Algebra Jec

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTO
Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son slo
las de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin
entre sus variables en un nmero limitado de veces.
Ejemplos:
P x x 2 4x y
4x y
Q x , y
2y 4 Son expresiones algebraicas
log 2
R x , y , z 2 4x
x .y .z
TRMINOS SEMEJANTES
Se llaman trminos semejantes de una expresin algebraica a aquellos
que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismos
exponentes. Difieren, entre s en los coeficientes.
Ejemplos:
a) 3xyz2; - 3xzy2; 6xyz2
Son trminos semejantes
b) 2a2b; 3a2b; 7a2b; a2b
3
3
3
c) np ; np , np
d) 3a3b; 6ab3
No Son trminos semejantes
CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.
I)
Monomios: Es la expresin algebraica que consta de un solo trmino.
Ejemplos:
R x Sen 2x 1
T x x
1
log x
R 'x , y , z 3 2x
x .y .z
A x 1 x x 2 ......
. 3x; 7x2y; xy3; 0,7 ab; x2yz3 .
xx
Son expresiones algebraicas
II)
Polinomios: Es la expresin algebraica de dos o ms trminos.

Ejemplos:
. 4x 3y ; 5x2 3y + xy; 3xy + 5y 3x + 6 .
TRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresin algebraica en la que no se enlaza a las variables
mediante la adicin y la sustraccin, presenta dos partes que con el
coeficiente y la parte literal (parte variable)
Ejemplo:
Binomio:
Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.
Son binomios:
. 3x2 y; 8x2y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 .
Trinomio:
Es la expresin algebraica que consta de tres trminos
Son trinomios:
. 3x2 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 2x2 + 6 .
lgebra
lgebra
GRADO DE UNA VARIABLE

El grado de una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo::
En el trmino: 7x2y3
La variable x es de grado 2, o segundo grado.
La variable y es de grado 3, o tercer grado.
Otro ejemplo:
Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2y3z 2x3y4z2
Grado relativo con respecto a x es: 3.
Grado relativo con respecto a y es: 4.
Grado relativo con respecto a z es: 3.
El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino de

mayor grado absoluto.
GRADO DE UN MONOMIO
El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable est dado por el
exponente de dicha letra.
As:
9x3y2 ...... es de tercer grado con respecto a x; y de segundo grado con
respecto a y.
Grado Relativo con respecto a x es 3 y Grado Relativo con respecto a
y es 2.
Grado Absoluto de un trmino algebraico est dado por la suma de los
exponentes de la parte literal.
As:
El grado absoluto de:
9x3y2 es:
3+2=5
8 5 6
El grado absoluto de:
5x y z es:
8+56=7
As:
Dado el polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3
El grado absoluto del monomio 3x2y3 es: 2 + 3 = 5
Luego; el grado absoluto del polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3 es de octavo grado o de grado 8.
Otro ejemplo:
Dado el polinomio:
6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5
G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayor
exponente de dicha letra o variable en el polinomio.
As:
Dado el polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3
- Grado relativo con respecto a x es 5.
- Grado relativo con respecto a y es 4.
lgebra
G.A. del monomio 5x2y = 2 + 1 = 3

G.A. del monomio 10xy4z2 = 1 + 4 + 2 = 7
G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6
Luego; el polinomio:
6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5 tiene por grado absoluto 7 el polinomio
es de sptimo grado.
10
lgebra
VALOR NUMRICO
Ejemplo 3:
Hallar el valor numrico de un monomio o de un polinomio es reemplazar
Hallar el valor numrico de la expresin:
cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las

operaciones indicadas.
2x 3 6
5x 2
Si: x = 3
Resolucin:
Reemplazamos el valor de x en la expresin dada y obtenemos:
Ejemplo 1:
Cul es el valor numrico de 5ab; si: a = 3; b = 4?
2x 3 6 233 6 227 6 54 6 48 16
2x 3 6 16
.
.
2
2
59
45
45 15
15
5x
5x 2
53
Resolucin:
Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresin:
5ab = 5 x 3 x 4 = 60 . 5ab = 60 .
La aplicacin del valor numrico tiene un campo amplsimo en el
desarrollo de toda clase de frmulas aritmticas, geomtricas, fsicas
qumicas, etc.
Orden de Operaciones
Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para el
desarrollo de los ejercicios o problemas.
Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operaciones
que se ha de seguir es el siguiente:
1. Se desarrollan las potencias o se extraen las races si las hay.
3. Se hacen las sumas o restas de los trminos.
Ejemplo 2:
Hallar el valor numrico del polinomio 3x2 + 5x 6; cuando x = 2.
Resolucin:
Reemplazando el valor de x en la expresin dada, obtenemos:
3x2 + 5x 6 = 3(2)2 + 5 (2) 6
lgebra
b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3

c) axnym + bxnym cxnym = ( a
b
c )xnym
Para sumar o restar dos o ms monomios no semejantes, slo se indica
la suma o diferencia de ellos.
Ejemplos: Sumar:
a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.
b) 7ab2 + 8ab 5b2a = 7ab2 + 8ab 5b2a
= 7ab2 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab
2. Se efectan las multiplicaciones o divisiones indicadas.
= 3(4) 10 6 = 12 10 6 = 4
ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS

Para sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman o restan
sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los
monomios semejantes dados.
Ejemplos: Sumar:
a) 3xy2 + 7xy2 2xy2 = (3 + 7 2)xy2 = 8xy2
. 3x2 + 5x 6 = 4 .
11
MULTIPLICACIN DE MONOMIOS
Para hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes
de ellos. A continuacin de este producto se escriben en orden alfabtico,
12
lgebra
todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
NOTA:
PARA HALLAR LA POTENCIA DE UN MONOMIO SE APLICAN LAS PROPIEDADES
SIGUIENTES:
. (a . b)n = an . bn .
Ejemplo 1:
Hallar el producto de: 3x3 por 2x2
. (an)m = an . m .
Ejemplos:
a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3
Resolucin:
3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)
(3 . 2)
Multiplicamos los coeficientes
(x3 . x2) Multiplicamos las partes literales
b) (3xy2)5 = (3)5 . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 243x5y10

c) (4x2z)2 = (4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2
d) (3x2)3 . (2x)2 = (3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = 33 . x6 . 4 . x2 = 7 . 4x8 = 108x8.
3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 3x3 . 2x2 = 6x5

Ejemplo 2:
Hallar el producto de: 8x4 por 9x2y3
DIVISIN DE MONOMIOS
Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del
dividendo entre el divisor y a continuacin se escriben las letras en orden
alfabtico ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el
exponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.
Resolucin:
8x4 . (9x2y3) = 8(9) (x4 . x2 . y3)
8x4 . (9x2y3) = 72x4 + 2 . y3
= - 72x6y3
. 8x4 . (9x2y3) = 72x6y3 .
RECUERDA QUE:
Ejemplo 1:
Halla el cociente de dividir: 16x4 8x2
an . am = an+m
Resolucin:
POTENCIAS DE MONOMIOS
La potencia de monomios en un caso particular de la multiplicacin de
monomios. Es una multiplicacin de factores monomios iguales.
16x 4 16 x 4
8 x2
8x2
. 2x2 .
RECUERDA QUE:
Ejemplo 1:
(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .
a m an
Ejemplo 2:
(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .
lgebra
2x 4 2
am
a mn
an
Ejemplo 2:
Halla el cociente de dividir: (28x4y6) (7x3y2)
13
14
lgebra
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Resolucin:
24x 6
24 x 6
6x 63 . 6x3 .
4x 3 4 x 3
1. Efectuar:
8x (2x - 3) (x + 6)
USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN

En lgebra los signos de agrupacin: parntesis ( ); corchetes [ ];
llaves { }; barras ___; se usan para agrupar trminos y separar operaciones.
Si un signo de agrupacin es precedido por un signo positivo, ste se
puede suprimir sin variar los signos de los trminos que estn dentro del
signo de agrupacin, veamos:
a + (+ b) = a + b ; a + (b) = a b
Rpta.
Rpta.
4. Efectuar:
1
p (p 0,2q) + (0,222.....q
4
3
p) + q
6
Rpta.
Rpta.
5. Reducir:
12a [ 9a (2a + 7) + 3a] 26
15
[ 0,2x [0,4x2 + (0,05x2 +
Rpta.
8. Efectuar:
{[(2p 3) (3p + 4q)]} {2q
= 4a + 11b
Se suprimen los parntesis y se cambian los signos de todos los
trminos comprendidos entre ellos
lgebra
7. Efectuar:
0,7x)]] x
Si un signo de agrupacin es precedido por un signo negativo, lo

podemos suprimir cambiando los signos de los trminos que estn dentro
del signo de agrupacin, veamos:
Ejemplo:
10a (6a - 7b) + 4b
a
6
b
4
b
= 10
a + 7
x} + x ]} x
2. Reducir:
a (2,3b 5,2a) (3,5a + 4,2b)
3. Simplificar:
(6x 3y + 5z) (4y 6z 3x)
+xy+z
a (b) = a + (+b)
=a+b
y { y [ y { y ( y + x)
Rpta.
Ejemplo:
16x + (8x + 9y) 10y
= 16x 8x + 9y 10y
= 8x y
Se suprimen los parntesis y no cambian los signos de los trminos
comprendidos entre ellos.
a (+ b) = a + (b)
=ab
6. Reducir:
Rpta.
16
(3p + q) p}
Rpta.
9. Efectuar
3
3
2
a b c +
4
7
4
2
1
4
c b a
3
4
5
Rpta.
lgebra
10. Simplificar:
( 4x + y) + (5x + 3y) (x y)
Rpta.
Rpta.
{q + [p +
PROBLEMAS PARA LA CASA
8x2y + 16x2y 10x2y
1. Hallar el grado absoluto del

polinomio:
P(x;y;z) = 5x2y3z4 + 7x4y7z9 +
9x5y2z7
14. Reducir:
4
q ( 3p 6q) +
3
A) 14
D) 18
17x4y3z2 + 16x4y3z2 28x4y3z2

Rpta.
1
p] 0,3333....q}
2
Rpta.
13. Reducir:
Rpta.
11. Reducir:
b { c [ d { c ( d b ) +
a} d] a}
12. Simplificar:
B) 9
E) 15
10x2y + 12xy2 + 2x2y 6xy2
A) 1
D) 4
8x2y
Rpta.
B) 2
E) 5
B) 7
E) 9
B) 3
E) 4
C) 12
5. Los 3/2 de:
C) 3
3. En el polinomio
P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7
El grado absoluto es 10,
entonces el valor de m es:
A) 6
D) 5
A) 16
D) 7
C) 20
2. El monomio: 3xa+b5 yb3

Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2
Entonces a vale:
15. Reducir:
4. Si: x = 2, y = 1, el valor de la
expresin 2x2y 3xy2 + xy, es:
C) 4
EL
x 2
3y 2 x 2
; Cuando: y 3
1 3
a 1
a
2
Es:
A) 69
D) 60
B) 46
E) 63
C) 69
6. Si los trminos 6xyb3; 2xy10

son semejantes, calcular el
valor de b
A) 12
D) 14
B) 11
E) 10
C) 13
HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES
SLO CARNE.
PERO AL VERDADERA MIRADA ES

FUNDE TU CUERPO
ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA
VISIN, VETE HACIA LA VISIN....
LA QUE VE AL AMIGO.
DYALAYALDINRUMI
lgebra
17
18
lgebra
7. Hallar m N, sabiendo que el

polinomio P(x) es de grado 36.
P(x) = 0,2[x5m+3]2 + 7 [xm+1]3
A) 3
D) 5
B) 6
E) 8
2
1
x y
5
4
4
C)
xy
5
E) 0,6x 0,5y
TEMA: TEORA DE EXPONENTES
CONCEPTO
A) 3x y B) x 3y C) x + y
D) x + y E) y x
C) 2
Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

existen entre ellos, mediante leyes.
8. La expresin:
3
3
0,2x +
y +
x 0,25 y
5
4
equivale a:
A)
9. Al resolver:
x [x {y (2x y)} + x (y)]
Se obtiene:
10. Si: a = 2; b = 4; c = 3; d = 9;
entonces
el
valor
de
b d
2db es:
a c
A) 67
D) 73
B) 0,8x 0,5y
D)
4
x + 0,5y
5
B) 71
E) 77
La operacin que da origen al exponente es la potenciacin.
POTENCIACIN
Es la operacin que consiste en repetir un nmero denominado base,
tantas veces como factor, como lo indica otro nmero que es el exponente,
C) 72
el resultado de esto se le denomina potencia.

Representacin:
n
x Ax Ax .......x A .
. A A
Base
CLAVES
1. C
6. C
2. E
7. A
3. B
8. D
4. A
9. C
5. C
10. B
"n " veces
Ejemplos:
1. 3 4 3 x 3 x 3 x 3 81
4 veces
2. 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64
6 veces
3.
n n x n x n x n . . . . . . . x n
n veces
4.
1
1 1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2 2
2
5.
5 veces
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
7 veces
lgebra
19
20
lgebra
LEYES FUNDAMENTALES
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
1. Producto de Potencias de Igual Base

. x
x a x

.
y a y
. xb = xa+b .
Ejemplos:
1. 2
2. 2
. 2 =2
. 2
-4
3+4
=2
. 2 =2
.y 0
Ejemplos:
54+7
=3
1.
43 4

23 3
2.
83 8

23 2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
xa
x a b .
.
xb
5. Potencia de Potencia
x0
.
c
a b
x a .b .c .
Ejemplos:
1.
28
= 284 = 4
24
2.
2 6
= 26(5) = 21
2 5
OBSERVACIN:
(XA)B = (XB)A = XA . B
6. Exponente Negativo
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. x
. xa . ya = (x . y)a .
1
a
x
x
.
y
y

x
. x0 y0
Ejemplos:
1. 2 1
Ejemplos:
1. 23 . 43 = (2 . 4)3
2
2.
3
2. 3 . 6 = (3 . 5)
lgebra
21
22
1
2
32
3
2
2
2
lgebra
7. Exponente Nulo o Cero
10. Potencia de un Radical
. x0 = 1 .
x0
x
a
x b .c
Ejemplos:
1.
3xy 0
11. Raz de Raz
1
0
3y
2. 2x 1
5
a b c
a .b .c
OBSERVACIN:
8. Exponente Fraccionario
a b
a
b
. xb x
b a
Ejemplos:
b0
Ejemplos:
x 24 x
1.
2.
4 3
10 3 4 10 12 10
1. x 3 3 x 2
5
EJEMPLOS DE APLICACIN
2. x 3 3 x 5
En cada caso completar:

9. Producto de Radicales Homogneos
.
1. x2 . x3 . x4 = ________
x .a y a x .y .
2.
x4
= ________
x2
Ejemplos:
1.
4 . 3 5 3 4 . 5 3 20
2.
1 55 5 1 5 55
.
.
2
3
2 3
6
lgebra
23
24
lgebra
3. 23 . 33 . 53 = ________
8. 23 = ________

1. Luego de operar
35 . 24 . 72 . 33 . 23 . 72
Se obtiene
4.
54
= ________
24
2
9.
3
Rpta.
Rpta.
= ________
2. Si xn = 3
A que es igual x2n
20 6
5.
= ________
10 6
1 1
10. = ________
2 3
3. Si xx = 2, calcular xx
Rpta.
6.
5
3 2
= ________
27 . 11
2 . 3 4 = ________
LOS
12.
2
4
25
NIOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO.
b3 . b2
16
Rpta.
5. Cual es el exponente final de b

en:
TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIN
. b1 ; b 0
3 24
8 4
Rpta.
INDELEBLE
Rpta.
W. STEKEL
lgebra
8. Cual es el exponente de xx en
x5x
10. Reducir:
= ________
9. Reducir:
Rpta.
7.
6 1 3 1 2 1 22
Rpta.
4. Reducir
333 . 2
11. 2 3 = ________
7. Reducir:
Rpta.
Rpta.
6. Reducir:
5 25 210 312
5 23 2 5 310
25
26
lgebra
11. Si x x
3 9 , hallar x
Rpta.
14. Simplificar:
5 x 1 5 x
N
5x
1. Despus de operar
4
Rpta.
3
12. Si x = 8, hallar x
Rpta.
13. Simplificar:
3n 1 3n
3n
.3
.8 . 4
. 3
. 8
15. Simplificar:
4 x 2 4 x 1
P
4x
A) 16
B) 24
D) 8
E) 32
C) 48
2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n
Rpta.
Rpta.
A) 14
B) 21
D) 16
E) 1
C) 49
1
B)
3
1
E)
6
A) 10
D) 13
. a1 , a 0
B) 11
E) 14
B) 22
E) 55
7. Reducir
1
C)
4
C) 12
6. Reducir
7 23 312 515
7 21 310 513
A) 11
D) 44
3. Si xx = 5, Calcular xx
1
A)
2
1
D)
5
a5 . a3
Se obtiene:
5. Cual es el exponente final de

a en:
C) 33
81 4 1 21 22
27
32
27
D)
16
32
27
E) N.A.
A)
B)
C)
16
27
4. Reducir
44 3
16 . 11
lgebra
27
28
8. Reducir
.3
3
A) 10
B) 12
D) 8
E) 64
C) 16
4 36
A) 1
D) 2
25
1
4
38
B) 1
E) 3
C) 2
lgebra
9. Simplificar:
6 n 1 6 n
P
6n
A) 1
D) 7
TEMA: POLINOMIOS
10. Simplificar
7 n 2 7 n 1
Q
7n
B) 3
E) 9
C) 5
A) 32
D) 21
B) 42
E) 7
CONCEPTO
Es aquella expresin algebraica con 2 o ms trminos.
C) 49
GRADO DE UN POLINOMIO
1. Grado Relativo (GR)
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
CLAVES
Ejemplo:
P x;y 54x 4 y 5 2xy 2 x 10y
SI
1. C
6. C
2. C
7. E
3. D
8. B
4. B
9. C
5. C
10. B
Luego:
GR(x) = 10
GR(y) = 7
2. Grado Absoluto (GA)
a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.
b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los
monomios que lo conforman
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que tienen ciertas caractersticas y de acuerdo a ello son:
NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE
PARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTS

DISPUESTO
LUCHAR
PARA
OBTENERLO,
1. Polinomio Ordenado
Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:
TE
ASEGURO QUE TU VIDA ESTAR LLENA DE XITO.

SER UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO
ES FCIL PERO VALDR LA PENA.
Ejemplos:
1. P(x;y) = 5x + x2y + 4x5
Es ordenado creciente respecto a x
R a ;b 2a 5 2a 3b 6 8ab 12
R. BACH
lgebra
29
30
lgebra
2. Es ordenado y creciente respecto a b

Es ordenado y creciente respecto a a
4. Polinomio Idnticos
Dos o ms polinomios son idnticos cuando tienen los mismos valores
numricos para cualquier valor de la variable
2. Polinomio Completo
Si existen todos los grados incluyendo el trmino independiente, hasta
un grado determinado
Ejemplo:
P(x;y) = (x + y)2 4xy
Q(x;y) = (x y)2
Ejemplos:
1. P(x) = 3x2 5x + 7 2x3
Es completo de grado 3
2. Q(x;y) = 3x 2y2 + 5x2y + x3y4 2x4y3
Es completo respecto a x e y
y GR(y) = 4,
GR(x) = 4
a) Polinomio Idnticamente Nulo

Un polinomio es idnticamente nulo, si para cualquier valor de su
variable el polinomio se anula.
b) Polinomio Mnico
Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.
Ejemplo:
A(x) = 1 + x2 + x3
B(x) = 9x4 + x3 + x5
Propiedad:
En todo polinomio completo
Nmero de trminos = G.A. + 1
3. Polinomio Homogneo
Es homogneo si cada uno de los trminos tiene el mismo G.A.
Propiedad:
1. Cambio de Variable
Ejemplo
Sea P(x)=3x + 1
P(x + 1) =
Ejemplo:
P(x;y) = 32x3y4 + 20x6y 10x2y5
Propiedad:
Trminos Semejantes:
Dos o ms trminos no nulos son semejante si solo difieren en los
coeficientes.
P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1
P(x + 1) = 3x + 3 + 1
P(x + 1) = 3x + 4
2. Suma de Coeficientes
Ejemplo:
T1(x,y) = 21x7y4
T2(x,y) =
T3(x,y) =
lgebra
7 4
5x y
coef P 1
Ejemplo:
Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1
2 1 x y
7 4
31
32
lgebra
coef P 1 31 61 1
coef P 1 3 6 1 10
1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5
3. Trmino Independiente:
Hallar
. T .I . P 0 .
G.R.(x) = _ _ _ _ _
G.R.(y) = _ _ _ _ _
Ejemplo:
Sea: P(x) = (5X + 3)2
T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9
G.A.
=_____
2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.

P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4
3. El siguiente polinomio es completo?

P(x,y) = 6x3 + 5x2y+ 4xy2 + -3x3
Con respecto a x _ _ _ _ _
Con respecto a y _ _ _ _ _
4. Cul es el coeficiente principal de:

Q(x) = 5x2 + 3x4 2x + 3
lgebra
33
34
lgebra
Resolucin
Aplicando la propiedad:
EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE

MATEMTICA
1. Calcular: (a b) si el monomio:
M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8
A) 1
B) 1
C) 2
D) 2
En el:
Por dato:
Resolucin
M(x;y) = 5x2a +b ya + 2b
G.R.(x) = 8
2a + b = 8 b = 8 2a
G.A. = 15
(2a + b) + (a + 2b) = 15
3a + 3b = 15
.... (II)
. ab=32=1 .
lgebra
B) 17
3
a 2
a
3
2
a 2 a 2
a 3
2
a 2
a + 3 = 2a 4
. 7=a .
Rpta. D
3. Calcular: m + n, si se sabe que el monomio:

P(x;y) = 4nxm + nym + 2n es de:
G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
Rpta. A
D) 19
E) 20
35
B) 4
C) 5
Resolucin
Por dato:
G.R.(y) = 6
m + n2 = 6 m = 6 2n
G.A. = 10
(m + n) + (m + 2n) = 10
x a y 3 es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xaya + 5
C) 18
a + 3 = 2(a 2)
. El grado de: Q(x;y), es: 19 .
A) 3
A) 16
x a y 3 ; obtenemos:
Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:

Q(x;y) = xa . ya + 5
Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19
Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)

b = 8 2(3)
. b=2 .
a 2
a
a 2
a 2
.... (I)
Reemplazamos (I) en (II):

3a + 3(8 2a) = 15
3a + 24 6a =15
9 = 3a
. a=3 .
2. Si el grado de: F(x,y) =
F(x;y) =
F(x;y) = x
E) 3
A m .B P A n .B n
36
D) 6
E) 8
.... (I)
.... (II)
lgebra
Segn ello determine f(1)

A) 3
B) 4
Reemplazando (I) en (II); obtenemos:

2(6 2n) + 3n = 10
12 4n = 3n = 10
. 2=n .
. m+n=2+2=4 .
Rpta. B
. 5=b .
Determinar: F(98)
G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
Resolucin
Aplicando:
C) 98
D) 100
E) 1000
F(x) =
x 2 4x 4
f(x) = ax + b
f(x) = 2x + 5
Calculamos:
f(1) = 2(1) + 5
2x . 2 2 8x
. F(98) = 100 .
. f(1) = 7 .
Rpta. E
6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en x a 7, y

en y a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.
x 22
F(x) = x + 2 de esta expresin, calculamos:

F(98) = 98 + 2 = 100
A) 7
B) 13
C) 9
D) 16
E) 14
Resolucin
G.R.(x) = 7
Rpta. D
5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:

i) f(0) = 5
ii) f(1) = 3
lgebra
. a=2 .
. (A - B) = A 2AB + B .
F(x) =
De la expresin:
Obtenemos:
2
f(1) = a(1) + b
3 = a + b
3 = a + 5
B) 102
E) 7
Luego:
f(0) = a(0) + b
x 22 8x
A) 108
D) 6
Resolucin
Como f(x) es un polinomio de primer grado
Ser de la forma: f(x) = ax + b
Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)

m = 6 2(2) m = 2
4. Siendo F(x) =
C) 5
37
38
m+1=7
. m=6 .
G.R.(y) = 9
n+2=9
. n=7 .
lgebra
Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x
Resolucin
Como el polinomio es homogneo, el grado de cada monomio debe ser
igual, o sea:
n2 + 4 = 2n + 3 = 5 m
i)
n2 + 4 = 2n + 3
n2 2n + 1 = 0
(n 1)2 = 0
. n=1 .
Luego el grado absoluto del polinomio es:
. m + n = 6 + 7 = 13 .
Rpta. B
7. Si el grado de A es 8 y el grado de B es 4. Calcular el grado de:

7
A2 . B 3
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
ii)
2n + 3 = 5 m
2(1) + 3 = 5 m
5=5m
. m=0 .
Luego, calculamos el grado relativo de y
G.R.(y) = 5 m = 5 0 = 5
E) 6
Resolucin
Grado de A = 8
Grado de (A2) = 2 x 8 = 16
Grado de B = 4
Grado de (B3) = 3 x 4 = 12
. G.R.(y) = 5 .
Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:

Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28
Grado (A2B3) = 28
9. Determinar m si el siguiente polinomio es homogneo

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2
A) 1
Cuando la expresin est afectada por un radical el grado se divide

por el ndice radical
28
Grado 7 A2B3
4
7
. Grado
A .B 4
7
A) 1
lgebra
Rpta. C
2x n 1 y n 2 4y 5m
B) 3
C) 4
i)
D) 5
E) 7
39
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolucin
Como el polinomio:
Es homogneo:
m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2
m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2
8. Indicar el grado relativo de y en el polinomio homogneo:

P x;y x n
Rpta. D
40
m + n + 4 = 2m + n + 2
. 2=m .
Rpta. B
lgebra
10. Si el polinomio P(x;y) es idnticamente nulo, hallar
Resolucin
Agrupamos los tmanos de manera la siguiente:
1
(Ax2 + Bx2) Cx + B = x2 + 3x 1
2
1 2
2
(A + B)x Cx + B = x + 3x 1
2
n4
P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2

A) 15
B) 14
C) 12
D) 225
E) 144
Resolucin
En primer lugar agrupamos los trminos semejantes de la manera
siguiente:
P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2
P(x;y) = (9 n + 3)x2y + (m 2)xy2
P(x;y) = (12 - n)x2y + (m 2)xy2
Identificando:
i)
. A B
ii) C = 3
iii) . B = 1 .
Para que este polinomio:

Sea idnticamente nulo, debe cumplirse que:
Luego:
A +B + C =
. a b c
i)
(12 n) = 0
. 12 = n .
ii)
m2=0
.m=2 .
m
Luego:
12
12
4/2
1
.
2
1
+ (3)
2
5
.
2
TU
12 144
. C = -3 .
Rpta. C
ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y
AMBOS SOMOS HIJOS DE UN NICO
ESPRITU SANTO;
SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA

m
. n
144 .
TIERRA.
Rpta. E
ERES MI COMPAERO EN EL SENDERO DE LA VIDA
Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA

VERDAD OCULTA.
ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUE
TE AME COMO HERMANO...
11. Hallar A + B + C en la identidad:

1
Ax2 + Bx2 Cx + B = x2 + 3x 1
2
A) 3/2
lgebra
B) 1/2
C) 582
KAHIL GIBRN
D) 5/2
E) 3/2
41
42
lgebra

1. Sean:
R(x,y) = 3x3y6
H(x,y) = 10xa + 1 y4
Trminos semejantes;
a+b
9. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b
Calcular b a
5. Si P(x) = x2001 3x2000 + 1.
Rpta.
Hallar P(3)
hallar
Rpta.
Rpta.
10. Si f(x) =
Rpta.
Rpta.
3. Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1, un
polinomio de 3er
grado,
calcular P(2)
2x 2
, hallar f f3
x 1
Rpta.
6. Sea
2. Si el coeficiente principal de:
P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + a
Es cinco, calcular su trmino
independiente.
polinomio cbico, calcular su

coeficiente principal
11. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4.

Hallar n2
Rpta.
Rpta.
7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c; c 0
14. Sea P(x) = 2x + 3, Hallar

P(x2)
Rpta.
P(x) = (a + 3) xa + 3x + 5, un
Adems P(1) = 0, hallar
13. Sea P(x) = x2 + x a2, P(a) = 3.

Hallar
el
trmino
independiente de P(x)
15. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x)

Rpta.
12. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3.

Hallar P(0) + P(1)
a b
.
c
Rpta.
Rpta.
Rpta.
4. Sean:
P(x) = ax2
Q(x) = 3xa + 2
Si P y Q tienen el mismo
coeficiente,
calcular
el
exponente x en Q
Rpta.
lgebra
ME PREGUNTAS QU ES DIOS? NO S QU DECIRTE;

LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SER
8. Sea: P(x) = ax + b ; a 0
MUCHO MS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA

PUEDE OFRECERTE.
Adems P(2) = a, calcular:

a+b
FRANCISCO JARAMILLO
Rpta.
43
44
lgebra

1. Sean:
P(x,y) = 4x4 ym
Q(x,y) = 10xn+2y5,
Hallar m + n,
Si son trminos semejantes
A) 2
D) 8
B) 3
E) 1
C) 7
2. Si el coeficiente principal de:

Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k,
es 5, calcular su trmino
independiente:
A) 8
D) 1
B) 6
E) 5
C) 3
n
x + n,
3
un polinomio de 3er grado,
calcular P(3)
3. Sea: R(x) = xn + nx2 +
A) 30
D) 60
B) 40
E) 70
C) 50
4. Sean:
A(x) = Kx2
B(x) = 5xk+3
Si A y B tienen el mismo
coeficiente,
calcular
el
exponente de x en B
A) 6
D) 16
B) 7
E) 1
C) 8
7. Sea:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Adems
a b c
P(1) = 0, Hallar
d
A) 0
D) 5
B) 2
E) 6
A) 5
D) 8
B) 4
E) 9
C) 1
B) 6
E) 8
B) 2x+3 C) 3x+2
E) 2
10. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x)

A) 3x+5 B) 5x+3 C) 3x5
D) 3x
E) 5
C) 7
C) 3
CLAVES
6. Sea:
R(x) = (K + 2) xK1 + 3x2 + 6
Un polinomio de 5to grado,
hallar el coeficiente del
trmino principal.
A) 2
D) 8
A) 3x-2
D) 3x
8. Si P(x) = ax2 + b, a 0 y
b
adems P(3) = a, Calcular
a
5. Si Q(x)= x800 2x799 + 3.

Hallar Q(2)
A) 1
D) 4
B) 1
E) 4
9. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1)
C) 6
CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN,

VALE LA PENA HACERLA DESPACIO.
1. C
6. D
2. C
7. C
3. D
8. E
4. C
9. C
5. C
10. C
GIPSY ROSE LEE
lgebra
45
46
lgebra
3. Binomio al Cubo
TEMA: PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTO
Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen
en forma directa.
a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b 3 a 3 b 3 3ab a b
a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
a b 3 a 3 b 3 3ab a b
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
Ejemplo:
(2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33
(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27
(2 + 3)3 = 125
1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a b)2 = a2 2ab + b2 .
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 (a b)2 = 4ab
(a + b)4 (a b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:
3 2
3
2
2 3 2
4. Producto de Binomios con Trmino Comn

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .
32 6 2 52 6
(a + 5) (a 5) = 4a . 5 = 20a
5 2
5 2
8. 5 . 2
2 8
2
10 . 7 56 10
Simplificar:
1. P x 2 2xy x 2
2. Simplificar:
N = (a + b) (a b) + b2
2. Diferencia de Cuadrados
. a2 b2 = (a + b) (a b) .
Ejemplos:
(x + 2) (x 2) = x2 4
lgebra
2 1 2 1 2 1 1
5 2 5 2 5 2 3
47
48
lgebra
3. Si a + b = 16, Simplificar:
2
Q a 2ab b
4. Simplificar
N 3 a 3 b 3 3aba b
1. Simplificar:
N x
2xy y
Rpta.
Rpta.
7. Si (a + 2b) ( a 2b) = 0: b 0.
2. Reducir:
P
a ba b b2
Rpta.
4. Si: a + b = 2
a 2 + b2
y ab = 1, hallar
49
50
8. Si (x + y + 1) (x + y 1) = 1,
calcular (x + y)2
9. Si a + b = 4
a 3 + b3
ab = 3, hallar
Rpta.
Rpta.
lgebra
Rpta.
Rpta.
5. Si x
a
calcular
b
Rpta.
3. Simplificar:
x a x b ab
N
x 2 a b x
Rpta.
6. Sabiendo que:
(x + 1)2 =3, Calcular x2 + 2x 2
1
1
3 , hallar x 2 2
x
x
10. Si: a b = 2 y ab = 15, Hallar

a 3 b3
Rpta.
lgebra
11. Simplificar:
x 3x 5
N 2
x 8x 15
Rpta.
12. Reducir:
P = (x + 4) (x + 2) 6x 8
Rpta.
14. Reducir
(x + 1) (x 1) + (x + 2)x +
(x + 3) (x + 1) x2

1. Simplificar:
x y 2 x y 2
Rpta.
x2
1
1
15. SI a 3 , hallar a 3 3
a
a
Rpta.
A) 2 xy
B) 4 xy C) 4xy
D) 5xt
E)
x y x y y
A) x
B) x2
D) y
Rpta.
C) xy
E) y
3. Simplificar:
x 4x 5 20
N
x 2 9x
A) 0
B) 1
D) 8
E) 14
4. Si: x + y = 5
2
Hallar x + y
51
52
B) 12
D) 14
E) 15
B) 13
E) 16
Hallar
C) 14
6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36,

hallar x2 + 4x 2
A) 10
D) 40
B) 20
E) 50
a
calcular
b
x . y = 6,
A) 11
1
x2
4
x
C) 30
7. Si (a + 3b) (a 3b) = 0, b 0,
C) 4
A) 12
D) 15
xy
2. Reducir:
13. Si: 42 4a + 1 = 0, calcular:

4a + 3
lgebra
5. Si:
C) 13
A) 3
D) 12
B) 6
E) 15
C) 9
8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar
a 3 + b3
A) 36
D) 216
B) 72
E) 108
C) 144
lgebra
9. Si (a + b + 1) (a + b 1) = 3,
hallar (a + b)2
A) 6
D) 9
B) 7
E) 10
10. Si x y = 4
Simplificar:
N
C) 8
TEMA: DIVISIN ALGEBRAICA
x y 2 4xy
A) 5
D) 1/2
B) 3
E) 4
DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Para dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los
trminos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:
C) 2
Ejemplo:
42x 6 y 5 21x 3 y 7 35x 5 y 2 42x 6 y 5 21x 3 y 7 35x 5 y 2
7xy 2
7xy 2
7xy 2
7xy 2
CLAVES
= 6x5y3 3x2y5 + 5x4
EL
1. A
6. C
2. A
7. C
3. B
8. B
4. C
9. E
5. C
10. E
DIVISIN DE DOS POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla prctica:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor segn la misma letra, dejando
espacios para los trminos que faltasen.
2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del
divisor para obtener el primer trmino del cociente.
3. Se multiplica el primer trmino del cociente por todo el divisor y el
producto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada trmino de
este producto debajo de su semejante cambiando de signo.
4. Se divide el primer trmino del residuo, entre el primero trmino del
divisor, para obtener el segundo trmino del cociente.
5. Este segundo trmino se multiplica por todo el divisor y este producto
se resta del residuo anterior.
6. Se divide el primer trmino del segundo residuo, entre el primer
trmino del divisor para obtener el tercer trmino del cociente.
7. Se contina anlogamente a los pasos anteriores hasta que el residuo
sea un polinomio de menor grado que el divisor.
XITO CONSISTE EN UNA SERIE DE PEQUEOS
ESFUERZOS DIARIOS.
MAMIE MC CULLOUGH
lgebra
53
54
lgebra
Ejemplo:
Dividir
MTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIN

Coeficientes Separados
4
7x 3 + 2x x entre 2x + 3
En la divisin de polinomios de una sola variable podemos prescindir de

la parte literal.
Resolucin:
Ordenando en sentido decreciente y completando
2x4 x3 + 0x2 + 7x 3 ente 2x + 3
Ejemplo:
Dividir
20x3 2x2 + 16 x + 2 entre 4x 2
Sera:
Q(x) = 5x2 + 2x 3
R(x) = 2
El cociente es x3 2x2 + 3x 1 y el residuo es cero
Ejemplo:
Ejemplo:
Dividir
Dividir: x5 + 2x4 x2 + 3 entre x2 2x + 1
Cociente Q(x) = _ _ _ _ _
Cociente R(x) = _ _ _ _ _
Cociente Q(x) = _ _ _ _ _
lgebra
Cociente R(x) = _ _ _ _ _
55
56
lgebra
Mtodo de Horner
Para empezar a dividir

1. Se divide el primer trmino del dividendo entre el nmero encerrado en
un crculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal y
se multiplica por cada uno de los nmero que estn a la izquierda, de la
raya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productos
debajo de los nmeros que le siguen al primero.
Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y

otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical
se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de la
vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio
signo en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de
coeficientes del divisor con el signo cambiado.
Ejemplo:
Dividir: 2x4 x3 + 4x2 + 5x 1 entre 2x2 + x 1
2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el nmero

encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la
raya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.
3. La operacin se realiza hasta completar el resultado correspondiente a
todas las columnas, despus de la 2da raya vertical, luego de esa raya la
suma de las columnas ya no se divide entre el nmero encerrado en la
circunferencia.
Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los

coeficientes del dividendo, el nmero de columnas a contar de derecha a
izquierda es igual al grado del divisor, sta raya servir para separar el
cociente del residuo. Adems se traza otra recta horizontal para colocar
debajo de ella la respuesta.
En el ejemplo:
LA
DESGRACIA ABRE EL ALMA A UNA LUZ QUE LA
PROSPERIDAD NO VE.
LACORDAIRE
lgebra
57
58
lgebra
Ejemplo:
Dividir
6x5 + 7x4 18x3 + 10x2 + 7x 9 entre 3x3 + x2 + 2
Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:
Q(x) = x2 + 1
R(x) = 3
Q(x ) = _ _ _ _ _ _
R(x) = _ _ _ _ _ _
Ejemplo:
Dividir
x5 8x3 + 4x2 5 entre x 2
Mtodo de Ruffini
Este mtodo es aplicable a divisores de la forma: (x a) y con ciertas
restricciones a divisores de la forma (axn b).
1. Divisor de la forma (x a)
Para dividir por el Mtodo de Ruffini, se trazan dos rayas que se
intersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal
y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo
con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la
vertical se coloca el valor de x que anula al divisor.
Ejemplo:
Dividir:
x3 2x2 + x 5 entre x 2
lgebra
59
Q(x) = _ _ _ _ _
R(x) = _ _ _ _ _
TEOREMA DEL RESTO

Este mtodo se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin
necesidad de efectuar la divisin. Se emplea cuando el divisor es de la
forma ax b o transformable a ella.
Procedimiento:
1. Se iguala al el divisor a cero encontrndose un valor de la variable.
2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo
obtenindose un resultado el cual ser el residuo
60
lgebra
Ejemplo:
Calcular el residuo del divisor:
3x3 5x2 + 7 entre x 3
1. Indicar el residuo
siguiente divisin
2x 7 4x 6 2x 3
x 2
Igualamos el divisor a cero

x3=0
.x=3.
3
de
la
Rpta.
Este valor de x se reemplaza en el dividendo 3x 5x + 7

Residuo (R)= 3(3)3 5(3)2 + 7
= 3 . 27 + 5 . 9 + 7
= 81 45 + 7 = 43
2. Efectuar la siguiente divisin

Indicar el residuo
6x 3 5x 2 4x 4
x 1
Ejemplo:
Calcular el residuo de dividir:
x3 + +2x2 x + 2 entre 2x 1
Rpta.
Igualamos el divisor a cero

2x 1 = 0
.x=__.
3. Indicar
el
trmino
independiente del resto de la
siguiente divisin
6x 3 x 2 2x 6
3x 2 2x 1
Reemplazando
Residuo (R) = _ _ _ _ _
Rpta.
NO
4. Indicar
la
suma
de
coeficientes del cociente luego
de efectuar:
2x 4 x 3 3x 2 20x 10
2x 2 3x 1
SE MIDE EL AMOR POR EL NMERO DE CARICIAS,
SINO POR LA FRECUENCIA CON QUE UNO Y EL OTRO SE

COMPRENDEN
H. SPENCER
Rpta.
lgebra
61
62
5. Calcular n, si el resto de la
divisin es 15
2x 3 nx 2 4x n
2x n
Rpta.
6. Al dividir x4 2x2 6 entre

x + 3, el residuo es:
Rpta.
7. Hallar el cociente en:

x 5 6x 4 2x 3 x 1
x 3 3x 2 1
Rpta.
8. Cual es el valor que deber

tener K para que al dividir
4x5 2x3 + K 2 entre x 2,
el residuo sea cero
Rpta.
lgebra
9. El cociente de la siguiente
divisin:
x3 + 3x2 x 3 entre x2 + 2x 3
es:
Rpta.
13. Hallar el cociente aplicando

Horner
x 5 27 x x 4 7 x 2 10
x2 x 5

1. Indicar
3
Rpta.

38x 4 65x 3 27
2x 2 5x 3
4. Calcular
la
coeficientes
suma
del
de
cociente,
despus de efectuar.
x 2 15x 56
x 8
A) 1
B) 1
D) 2
E) 2
C) 0
A) 5
B) 5
D) 6
E) 7
C) 6
5. Calcular n si el resto de la
6x 2 x 2
2x 1
divisin es cero
E indicar el cociente
Rpta.
12. Hallar el coeficiente

trmino cuadrtico en:
2x 4 x 3 7x 3
2x 3
la
2. Efectuar la siguiente divisin:

Horner
6x5 + 2x4 23x3 + 11x2 + 12x 3
entre 3x3 5x2 + 3
Rpta.
en
2x x 3
x 1

Ruffini
x4 3x3 + 5x 8 entre x + 2
Rpta.
residuo
siguiente divisin:
Rpta.
10. Hallar el residuo en

2x 4 5x 3 3x 6
x 2
el
A) x+1
B) 3x2
D) 2x+3
E) 2x3
2x 3 11x 2 18x n
x 4
C) 3x+2
del
3. Indicar
el
B) 36
D) 6
E) 24
C) 42
trmino
independiente del resto en la
6. Al dividir:
x 6 7 x 3 12
x 3 3
siguiente divisin
Rpta.
A) 12
6x 2 9x 27
3x 9
El residuo es:
DPTO. DE PUBLICACIONES
lgebra
Manuel Scorza
A) 1
B) 2
V.L.E.B.
D) 3
E) 0
63
64
C) 2
A) x34 B) X3+4 C) x25

D) x23 E) 2x3+1
lgebra

x 3 10x 2 14x 9
x 2 4x 3
A) x+1
D) x6
B) x1
E) x+7
C) x+6
9. Dividir usando Ruffini

2x3 11x2 + 18x 24 entre
x- 4
e
indicar
el
trmino
independiente del cociente
A) 1
D) 9
8. Dividir usando Horner

5y 5 9y 4 3y 6 10 y 3 3y 4 8y 2
3y 3 2y 2 5y 4
e
indicar
la
suma
coeficientes del cociente
A) 0
D) 2
B) 1
E) 3
de
C) 1
B) 3
E) 3
TEMA: COCIENTES NOTABLES
CONCEPTO
Son ciertos cocientes que se escriben por simple inspeccin,
C) 6
sujetndose a reglas fijas y sin realizar la divisin.

1. Cociente de la diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia e
los mismos
10. Dividir usando Horner

31x 2 x 6 8x 5x 5 21
x 3 7 2x
e indicar el coeficiente del
trmino cbico
A) 0
D) 2
B) 1
E) 2
lgebra
6. A
2. B
7. D
3. D
8. B
4. D
9. C
5. E
10. B
x y
x y
x2 y2
x y .
x y
Ejemplos:
C) 1
CLAVES
1. C
x2 y2
1.
x 2 1
x 1
x 1
4.
x 2 64
=_____
x 8
2.
x2 9
x 3
x 3
5.
x 2 16
=_____
x 4
3.
x2 4
x 2
x 2
6.
x 2 25
=_____
X 5
2. Cociente dela suma o diferencia de cubos entre la suma o diferencia

de los mismos
65
66
x3 y3
x 2 xy y 2 .
x y
x3 y3
x 2 xy y 2 .
x y
lgebra
Ejemplos:
Ejemplos:
1.
x 8
x 2 2x 4
x 2
4.
x 125
=_____
x 5
2.
x 3 64
x 2 4x 16
x 4
5.
x 3 216
=_____
x 6
3.
x 3 27
x 2 3x 9
x x
6.
x 3 1000
=_____
x 10
En general: los cocientes notables son de forma
x y
x y
2.
x5 y5
x y
xn y n
xn 1 xn 2 . y xn 3 . y 2 xn 4 . y 3 . . . . . . y n 1 .
xy
.
Ejemplos:
3.
x6 y6
x 5 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5
xy
4.
x5 y5
=_____________
x y
x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 .
x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4
3er caso Se cumple slo si n es impar
x6 y6
=_____________
x y
2do caso
xn yn
x n 1 x n 2 y x n 3 y 2 x n 4 y 3 . . . . . . y n 1 .
x y
Ejemplos:
xn y n
xn 1 xn 2 y xn 3 y 2 xn 4 y 3 . . . . . y n 1 .
.
xy
lgebra
x5 y5
=_____________
x y
x y
Ejemplos:
1.
2.
xn yn
1er caso
x6 y6
x 5 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5
x y
2do caso
Se presentan 3 casos:
1.
1.
67
68
x5 y5
x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4
x y
lgebra
2.
x7 y7
=_____________
x y
1. Efectuar
En general
5. Desarrollar
x 32
y hallar la suma de
x 2
Sea:
xn yn
x y
coeficientes del resultado
34 16
x 1
Rpta.
Rpta.
El nmero de trminos es
n
n
1
6. Si:
2. Calcular el tercer trmino de:
El trmino de lugar K es:
84x 4 1
3x 1
Tk = xnK . yK1
Rpta.
7. Hallar el trmino de lugar 34
xn yq
3. Calcular el segundo trmino de

Sea cociente notable ante todo deber cumplirse que:
p
m
n
q
125x 27
5x 3
VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIR, NI ME
SEAMOS AMIGOS.
E. WHITE
x 2
Rpta.
69
70
x 48 y 48
x y
4. Desarrollar
SIGAS, NO TE GUIAR; SOLO CAMINA A MI LADO Y
en
Rpta.
Rpta.
NO
x m 1 y m 1
, es C.. Hallar m
x3 y2
Rpta.
Para que una expresin de la forma

xm yp
lgebra
en
8
x 40 a 40
x a
Rpta.
lgebra
9. Hallar el valor de n para que:

x n 5 y n 2
sea
Cociente
x3 y2
Notable
Rpta.
10. Hallar el valor de P para que:

x P 4 y 6
, sea C.N
x 4 y P 4
Rpta.
13. Cual es el quinto trmino del

desarrollo de:
64x 6 1
2x 1
trmino
Rpta.
1. Hallar la suma de coeficientes

x
10
14. Cul
es
la
suma
de
coeficientes del desarrollo del
cociente:
x 7 1
x 1
32y
2
para x = 2 del siguiente
Cociente Notable
2y
A) 10
B) 11
D) 13
E) 14
C) 12
34 16
x 1
A) 10
B) 15
D) 25
E) 30
C) 20
2. Calcular el cuarto trmino del

desarrollo de:
9
x y
x y
15. Hallar el trmino central del

desarrollo
x 15 y 15
x3 y3
5. Si:
x 3n 1 y n 2
, es un Cociente
x3 y4
Notable, hallar n
A) x3y3
B) x3y3
D) x2y3
E) x3y2
C) x4y4
Rpta.
12. Cual es el tercer trmino en el
cociente
x 10 32y 5
x 2 2y
3. Calcular
el
quinto
tercer
trmino del desarrollo de:

y8 x8
y x
Rpta.
lgebra
4. Desarrollar y dar el valor

numrico del tercer trmino
del desarrollo de:
Rpta.
Rpta.
11. Efectuar:
x 6 64 y 6
e indicar el cuarto
x 2y
71
72
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3

en
x 61 y 61
x y
A) y4x3
B) y3x4
D) y4x3
E) x4y4
C) y3x4
A) x13x15 B) x12y43 C) x14y46

D) x11y51 E) x15y40
lgebra

en
x 36 a 36
x a
A) x5.a28
D) x6.a30
y=2
B) x6.a29 C) x6.a29
E) x6.a40
8. Hallar el valor de K para que

x 3K 2 n 16
, sea C.N.
x K 1 n 2
A) 1
D) 2m5
9. Hallar el V.N. del quinto

trmino del desarrollo de
x9 y9
, para que x = 3,
x y
B) 1,5
E) 5
A) 646
D) 343
B) 340
E) 548
C) 648
x y
C) 2
CONCEPTO
La Factorizacin es un procedimiento mediante el cual un polinomio se
expresa como producto de sus factores.
Ejemplo:
1. 5a + 5b = 5(a + b)
2. 49 25x2 = (7 + 5x) (7 5x)
10. Hallar el trmino central de

x 21 y 21
3
TEMA: FACTORIZACIN (I)
3. m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2
A) x9y8 B) x8y9 C) x7y7

D) x9y9 E) x8y8
POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE

Un polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede
descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el
grado de P(x). en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o
reducible o no primo.
CLAVES
1. B
6. C
2. C
7. C
3. B
8. C
4. C
9. C
5. C
10. D
MTODO DEL FACTOR COMN

1. Factor Comn Monomio
Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable comn
con el menor exponente.
Ejemplos:
1. Factorizar:
2. Factorizar 6x3 15x2

Hallamos el M.C.D. de 6 y 15
lgebra
73
74
lgebra
6 2
15 3
5
M.C.D. (6,15) = 3
1. Factorizar:
El menor exponente de x es 2 el factor comn es 3x2

Luego
3x2 (2x 5)
7x + 7y
Rpta.
3. Factorizar:
3x2y + 6xy2 3x2y2
2. El factor comn de x2 x2y es:
2. Factor Comn Polinomio

El factor comn es un polinomio.
Rpta.
Rpta.
7. Factorizar:
a b + 2(a + b)
Rpta.
Ejemplo:
5a(x y) + 10b2 (x y)
3. Factorizar
24x3 16x2 + 8x
Se procede de igual forma que en el caos anterior

M.C.D.(5x10) = 5
Rpta.
8. Si: x y = 5 y
mx + my
m = 4. Hallar
Rpta.
Factorizando tenemos
5(x y) (a + 2b2)
4. Factorizar:
18x3 + 6x2y + 4xy2 10xy
Rpta.
9. Factorizar:
1 x + 2y(1 x)
Rpta.
POR EL BRILLO DE LOS OJOS, DESDE EL COMIENZO DE

LOS TIEMPOS, LAS PERSONAS RECONOCEN A SU
VERDADERO AMOR .
5. Al factorizar
16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se
BRIDA
obtiene:
Rpta.
lgebra
6. Factorizar:
1
1
x
5
5
75
76
10. Factorizar
(a + b)x (a + b)y a b
Rpta.
lgebra
11. Factorizar:
(ax bx + cx) + (ay by - cy)
a+bc
14. Factorizar:
x2y 4x2
Rpta.
12. Factorizar:
4x4y 2x5 + 6x3y2 2x2y3
Rpta.
5. Despus de factorizar
(3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)
Uno de los factores es:
1. En la expresin
7x2y3 + 14x3y2
El factor comn es:
Rpta.
A) x2y2
D) x3y3
15. Factorizar:
y3 + ny3
Rpta.
B) 7xy
E) 7x3y3
C) 7x2y2
2. En la siguiente expresin
x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar,
el factor comn es
13. Factorizar:
12n5m4 18n3m7
A) m . n B) m2n
D) m2 . n2 E) m3n2
C) mn2
Rpta.
3. Si factorizamos
9y2 81y
el factor que no es monomio
es:
A) 9 y
D) y + 9
B) y2 9 C) y 9
E) 9y
4. Uno de los factores de:

(a+2b) (2a+b) (a2b) (5b-3),
es:
A) 2a + 3b + 3
C) 2a 4b + 3
E) 2a b
lgebra
77
78
B) 2a + b + 3
D) 2a +b
A) 7x3 B) 7x+3 C) 7x+1

D) 7x1 E) 7x+5
6. Si a b = 5 y m = 4, hallar el
valor de ma mb
A) 10
D) 15
B) 20
E) 16
C) 30
7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar
el valor de
(p + q)x + (p + q)y
A) 16
D) 16
B) 3
E) 12
C) 48
19
8. Si: m + n = 4; a b = 2, hallar
el valor de:
(m + n)a (m + n)b
A) 10
D) 4
B) 16
E) 5
C) 8
lgebra
9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar
el valor de:
(p + q)x2 + (p + q)y2
A) 10
D) 9
B) 15
E) 5
10. Factorizar
(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)
(x 3y) + (a2 + b2) (y 2x)
Uno de los factores es:
C) 17
NDICE
A) x(a + b)
B) x2(a + b)
2
C) x(a + b)
D) y(a2 + b2)
E) x(a2 b2)
PG.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..........................................................................................
TEORA DE EXPONENTES ................................................................................................ 20
CLAVES
POLINOMIOS ..................................................................................................................... 30
1. C
6. B
2. D
7. C
3. C
8. C
4.
5. B
PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 47
DIVISIN ALGEBRAICA ................................................................................................... 54

TEOREMA DEL RESTO ........................................................................................ 58
9. B
10. D
COCIENTES NOTABLES .................................................................................................... 66
FACTORIZACIN (I) ........................................................................................................ 74
lgebra
79
80
lgebra

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

. 3x; 7x2y; xy3; 0,7 ab; x2yz3 .

Son expresiones algebraicas

Polinomios: Es la expresin algebraica de dos o ms trminos.

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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GRADO DE UNA VARIABLE

Grado relativo con respecto a x es: 3.

Grado relativo con respecto a y es: 4.

Grado relativo con respecto a z es: 3.

El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino de

G.A. del monomio 5x2y = 2 + 1 = 3

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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Hallar el valor numrico de un monomio o de un polinomio es reemplazar

Hallar el valor numrico de la expresin:

cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las

b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3

2. Se efectan las multiplicaciones o divisiones indicadas.

ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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b) (3xy2)5 = (3)5 . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 243x5y10

3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 3x3 . 2x2 = 6x5

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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PROBLEMAS PARA LA CLASE

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN

[ 0,2x [0,4x2 + (0,05x2 +

Si un signo de agrupacin es precedido por un signo negativo, lo

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PROBLEMAS PARA LA CASA

8x2y + 16x2y 10x2y

1. Hallar el grado absoluto del

17x4y3z2 + 16x4y3z2 28x4y3z2

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10x2y + 12xy2 + 2x2y 6xy2

5. Los 3/2 de:

2. El monomio: 3xa+b5 yb3

6. Si los trminos 6xyb3; 2xy10

HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES

PERO AL VERDADERA MIRADA ES

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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7. Hallar m N, sabiendo que el

TEMA: TEORA DE EXPONENTES

Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

La operacin que da origen al exponente es la potenciacin.

el resultado de esto se le denomina potencia.

"n " veces

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes

1. Producto de Potencias de Igual Base

2. Cociente de Potencias de Igual Base