Sesion 12

MODELAMIENTO DE LA DINÁMICA DE PROCESOS
PROCESOS LINALES
1. LA CONCENTRACIÓN EN UN TANQUE
q, Ce (t)
Donde:
q = Flujo de volumen
V = Volumen del líquido dentro
del tanque
Ce = Concentración de entrada
C = Concentración en el tanque
V. C (t)
q, C (t)
a) Balance de materia en el estado no estacionario
E + P º = S + A... I
Donde:
E = Entrada
P = Producción o consumo
S = Salida
A = Acumulación
De I
q Ce + O = q C +
q Ce = q C + ... II
b) Balance de materia en el estado estacionario
q C = q Cee ... III

c) Restamos II y III
E.N.E. q Ce = q C + V
E.E. q Ceee = q Cee

q Ce–q Ceee=qC–q Cee+V
Factorizando q:
q (Ce – Ceee) = q (C – Cee) + V
d) Introducimos variables de desviación
q Ĉe = q Ĉ + V
Dividimos entre q
Ĉe = Ĉ +
Nos queda como resultado:
Donde:
Ĉe = Ĉ + τ τ = es el tiempo de residencia del
Tanque
2. UN TANQUE CON REACCIÓN
q, Ce (t)
V. c (t)
q, C(t)
Velocidad de reacción
Rx = KCV
E + P = S + A
q Ce – KCV = q C + ... I
q C - KCee V = q Cee ... II
c) Restamos I y II
B.N.E. q Ce – KCV = q C + V
B.E.E. q Ceee - KCeeV = q Cee

q Ce–q Ceee–(KCV-KCeeV)=qC–qCee+V
Factorizando
q (Ce – Ceee) – KV (C – Cee) = q (C – Cee) + V

q Ĉe – KVĈ = q Ĉ + V
dividimos entre q
Ĉe - = Ĉ +
Ĉe = Ĉ + +
Ĉe = Ĉ (1+ ) + : (1 + )
Ĉe = Ĉ +
KĈe = Ĉ + τ
3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN TANQUE
Donde:
U = Coeficiente de transferencia de calor
A = Área
M = Flujo másico
T (t)
Tv (t) = Temperatura del vapor
Tv (t)
UA
Balance de Energía
E + P = S + A
a) Balance en el estado no estacionario
Cp(Te-Tref)+UA(Tv-T)+0= Cp(T-Tref)+ [MCp(T-Tref)]..I
b) Balance en el estado estacionario
Cp(Te-Tref)+UA(T -Tee)+0= Cp(Tee-Tref) ...II
c) Restamos II y III
Cp(Te-Tref)+UA(Tv-T)= Cp(T-Tref)+MCp (T-Tref)
Cp(Te-Tref)+UA(T -Tee)= Cp(Tee-Tref)
UA(Tv-T)-UA(Tvee-Tee)= Cp(T-Tref)- Cp(Tee-Tref)+MCp (T-
Tref)
Factorizando
UA[(Tv–T)–(T -Tee)]= Cp[(T-Tref)-(Tee-Tref)]+MCp
Homogenizando Términos
UA[(Tv- T )-(T-Tee)] = Cp[(T-Tee)-Tref+Tref] +MCp
UA ( v- ) = Cp + MCp
UA ( v- ) = Cp + MCp
e) Para hallar en forma canónica
UA v - UA = MCp + Cp
UA v = UA + MCp + Cp
UA v = UA + Cp + MCp
UA v = (UA + Cp) + MCp : (UA + Cp)
4. NIVEL DE LÍQUIDO EN UN TANQUE CON FLUJO LAMINAR
qe(t)
h V R
qs(t)
a) qs tiene una relación lineal
qs (t) = R = Constante
b) Balance de materia en el estado No estacionario
qe = qs + V(t) ... I
V = A*h(t)
c) Balance de materia en estado estacionario
q = q ... II
d) Restamos II y III
qe = q s + [A.h(t)]
q = q
qe– q = qs-q +A h(t)
e) Introducimos variables de desviación
+ A ... III
Asumimos que el flujo de salida es función del
nivel, entonces en términos de variables de
desviación
f) Reemplazamos en III
= + A
Multiplicando por R
R = R + AR R = + AR
Donde:
A*R = 
R = K
Reordenándolo tenemos que:
K = + 
5. RESPUESTA DE UN TERMÓMETRO
a) Por Balance de calor en estado no estacionario
E + P = S + A
hA(T0 – T) + 0 = 0 + [MCp (T-Tref)]
hATo – hAT = MCp (T-Tref)
Reordenando
hATo = hAT + MCp ÷ (hA)
T0 = T +
T0 = T + 
Donde:  =
 = Constante del tiempo

6. REACTOR CON FLUJO VARIABLE
q (t), Ce (t)= cte.
V. C (t)
q(t), C(t)
Rx de primer Orden:
 = KCV
E + P = S + A
q (t) Ce -  = q (t) C(t) + ... I
qee Ce – KVCee = qee . Cee ... II
c) Restamos I y II
q(t) Ce -  = q (t) C(t) +
qee Ce - KVCee = qee . Cee

(q–qee) Ce–KV (C-Cee)=(qC-qeeCee) + V
Término no lineal
Linealización con la serie de Taylor
Para Una variable:
f(X) = f(X0) +
Para Dos Variables:
f(X, Y) = f(X0, Y0) +
Aplicando la serie Taylor para el término m lineal
X = q ; Y = C ; f = qC ; X0 = qee ; Y0 = Cee
f(q, C) = qee Cee + C
qC = qee Cee + Cee (1) ( ) + qee (1) (Ĉ)
qee Cee + Cee + qee Ĉ – qee Cee = qC - qCee

qC
Cee + qee Ĉ No hay término de Segundo orden

Orden, ya está linealizado
En el total del Balance
Ce – KV (Ĉ) = Cee + qee Ĉ + Ĉ
V + qee Ĉ + KVĈ = Ce – Cee
V + Ĉ (qee + KV) = (Ce – Cee): + KV


7. NIVEL DE LÍQUIDO EN FLUJO TURBULENTO
q(t)
qs(t) = K
h V R
qs (t)
En este caso aplicamos la linealización para la relación
entre qS y la altura
qS = K (he) ½
+ K (he)-½ (h – he) 
qS = K
f [X (t)] = f( ) + f( ) [X(t)- ]
K
qS - = 
De la Ecuación K
Tenemos: K =
Reemplazando:
El linealizado debe ser igual al qS lineal
 =
= 
R es la nueva resistencia del comportamiento matemático
de la velocidad, remplazando qs en la ecuación
Reemplazando R
La diferencia en el tanque en el flujo laminar es la
definición de R, el Primer Caso es constante, el Segundo
Caso R cambia cuando se cambia el estado estacionario,
generalmente en procesos no lineales al usar otro estado
estacionario. Los vectores de los parámetros constantes
al tiempo y ganancia, cambian de valor.
 = AR ;

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MODELAMIENTO DE LA DINÁMICA DE PROCESOS

a) Balance de materia en el estado no estacionario

b) Balance de materia en el estado estacionario

q C = q Cee ... III

E.E. q Ceee = q Cee

q (Ce – Ceee) = q (C – Cee) + V

d) Introducimos variables de desviación

Nos queda como resultado:

Ĉe = Ĉ + τ τ = es el tiempo de residencia del

a) Balance de materia en el estado no estacionario

b) Balance de materia en el estado estacionario

q C - KCee V = q Cee ... II

B.E.E. q Ceee - KCeeV = q Cee

q (Ce – Ceee) – KV (C – Cee) = q (C – Cee) + V

3. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN TANQUE

a) Balance en el estado no estacionario

Cp(Te-Tref)+UA(Tv-T)+0= Cp(T-Tref)+ [MCp(T-Tref)]..I

b) Balance en el estado estacionario

Cp(Te-Tref)+UA(T -Tee)+0= Cp(Tee-Tref) ...II

Cp(Te-Tref)+UA(Tv-T)= Cp(T-Tref)+MCp (T-Tref)

Cp(Te-Tref)+UA(T -Tee)= Cp(Tee-Tref)

UA(Tv-T)-UA(Tvee-Tee)= Cp(T-Tref)- Cp(Tee-Tref)+MCp (T-

UA[(Tv–T)–(T -Tee)]= Cp[(T-Tref)-(Tee-Tref)]+MCp

UA[(Tv- T )-(T-Tee)] = Cp[(T-Tee)-Tref+Tref] +MCp

d) Introducimos variables de desviación

UA v = (UA + Cp) + MCp : (UA + Cp)

4. NIVEL DE LÍQUIDO EN UN TANQUE CON FLUJO LAMINAR

a) qs tiene una relación lineal

c) Balance de materia en estado estacionario

e) Introducimos variables de desviación

Asumimos que el flujo de salida es función del

nivel, entonces en términos de variables de

Reordenándolo tenemos que:

a) Por Balance de calor en estado no estacionario

hA(T0 – T) + 0 = 0 + [MCp (T-Tref)]

hATo – hAT = MCp (T-Tref)

hATo = hAT + MCp ÷ (hA)

 = Constante del tiempo

q (t), Ce (t)= cte.

a) Balance de materia en el estado no estacionario

q (t) Ce -  = q (t) C(t) + ... I

b) Balance de materia en el estado estacionario

qee Ce – KVCee = qee . Cee ... II

q(t) Ce -  = q (t) C(t) +

qee Ce - KVCee = qee . Cee

Linealización con la serie de Taylor

Para Una variable:

Para Dos Variables:

f(X, Y) = f(X0, Y0) +

Aplicando la serie Taylor para el término m lineal

f(q, C) = qee Cee + C

qC = qee Cee + Cee (1) ( ) + qee (1) (Ĉ)

qee Cee + Cee + qee Ĉ – qee Cee = qC - qCee

Cee + qee Ĉ No hay término de Segundo orden

En el total del Balance

Ce – KV (Ĉ) = Cee + qee Ĉ + Ĉ

V + qee Ĉ + KVĈ = Ce – Cee

V + Ĉ (qee + KV) = (Ce – Cee): + KV