ 5𝑥 − 3 ≤
7
entero que satisface la desigualdad: A) 0
3𝑥 + 8
≤ 7𝑥 − 5 B) 1
5
A) – 4 C) -3
B) 5 D) -1
C) – 1 E) 3
D) 3
E) 2
7. Resolver e indicar el conjunto solución:
4. Hallar el conjunto solución de la 3𝑥 + 4  2𝑥 + 10 < 5𝑥 + 8
inecuación:
5𝑥 + 3 2𝑥 − 9 𝑥 − 14 𝑥 − 2 A) ]3; 8]
− < +
2 4 6 3
B) [−1; 12[
MATEMÁTICA
2
C) ] ; 6] C) ]−5,2; 4[
3
D) ]5,7; +∞[
D) ]−2; 9]
25 9
5 E) ]− ; [
E) [− ; 6[ 4 10
3
8. Indicar el menor valor entero que

satisface: 11. Determinar el conjunto solución del
3(𝑥 + 7) − 9 < (2𝑥 + 3)4 sistema de inecuaciones:
−2(𝑥 − 4) ≤ 18 + 𝑥 (𝑥 − 2)(𝑥 – 7) + 4 < (𝑥 + 3)2 − 5𝑥
A) 8 { 𝑥−5 3𝑥 + 7
−3≥8+
B) - 7 2 3
A) ]0,9; +∞[
C) 1 B) ∅
D) 3 C) ]−2; +∞[
E) – 2 D) ℝ
9. Determinar cuántos valores enteros E) ]−∞; 32[

forman el conjunto solución del sistema 12. Determinar la suma de los valores
de inecuación: enteros del conjunto solución de la
3𝑥 − 7 5(𝑥 + 6) inecuación:
≤
{ 4 3 (2𝑥 − 5)(𝑥 − 7) ≤ 0
3 3 5 A) 12
+ 𝑥 < 0, 3̅ − (𝑥 − 3)
2 4 6
B) 32
A) 13 C) 25
B) 9 D) 18
C) 7 E) - 27
D) 12 13. Indicar el conjunto solución:

𝑥(3𝑥 + 2) ≤ (𝑥 + 2)2
E) 5
A) [−1; 2]
10. Hallar el conjunto solución:
B) ]−∞; −1]
3𝑥 + 42 1 7
− 𝑥 < 2𝑥 − C) [5; 11]
5 2 3
5 3
< 𝑥– D) [−2; 10]
2 5
E) [−10; +∞[
A) ]−∞; 4,8[
14. Indicar el conjunto solución de la
B) ]3,2; +∞[ inecuación:
MATEMÁTICA
𝑥 2 − 10𝑥 + 33 < 0 B) ]−3; 4[
A) ]−∞; 9] C) ∅
B) ]−∞; 33[ D) ℝ
C) ]3; 11[ E) [2; +∞[
D) ℝ
E) ∅ 18. Hallar la suma de todos los valores
15. Determinar la suma de los valores enteros que satisfacen el sistema:
enteros que debe tomar “a” en la 𝑥+5 𝑥 𝑥+2
inecuación cuadrática cuyo conjunto − ≤
{ 23 2 6
solución son todos los reales 𝑥 − 11𝑥 + 18 < 0
𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 2 − 2𝑥 + 2 −𝑥 2 + 5𝑥 < 12
A) – 18 A) 17
B) 12 B) 30
C) – 23 C) -12
D) 20 D) - 6
E) – 14 E) 20
16. Determinar el intervalo al que pertenece 19. Si a la edad de Carlos se le duplica
n, para que el conjunto solución de la resulta menor que 84. Si a la mitad de
inecuación sean todos los reales: dicha edad se le resta 7 resulta mayor
3 que 12. Hallar la suma de las cifras de
𝑥 2 + 2𝑛𝑥 + 𝑛 − >0 la edad de Carlos, si dicha suma es
16
1 3
A) ]− ; [ mayor que 5.
2 2
A) 6
B) ]−2; 8[
B) 9
1 7
C) ] ; [ C) 10
4 3
D) ]1; 12[ D) 8
1 3
E) ] ; [ E) 12
4 4
20. Del dinero que tenía Francisco perdió
F)
S/.3. Si el cuádruplo del dinero que le
17. Hallar el conjunto solución del sistema: queda, es mayor que S/.56 y el doble
(3 − 𝑥)(𝑥 + 7) ≤ 0 del dinero que tenía es menor que
{ (𝑥 − 3)2 ≤ 4 S/.38. Determinar la cantidad de dinero
2𝑥(𝑥 − 8) + 7 ≤ 𝑥 2 − 5(2𝑥 + 1) + 𝑥 que le queda a Francisco.
A) [3; 4] A) 12

MATEMÁTICA
B) 18 C) City tours
C) 15 D) Tablet
E) Descuento
D) 22
E) 10
23. Un número entero y positivo, es tal que
21. El número de manzanas contenidas en la tercera parte del que le precede,
una caja es tal que su duplo, disminuido disminuida en 10, es mayor que 14, y
en 86, es mayor que 200. De la caja se que la cuarta parte del que le sigue,
sacan 17 y quedan menos que la aumentada en 10, es menor que 29.
diferencia entre 200 y la mitad de las ¿Con qué cifra comienza el número?
que había inicialmente. ¿Cuántas A) 5
manzanas hay en la caja?
A) 156 B) 7
C) 9
B) 188
D) 8
C) 144
E) 4
D) 123
E) 132 DESIGUALDADES E INECUACIONES

22. Germán es un estudiante de la PRECA
1 2 3 4 5
y por resolver el siguiente reto:
(𝑥 + 1)2 +(𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 2)2 A D E B B
≤ 3 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
6 7 8 9 10
Recibirá uno de los siguientes premios:
- Si el CS es mayor que 1 se gana una D C E A D
Tablet.
- Si el CS es menor que 1 se gana un 11 12 13 14 15
celular. B C A E A
- Si el CS es menor que -2 se gana un
city tours. 16 17 18 19 20
- Si el CS es mayor que 5 se gana un E A B E C
buzo de la universidad.
- Si el CS son todos los reales se gana 21 22 23
un descuento del 25%
C D B
¿Qué ganó Germán?
A) Buzo
B) Celular
MATEMÁTICA
B
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES
Y CIRCULARES
h
1. Áreas de regiones poligonales
A C
1.1 Área de un triángulo b
a) Fórmula básica
El área de una región triangular es igual b.h
A ABC 
al semiproducto de las longitudes de un 2
lado y la altura relativa a dicho lado
Siendo b la hipotenusa y h su altura relativa
B c) Fórmula trigonométrica
El área de una región triangular, es igual al

h semiproducto de las longitudes de dos lados
por el seno de la medida del ángulo
A C comprendido entre dichos lados.
H C
b
b.h 
A ABC  b
2 a
Siendo BH la altura relativa a AC

B A
b) Área de un triángulo rectángulo
ab
B A ABC  sen
2
d) Área de un triángulo equilátero
c
B
C 60°
A
b
L L
b.c
A ABC 
2
60° 60°
A C
L
Siendo b y c los catetos del triángulo L2 3 h2 3

A ABC  
rectángulo 4 3

MATEMÁTICA
e) Fórmula de Herón g) Área de una región triangular en
función del circunradio
El área de una región triangular, es igual a B
la raíz cuadrada del producto del
semiperímetro de la región triangular y la
diferencia del semiperímetro con la longitud c a
de cada uno de los lados. R
B
A C
b
b a
abc
A ABC 
A c C 4R
Siendo R el circunradio
A ABC  p(p  a)(p  b)(p  c )
1.2 Áreas de regiones cuadrangulares
Siendo p semiperímetro de la región
a) Área de un cuadrado
triangular
abc
p
2 L
A  L2
f) Área de la región triangular en
función del inradio
L
B
b) Área de un rectángulo
c a
r a
b
A b C
A ABC  p  r A  ab
Siendo r el inradio y p el
abc
semiperímetro: p 
2

MATEMÁTICA
c) Área de un rombo Propiedades en los cuadriláteros
 En un cuadrilátero
d B
C A C  BD
A
D
D
C
Dd
A N
2
B P
d) Área de un romboide M
A Q D
H
h a Si: M, N, P y Q son puntos medios del
cuadrilátero ABCD, se cumple que el
cuadrilátero MNPQ es un paralelogramo.
b
A  b.h  aH Además:
A región ABCD
A región MNPQ 
2
e) Área de un trapecio
 En un paralelogramo
b
B C
M N A1
h A2 A1 = A 2
A D
a
B
ab A
A  h  (MN).h C A=B=C=D
 2  D
B P C
Siendo: AM=MB y CN=ND
a y b son las bases mayor y menor
del trapecio y h la altura.
MN es la mediana del trapecio. A D
A región ABCD
A región APD 
2

MATEMÁTICA
 En un trapecio C D
B C
B E
r O
M
A
A D
Si: AM = MB, se cumple:
Apolígono = p×r
A región ABCD
A región MCD 
2 Donde:
p es el semiperímetro del polígono, y
r es el radio de la circunferencia inscrita
B C
A2 1.4 Áreas de polígonos regulares

A1
En todo polígono regular el área es igual al
producto del semiperímetro y apotema.
A D
A1 = A 2 C D
B E
R
ap  O
B C n
S1 A
R
F
A A
S2
A D
Apolígono regular = n   n . ap 
 2 
 
A 2  S1  S 2
Apolígono regular = n  R . Sen 
2
 2 
 
1.3 Áreas de polígonos circunscritos
Donde:
En todo polígono circunscrito a una n es el número de lados del polígono regular
circunferencia, el área se puede expresar n es la longitud del lado del polígono regular
como el producto del semiperímetro y el ap es la apotema del polígono regular R es
radio de la circunferencia inscrita el radio de la circunferencia circunscrita

MATEMÁTICA
Observación 2.3 Área de una corona circular
En el caso del hexágono regular al trazarse
las diagonales indicadas en el gráfico, el
T
hexágono queda dividido en 6 triángulos A B
equiláteros congruentes.
S r
R
S S
S S
S
A corona circular   (R 2  r 2 )
2. Regiones circulares
2.1 Área de una región circular
 (AB) 2
A corona circular 
4
d Siendo T un punto de tangencia

R
2.4 Área de un segmento circular
A
2  d2 R
A  R A
4
Siendo: O 
R es el radio del círculo
d es el diámetro del círculo B
2.2 Área de un sector circular
R 2 1 2
A A segmento circular   R . sen
360 2
 R 2   
O  A segmento circular    sen  
2  180 
R
B
R 2 
A sec tor circular 
360

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS A) 24 cm2
1. El perímetro de un triángulo es 36 cm y B) 84 cm2
las medidas de sus lados son tres C) 72 cm2
números enteros pares consecutivos.
Calcular el área del triángulo. D) 60 cm2
E) 48 cm2
A) 10 7 cm2
B) 14 7 cm2 4. Dos lados de un triángulo que miden 12
y 16 cm, forman un ángulo de 120°.
C) 12 10 cm2 Calcula el área de su región triangular
D) 12 6 cm2
A) 18 2 cm2
E) 24 6 cm2
B) 48 2 cm2
2. Los lados de un triángulo ABC miden 9, C) 28 3 cm2

16, y 18 cm, respectivamente. Si se
disminuye en “x” cm a cada uno de los D) 48 3 cm2
lados del triángulo, resulta un triángulo E) 24 3 cm2
rectángulo. Calcular el área del triángulo
obtenido.
5. En el gráfico, AB=15, AC=19 y CD=6.
A) 60 cm2 Calcula el área de la región triangular
BCD.
B) 72 cm2
C) 81 cm2
D) 120 cm2
E) 100 cm2
3. En el gráfico, AB=BC=13 cm, CD=4 cm

y BD=15 cm. Calcula el área del
A) 20
triángulo isósceles.
B B) 36
C) 40
D) 25
E) 15
D A 6. Calcula el área de un rectángulo,

C
sabiendo que su perímetro mide 28 cm y
su diagonal mide 10 cm.

MATEMÁTICA
A) 24 cm2 A) 25 cm2
B) 36 cm2 B) 75 cm2
C) 28 cm2 C) 50 cm2
D) 42 cm2 D) 45 cm2
E) 48 cm2 E) 48 cm2
7. En el gráfico, el triángulo ABC es 9. Si a los lados de una plancha metálica

equilátero y el cuadrilátero BCFE es un cuadrada se le incrementaría 2 dm, el
cuadrado cuya diagonal mide 10 2 área se incrementaría en 48 dm2.
cm. Calcula el área sombreada. Calcula el perímetro de la plancha.
A) 16 dm
E
B) 12 dm
B C) 18 dm
D) 20 dm
D
E) 24 dm
A 10. En el trapecio ABCD la base mayor AD

C
mide 14 cm y su altura 8 cm, además
su área es 80 cm2. Calcular el área de
A) 12,5 cm2 la región triangular BCD.
B) 25 3 cm2 B C
C) 12 3 cm2
D) 25 cm2
E) 50 cm2
A D
8. En el rectángulo ABCD, AB = 8 cm, BE
= 6 cm y AD = 10 cm. Calcula el área A) 48 cm2
de la región sombreada.
E B) 24 cm2
B C
C) 30 cm2
D) 12 cm2
E) 36 cm2
11. En el gráfico, MNPQ y QRST son
cuadrados cuyos lados miden 4 y 3
A D unidades respectivamente. Calcula el
área del cuadrilátero PSTN.
MATEMÁTICA
N P B C
R S T
M T
Q A D
A) 12,5 u2 A) 68 dm2
B) 13 u2 B) 96 dm2
C) 15 u2 C) 48 dm2
D) 10 u2 D) 78 dm2
E) 25 u2 E) 98 dm2
12. En el gráfico, el cuadrilátero ABCD es un 14. De uno de los vértices de un hexágono

rectángulo cuyos lados miden 4 y 8 regular de 5 unidades de lado se trazan
unidades. Si la razón de las áreas del segmentos de recta a cada uno de los
triángulo ABE y el trapecio AECD sea otros vértices formando triángulos. El
2 área del triángulo de menor área es:
igual a . Calcula la longitud de la base
3 25 3 2
menor del trapecio. A) u
4
B E C
25 2 2
B) u
4
25 3 2
C) u
D 2
A
A) 1,6 u. 75 3 2
D) u
2
B) 6,4 u.
C) 1,8 u. 75 3 2
E) u
D) 6,2 u. 4
E) 6 u.
13. En el gráfico, ABCD es un trapecio 15. Calcula el área de la región de un
rectángulo cuyas bases miden 4 dm y 9 cuadrilátero MNPQ circunscrito a una
dm. Calcula el área del trapecio, circunferencia de radio igual a 2u.
sabiendo que T es punto de tangencia Además MN = 3 u y PQ = 5 u.

MATEMÁTICA
A) 24 u2 D) 105  cm2
B) 20 u2 E) 115  cm2
C) 18 u2
18. Calcula el área de la corona circular,
D) 28 u2 sabiendo que MN=18 cm, siendo MN
E) 16 u2 tangente y O el centro de los círculos.
16. En el gráfico, el lado del hexágono
regular mide 2 dm y el triángulo PQR es M N
equilátero. Calcula la medida de PQ,
sabiendo que las áreas de las 4
regiones delimitadas en el hexágono (3 O
cuadriláteros y el triángulo equilátero)
son iguales.
A
A) 18 cm2
P
F B B) 72 cm2
C) 91 cm2
D) 54 cm2
R
E) 81 cm2
E Q C
19. El perímetro de un triángulo es 42 cm y
A) 6 dm las medidas de sus lados son tres
D números enteros consecutivos. Calcular
B) 2 6 dm el área de la región comprendida entre el
triángulo y la circunferencia inscrita en
C) 3 2 dm
dicho triángulo. (Use: =3,1)
D) 2 3 dm A) 34,4 cm2
6 B) 56,1 cm2
E) dm
2 C) 71,6 cm2
D) 37,5 cm2
17. Un círculo inicialmente de 17 cm, de
radio se reduce a un circulo más E) 6,5 cm2
pequeño de 13 cm. de radio. Calcular el 20. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y
área reducida. . 15 cm. Sobre el lado intermedio se toma
A) 100  cm2 un punto y haciendo centro en él, se
grafica una circunferencia tangente a los
B) 110  cm2 otros dos lados. Calcular el área de la
región circular limitada por la
C) 120  cm2
circunferencia.
MATEMÁTICA
A) 36  cm2 23. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de
16 m2 de área. Calcular el área de la
B) 25  cm2 región sombreada.
C) 64  cm2 A B
D) 16  cm2
E) 100  cm2
21. En el gráfico P, Q y R son puntos de
tangencia; si AB=8 unidades, calcula el
área de la región sombreada.
B D C
P
Q A) 4𝜋m2
B) 𝜋 − 2 m2
A 37° C
R C) 2𝜋 m2
D) 3𝜋 − 2 m2
E) 𝜋 + 3 m2aaaaaaaaasvfdjyfhhd
A) 16 u2
CLAVE DE RESPUESTAS
B) 19 u2
1 2 3 4 5
C) 21 u2
E A D E B
D) 22 u2
E) 24 u2 6 7 8 9 10
E D C 9 B
22. En un círculo de 6 dm. de radio dos 11 12 13 14 15
cuerdas paralelas, a un mismo lado del
centro, son el lado del hexágono y el A A D A E
lado del cuadrado inscrito. Calcular el
área comprendida entre las cuerdas. 16 17 18 19 20
A) 3π  9 3  18 dm2
A C E A A
B) 3π  9 3  18 dm2
21 22 23
C) 18  9 3  3π dm2
C A C
D) 3π  6 3  18 dm2
E) 3π  6 3  18 dm2
MATEMÁTICA
LA RECTA
1. PENDIENTE DE UNA RECTA:
Inclinación que presenta toda recta con
respecto al eje de abscisas.
Si L1 // L2 se cumple que:
𝑚1 = 𝑚2
2.2. Rectas perpendiculares:

Si L1 L2 entonces:
La pendiente de una recta también es 𝑚1 . 𝑚2 = −1

definida como la tangente trigonométrica
del ángulo formado por la recta y el eje x.
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑦 𝑚1 = 𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1
Si el ángulo formado por la recta y la

horizontal es menor a 90º, tendrá una 3. ECUACIONES DE LA RECTA
pendiente positiva.34
Por los postulados de Euclides podemos
Si el ángulo formado por la recta y la afirmar que:
horizontal es mayor a 90º, tendrá una
pendiente negativa.  Por un punto pasan infinitas recta.
Si la recta es horizontal, entonces su  Por dos puntos pasa una y solo una
pendiente será nula. recta o dos puntos determinan una
recta.
2. RECTAS PARALELAS Y
PERPENDICULARES35 Para saber si un tercer punto pertenece a
una recta o no, se debe comprobando que
2.1. Rectas paralelas: la pendiente de este punto con los otros dos
MATEMÁTICA
puntos que determinaron la recta, deben
tener la misma pendiente.
3.1. Ecuación punto pendiente
La ecuación de la recta L que pasa por el
punto 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y cuya pendiente es m,
está dado por:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Dónde:
b: ordenada en el origen
P: Punto cualquiera
3.4. Ecuación simétrica

La ecuación de la recta L que corta los ejes
de coordenadas x e y en los puntos A(𝑎, 0)
y B(0, 𝑏) esta dado por:
𝑥 𝑦
+ =1
𝑎 𝑏
3.2. Ecuación cartesiana

La ecuación de la recta L que pasa por los
puntos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) esta dado
por:
𝑦2 − 𝑦1
𝑦 − 𝑦1 = (𝑥 − 𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
3.3. Ecuación punto ordenada 3.5. Ecuación general de la recta

La ecuación de la recta L de pendiente m y La ecuación general de la recta está dada
que corta al eje Y en el punto 𝑃1 (0, 𝑏) esta por:
dado por: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 En toda ecuación general se puede

determinar su pendiente y el punto en la
ordenada a través de estas relaciones:
MATEMÁTICA
𝐴
: 𝑚=−
𝐵
𝐶
𝑏=−
𝐵
4. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS PROPUESTOS

La distancia dirigida “d” de un punto
1. Si ABCD es un paralelogramo, cuyos
𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) a una recta cuya ecuación es: vértices tiene por coordenadas; A(n; -9),
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 se determina por: B (-4;2), C (1; m) y D (6; -4).Calcular el
área de la región triangular ABC.
A) 20
B) 45
C) 48
D) 50
E) 40
|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶| 2. El punto (m - 2; m + 3) pertenece a la

𝑑=
√𝐴2 + 𝐵2 recta 8𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0, calcular el
valor de m.
19
A)
4.1. Distancia entre dos rectas paralelas 3
3
La distancia d entre las rectas L1 y L2: B)
17
5
C)
12
𝐿1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0
7
𝐿2 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0 D)
16
Esta dada por: E)
17
5
|𝐶1 − 𝐶2 |
𝑑=
√𝐴2 + 𝐵2

MATEMÁTICA
3. Determinar la ecuación de la recta cuya 6. Determinar la ecuación de la recta que
5
pendiente es − y pasa por el punto se intersecta en el eje y en 9 y en el eje
4
x en -11.
(8; - 2).
A) 9𝑥 − 11𝑦 + 99 = 0
A) 3𝑥 − 2 𝑦 + 32 = 0
B) 7𝑥 + 9𝑦 − 72 = 0
B) 3𝑥 + 5 𝑦 − 18 = 0
C) 3𝑥 − 4𝑦 + 24 = 0
C) 5𝑥 + 4 𝑦 − 32 = 0
D) 6𝑥 + 5𝑦 + 95 = 0
D) 4𝑥 − 3𝑦 − 28 = 0
E) 5𝑥 − 13𝑦 − 75 = 0
E) 2𝑥 + 3 𝑦 − 23 = 0
7. Los extremos de un de segmento son

4. Determinar la ecuación de la recta que los puntos: A (8; 2) y B (-6; 14), hallar la
pasa por los puntos (5; 7) y (11; - 6). ecuación de la recta mediatriz del
A) 13𝑥 − 7𝑦 + 97 = 0 segmento.
B) 13𝑥 + 6𝑦 − 107 = 0 A) 7𝑥 + 𝑦 − 37 = 0
C) 11𝑥 + 7𝑦 + 145 = 0
D) 18𝑥 + 9𝑦 − 35 = 0 B) 7𝑥 + 𝑦 − 45 = 0
E) 12𝑥 − 8𝑦 − 125 = 0 C) 7𝑥 − 9𝑦 + 15 = 0
D) 7𝑥 + 6𝑦 − 25 = 0
E) 7𝑥 − 6𝑦 + 41 = 0
5. Determinar la ecuación de la recta que 8. Determinar la ecuación de la recta que

pasa por los puntos (-2; - 7) y (6; 9). pasa por el punto (-4; -9) y es paralela a
A) 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 la recta que pasa por los puntos (5; -7)
y (- 6; 2).
B) 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 A) 9𝑥 − 13𝑦 + 109 = 0
C) 𝑥 − 5𝑦 + 9 = 0 B) 3𝑥 + 2𝑦 + 130 = 0
D) 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 C) 3𝑥 − 12𝑦 − 73 = 0
D) 7𝑥 − 13𝑦 − 113 = 0
E) 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 E) 9𝑥 + 11𝑦 + 135 = 0

MATEMÁTICA
9. Determinar la ecuación de la recta que 12. Determinar la ecuación de la recta 𝐿
pasa por el punto (3; -5) y es paralela a que pasa por el punto (5; 9) y es
la recta que pasa por los puntos (-2; - 4) perpendicular a la recta
y (7; 9). L: 𝑥 + 7𝑦 + 12 = 0
A) 7𝑥 − 13𝑦 + 70 = 0 A) 5𝑥 − 𝑦 – 17 = 0
B) 13𝑥 − 9𝑦 − 84 = 0 B) 7𝑥 − 𝑦 − 26 = 0
C) 11𝑥 + 9𝑦 − 76 = 0 C)𝑥 + 7𝑦 + 18 = 0
D) 9𝑥 − 11𝑦 − 73 = 0 D) 3𝑥 + 𝑦 – 15 = 0
E) 12𝑥 + 7𝑦 − 98 = 0 E) 2𝑥 − 3𝑦 – 20 = 0
10. Hallar la ecuación de la recta que pasa 13. Hallar la ecuación de la recta que pasa
por el punto (2; -9) y es perpendicular a por (- 8; 12) y es paralela a la recta
la recta que pasa por los puntos (-1; 3) L: 4𝑥 − 7𝑦 − 18 = 0
y (7; -4). A) 3𝑥 – 2𝑦 + 118 = 0
A) 8𝑥 − 7𝑦 − 79 = 0 B) 7𝑥 + 4𝑦 – 126 = 0
B) 7𝑥 + 8𝑦 + 28 = 0 C) 2𝑥 – 3𝑦 – 127 = 0
C) 7𝑥 – 8𝑦 + 18 = 0 D) 4𝑥 − 7𝑦 + 116 = 0
D) 8𝑥 + 7𝑦 − 43 = 0 E) 𝑥 + 4𝑦 – 136 = 0
E) 3𝑥 + 6𝑦 − 79 = 0
14. Hallar la ecuación de la recta L1 que

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa pasa por el punto de intersección de las
por el punto (4; 12) y es perpendicular a rectas:
la recta que pasa por los puntos (-3; 8)
y (6; 4). L2: 18𝑥 − 49𝑦 − 5 = 0 y
A) 3𝑥 + 9𝑦 + 19 = 0 L3: 12𝑥 − 35 𝑦 – 1 = 0
B) 7𝑥 – 2𝑦 + 28 = 0 y el punto (7; 3)
C) 9𝑥 – 4𝑦 + 12 = 0 A) 2𝑥 + 𝑦 – 1 = 0
D) 9𝑥 + 4𝑦 − 43 = 0 B) 3𝑥 – 4𝑦 + 9 = 0
E) 3𝑥 + 6𝑦 + 13 = 0 C) 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0
D) 𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
E) 2𝑥 − 𝑦 – 8 = 0

MATEMÁTICA
15. Hallar la ecuación de la recta que 18. Los vértices de un cuadrado MPQR
pasa por el punto de intersección de las son M = (2; 3) y Q = (6; 7). Hallar la
rectas: ̅̅̅̅.
ecuación de la diagonal 𝑃𝑅
𝐿1 : 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 ; A) 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
𝐿2 : 2𝑥 – 𝑦 − 4 = 0 y además es
B) 2𝑥 + 7𝑦 − 2 = 0
ortogonal a la recta :
𝐿3 : 9𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 C) 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0
A) 5𝑥 + 4𝑦 – 63 = 0 D) 3𝑥 − 𝑦 − 9 = 0
B) 5𝑥 + 9𝑦 – 33 = 0
E) 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
C) 4𝑥 + 15𝑦 + 33 = 0
D) 5𝑥 − 17𝑦 + 62 = 0
E) 2𝑥 − 36𝑦 + 121 = 0
19. Sean A (-2; 1) y B(4; 7) dos vértices de

4 5
un triángulo ABC, y P ( ; ) punto
3 3
16. Por el punto de intersección de las baricentro del triángulo, determinar la
rectas: ecuación de la recta que pasa por los
puntos medios de 𝐴𝐶̅̅̅̅ y 𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐿1: 5𝑥 + 4𝑦 – 22 = 0
𝐿2 : 3𝑥 − 7𝑦 + 15 = 0 A) 𝑥 + 2𝑦 = 0
pasa una recta que es paralela a la recta B) 𝑥 – 𝑦 – 1 = 0
𝐿3 : x − 9y + 17 = 0. Hallar su C) 𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0
ecuación. D) 𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0
A) 3𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0 E) 𝑥 + 5𝑦 = 0
B) 3𝑥 − 4𝑦 + 18 = 0
C) 9𝑥 − 𝑦 + 28 = 0
D) 𝑥 + 2𝑦 + 32 =
E) 𝑥 − 9𝑦 + 25 =
20. Determine la distancia entre las rectas
paralelas L1 y L2, si la recta L2 pasa por
el punto (2; 1)
L1: 𝑚𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
17. Los vértices de un triángulo son: L2: 𝑛𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0
A (2; 9), B (5; 2) y C (3; 8). A) 2,5
Determinar la ecuación de la recta que
pasa por el punto baricentro y el punto B) 3,1
medio del lado BC.
A) 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 C) 1,6
B) 3𝑥 + 𝑦 − 9 = 0
C) 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 D) 1,8
D) 3𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
E) 2𝑥 + 3𝑦 + 15 = 0 E) 2,3
MATEMÁTICA
21. Las bases de un trapecio están dadas (𝑦) en función del número de unidades
por las ecuaciones: (𝑥 ).
𝐿1 : 4𝑥 – 3𝑦 + 10 = 0 4𝑥
A) 𝑦 = − 30
2
𝐿2 : 8𝑥 – 6𝑦 + 30 = 0 5𝑥
Determinar la longitud de la altura del B) 𝑦 = − 30
2
trapecio. 3
C) 𝑦 = 𝑥 − 30
A) 5 2
7𝑥
D) 𝑦 = − 30
B) 3 𝑥
2
E) 𝑦 = − 30
C) 2 2
25. Calcular el área de la región poligonal
D) 1 limitada por las rectas:
E) 4 𝐿1 : 5𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
22. Carolina ha dibujado un triángulos 𝐿2 : 4𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0
cuyos vértices son: (- 3; 1), B (5; 5) y C 𝐿3 : 𝑦 = 0
(1; - 2). Desea saber cuánto mide la A) 16u2
altura relativa al lado AB.
A) 1 B) 12u2
B) 2 C) 21u2
C) √5 D) 9u2
E) 18u2
D) 2√5
E) 3√5 LA RECTA
23. El triple de la distancia más corta entre 1 2 3 4 5
el punto P (1; - 3) y la recta
L: 2y - 3x = 4 es lo que Juan va a E A C B D
caminar de su casa a la universidad.
A) 3√13 6 7 8 9 10
B) 13√14 A E E B A
C) 9√13 11 12 13 14 15
D) 18 √7 C B D C B
E) 6√14 16 17 18 19 20
24. Maribel produce 50 unidades de
E A C B C
detergente líquido al precio de 45 soles
por unidad y 60 unidades de detergente 21 22 23 24 25
líquido al precio de 60 soles. Sabiendo
que entre el precio y el número de D D A C A
unidades producidas existe una relación
lineal. Determine la ecuación del precio
MATEMÁTICA
Equivalencias:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN 1g = 100m ; 1m = 100s ; 1g = 10 000s
ÁNGULO AGUDO
1.3 Sistema radial (R)
Su unidad angular es el radián (1 rad).
1. Sistema de medidas angulares36 Es el ángulo central que se encuentra en
La medida de un ángulo se expresa en una circunferencia, con un arco que tiene la
cualquiera de estos tres sistemas: misma longitud que el radio.
1.1 Sistema sexagesimal (S)
Su unidad angular es el grado sexagesimal
(1º), el cual se obtiene al dividir un ángulo de
una vuelta en 360 partes iguales.
1rad r
  1 vuelta = 2π rad
1 vuelta 2r
1.4 Relación entre los tres sistemas
1 vuelta Sean S, C y R los números que representan
1   1 vuelta = 360º la medida de un mismo ángulo, en los
360 partes
sistemas sexagesimal, centesimal y radial,
Equivalencias: respectivamente. La relación entre ellos es
la siguiente:
1º = 60 ; 1 = 60 ; 1º = 3600
1.2 Sistema centesimal (C) S C R S C R
    
Su unidad angular es el grado centesimal 360 400 2 180 200 
(1g), el cual se obtiene al dividir un ángulo
de una vuelta en 400 partes iguales. a) Fórmula general de conversión
S  180k
S C R 
   k  C  200k
180 200 π R  πk

b) Relación numérica entre S y C

S C S  9k
1 vuelta   k de donde 
1g   1 vuelta = 400g 9 10 C  10k
400 partes
También:

MATEMÁTICA
 180R 27 C
S 
S C R   9 10
  
180 200 π  200R
C C=30g
 
Luego: 27º=30g
Ejemplos de aplicación
Ejemplo
 Determine la medida radial de un ángulo tal
a) Convertir rad a grados sexagesimal.
5 que:
Solución: S C 85  
S R  R 
Utilizamos la relación:  ,y 4 5 3
180 
Siendo S, C y R los números
 convencionales para dicho ángulo.
reemplazamos rad en lugar de R:
5 Solución
S / 5 Por condición del problema.
 S C 85  
180   R 
4 5 3
S = 36°
S C R
Sabemos que:   k
 180 200 
Luego: rad = 36º
5 De donde: S=180k; C=200k; R= k
Reemplazando en la condición:
b) Convertir 60g a radianes.
180k 200k 
Solución:   k  85 
C R 4 5 3
Utilizamos la relación:  ,y 85  
200  45k  40k  k 
3
reemplazamos 60g, en lugar de C: 85  
85k  k 
60 R 3

200  85  
k85   
3 3
R rad. 1
10 k 
3
3 Finalmente hallando el número de radianes,
Luego: 60g  rad
10 tenemos:
c) Convertir 27º a grados centesimales. 1 

R  k  . 
Solución: 3 3
S C
Utilizamos la relación:  Por consiguiente la medida del ángulo en el
9 10 
y reemplazamos 27°, en lugar de S: sistema radial es: rad.
3
MATEMÁTICA
2. Razones trigonométricas de un
ángulo agudo en un triángulo Nombre Razones trigonométricas
rectángulo cateto opuesto a
Son cocientes que resultan de relacionar Seno Sen  
hipotenusa c
los lados de un triángulo rectángulo
(tomados de dos a dos) con respecto a
cateto adyacente b
uno de sus ángulos agudos. Las razones Coseno Cos  
trigonométricas son cantidades hipotenusa c
adimensionales, y no dependen de los
lados, sino únicamente del ángulo.37 cateto opuesto a
Tangente Tan  
cateto adyacente b
Elementos del triángulo rectángulo:
cateto adyacente b
B Cotangente Cot  
: cateto opuesto a
c hipotenusa c
Secante Sec  
a cateto adyacente b
hipotenusa c
Cosecante Csc  
A C cateto opuesto a
b
 Lados: a y b son los catetos y c es la 4. Razones trigonométricas inversas
hipotenusa
 Ángulos: C = 90° y ∡A y ∡B son Sen Cos Tan Cot Sec Csc
ángulos agudos      
 Vértices: A, B y C
a b a b c c
En todo triángulo rectángulo se cumple:
c c b a b a
 Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2
 m∡A + m∡B = 90
Son razones inversas
3. Definición de las razones
trigonométricas En el cuadro anterior, se observa que el
Dado el triángulo ACB, recto en “C”, producto de las razones trigonométricas
según la figura, se establecen las inversas es igual a 1, siempre que sea el
siguientes definiciones para el ángulo mismo ángulo.
agudo :38 B Es decir:39
c Sen  Co sec   1
a
Cos  Sec  1
 Tan  Cot  1
A C
b

MATEMÁTICA
5. Razones trigonométricas de ángulos Es falso, ya que 80º+20º90º
complementarios II. Tg45º = Cgt45º
Si  y  son ángulos agudos Es verdadero, ya que 45º+45º=90º
complementarios ( +  = 90°) se
III. Sen(80º-x)= Cos(10º+x)
cumple:40
Es verdadero, ya que
Sen  = Cos 80º-x+10º+x=90º
Tan  = Cot  Ejemplo
Sec  = Csc  Determina el menor valor positivo de “x”
que verifique: Sen5x – Cosx = 0
Solución:
Son iguales siempre que:
Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego
 +  = 90°
los ángulos deben sumar 90º:
Ejemplo
 5x+x=90º
Para que valor del ángulo agudo “x” se
6x=90º
cumple la siguiente igualdad:
x=15º
Cos (3x+10º+). Sec(x+70º+)=1
Solución:
Se observa que en la ecuación intervienen, Ejemplo
Determina el menor valor de “x” positivo
razones trigonométricas inversas; luego los
que verifique:
ángulos son iguales. Sen3x – Cosy = 0
Cos (3x+10º+).Sec(x+70º+)=1 Tg2y.Ctg30º - 1 = 0
ángulos iguales Solución:
Observa que el sistema planteado es
3x+10º+ = x+70º+
equivalente a:
2x=60º
Sen3x=Cosy  3x+y=90º ... (I)
x=30º
Ejemplo Tg2y.Ctg30º=1  2y=30º ... (II)
y=15º
Indica el valor de verdad de las Reemplazando en (I)
siguientes proposiciones:
3x+15º = 90º
I. Sec80º = Coses20º ( )
II. Tan45º = Cot45º ( ) 3x =75º
III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( ) x = 25º
Solución: Ejemplo
Se observa que las igualdades Se sabe que “x” e “y” son ángulos
corresponden a una razón y su co- complementarios, además:
razon, de tal manera para que sea Senx = 2t + 3 ; Cosy = 3t + 4,1
verdadera los ángulos deben sumar 90°. Hallar Tanx
I. Sec80º = Cosec20º Solución:

MATEMÁTICA
Si x e y son ángulos complementarios, c) Triángulo notable de 15° y 75°
entonces: x+y=90º
Por tanto: Senx=Cosy
Reemplazando: 2t+3 = 3t+4,1 75° 4k
-1,1 = t
Conocido “t” calcularemos: 15°
Senx=2(-1,1)+3
4
Senx=0, 8  Senx= ..... (I)
5 d) Triángulo notable de 37° y 53°
Nota: (aproximado)
Conocida una razón trigonométrica, luego
hallaremos las restantes; graficando la
condición (I) en un triángulo, tenemos: 53° 5k
4 3k
Por lo tanto: Tanx=
3 37°
6. Razones trigonométricas de ángulos 4k
notables41 e) Triángulo notable de 16° y 74°
Para el cálculo de las razones (aproximado)
trigonométricas de dichos ángulos es
necesario recordar los siguientes triángulos 74° 25k
rectángulos notables. 7k
a) Triángulo notable de 30° y 60° 16°
24k
60° 2k
1k 82° 5√2𝑘
k
30° 8°
7k
b) Triángulo notable de 45°
¡Muy importante!
Para calcular las razones trigonométricas

45° de la mitad de un ángulo agudo se debe
1k tener en cuenta que:
α b
45° Tan   c
2 ac b
1k

a
MATEMÁTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS 2. Calcula el valor de:
1. Teniendo en cuenta los triángulos 𝜋 𝜋 𝜋
notables y las definiciones de las 𝐸 = 4 tan + 6 sen + 3 cos
4 6 3
razones trigonométricas, completa los
siguientes cuadros, escribiendo los A) 5,5
valores de la razones trigonométricas de B) 6,5
los angulos notables cuyos valores:
a) Son exactos C) 7,5
30° 60° 45° 15° 75° D) 8,5

E) 9,5
Sen
3. Calcula el valor de:
Cos Cot 2 (30°).Sec(60°).Cot (45°)
E=
2Tg 2 (30°) + Sec 2 (45°)
Tan A) 2
B) 3
Cot
C) 2.5
Sec D) 2.25
E) 2.75
Cosec
4. Los lados menores de un triángulo
rectángulo miden 3 y 5 unidades. Si el
b) Son aproximados menor ángulo agudo de dicho triangulo
mide “ θ ”. Calcula el valor de:
37° 53° 16° 74° 8° 82°
E = 17Sen2θ - 1
Sen A) 1,5
B) 2,5
Cos
C) 3,5
D) 4,5
Tan
E) 5,5
Cot
5. Si:
𝜋 𝜋 𝜋
Sec 𝐹(𝑥) = csc + tan + 2 cos
3𝑥 2𝑥 𝑥+1
Cosec Calcula el valor de: F(2)

MATEMÁTICA
A) 20 D) 18
B) 21 E) 20
C) 22
9. Si se cumple que: Sen2x = Cos 3x,
D) 23
siendo ”x” un ángulo agudo
E) 0 Calcula el valor de:
E = 4Tg (2x + 1°) + 3Tg (3x - 1°)
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto A) 5
en C, se cumple que: 4SenA = 7SenB ,
B) 6
E = 65Sen2 A - 42TanB C) 7
D) 8
A) 10
E) 9
B) 15
C) 20 10. Si se cumple que:
Se n(3x - 17°)Csc( x + 13°) = 1
D) 25
E) 30 E = Csc 2x + Cot 3x + Sec 4 x
A) 5
7. En un triángulo ABC, recto en C, se
B) 6
Sec A 2
cumple que: = C) 7
Sec B 3
Calcula el valor de: D) 8
E = 13 Cos A + 3CotB E) 9
A) 1
B) 2 11. Sabiendo que: Tg (3x - 10°)Tg (40°) = 1
C) 3 Calcular:
E = 3Sec 3x + 5Sen(2x - 3°)
D) 4 A) 5
E) 5 B) 6
C) 7
8. Si θ es la medida de un ángulo agudo
2 D) 8
y se cumple que: Tan(θ) =
3 E) 9
E = 13Sen( ) + 12Cot ( ) 12. Si:
A) 12 Sen3x.Csc y = 1
B) 14 Tan(2x + 20°) = Ctg ( y + 10°)
El valor de “y – x “ es:
C) 16
MATEMÁTICA
A) 12 15. En la figura, ABCD es un cuadrado.
Calcula el valor de Tanθ ”
B) 18
C) 20
D) 24
E) 32
13. En la figura, calcula el valor de x, si se
cumple la siguiente condición: A) 3/4
Tan(30°- θ) - Ctg (30°+ 3θ) = 0
B) 3/7
C) 4/7
D) 3/5
E) 3/8
16. En un triángulo rectángulo, el coseno
de uno de sus ángulos agudos es 0,96.
A) 10 2 m Si su hipotenusa mide 50 m.
Hallar el perímetro de dicho triangulo.
B) 10 m A) 112
C) 5 3 m B) 224
D) 5 m C) 96
E) 10 3 m D) 52
E) 412
14. En la figura, se cumple que: BN=2AN
Calcula el valor de: Tanβ 17. El perímetro de un triángulo rectángulo
es de 338 m. Si la tangente de uno de
los ángulos agudos es 2,4
¿Cuánto mide el cateto menor?
A) 13 m
B) 33.8 m
C) 50 m
D) 56.33 m
A) 0,25
E) 55 m
B) 0,5
18. Dos personas están colocadas a ambos
C) 0,6
lados de un poste, de tal forma que una
D) 0,8 de ellas observa la parte más alta con
ángulo de elevación de 45° y la otra
E) 0,75
observa el punto medio del poste con un
MATEMÁTICA
ángulo de elevación de 37°.Hallar la A) 3
altura del poste si las personas están
B) 6
separadas una distancia de 25 m.
A) 7 m C) 8
B) 15 m D) 9
C) 12 m E) 10
D) 8 m 22. Desde lo alto de un edificio se observa
con un ángulo de depresión de 37º, a un
E) 10 m
automóvil se desplaza con velocidad
constante. Luego que avanza 28m
acercándose al edificio es observado
19. Una persona situada en la parte superior
con un ángulo de depresión de 53º. Si de
de un edificio de 15 3 m de altura esta posición tarda en llegar al edificio 6
observa a dos personas con ángulos de segundos. Hallar la velocidad del
depresión de 30° y 60° automóvil en m/s
respectivamente. Hallar la distancia que A) 2
separa a las personas.
A) 30 m B) 4
B) 25 m C) 6
C) 20 m D) 8
D) 15 m E) 10
E) 32 m CLAVE DE RESPUESTAS
20. Desde un barco que se dirige hacia un 1 2 3 4 5

faro se observa la parte más alta con
ángulo de elevación de 15º, luego de - D D C C
acercarse 56 m se vuelve a observar el
mismo punto con un ángulo de 6 7 8 9 10
elevación de 30º. Determinar la altura
D E E C A
del faro.
A) 14 m 11 12 13 14 15
B) 21 m
E D B E C
C) 28 m
16 17 18 19 20
D) 30 m
E) 36 m A D B A C
21 22
21. Calcular la altura de un árbol, si el ángulo
de elevación de su parte más alta D C
aumenta de 37º hasta 45º, cuando el
observador avanza 3 m hacia el árbol.
MATEMÁTICA
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Figueroa, R. (2002). Geometría

Analítica. Editorial América. Lima.
Espinoza, E. (2002). Geometría
Analítica plana. Editorial Servicios
Gráficos J.J. Lima.
Zill Dennis G. (2011) Calculo
Trascendentes Tempranas McGraw-
Hill/ Interamericana Editores S.A. de
C.V.
Figueroa G. R.( 1987) Problemas
Resueltos de Geometría Analítica
COSMOS GRAFF Sr Ltda.
Michael Sullivan. Trigonometría y
Geometría Analítica Editorial
Prentice Hall.
Claves.com 4. (2004). Editorial
Santillana. Lima.
Coveñas, M. (2010). Matemática 4.
Editorial Coveñas. Lima.
Coveñas, M. (2010). Matemática 5.
Editorial Coveñas. Lima.
Ricra, D. (2005). Geometría
Analítica. Editorial Cuzcano. Lima.
Asociación Aduni. ( 2001) Algebra.
Editorial Lumbreras.
Alva, R. (2007) Trigonometría.
Editorial San Marcos.
Puémape, R. ( 2009)Audaces 5.
Editorial San Marcos.
Rubiños (2006). Trigonometría.
Ediciones Rubiños.
Santillana.(2008) Matematica 5.
Editorial Santillana.

MATEMÁTICA

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

MATEMÁTICA

Cargado por

Información del documento

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

MATEMÁTICA

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

UNIVERSIDAD CATÓLICA

Claudia Patricia Cárdenas Ticona

Este tema desarrolla dos operaciones 2 2 2 2 8

1UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

2UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – 3

Observación importante 13. 3  125 = 5  (5)3 = 125

4 UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I

Si mnp > 0  a  0 Corolario: 2n1 2n1

 mnp x anp . y bp . z c 23. 5 35  3

5UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

6UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

Solución: 3 45  20

6 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

7 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

Entonces, para “n” radicales:

8 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

0,40,1  0,30,2  0,20,3  0,10,4 3

8. Determina el valor de verdad de las

10 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

Son los resultados de ciertas 5. Cubo de un binomio

2. Trinomio al cuadrado (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 +

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) + 3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc

3. Diferencia de cuadrados Igualdades condicionales:

Ejercicio 2 [( 2 -1)2]2 = (2 – 2 2 +1)2 = (3–2 2 )2

8UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

9UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

Elevando el cuadrado, se obtiene: a2  b2  1  3 10

2. Calcula el valor de: E = x 4 + x - 4 , D) 2

17 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

18 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

19 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

– Ciencias 2017”.Ingreso 2018

4. Número de factores de un polinomio Cálculo de manera directa: P(x, y) = x2y

– Ciencias 2017”.Ingreso 2018

22 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

23 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

Para conocer los posibles ceros racionales 2 2 4 6

1 -11 31 -21 P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21) Solución:

16UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I

25 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

6. La tasa educativa semestral de la B) 2𝑥 − 7

7. Indicar uno de los factores primos del D) – 1

26 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

12. Al Factorizar el polinomio: 16. Luego de factorizar el polinomio:

27 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

28 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

– Ciencias 2017”.Ingreso 2018 Matemática” Pág. 215

32 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

33 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

3. El valor de “x” que satisface la E) 12

34 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

8. El conjunto solución de la ecuación en D) 32

36 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

19. David compra con 400 soles un 11 12 13 14 15

37 Claudia Patricia Cárdenas Ticona PRECATÓLICA 2021-II

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Se aplica la fórmula cuando la factorización

ax 2  bx  c  0 Al radicando: b2 – 4ac, se le denomina

Ejemplo  Las raíces son simétricas, si b = 0

Reemplazando, (3) en (1): Con lo cual: