GEOMETRÍA

27
 GEOMETRÍA

ÁNGULOS GEOMÉTRICOS C. ÁNGULO OBTUSO.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor de

90° y menor de 180°.
DEFINICIÓN:
Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos
rayos que tienen el mismo origen. 90° <  < 180°

A
lado puntos interiores
del ángulo AOB
II. SEGÚN LA POSICIÓN DE LOS LADOS
vértice
 A. ÁNGULO ADYACENTE.- Son dos ángulos que tienen un vértice
O B común y están situados a distinto lado de un lado común.
lado
ELEMENTOS:
• Lados : OA y OB
• Vértice : O
lado común
NOTACIÓN: 

• Ángulo AOB :  AOB; AOB
• Ángulo O :  O; O B. ÁNGULOS CONSECUTIVOS.- Son dos o más ángulos que tienen
 AOB
Medida del ángulo AOB: mm AOB= 
un vértice común y cada uno de ellos es adyacente con su anterior.
BISECTRIZ DEL ÁNGULO

Es el rayo que parte del vértice del ángulo y que forma con sus lados
ángulos de igual medida.

A  


C. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.-Son dos ángulos que

x
tienen el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las

 prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.
O
B

O x : bisectriz del ángulo AOB  

CLASIFICACIÓN
= 
I. SEGÚN SU MEDIDA
III. SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
A. ÁNGULO AGUDO.- Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0°
y menor que 90°. A. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya
suma de sus medidas es igual a 90°

 
  +  = 90°

0° <  < 90°

• Complemento de un ángulo (C)

B. ÁNGULO RECTO.- Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°. Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 90°

Complemento de : C

EJEMPLO:

• Ca =90° – a • Ca/2 =90° – a/2
 = 90° • C40°=90° – 40° • C(+)=90º – (+)

28
 GEOMETRÍA

B. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°.

 
 

 
= 180°
 +  = 180°
3. ÁNGULOS CONGRUENTES
• Suplemento de un ángulo (S).
Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida. Así los ángulos
Es lo que falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°. AOB y MNP son congruentes y se escribe:

Suplemento de :S A M

EJEMPLO: 
N

O
B P
• Sb =180°–b • S2x =180°–2x
AOB MNP
• S100°=180°–100° • S(a – f)=180°–(a – f)

PROPIEDADES: RECTAS PARALELAS

S: Suplemento C: Complemento
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS INTERSECTADAS POR
1. SCa=(90°+a).............. (0°<a<90°) UNA TRANSVERSAL

2. CSa=(a–90°).............. (90°<a<180°) Si dos rectas son intersecadas por una tercera recta llamada transversal se
forman siempre ocho ángulos que reciben los siguientes nombres:
3. SCSa=(270°–a) .......... (90°<a<180°)
L3
4.

x ; si “n” es par 
CCC.......CCC x  
90° – x ; si “n” es impar 
“n” veces
L1
5.
L2
x ; si “n” es par  
SSS.......SSS x 
"n " veces 180° – x ; si “n” es impar  

POSTULADOS FUNDAMENTALES
Medida de los , 
1. ÁNGULOS CONSECUTIVOS RESPECTO A UN PUNTO ángulos internos 
, 

La suma de las medidas de los ángulos que tiene un vértice común y

Medida de los , 
están en un plano es 360°.
ángulos externos 
, 

  y 
Int ernos  y 
Medida de los 
  ángulos alternos 
 y 
Externos  y 
   

  y 
 Int ernos  y 
Medida de los  

ángulos conjugados Externos  y 
  y 
 
+  = 360°
Medida de los ángulos   y  ;  y 
 y  ;  y 
2. ÁNGULOS CONSECUTIVOS A UN LADO DE UNA LÍNEA RECTA
correspondientes 

La suma de las medidas de los ángulos que tienen sus vértices en un

punto de una recta y están en un mismo semiplano es igual a 180°

29
 GEOMETRÍA

ÁNGULOS FORMADO POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA L1

TRANSVERSAL 
1. Ángulos alternos internos 
Si: L1 // L2

L2
L1

+ + = 60°


L2 4. Si: L1 // L2

=  n
L1
2. Ángulos conjugados internos:
Si: L1 // L2 n–1

L1
 3
2

L2 1
L2
+ 

3. Ángulos correspondientes:  1  2  3  n = 180°

Si: L1 // L2
5. Ángulos de lados perpendiculares

L1
5.1.



L2

 

PROPIEDADES 
1. Si: L1 // L2


L1 5.2.


L2
 + 

x= 

2. Si: L1 // L2

1 L1
n
2
.

Según el gráfico, calcule: x/y

. . .. . . .

2
n-1
1
n L2
 1 2  3  n = 1 + 2 + 3 + ....n

3. Si: L1 // L2
A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 4/5 E) 3/2

30
 GEOMETRÍA

En la figura, calcule “x”.

A) 51° B) 52° C) 53° D) 54° E) 55°

A) 720° B) 721° C) 722° D) 723° E) 724°

En la figura mostrada, calcule “x”.

Del gráfico, calcule el máximo valor entero que puede tomar “x”, si el
AOB es obtuso.

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90° A) 25° B) 26° C) 27° D) 28° E) 29°

En la figura mostrada, calcule “x”; si: m – n=20°. Si el suplemento de un ángulo, es menor que el triple de su suplemento.
Calcule el máximo valor entero de dicha medida angular.

A) 41° B) 42° C) 43° D) 44° E) 45°

En la figura, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los
ángulos AOC y BOC.

A) 33° B) 34° C) 35° D) 36° E) 37°

Del gráfico, calcule “x”.

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

Si el suplemento de un ángulo “x” excede en sus 4/7 a la medida de “x”.

Determine:

A) 33° B) 34° C) 35° D) 36° E) 37°

A) 70° B) 71° C) 72° D) 73° E) 74°

Si a la medida de un ángulo “x” se le añade la mitad de su complemento,
se obtendría otro ángulo que es igual al doble de su complemento
Del gráfico, calcule (x+y+z). aumentado en 18° 30´. Determine “x”.

A) 35° B) 36° C) 37° D) 38° E) 39°

31
 GEOMETRÍA

La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la

20º L1
medida de un ángulo excede en 8º, a los tres quintos del complemento
de la mitad de la medida del mismo ángulo. Halle la medida de dicho
ángulo. X
L2
A) 162° B) 163° C) 164° D) 165° E) 166° 80º

L3
L4
El suplemento de la sustracción entre el suplemento u el complemento
de un ángulo es igual al complemento de la sustracción entre el A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°
suplemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcule
dicho ángulo.

A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 100° Si: L1 // L 2 , halle x.

258º
L1

Si a la medida de un ángulo le disminuimos su cuarta parte más que la 244º

mitad de su complemento, resulta un tercio de la diferencia entre el L2
complemento y el suplemento de la medida del mismo ángulo. Halle la x
medida de dicho ángulo.

A) 10° B) 11° C) 12° D) 13° E) 14° A) 36° B) 37° C) 38° D) 39° E) 40°

Si S  suplemento, calcule “n”, si es impar en: Calcule x; Si: L1 // L 2

2x
L1
A) 15° B) 16° C) 17° D) 18° E) 19° x

4x
Si: L1 // L 2, halle .
m 3x L2
6 n
A) 16° B) 17° C) 18° D) 19° E) 20°

AB // DE // CF. Halle la medida del ángulo x.


A B
50º
A) 16° B) 17° C) 18° D) 19° E) 20°

D E
Las rectas L1 y L2 son paralelas. Calcule x. 20
º
x
C F
+ x + 100
L1 A) 160° B) 170° C) 150° D) 140° E) 185°

130º
L2
+ x Halle: x+y. Si: L1 // L 2 .

L2
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° y

L1
x
Si:L1 // L 2 y L3 // L 4 . Halle x. 53º

A) 230° B) 235° C) 234° D) 233° E) 232°

32
 GEOMETRÍA

Si: L1 // L2 y L3 // L4 . Halle el valor de x. Calcule x; Si: L1 // L 2

x
L1

2x

1 50 º
L2

A) 60° B) 70° C) 80° D) 50° E) 40°

A) 30° B) 35° C) 40° D) 45° E) 50°

Si: L1 // L 2. Halle x.

Halle x. Si: 4x–y=30°. L1 // L 2.

x
L1
30º
30º L1
x
20º

2x
 L2
10º L2 A) 130° B) 120° C) 140° D) 150° E) 160°
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

Halle x. Si: L1 // L 2 .
Hallar x.

x x
 L1
2x

 60º L2

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° A) 110° B) 120° C) 130° D) 140° E) 150°

Si: L1 // L 2, halle x. Si: L1 // L 2. Calcular x.

L1 L2
L2
5x
7x 
x
45º
2x

3x
L1

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° A) 125° B) 130° C) 135° D) 145° E) 115°

Halle , si: y a + b = 235°. Si: L1//L2//L3 y +=200º. Calcule “x”.

3 L1

a
b

L2
2

A) 80° B) 90° C) 60° D) 40° E) 50°

A) 10° B) 11° C) 12° D) 13° E) 14°

33
 GEOMETRÍA

a c
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN
A C
Figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante b
segmentos de recta.
Observación: Perímetro (2p): 2p = a + b + c
Con fines didácticos, en adelante se denominará al triángulo rectilíneo
simplemente triángulo. Semiperímetro (p):
abc
p
2

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Propiedad 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.

Propiedad 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior.

Elementos:
Vértices : A, B, C
Lados : AB, BC, AC

Notación:
ABC: triángulo de vértices A, B y C Propiedad 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno
por cada vértice.
ANGULOS DETERMINADOS EN EL TRIÁGULO
y
Se cumple:

x + y + z = 360°
x
z
Propiedad 4. De correspondencia.

Ángulos interiores

BAC : mBAC  
ABC : mABC  
BCA : mBCA  
Propiedad 5. Relación de existencia del triángulo.
Ángulos exteriores

PAB: m PAB  x
QBC : mQBC  y
RCA : mRCA  z
Observación:
Para que el triángulo exista, es suficiente que se verifique solo una de las
relaciones anteriores.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

• En un triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales y viceversa.
• En todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios. 1. Según sus lados

Triángulo escaleno  a  b  c 

Se cumple:
c a

REGIÓN TRIANGULAR
Unión del triángulo y su región interior. A C
b

34
 GEOMETRÍA

Triángulo isósceles (a = c  b) • Recordar que mientras más se practica una propiedad más rápido se
aprende.
B • Cuando no se especifica el tipo de triángulo, se dibujará el triángulo
escaleno.
Se cumple:
c a PROPIEDADES ADICIONALES

Propiedad 1. En la figura se cumple:

A b C
Triángulo equilátero (a = b = c) 

x= + + 

 
x

Propiedad 2. En la figura se cumple:

 

2. Según sus ángulos + = + 

Triángulos oblicuángulos
 
– Triángulo acutángulo

B Propiedad 3. En la figura se cumple:


  + = + 

A C

  90 ;   90 ;   90

Propiedad 4. En la figura se cumple:

– Triángulo obtusángulo
B


+ = + 

C 
A 

  90 ;   90 ;   90

– Triángulo rectángulo

En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcule la

mBAC.
N

B 40º

AB y BC: catetos
AC: hipotenusa A C
M
Se cumple: A) 65° B) 45° C) 55° D) 75° E) 60°

b2  a2  c2 Teorema de Pitágoras

Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13. Calcule el perímetro de

su región.
• Las propiedades se practican, no se leen.
• Aplicar la propiedad correctamente, con criterio, ya que todas guardan A) 23 B) 31 C) 18 D) 26 y 31 E) 28
una relación.

35
 GEOMETRÍA

En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el de menor medida? En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior
C del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida
B 59º D del ángulo B. Calcule la medida del ángulo B.
60º 61º
A) 12° B) 18° C) 24° D) 36° E) No Existe
º
63

60º
61º 61º
60º
En el gráfico: PA = 2 y BR - RC = 3. Calcule PQ.
A F E
B
A) AC B) AB C) FD D) FE E) DE

R
Según el gráfico, calcule "x".
2
A 
3  Q
C
50º

 P
  
x
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 7

45º En un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal

que el segmento BD intersecta al lado AC . Si mADC > 90°, AD = 8u y
A) 135° B) 95° C) 150° D) 100° E) 110° CD = 15u. Calcule el menor perímetro entero de la región del triángulo.

A) 52 B) 24 C) 22 D) 46 E) 48
En el gráfico, los triángulos ABC y DEF son equiláteros, AM = MB.
Calcule "x".
A En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC están
M E dadas en grados sexagesimales. Calcule el valor entero más pequeño (en
grados sexagesimales) que puede tomar "b".
B
B
40º
D x 2bº -aº
F

a º + bº a º -bº
A C
C
A) 45° B) 46° C) 40° D) 35° E) 36°
A) 55° B) 40° C) 30° D) 60° E) 50°

Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule: "x".

En un triángulo acutángulo las longitudes de dos de sus lados suman 30.
Calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer
lado.
B
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 
xº


Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, mide AB = 8; BC = 15, se
traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC, 70º
A
respectivamente. Calcule: PQ. C

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3 A) 10° B) 45° C) 36° D) 72° E) 30°

36
 GEOMETRÍA

En el gráfico, calcule "x".

xº LÍNEAS NOTABLES TRAZADAS EN UN
TRIÁNGULO
1. CEVIANA
º º
3 º 3 º
Segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su
prolongación.
xº

A) 60° B) 45° C) 36° D) 72° E) 30°

Del gráfico: AB = BC y MN = AC. Calcule: "x".

B
2. ALTURA
x
Ceviana perpendicular al lado al que es relativo.
N
– Triángulo acutángulo

A x
C
A) 15° B) 30° C) 5° D) 20° E) 40°

– Triángulo obtusángulo
Calcule "x", si; AM = NC.
B

60º

– Triángulo rectángulo
xº
20º 80º
A C
N
A) 40° B) 60° C) 80° D) 90° E) 70°

Calcule "x". (AP=PQ) 3. BISECTRIZ

B
Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.
10º Q – Bisectriz interior
P

10º
x
A 30º
C

A) 10° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°

El punto donde concurren las alturas se denomina ortocentro.

En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT, si: AB = AT, BC = AC. Al punto donde concurren las mediatrices se le denomina circuncentro.
Calcule el máximo valor entero de la medida del ángulo CBT. – Bisectriz exterior

A) 36° B) 35° C) 30° D) 45° E) 44°

37
 GEOMETRÍA

1.a nota: Ten en cuenta:

En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo exterior cuyo vértice es

opuesto a la base siempre es paralela a dicha base.

c)

2.a nota:

d)

4. MEDIANA

Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
B En el  ABC

BM: Mediana

A
e)
M C

5. MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular trazada por el punto medio de uno de sus

lados del triángulo.
B

En el  ABC

: Media triz

f)
A C

PROPIEDADES
a)

b)

g)

38
 GEOMETRÍA

En el gráfico calcule “x”.

A) 20° B) 21° C) 22° D) 23° E) 24°

En el gráfico calcule “x”.

A) 30° B) 40 C) 50 D) 60 E) 70°

En el gráfico calcule “x”.

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°

En el gráfico calcule “x”.

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

En el gráfico calcule “x”.

A) 73° B) 74° C) 75° D) 76° E) 77°

En el gráfico calcule “x”.

A) 20° B) 21° C) 22° D) 23° E) 24°

En el gráfico calcule “x”.

A) 35° B) 45° C) 55° D) 65° E) 75°

En el gráfico calcule “x”.

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26°

En el gráfico calcule “x”. A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

En el gráfico calcule “x”.

A) 22° B) 23° C) 24° D) 25° E) 26°

En el gráfico calcule “x”.

A) 35° B) 45° C) 50° D) 60° E) 70°

En el gráfico calcule “x”.

A) 36° B) 37° C) 38° D) 39° E) 40°

En el gráfico calcule “x”.

39
 GEOMETRÍA

A) 110° B) 120° C) 130° D) 140° E) 150°

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Si mA=2(mC)
AB=5cm y BC=9cm. Calcule la longitud de AD .
En el gráfico calcule “x”.
A) 2cm B) 3cm C) 4cm D) 5cm E) 60cm

De la figura mostrada. Calcule el valor de “x”

x


100°
A) 110° B) 120° C) 130° D) 140° E) 150° 
 
 
En el gráfico calcule “x”. A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 140°

Calcule “x”, Si: a+b=260°

b



A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 100°  

a 

x
En el gráfico calcule “x”.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz BD interior tal que AB=BD=CD.

Calcule la mA.
A) 20° B) 30° C) 37° D) 36° E) 72°

A) 122° B) 123° C) 124° D) 125° E) 126° En un triángulo ABC, se traza la altura BH tal que: mA=72°
BC=AB+2AH. Calcule la mC.
A) 18° B) 30° C) 36° D) 42° E) 48°
En el gráfico calcule “x”.

De la figura. Calcule x

 80°


A) 122° B) 123° C) 124° D) 125° E) 126° x

 

A) 18° B) 20° C) 22° 30’ D) 15° E) 25°

En el gráfico calcule “x”.
De la figura mostrada. Calcule “x”
B

100°

 100°


 x
A C
A) 20° B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
A) 110° B) 120° C) 130° D) 140° E) 150°
En la figura, I es incentro del triángulo ABC. Calcule x.
B

En un triángulo ABC; AB+BC=24 cm. Por “B” se traza una paralela a AC

que intersecta a las bisectrices exteriores de “A” y “C” en los puntos “M” I
70°

y “N” respectivamente. Calcule MN.

80°
A) 18cm B) 22cm C) 24cm D) 28cm E) 30cm A
x
C

A) 20º B) 30º C) 36º D) 40º E) 45º

40
 GEOMETRÍA

 ∆ABC = ∆A' B'C'

III .APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS A. Teorema de la bisectriz
Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los
I. DEFINICIÓN lados de dicho ángulo.
Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual
medida y, además, sus lados correspondientes de igual longitud
(ángulos y lados homólogos).
B B’

c a c a

A C A’ C’ Sea OP bisectriz del ∢AOB.

b b
Si RH OA y RQ OB
Entonces:
RH  RQ
m∢ABC = m∢A'B'C' BC = B'C'
m∢BAC = m∢B'A'C' y AB = A'B' Además:
m∢ACB = m∢A'C'B' CA = C'A'  OH  OQ

II. CASOS DE CONGRUENCIA B. Teorema de la mediatriz

Para poder afirmar que los triángulos son congruentes, es necesario Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos
que tres elementos en uno de ellos sean de igual medida que los tres de dicho segmento. L
elementos correspondientes en el otro triángulo, de los que, por lo P
menos uno, debe ser un lado.
Sea L mediatriz del segmento AB. d d
Los casos más comunes son:
Si P L ,
1.Lado-Ángulo-Lado (L. A. L.) PA  PB A B
m m
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual • Observación:
medida y, ádemas, los lados que determinan a dichos ángulos son, Los siguientes triángulos son isósceles.
respectivamente, de igual longitud.
B B’

c c

C C’ m m m m
A A’
b b
Si m∢BAC = m∢B'A'C' • Consecuencia
AB = A'B' y AC = A'C' :
 ∆ABC = ∆A' B'C'
=
2. Ángulo-lado-ángulo (A. L. A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud a=b m m
y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados son, a b
=
respectivamente, de igual medida.
B B’
n n

IV. BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO

Definición
A C A’ C’ Segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados de
b b un triángulo; al tener lados se le denomina base.
Si AC = A'C'
m∢BAC = m∢B'A'C' A. Teorema de Base Media
m∢ACB = m∢A'C'B' En todo triángulo, una base media es paralela a la base y su longitud
 ∆ABC = ∆A' B'C' es la mitad de la longitud de dicha base.
3. Lado-lado-lado (L. L. L.) B
Dos triángulos son congruentes si sus lados son, respectivamente, m n
de igual longitud.
B B’ M N
m b n
2
c a c a
A C
b
A C A’ C’ En la figura, si AM=MB y BN=NC
b b
MN : base media, entonces:
Si AB = A'B' AC
BC =B'C' MN / /AC MN 
y 2
AC = A'C'

41
 GEOMETRÍA

B. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa VI. TRIÁNGULOS APROXIMADOS

En todo triángulo rectángulo, la longitud de la mediana relativa a la
hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa.
B a
74º 37º /2
25 a 3a
5a 4a
m 7a
a
A M C 16º 53º 53º /2
m m 24 a 3a 2a
En la figura, BM: mediana relativa a la hipotenusa a AC del ABC. VII. TEOREMA DE PITÁGORAS
Entonces:
AC
BM 
2 b a

En todo triángulo isósceles, al tratar: a2  c2  b2

B c

VIII. TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS MÁS

m m USUALES

A C
a H a
BH:Altura
12 13 25 17 15
Mediana 7
Ceviana
Bisectriz 5 24 8
Mediatriz

a b

b 2b

a b

V. TRIÁNGULOS NOTABLES
1. De 45° y 45°
PROPIEDADES EN LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS
45º
a 2 a 1. La suma de las distancias de un punto de la base de un triángulo
isósceles a los lados congruentes es igual a la longitud de una de las
45º
alturas congruentes
a B
2. De 30° y 60°
S i : AB  B C
60º
2a
a  AH  P M P N

30º H
a 3 N
3. De 15° y 75° M
B
A P C

2. La suma de las longitudes de las perpendiculares trazadas desde un

AC
75º 15º BH  punto interior al triángulo equilátero a los lados es igual a la longitud de
A C 4
H la altura del triángulo equilátero.
B

• En el triángulo rectángulo notable cuyos ángulos miden 15° y

75°, se recomienda trazar la altura relativa a la hipotenusa para Q
aprovechar la propiedad ya aprendida. R Si: AB = BC = AC
• Las perpendiculares solo se trazan si aparecen ángulos P
notables.  B H  P Q  P R P S
• Siempre buscar triángulos notables.
• Elegir pocas variables al relacionar segmentos. A H S C

42
 GEOMETRÍA

A) 90º B) 72º C) 120º D) 105º E) 108º

Si el punto "p" es exterior a uno de los lados del triángulo equilátero 4. En la figura, AB = MC. Calcule x.
se cumple: B
75° N
M 75°

B 30°
P A C
M
A) 45º B) 30º C) 37º D) 50º E) 60º
N
5. En la figura; BC = AB, CD = AE y BD = BE. Calcule.
5 . En la figura, B

A H C Q BC = AB,
CD = AE y
Si: AB = BC = AC BD = BE.
 BH  P M P Q – P N Calcule  A 3 D
4 C

ALGUNOS TRIÁNGULOS NOTABLES

(No son tan usadas)

1. DE: 36° y 54° E

A) 9º B) 12º C) 18º D) 15º E) 20º

54° 6. En la figura, los triángulos ABC y PQC son equiláteros. Calcule .

4k B
k( 10  2 5 )
 Q

36°
k( 5  1) 100º
A C
2. DE: 18° y 72° A) 30º B) 35º C) 40º D) 20º E) 50º

7. En la figura, AB = BC, DC = 7 y DE = 3. Calcule AE.

72°
B
4k
k( 5  1) A) 3
B) 3,5
18° C) 4
k( 10  2 5 ) C D) 5,5
D
E) 6
A
E
A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 5,5 E) 6
1. En la figura, AB = DC. Calcule: .
B 8. Según el gráfico: AB = BC y 5(AD) = 5(CD) + 6(AB), calcule x.
C
6 B x
2

 53º
A C
D A D
A) 21º B) 11º 30´ C) 11º 15´ D) 13º E) 18º A) 135º B) 120º C) 115º D) 127º E) 118º

2. En la figura, AB = PC y AC = 10. Calcule AP. 9. En la figura calcule x.

B

2 P
5 x
 7º


A C A) 45º B) 30º C) 37º D) 53º E) 60º
A) 4 B) 5 C) 5,5 D) 6 E) 7,5
10. En el gráfico, AM = MC. Calcule.
3. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que AD = BC y
2(mBAD) = 2(mCBD) = mABD. Calcule la mABC.

43
 GEOMETRÍA

A
B 10°
80° 30°
B
R E

2 45º 
A C
M 20°
A) 10° B) 12° C) 5° D) 15° E) 18°
C
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
11. En el gráfico, AB = BC. Calcule QC, si: AQ = 8 u; PC = 2 u.
A  20. En la figura calcular x.
 B
P 40°


B Q 10° E
C
A) 4 u B) 8 u C) 3 u D) 6 u E) 12 u A x
12. En el gráfico, calcule "xº", si: BC = MC. C
B 80°
80°
xº D
A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 5º

M 21. En la figura mostrada los triángulos rectángulos son congruentes. Si



2
 PB = 2, BC = 6. Calcular AQ. Q
A C
A) 20° B) 25° C) 30° D) 45° E) 37° P

13. En el gráfico, calcule “”. B

20

30º
º

A C

70º
10º º A) 3 B) 4 5 C) 6 D) 7 E) 6 5
A) 9° B) 10° C) 15° D) 22,5° E) 30°
22. En la figura mostrada si AP = PR y además las regiones sombreadas
14. En un ABC, AB = 20, A = 80º y C = 40º; la mediatriz de BC son congruentes, calcular x.
corta a AC en el punto E. Hallar EC. C
x
A) 10 B) 15 C) 2O D) 5 E) 50

15. Un ángulo exterior B, de un ABC, mide 68º. Las mediatrices de AB

y BC, cortan a AC en los puntos E y F, respectivamente. Hallar
B
mEBF. R P A
A) 15º B) 30º C) 45º D) 53º E) 60º
A) 52º B) 50º C) 40º D) 42º E) 44º
17. Según la figura AP = PO = 5 . Calcule la altura del cilindro recto
16. En un ABC, recto en B, el ángulo A mide 65º ; M es punto medio mostrado.
de AC y E un punto de BC, tal que BE = MC. Hallar mMEB.
O
A) 70º 30/ B) 77º30/ C) 20º D) 60º E) 15º

17. En un ABC, obtuso en B e isósceles, sobre los lados AB y AC se

toman los puntos E y F, respectivamente, de modo que AE = FC y
AF = BC. Si FBC = 28º, Hallar mEFB. P

A) 42º B) 124º/3 C) 105º/7 D) 34º E) 29º A

18. En un ABC, la mediatriz de AC corta a BC en el punto N. Luego,

la altura BH corta a AN en el punto R. Si AR = 7 y BC = 13; hallar A) 1 B) 3 C) 2 D) 3 E) 3 5
BN.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

19. En el gráfico AB = BC y BE = 4, calcular AR.

44
 GEOMETRÍA

Conjunto convexo, un conjunto A se denomina convexo, si para cada dos

puntos M y N del conjunto, todo el segmento está en A

POLÍGONOS PLANOS Ejemplo:

DEFINICIÓN: A A
N
A
M
Es la figura geométrica determinada por los puntos P1, P2, P3, ......Pn M
coplanarios, donde no hay tres puntos colineales, y n  3, entonces a la N N
reunión de los segmentos P1 P2, P2 P3, P3 P4, ......, Pn-1 Pn, Pn P1 se M

denomina polígono. Estos segmentos no deben intersectarse más que en

sus extremos.
Re gión in te rior
Conjunto no convexo
P1 1 Pn de l p olígon o
Un conjunto B se denomina no convexo, si para dos puntos P y Q
1
del conjunto, parte del segmento PQ no está en B.
2
P2  2 P5 Ejemplo:
B B P
3 3 4
P3 4 P4

Elementos: P
Q
• Vértices: P1, P2, P3, ....., Pn Q

• Lados : P1P2 ,P2P3 ,P3P4 ,....,Pn P1

DENOTACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Notación:
Nº de lado s Po lígo no
Polígono P1 P2 P3 ...... Pn
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
Medida de los ángulos
5 Pentágono
• Internos 1, 2, 3, ......, n 6 Hexágono
• Externos 1, 2, 3, ......., n 7 Heptágono
8 Octágono
9 Nonágono o Eneágono
En todo polígono convexo se cumple que el número de vértices es 10 Decágono
igual al número de lados e igual al número de ángulos.
11 Endecágono
12 Dodocágono
DIAGONAL 15 Pentadecágono
Es el segmento que une dos vértices no consecutivos. 20 Icoságono
En la figura AE, AD, AC , ....... diagonales. 21 Polígono de 21 lados
A
B n Polígono de n lados

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

F
C
I. Según la región que limitan
a. Polígono convexo: Es el polígono que limita una región convexa.
E D
DIAGONAL MEDIA
Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados.
En la figura MN, MP, MQ, MR, MS, … diagonales medias
M
b. Polígono no convexo: Es el polígono que limita una región no
N S convexa.

P R

45
 GEOMETRÍA

II. Según la medida de sus lados y ángulos internos determinados E. Número de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos.
a. Polígono equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos (NºD(m))
son congruentes.



  F. Número total de diagonales medias (NTDM)


  

FORMULAS PARA TODO POLÍGONO
b. Polígono equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son REGULAR DE “n” LADOS
congruentes.
P O LÍG O NO CO NVEXO P O LÍG O NO NO CO NVEXO A. Medida de un ángulo interior (M∢ i)
EQ UILÁTERO EQ UILÁTERO

B. Medida de un ángulo externo (M∢ e)

c. polígono regular: Es aquel polígono convexo que es a la vez

equiángulo y equilátero. C. Medida de un ángulo central (M∢ c)

  


 O 

Las fórmulas para calcular las medidas de los ángulos interior y exterior
  
de un polígono regular son aplicables también a un polígono equiángulo.


Ángulo central de un polígono regular: Es aquel cuyo vértice es el centro

del polígono regular y sus lados pasan por dos vértices consecutivos 1. ¿Qué polígono tiene tantas diagonales como lados?
del polígono A) Hexágono B) Octágono C) Heptágono
D) Pentágono E) Decágono
 2. Determine la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene
tantas diagonales como número de lados.
 A) 180° B) 360° C) 540° D) 20° E) 900°
 O
3. Calcule el número de lados de aquel polígono en el cual su número
  de lados más su número de diagonales es 28.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
O : Centro del polígono regular 4. En un polígono regular la relación entre la medida de un ángulo interior
 : Medida del ángulo central y exterior es como 3 es a 2. Calcule el número de lados del polígono.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
FORMULAS PARA TODO POLÍGONO DE “n” LADOS 5. Calcule el perímetro del hexágono equiángulo ABCDEF. Si: AB = 3m,
CD = 7m y EF = 1m
A. Suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo
A) 22 B) 25 C) 28 D) 30 E) 32
(S∢i)
6. Si a un polígono se le reduce a la mitad el número de lados, la suma
de ángulos internos se reduce a la tercera parte. Calcule el número
B. Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono
de diagonales del polígono.
convexo (S∢e)
A) 5 B) 9 C) 20 D) 35 E) 44
7. Los ángulos internos B, C y D de un pentágono convexo ABCDE
miden 70°, 160° y 50° respectivamente. ¿Qué ángulo forman las
C. Número de diagonales trazadas desde un vertice. (NºDTV)
prolongaciones de los lados BA y DE?
A) 60º B) 80º C) 90º D) 110º E) 12º
D. Número total de diagonales.
8. Si la medida del ángulo interior de un polígono regular disminuye en
12° resulta la medida de un ángulo interior de otro polígono regular de
5 lados menos. Calcule el número de lados del polígono original.

46
 GEOMETRÍA

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

9. Interiormente a un hexágono regular ABCDEF se construye el

pentágono regular FPORE. Calcule la mBEP. CUADRILÁTERO
A) 12° B) 18° C) 24° D) 36° E) 42°
I. DEFINICIÓN
10. En un octágono equiángulo ABCDEFGH. Polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
AB = 86 2 cm y BC = 2cm. Calcule: AC
C
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 B Del gráfico:
Diagonales: AC y BD
Se cumple:
11. Determine la suma de ángulos interiores de aquel polígono en el cual
su número de vértices más su número de diagonales es igual a 45. + + + = 360°
A) 1 440° B) 900° C) 1080° D) 1260° E) 1620° A D

CUADRILÁTERO CONVEXO
12. Calcule el número de lados de un polígono convexo, si la suma del
B
número de diagonales más el número de ángulos rectos de la suma
de sus ángulos internos es igual a 51. Del gráfico:
A) 10 B. 9 C) 8 D) 12 E) 13 Diagonales: AC y BD
Se cumple:
D
13. En un hexágono convexo ABCDEF: B = 140°; E = 150°; C + D = + + + = 360°
330°. Halle el ángulo que forman las rectas AB y FE al intersecarse. A C
A) 40° B) 80° C) 70° D) 90° E) 120° CUADRILÁTERO NO CONVEXO

II. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

14. Si ABCDEFG es un heptágono donde: B = E = 90°; C = A = G =
140°. Halle el valor del ángulo “F”, si es igual al ángulo “D”. A. Trapezoide
A) 120° B) 150° C) 100° D) 90° E) 135°
Cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos.
15. Si el número de lados de un polígono aumenta en tres, el número de
diagonales aumenta en 30. Halle el número de diagonales del primer
polígono.
A) 13 B) 65 C) 35 D) 45 E) 32

16. Si se quintuplica el número de lados de un polígono convexo, la suma

de las medidas de sus ángulos internos queda multiplicada por seis.
¿Cómo se llama el polígono? B. Trapecio
A) Pentágono B) Decágono C) Octógono
D) Dodecágono E) Hexágono Cuadrilátero convexo que solo tiene un par de lados paralelos
llamados bases.
17. En un polígono regular, la relación entre la medida de un ángulo
interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del
polígono.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

18. Se tiene un nonágono ABCDEFGHI, calcule el menor ángulo que

forman las prolongaciones de AB y ED .
C. Paralelogramo
A) 50° B) 60° C) 80° D) 120° E) 130°
Cuadrilátero convexo que tiene sus lados opuestos paralelos y de
19. Calcule el número de lados de aquel polígono en el cual al disminuir igual longitud.
dos lados, su número de diagonales disminuye en 19.
A) 6 m B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

20. Calcule el número de diagonales del polígono en el cual al duplicar el

número de lados, la suma de sus ángulos internos se triplica.
A) 2 B) 5 C) 9 D) 14 E) 20

21. Los ángulos internos “B”, “C” y “D” de un polígono convexo ABCDE
miden 170°; 160° y 150° respectivamente. ¿Cuál es el valor del menor
En todo paralelogramo, al trazar la bisectriz del ángulo interior y que
ángulo formado por los lados AB y DE?
interseca a uno de los lados opuestos necesariamente aparece el triángulo
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 40°
isósceles.

47
 GEOMETRÍA

D. Cuadrado
B C

III.CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS

A. Romboide
A D
B C
180-
o 

Los diagonales de un cuadrado son congruentes y se bisecan

o perpendicularmente.
 180-
A D B C
o o
45 45
45
o
45 o
Las diagonales de un romboide se bisecan.
B C
o
45 o 45
45 o 45 o

A D

A D

B. Rombo
B

A C TRAPECIO
I. DEFINICIÓN
Cuadrilátero convexo que tiene dos lados paralelos llamados bases.
D * En la figura:
BC // AD  AB  CD
Los diagonales de un rombo se bisecan perpendicularmente. B C
B
b a
90 -  90 - 
o o
M N
 
A   C b a
w
90 -  90 - 
o o

A H D
D * Entonces:
ABCD es un trapecio.
C. Rectángulo BC y AD  bases
B C
AB y CD  lados laterales
BH  altura
MN  base media

II. CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS

A D Si AD / /BC y  +  = 180°
Los diagonales de un rectángulo son congruentes y se bisecan.
B C B C
w

O
A D
A D
“O” centro del rectángulo Trapecio escaleno

48
 GEOMETRÍA

B C B
 

90 -o 90 -o
A o o C
90 - 90 -
A D
 
Trapecio isósceles
B C
D
o
En este, una diagonal es porción de mediatriz de la otra.
180 -

1. En un trapezoide ABCD: mA=90º, mC = mD = 60º, BC = 6, AD =

 10. Calcule: CD.
A D A) 16 B) 12 C) 14 D) 15 E) 8

Trapecio rectángulo 2. En la figura, AB = BM y CM = MD. Calcule: .

En un trapecio, si un ángulo interno es el doble del ángulo opuesto... B C
A) 30º
 B) 45º
M C) 37º
D) 60º
E) 53º
A D
A) 30º B) 45º C) 37º D) 60º E) 53º
Propiedades:
3. Si las diagonales de un trapecio escaleno miden 6 y 8, calcule el mayor
·El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se llama
valor entero de la longitud de la mediana.
base media, mediana o paralela media; es paralelo a las bases y mide la
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
semisuma de ellas.

1) B C 4. En un trapecio ABCD, mA=64º, mmD=58º,

D= 58º, BC//AD y AB = 18.
Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de
BC + AD
N MN = AC y BD..
M 2
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
A D
5. En la figura, ABCD es un romboide, BN = NC, DM = MN. Calcule: x.
N
El segmento que une los puntos medios de las diagonales se ubica sobre 5 . En la figura, ABCD B C
es un romboide,
la mediana y mide la semidiferencia de las bases. BN = NC
x
DM = MN.
2) B C
Calcule: x . M

AD - BC
PQ =
2
P Q A D
A) 37º/2 B) 45º C) 53º/2 D) 30º E) 15º
A D
6. En la figura, ABCD es un rectángulo, AC = 6(FC), BM = MC y FC = k.
En todo trapecio, la suma entre la mediana y el segmento que une los Calcule: MN.
puntos medios de las diagonales es igual a la longitud de la base mayor. N
B C
M
III. TRAPEZOIDES F

No tienen lados paralelos.

A D
A) 5k/2 B) 2k C) 4k/3 D) k E) 3k/2

7. En la figura ABCD es un rombo. AP = PD = DQ. Calcule: x.

B
Q
P x
Existe un tipo especial de trapezoide, llamado simétrico o A C

contraparalelogramo.
D
A) 30º B) 45º C) 37º D) 60º E) 53º

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 GEOMETRÍA

8. En un romboide ABCD se trazan las bisectrices interiores de A y B que 14. En el gráfico los triángulos ABC y CPQ son equiláteros; AQ = 16 y BN
se intersecan en P. Si P dista de AD y CD en 10 y 3 respectivamente. = NP; calcule NH.
¿Cuánto dista B de CD ?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 13

9. En el gráfico: BC = PA y AD = BP. Calcule "x".

B C

A) 3/3 B) 5/2 C) 8 D) 4/3 E) 12

P
15. Del gráfico ABCD es un cuadrado, además: CH = AE. Calcular x.
xº
A D
A) 53° B) 30° C) 60° D) 45° E) 37°

10. En el gráfico, calcule “”. Si: PL=LM=NM. L

º

A) 20° P
A) 45° B) 60° C) 30° D) 37° E) 53°
B) 10°
C) 12° 45º - º 16. Según el gráfico, ABCD es un rombo y ABEF es un cuadrado; calcule
D) 30° x.
E) 15°
N M
11. En el gráfico, calcule “”, si ABCD es un rombo. MH=1, y D dista del
BC 3.
B

H º

A C
M O º A) 15° B) 18°30 C) 18° D) 26°30 E) 30°

17. En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles ( BC// AD ). Si CE = AF

D y FE = 6m, calcule BD.
A) 26° 30'B) 15° C) 18° D) 30° E) 10°

12. En la figura, Calcule EF, si EB = 4, BC = 7 y AB = 17 (CF = FD).

A) 2m B) 3m C) 4m D) 6m E) 12m

18. Según el gráfico, ABCD es un romboide, BM=MH y HD=2(AM). Si m

 BCA=25°, calcule x.
A) 8 B) 10 C) 9 D) 6 E) 7 A) 25° B) 20° C) 50° D) 15° E) 30°

13. En la figura ABCD es un cuadrado CF=FD; BE=27 Y EA=11. Halle 19. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de centro O y AT = 6; Calcule
FG. OQ.

A) 3 B) 2/3 C)  2/2 D) 4 E) 5
A) 19 B) 20 C) 32 D) 28 E) 30

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