PLANOS Y MAPAS TOPOGRÁFICOS

9.0 Introducción
Definición de planos y mapas topográficos
1. Los planos y mapas   Plano
 
cartográficos son dibujos que
muestran las principales
características físicas del
terreno, tales como edificios,
cercas, caminos, ríos, lagos y
bosques, así como las diferencias
de altura que existen entre los
accidentes de la tierra tales como
valles y colinas (llamadas
también relieves verticales). Los
planos y mapas topográficos se
basan en los datos que se recogen
durante los levantamientos
topográficos.

2. Los planos normalmente son

dibujos a gran escala; los mapas
en cambio son dibujos a pequeña
escala. Dependiendo de la escala
que se usa para dibujar (ver
Sección 9.1):

 se trata de un plano si la
escala es mayor de 1 cm
por 100 m (1:10.000), por
ejemplo 1 cm por 25 m;
 se trata de un mapa si la
escala es igual o inferior
a 1 cm por 100 m
(1:10.000), por ejemplo 1
cm por 200 m o 1 cm por
1.000 m.

    
Ejemplo   Map
 
 Un plano de construcción
brinda la información
necesaria para la
realización de los
componentes de una
granja acuícola, tales
como diques, estanques,
canales o estructuras de
 drenaje, en una escala de
1 cm por 25 m (1:2.500).
 Un mapa topográfico
muestra el emplazamiento
de una granja acuícola
(escala 1 cm por 200 m ó
1:20.000) o una región de
un país (escala 1 cm por
1.000 m ó 1:100.000).

3. Planos y mapas tienen dos

funciones principales en la
construcción de una granja
acuícola. Por una parte ayudan a
elegir el sitio, a planificar la
granja y a diseñar las estructuras
necesarias. Por otra parte, ayudan
a colocar marcas en el suelo de
manera de poder seguir el plan
establecido de antemano y
construir correctamente las
estructuras previstas.

Cómo se comienzan los planos y mapas topográficos

4. Antes de iniciar un levantamiento topográfico, es conveniente conseguir todos los

planos o mapas topográficos del área, aunque no se trate exactamente del tipo de plano
que uno necesita. Los mapas topográficos generales normalmente se obtienen de
los organismos gubernamentales encargados de levantamientos geológicos y
topográficos. Los institutos geográficos nacionales, los departamentos de estudio de
suelos y las agencias de desarrollo agrícola pueden disponer de mapas topográficos y
también los departamentos catástrales (que calculan los impuestos a la tierra) de los
gobiernos locales, pueden facilitar planos topográficos de utilidad.

5. De todos modos, muy a menudo uno debe dibujar los planos y mapas topográficos
que necesita, basándose en un levantamiento planimétrico (ver Capítulo 7) y en una
nivelación directa (ver Capítulo 8). Las siguientes secciones enseñan cómo:

 realizar el plano o mapa directamente en el campo con la ayuda de la plancheta

(ver Sección 92); o
 realizar un plano o mapa a partir de las mediciones del terreno registradas en el
cuaderno de campo (ver Sección 93-96).

6. Cuando se lee un plano o mapa topográfico, se debe prestar atención a las siguientes
indicaciones:

 el nombre del área o zona representada, y/o el nombre del tipo de proyecto para
el cual se utiliza;
 la exacta localización de la zona;
  el nombre de la persona o de las personas que realizaron los estudios
en los cuales se basa el plano o mapa;
 la fecha en la cual se realizó el estudio;
 la dirección del norte magnético;
 la escala en la cual está dibujado el plano o mapa (ver Sección 91);
 el intervalo de curvas de nivel, si el plano indica el relieve vertical (ver Sección
93);
 una descripción o clave de los símbolos utilizados en el dibujo.

Se trata de información que a menudo aparece en un ángulo del mapa y se llama

leyenda.

9.1 Cómo definir la escala en planos y mapas

¿Qué es la escala de un plano o mapa?
1. Para representar en una hoja de  
papel las medidas tomadas en el
campo, es necesario pasarlas a
una cierta escala. Esto quiere
decir reducir el tamaño de las
distancias en forma proporcional,
de acuerdo a una escala. La escala
expresa la relación que existe
entre las distancias que aparecen
en un dibujo o mapa y las
distancias reales en el terreno.

    
Ejemplo  

 1 cm del plano representa

20 m de terreno, o sea una
escala 1:2.000.
 1 cm del mapa representa
100 m de terreno, una
escala 1: 10.000.
 1 cm del mapa representa
1.250 m de terreno, una
escala 1:125.000.

    
Nota:cuanto más pequeño es el  
número que define la relación,
mayor es la escala, o sea, 1:500 es
una escala mayor que 1:1.000.

Expresión de una escala

2. La escala de un dibujo puede ser expresada de tres maneras distintas:

 mediante un equivalente numérico tal como "1cm = 20m", que se lee como
"1cm del plano representa 20m de terreno;
 como una relación tal como "1:2.000" que se lee como "1cm sobre el plano
representa 2.000 cm = 20m sobre el suelo";
 como un gráfico, por medio de una línea sobre la cual se marca la
correspondencia entre las distancias medidas en el plano y aquellas medidas en
el terreno.

3. El Cuadro 11 presenta los equivalentes numéricos de las escalas más comunes,

expresadas como fracciones. El Cuadro indica escalas para distancias (en metros) y
también para superficies (en metros cuadrados).
Elección de una escala

4. Los mapas topográficos comunes generalmente se realizan con escalas que van de
1:50.000 a 1:250.000. Se trata de mapas a pequeña escala. En muchos países
actualmente se dispone de mapas a escala 1:50.000, que se pueden utilizar para el
diseño general de un desarrollo acuícola, incluido el plan de una granja.

5. Para mostrar mayores detalles, se deben dibujar planos a gran escala, que
representen en forma detallada estructuras y áreas de terreno. Los planos en general
usan escalas de 1:500, 1:1 000, 1:2 000, 1:2 500 y 1:5 000. Los planos de construcción
detallados usan escalas mayores que 1:500, por ejemplo 1:100 ó 1:10.

Nota: las reglas especiales, llamadas escalímetros (o regla de "Kutsch") o regla de

reducción, facilitan el transporte de las distancias del terreno al dibujo.

CUADRO 11

Distancias y superficies expresadas a escala

Superficie 1
Distancia: 1
cm2 representa:
Escala cm representa
(metros
(en metros)
cuadrados)

1: 300 3 9
  500 5 25
  600 6 36
  1000 10 100
  1200 12 144
  1500 15 225
  2000 20 400
  2500 25 750
   5000 50 2500 (0.25 ha)
1: 10000 100 10000 (1 ha)
  25000 250 62500 (6.25 ha)
  50000 500 250000 (25 ha)
1000000 (100 ha)
  100000 1000 (1 km)
(1 km2)
1562500 (156.25
  125000 1250
ha)
  200000 2000 4000000 (400 ha)
  250000 2500 6250000 (625 ha)

9.2 Cómo hacer mapas utilizando la plancheta

1. En la Sección 75 se vio que es  
posible utilizar la plancheta para
realizar una prospección y
también para un levantamiento de
detalles. La presente sección
enseña cómo hacerlo. Para aplicar
este método es preferible usar una
alidada (ver Sección 7.5, puntos
21-28), pero pueden bastar una
simple regla y algunos alfileres
para representar las direcciones
observadas.

2. Lo primero que se debe hacer

es elegir una escala adecuada
para el mapa que se va a dibujar
(ver Sección 91, puntos 4 y 5).
Considere la distancia más larga
que se debe representar y decida
qué dimensión debe tener el
mapa. Si es muy grande, se debe
dibujar en varias hojas de papel,
que luego se pegan entre sí.
    
Ejemplo  

 Dispone de una plancheta

de 40 x 55 cm.
 Ha estimado que la
distancia mayor que se
debe representar es = 400
m.
 El cuadro 11 dice que si
usa una escala 1:1.000
(en la cual 1 cm equivale
a 10 m), se requieren 40
cm para dibujar tal
distancia en una hoja de
papel.
 § Si dicha escala es lo
suficientemente grande
para sus necesidades,
podrá dibujar el mapa en
una sola hoja de papel.

    
3. Cubra el tablero de la plancheta   Coloque la plancheta en el punto A
con papel (ver Sección 7.5,
puntos 34-39). Coloque la
plancheta sobre o cerca del objeto
más importante A, que se
encuentra en el terreno que se
debe representar, que puede ser
una piedra grande, un sendero, un
río o un árbol alto.

4. Utilizando un lápiz de mina

dura bien afilado, dibuje un punto
y un círculo pequeños sobre la
hoja. Se trata del punto a , que
corresponde a la ubicación del
objeto A, sobre el cual se ha
colocado la plancheta. Asegúrese
de elegir una parte del papel que
luego permita dibujar toda el área.
Por ejemplo, si se va a representar
la zona que está delante del punto
A, se puede iniciar el dibujo en el
centro del margen inferior del
tablero.

Nota: las características físicas

del terreno que se van a
representar en el mapa, se marcan
con letras mayúsculas y los
puntos correspondientes que se
dibujan en el tablero, se
identifican con minúsculas.
    
5. Gire la plancheta de manera tal  
que pueda dibujar el mapa con la
orientación requerida. Usando la
brújula como guía, dibuje flechas
que señalen el norte magnético
(ver Sección 7.5, puntos 45-46).

Nota: siempre es preferible

colocarse en una posición tal que
el norte esté en el borde superior
del tablero. Se trata de una regla
que se aplica en los mapas
topográficos profesionales. Sin
embargo, esto no siempre es
posible dependiendo de la
dirección de la distancia mayor y
de la escala elegida.

    
6. Utilizando la alidada, mire   Dibuje ax
desde el primer punto marcado
hacia otro objeto importante
B, que sea visible desde el sitio
donde está la plancheta. El
segundo objeto puede ser una
pequeña colina, una curva del
sendero o un jalón. Dibuje la
línea delgada ax en esa dirección.

Nota: el uso de la alidada resulta

más fácil si coloca una alfiler en
el punto a del tablero y luego
hace girar sobre su eje la
alidada hasta ver el segundo
punto.

    
7. Mida la distancia horizontal   Dibuje ay
sobre el terreno, desde la estación
de la plancheta A hasta el objeto
principal B. Luego marque esa
distancia sobre la línea ax, a partir
del punto a, pasándola a escala
para obtener la recta ab.

8. Sin mover la plancheta del

punto A, repita el procedimiento
en dirección hacia los otros
objetos importantes
visibles C, D, etc., y
dibuje las rectas ac, ad, etc.

    
9. Mueva la plancheta hacia uno  
de los objetos importantes que ha
representado, por ejemplo C. Elija
una característica del terreno
desde la cual pueda fácilmente
dibujar otra parte del área, tal
como el trazado de un sendero o
el curso de un río.

10. Coloque la plancheta sobre

ese punto C. Reoriente el
tablero. Use la brújula y las
flechas del norte magnético que
ya ha dibujado (ver punto 5, más
arriba), o en lugar de ello, utilice
la alidada, efectúe una visual
hacia atrás a lo largo de una línea
que pasa por la nueva estación C
y una característica conocida
como A (ver Sección 7.5, punto
47).
    
11. A partir de esta nueva  
estación C, represente los nuevos
objetos relevantes que se pueden
ver, tal como se ha explicado
arriba.

12. Si es necesario muévase a otra

estación para completar el mapa
de toda el área. Si se requiere un
mapa más detallado, regrese a
uno de los objetos representados,
reoriente la plancheta efectuando
una visual hacia atrás hacia otro
objeto o accidente del terreno y
dibuje los detalles requeridos.

13. El procedimiento de utilización de la plancheta apenas descrito puede ser aplicado a

diferentes tipos de trabajo sobre el terreno, tales como:

 representación cartográfica de una poligonal abierta (ver Sección 7.1) ;

 representación cartográfica de una poligonal cerrada (ver Sección 71);
 representación cartográfica por método radial (ver Sección 72);
 representación cartográfica por método de triangulación (ver Sección 74).

Normalmente se usa una combinación de estos métodos para realizar el mapa de toda
una zona.

Poligonal abierta   Poligonal cerrada

    
Método radial   Triangulación
  Representación cartográfica de una poligonal abierta realizada con
plancheta
14. Puede ser necesario dibujar un 
mapa de la poligonal abierta
ABCD. A tal efecto, se puede,
por ejemplo, colocar primero la
plancheta en el punto B, cuya
posición es fija y a partir del cual
ya se ha trazado la línea BA de
dirección conocida. Transfiera al
papel, sucesivamente, la posición
de la estación B, la dirección de
BA y la distancia BA.

15. Dibuje la dirección de la

siguiente estación C, mida la
distancia BC y marque sobre el
papel el punto c.
    
16. Mueva la plancheta a la   Estación C, haga una lectura de mira
hacia atrás y transporte D al papel
estación C, oriéntala a lo largo de
CB y usando el mismo
procedimiento, marque sobre el
papel el punto d.

Nota: si las secciones de la

poligonal ba, cb, etc. dibujadas
en el mapa resultan demasiado
cortas, conviene marcar sus
respectivas direcciones en el
borde del papel. Prolongando de
este modo las líneas rectas, se las
puede utilizar para alinear la
alidada cuando deba orientar
nuevamente la plancheta en la
nueva estación, mediante una
visual hacia atrás.
    
    Prolongue las líneas para orientarse
mejor
Representación cartográfica de una poligonal cerrada realizada con
plancheta
17. Puede ser necesario dibujar el  
mapa de la poligonal cerrada
ABCDEA. En primer lugar se
coloca la plancheta en la estación
A y se dibuja en el mapa como
punto a; se elige una escala y una
posición tal que permita
representar las otras estaciones
dentro de los límites de la hoja de
papel.

18. Utilizando la alidada, se

efectúa una visual hacia adelante
desde el punto “a” a la estación B
y se dibuja la línea ax. Se mide la
distancia AB y se dibuja el punto
b sobre la línea ax.
    
19. Se desplaza la plancheta a la  
estación B, se ubica exactamente
sobre el punto y se orienta
mediante una visual hacia atrás a
lo largo de la línea BA en
dirección a la estación A. Se
efectúa una visual hacia adelante
hacia la estación C, se mide la
distancia BC y se dibuja el punto
c.

    
20. Utilizando el mismo  
procedimiento, se dibuja en el
mapa la ubicación de los demás
puntos de la poligonal cerrada. Al
final, cuando se señala
nuevamente la ubicación de la
primera estación A, es posible
detectar cualquier error de
cierre. Si el error está
comprendido dentro de los límites
admisibles, se corrige mediante el
método gráfico explicado en la
Sección 7.1, punto 19.

    
21. Desde una estación de la   Haga más retrovisuales para verificar lo
poligonal, seguramente es posible realizado
ver dos o más de las estaciones
precedentes, que no se encuentran
sobre la misma línea recta que la
estación en la cual uno está
ubicado (por ejemplo, desde C a
A, de D a B, o de E a B). En ese
caso, se pueden verificar otras
secciones de la poligonal.

Ejemplo

Desde la estación C es visible la

estación A. Verifique entonces la
ubicación del punto “a” a partir
de la estación C, efectuando una
visual hacia atrás dirigida hacia
la estación A.

  Representación cartográfica con plancheta aplicando el método radial

22.Para utilizar este método se instala   Mueva la alidada sin mover la
plancheta
la plancheta en la estación central
O, desde la cual se pueden ver todos los
puntos que se quieren representar. Se
orienta la plancheta y sobre el mapa se
dibujan líneas representando las
direcciones de los puntos marcados en
el terreno. A tal efecto se hace girar la
alidada teniendo como eje el punto que
representa en el mapa, la estación O. Se
miden las distancias horizontales OA,
OB, OC, OD y OE y se las reduce en
escala para así poder dibujar sobre el
papel los puntos correspondientes
a,b,c, d y e.

    
 Representación cartográfica por triangulación con plancheta
23. Antes de comenzar a usar la   Empieze desde la línea base conocida
plancheta, es necesario determinar una
línea base a partir de dos
puntos conocidos, visibles el
uno desde el otro. Esta línea base
puede ser la sección conocida de una
poligonal ya existente, o la línea entre
dos puntos localizados en una
triangulación anterior. Si no existe una
línea semejante, se la debe trazar y
medir cuidadosamente.

24. Dibuje la línea base AB en el

papel colocado sobre la plancheta. Elija
una ubicación que permita luego
dibujar todas las otras características
del terreno dentro de los límites de la
hoja.

25. Coloque la plancheta sobre uno de

los dos puntos extremos de la línea
base, en el punto A, por ejemplo.
Luego marque mediante jalones el otro
extremo de la línea, B, y un tercer
punto C que se quiere representar. El
punto C debe ser visible desde el
punto A y también desde el
punto B.

26. Alinee la alidada a lo largo de la

línea ab, que representa la línea base;
oriente la plancheta mirando hacia el
otro extremo B de la base, a lo largo de
AB.
    
27. Coloque un alfiler en el punto a y   Transporte C al papel desde A
gire la alidada a su alrededor hasta ver
el punto C. Dibuje una línea delgada
desde el punto a, a lo largo del borde
de la alidada en dirección al punto C.

    
28. Mueva la plancheta a B. Oriéntela   ....y desde B
dirigiendo la línea ba trazada sobre el
papel en dirección al punto A marcado
en el suelo. Coloque un alfiler en el
punto b y gire la alidada hasta que sea
visible el punto C. Dibuje una línea
delgada desde el punto a en dirección a
C. El punto c está situado en el
mapa, en la intersección de la
línea ac (punto 2.7) y la línea bc.

    
29. El punto C es ahora un punto   Pase al siguiente triángulo
conocido y se puede usar de manera
análoga para determinar la ubicación de
otros puntos, utilizando por ejemplo,
BC como línea base para determinar D.
Se puede repetir este procedimiento de
representación cartográfica utilizando
cada nuevo punto conocido, en la
medida que cada punto que se quiere
representar sea visible desde otros dos
puntos conocidos.
    
30. Para verificar la exactitud con la   Verifique con retrovisuales el
cual se ha representado un punto trabajo realizado
nuevo, se coloca la plancheta sobre el
punto correspondiente marcado en el
suelo. Luego se orienta la plancheta a
lo largo de una línea trazada sobre el
terreno y se lleva a cabo una visual
hacia atrás para verificar que la
segunda línea trazada sobre el mapa
corresponda con la línea
correspondiente marcada en el suelo.

Nota: se logran mejores resultados si

se usan triángulos de lados
iguales. Los ángulos en los vértices
de estos triángulos son todos iguales a
60°. En todos los casos, conviene evitar
la utilización de ángulos inferiores a
15° o superiores a 165°.

    Seleccione el ángulo apropiado   

       
Demasiado pequeño   Demasiado grande   El mejor ángulo

Representación cartográfica con plancheta utilizando métodos

combinados
31. En la mayor parte de los casos   Parcela ABCDA
es necesaria una combinación de
los métodos poligonal, radial
y de triangulación para
dibujar mapas con la plancheta.

32. Es necesario dibujar el mapa

de un sitio delimitado por el
perímetro ABCDA, dentro del
cual se encuentran características
tales como un área rocosa, un
grupo de casas y un pozo. Marque
claramente los puntos A, B, C y D
con jalones.
    
33. Coloque la plancheta en el  
vértice A del área. Determine la
posición de ese punto A sobre la
hoja de papel. Asegúrese de elegir
un punto que permita de
representar todas las otras
características del mapa, dentro de
los límites de la hoja de papel, con
la escala elegida. Oriente la hoja
señalando la dirección del norte
magnético.

34. Las rocas y el grupo de casas

son visibles desde la estación A.
Mediante el método radial,
determine las direcciones
correspondientes a partir de dicha
estación. A continuación mida y
represente AB sobre el papel.
    
35. Desplace la plancheta y   Desde B
colóquela en el vértice B.
Oriéntela aproximadamente
efectuando una visual hacia atrás
en dirección a A y verifique dicha
orientación mediante la brújula.

36. Las rocas y el pozo son

visibles desde la estación B.
Aplicando el método radial y por
triangulación, localice y mida las
rocas y determine la dirección del
pozo. Mida y represente BC.
    
37. Repita este procedimiento en   Desde C
el punto C, a partir del cual puede
verificar la posición de las rocas y
localizar el pozo y las casas. Mida
y represente CD.

    
38. Repita este procedimiento en   Desde D
el punto D, desde el cual puede
verificar la posición de las casas y
del pozo. Mida y represente la
distancia DA.

    
39. Verifique el error de cierre de   Mapa completado
la poligonal ABCDA y corríjalo,
si es posible. Si el error es
demasiado grande repita todo el
levantamiento.

40. Complete el mapa

comprobando si ha incluido toda
la información necesaria (ver
Sección 9.0, punto 6).

9.3 Cómo hacer mapas con regla y transportador

1. Cuando se dibuja un mapa en la  
oficina, utilizando los datos
recogidos en el campo, en general
se representan las distancias
horizontales con un escalímetro, y
los ángulos horizontales con un
transportador (ver Sección 3.3).

2. En primer lugar, utilizando la

escala elegida, se realiza un croquis
aproximado del área para
determinar su tamaño y forma. A
partir de tal croquis, se decide el
tamaño de la hoja de papel que se
necesita para representar todos los
elementos requeridos y se
determina la posición del mapa en
dicha hoja.
    
3. Dibuje la primera línea en la  
parte derecha del papel y determine
la longitud AB, utilizando la escala
seleccionada. Utilizando un lápiz
de mina dura, marque con cuidado
los puntos A y B sobre el papel
haciendo dos puntos con un
pequeño círculo alrededor.

Nota: trace la línea de manera que

se extienda más allá del
siguiente vértice B,
completando una distancia que sea
mayor que el radio R del
transportador.
    
4. Coloque el transportador a lo  
largo de la línea AB de manera tal
que:

 su centro esté
exactamente en el segundo
vértice B; y
 · las marcas 0° y 180°
coincidan exactamente con
la línea AB.

    
5. Trace el ángulo sobre el papel a  
partir de las indicaciones recogidas
sobre el terreno, quite el
transportador y dibuje la segunda
línea. Determine y trace el punto C,
luego de haber pasado a escala la
distancia medida BC.

6. Coloque el transportador a lo largo de  

esta última línea, con el centro colocado
en el punto C. Trace el ángulo medido y
dibuje la tercera línea. Ubique y dibuje el
punto D de acuerdo con la distancia
medida CD, pasada a escala.

7. Repita este procedimiento hasta dibujar

el mapa de toda el área.
    
8. Ubique los detalles topográficos en el  
plano, a partir de la poligonal. Establezca
la posición de los edificios, cercas, áreas
rocosas, cursos de agua, senderos, etc.,
utilizando el escalímetro para las
distancias y el transportador para los
ángulos.

9. Es posible utilizar un método análogo

para representar en un mapa los datos
topográficos obtenidos a través del
método radial, por triangulación y por
offset.

9.4 Cómo hacer mapas con curvas de nivel

¿Qué es una curva de nivel?

¿Cuáles son las características de las curvas de nivel en topografía?

1. Una curva de nivel es una línea dibujada que une puntos de igual altura. En un
plano o mapa estas líneas representan las curvas de nivel trazadas y marcadas en el
terreno (ver Sección 83). En topografía, las curvas permiten representar las
características topográficas tridimensionales de un terreno, en un plano o mapa de dos
dimensiones.

2. Cómo ya se ha explicado previamente (ver Sección 8.3, punto 7), el levantamiento de

las curvas de nivel se realiza sobre la base de un intervalo de curvas de nivel
seleccionado. De manera similar, las líneas de curvas de nivel se dibujan separadas por
la misma distancia vertical. Es muy importante dejar siempre claramente establecido el
intervalo de curva de nivel representado en el mapa.

Colina   Pico

    
Dos colinas   Valle

Intervalo de las curvas de nivel = 50 m

    
3. Una buena comprensión de las  
características de las curvas de nivel
dibujadas (CL) facilita
considerablemente el levantamiento, la
realización de mapas y cartas y la lectura
de las mismas. Las principales cuestiones
que se deben tener presentes son:

 todos los puntos de una curva de

nivel se encuentran a la misma
altura;
 las curvas de nivel no se pueden
cruzar ni se pueden dividir de
ninguna manera (por ejemplo,
desdoblándose o
subdividiéndose);
 las curvas de nivel siempre se
cierran sobre sí mismas, ya sea
dentro o fuera de los límites del
plano. Cuando se cierran dentro de
los límites del plano, indican una
cima (por ejemplo, una colina) o
una depresión (por ejemplo, un
valle);
 las curvas de nivel rectilíneas y
paralelas corresponden a un
terreno horizontal;
 las curvas de nivel regularmente
espaciadas corresponden a una
 pendiente uniforme o regular del
terreno;
 cuanto más cercanas están las
curvas de nivel, más pronunciada
es la pendiente (ver Nota);
 las curvas de nivel muy separadas
indican una pendiente suave;
 las curvas de nivel muy cercanas
indican una pendiente fuerte;
 la línea de mayor pendiente es
siempre perpendicular a las curvas
de nivel;
 las curvas de nivel cruzan
perpendicularmente las lomas o
crestas del terreno
 las curvas de nivel cruzan los
valles adoptando una forma en U
o V.

Nota: cuando dos curvas de nivel de una

misma altura están cerca la una de la otra,
el terreno comprendido entre ellas en
general es más plano que en las zonas
vecinas, pero su pendiente es
indeterminada (desconocida).

Áreas de pendiente indeterminada

Elección de un intervalo de curvas de nivel

4. Antes de trazar curvas de nivel en  
un plano o mapa, es necesario elegir
el intervalo que se va a usar. El
intervalo en general depende de la
exactitud requerida o de la escala
adoptada para la representación
cartográfica y también de la
topografía del área (ver Cuadro 12).
Un intervalo muy pequeño, por
ejemplo 0,15 m, 0,25 m o 0,5 m, en
general se adopta cuando se trata de
áreas planas o con pendiente suave.
Recuerde que la mayor parte de las
granjas acuícolas se sitúan en
terrenos de este tipo.
    
CUADRO 12
Curvas de nivel (metros)

Escala del mapa

de 1:
Topografía Superior 1000 a Inferior a
a 1:1000 1: 1: 10 000
10000

Plano 0.15 to 0.3 0.3 to 0.6 0.6 to 3

Pendiente
0.3 to 0.6 0.6 to 1.5 1.5 to 3
suave
Empinado 0.6 to 1.5 1.5 to 3 3 to 6
    
Preparación de un mapa cartográfico
5. Primero se dibuja un mapa  
planimétrico del terreno. Se trata
de un plano que indica los límites del
área, las estaciones de nivelación, las
principales características físicas y
todos los detalles observados (ver
Secciones 9.2 y 9.3).

6. Se dibujan en el plano los puntos

de altura conocida. Para ubicar
dichos puntos en el plano, se usa un
escalímetro y si es necesario, un
transportador para determinar los
ángulos. Se anota la altura cerca de
los puntos marcados.
7. Determine los puntos de altura más baja. Luego, de acuerdo con el intervalo de
curva de nivel elegido, determine a qué altura corresponde la primera curva de nivel que
se va a trazar.

8. La primera curva de nivel pasa entre los puntos del terreno cuyas alturas son
respectivamente inferiores y superiores a aquella de los puntos de la curva. Se marca
con cuidado la poligonal de la curva de nivel entre dichos puntos situados más abajo y
más arriba. Hay que señalar que las curvas de nivel son generalmente onduladas y no
rectilíneas. Conviene, por lo tanto, trazarlas a mano alzada en lugar de unir los puntos
entre sí con la regla.

9. Repita el procedimiento descrito  

para trazar las otras curvas de
nivel. Indique las alturas
progresivamente crecientes
mediante múltiplos del intervalo
elegido.

Nota: las curvas de nivel

corresponden únicamente a las
alturas que son múltiplos
del intervalo. Anote los valores
de dichas alturas en espacios
convenientemente escogidos, a lo
largo de las curvas de nivel; el
trazado de la línea en general se
interrumpe para dejar estos
espacios.
    
10. Este procedimiento puede  
variar según el método empleado
en el terreno para el levantamiento
de las curvas de nivel.

(a) Si se ha utilizado un método

directo (ver Sección 8.3, puntos 10
a 29), el levantamiento
planimétrico de las curvas de nivel
definidas brinda toda la
información necesaria para dibujar
en el plano dichas curvas. Se
representan las distancias medidas
luego de haberlas pasado a la
escala elegida y se trazan las curvas
de nivel sobre el fondo de líneas
paralelas marcadas en el terreno.

(b) Si se ha empleado un método

indirecto (ver Sección 8.3, puntos
30 a 33), se traza en forma
aproximada el conjunto de líneas
paralelas, se marcan los puntos de
altura conocida y se anotan dichas
alturas. A continuación se estima la
ubicación de cada curva de nivel
como arriba indicado.

9.5 Cómo trazar perfiles longitudinales

¿Por qué trazar perfiles longitudinales?

1. Los perfiles longitudinales permiten indicar las alturas relativas en un

plano. Cuando se trata de diseñar una granja acuícola, los perfiles longitudinales
ayudan a determinar el recorrido y la pendiente de algunas construcciones, tales como
los canales de alimentación y de drenaje. También se utilizan para estimar las
cantidades de tierra que se deben sacar o poner, en un sitio determinado (o sea los
volúmenes que se deben desplazar), para elegir los lugares más apropiados para la
construcción de diques, reservorios y represas en un curso de agua (pequeñas represas
destinadas a encauzar el agua hacia fosas o canales).

Información necesaria para el trazado de perfiles longitudinales

2. Se obtiene un perfil longitudinal  
trazando una línea continua que
une puntos de altura conocida.
A tal efecto, se pueden utilizar las
siguientes informaciones:

 alturas de puntos del terreno,

separados por distancias
conocidas, que describen
varias líneas rectas (ver
Sección 82); o
 mapa topográfico .

    
Escalas que se utilizan para el trazado de perfiles longitudinales
3. El trazado de perfiles  
longitudinales requiere el uso de dos
escalas diferentes:

 una escala horizontal,

para pasar las distancias
horizontales medidas en el
suelo; y
 una escala vertical, para
pasar las distancias
verticales.

Ambas escalas deben utilizar la

misma unidad de longitud. Se trata
generalmente del metro.

4. Es preferible utilizar para la

escala horizontal una escala
idéntica a la del plano o mapa.

Ejemplo

Si la escala del mapa es de 1 cm por

metro, la escala horizontal del perfil
longitudinal debe ser igualmente de
1 cm por metro.
    
5. En la mayor parte de los  
levantamientos topográficos
utilizados en acuicultura, las
diferencias de nivel son demasiado
pequeñas si se las compara con las
distancias horizontales. Cuando se
trata de trazar perfiles longitudinales
para un levantamiento de ese tipo, se
debe en consecuencia de amplificar
las diferencias de nivel para que
parezcan mayores. Se puede, en este
caso, utilizar una escala vertical 10 a
100 veces superior que la escala
horizontal.
    
Ejemplo  

Escala Escala
horizontal vertical
1 cm por 25 m 1 cm por 2.5 m
1 cm por 0.25
1 cm por 10 m
m

Trazado de perfiles longitudinales a partir de mapas topográficos

6. Tome algunas hojas de papel  
cuadriculado milimetrado, o
en su lugar use las hojas incluidas
al final de este manual. Coloque
una bajo una hoja de papel de
calcar transparente, sobre la cual
dibujar los perfiles.

7. Sobre el mapa topográfico ,

trace la recta AB a lo largo de la
cual se quiere determinar el perfil
longitudinal. Estudie el intervalo
de las alturas que se deben
representar, elija la escala vertical Intervalo entre curvas de nivel: 2 m
y decida dónde va a comenzar el Escala horizontal: 1 cm = 20 m
dibujo, de manera que quepa todo Distancia vertical total: 506 m - 484 m =
22 m
dentro de los límites de la hoja de
papel.
    
Ejemplo  

Mapa topográfico con curvas de

nivel a intervalos de 2 m;
curvas de nivel que van desde
484 m a 506 m;
escala horizontal 1 cm = 20 m;
escala vertical 1 cm = 0,25 m.
.

    
8. Corte una tira de papel un  
poco más larga que el perfil
longitudinal AB que se quiere
dibujar y de unos 2 cm de ancho.
Coloque la tira de papel sobre el
mapa topográfico con uno de sus
bordes exactamente sobre la línea
AB.

9. Marque los puntos A y B con

líneas verticales finas para
indicar los extremos del perfil
longitudinal. De manera similar,
marque la posición de cada
curva de nivel sobre el borde
de la tira de papel. Anote la altura
de las principales curvas de nivel,
cerca de la marca.
    
10. Coloque la tira de papel  
sobre la hoja de dibujo. El
borde marcado debe coincidir
con la línea horizontal que
representa la altura inferior (484
m) observada sobre el perfil
longitudinal. Alinee el punto A
de la tira con el punto inicial del
dibujo.

11. Transfiera todas las marcas

hechas con lápiz de la tira de
papel al dibujo y anote las
principales alturas cerca de sus
marcas.
12. Utilizando la escala vertical como referencia, transfiera verticalmente cada una de
las marcas sobre la línea horizontal, correspondiente a la altura anotada. Con un lápiz de
mina dura bien afilado, dibuje un punto pequeño rodeado por un círculo en cada uno de
estos puntos.

13. Una los puntos con una línea continua que representa el perfil longitudinal del
suelo a lo largo de la línea AB.

Nota: este método sólo se puede aplicar si la escala horizontal del dibujo es la misma
que la escala de distancias del mapa topográfico.

   Trazado de perfiles longitudinales a partir de levantamientos

topográficos hechos por uno mismo
14. El trazado de perfiles  
longitudinales se puede hacer a
partir de las mediciones de
distancias y de alturas realizadas
durante un levantamiento
topográfico. Sobre el eje
horizontal del perfil, se indica de
una vez la posición de todas las
estaciones de nivelación, por
ejemplo a lintervalos regulares a
lo largo de un eje (ver Sección
8.2), transportando las distancias
horizontales a escala (en este
caso, 1 cm = 10 m). Al lado de
cada uno de esos puntos se anota
su distancia en relación al punto
inicial del perfil, o sea la distancia
acumulada* (en metros).
    
15. En cada uno de esos puntos,  
se anotan las alturas sobre
las rectas verticales,
basándose en la escala
vertical adoptada (1 cm = 5
cm) y las dos alturas máxima y
mínima (1,34 m y 1,06 m).

16. Los puntos así obtenidos se

unen con una línea continua
que representa el perfil del
terreno a lo largo del eje.

17. Es conveniente agregar otras

informaciones, tales como las
alturas de los puntos fijos de
referencia (PF) y de los puntos
temporales (PT) que se hayan
usado También es posible agregar
la pendiente del canal proyectado
(0,15 cm/m = 7,5 cm/50 m), se
puede usar el dibujo para ubicar
fácilmente las áreas que se deben
levantar hasta un determinado
nivel (llamado relleno*) y
también aquellos sitios que se
deben excavar para construir un
canal (llamado
corte*).Posteriormente, se puede
usar el dibujo para estimar el
movimiento de tierra necesario
para dichos trabajos.
9.6 Cómo trazar perfiles de cortes transversales
1. Es posible trazar el perfil de un  
corte transversal ya sea a partir de
mapas topográficos como a partir
de información recogida durante
un levantamiento topográfico.

2. Un buen ejemplo de cómo se

utiliza un perfil de sección
transversal realizado a partir de
un mapa topográfico, es el
estudio del valle con un
curso de agua cuando se quiere
crear un reservorio de agua, o
construir una pequeña represa
para levantar el nivel del agua y
llenar estanques de peces por
gravedad.

3. Si se usa la información
recogida durante un
levantamiento topográfico, se
puede trazar la sección transversal
para calcular los volúmenes de
movimiento de tierra necesarios
para construir, por ejemplo,
canales de agua y estanques de
peces, (ver los siguientes
manuales de Construcción, en
esta misma serie).
    
   

    
Trazado de perfiles de secciones transversales a partir de mapas
topográficos
4. Se trazan sobre el mapa   Escala: 1 cm = 20 m
topográfico las líneas sobre las
cuales se debe estudiar la sección
transversal, las cuales deben ser
perpendiculares a un perfil
longitudinal (ver Sección 8.2,
punto 15).

5. Tome varias hojas de papel

milimetrado cuadriculado, o
utilice las páginas incluidas al
final de este manual. Colóquelas
debajo de papel de calcar
transparente. Trace las secciones
transversales con la ayuda de una
tira de papel marcada (tal como se
ha descrito en la Sección 9.5,
puntos 8-13).
    
6. Recuerde que:   Secciones transversales de un valle

 la escala horizontal
del dibujo debe ser igual a
la escala de las distancias
del mapa topográfico; y
 la escala vertical del
dibujo debe ser de 10 a 20
veces mayor que la escala
 horizontal.

    
 Trazado del perfil de la sección transversal para estimar el movimiento
de tierra
7. Para estimar la magnitud del  
movimiento de tierra necesario,
generalmente es posible trazar
secciones transversales en una
escala de 1 cm por metro o de 1
cm por 0,50 metros. Conviene
usar una escala mayor cuando se
trata de rellenos o cortes de
reducidas dimensiones. Las
escalas horizontales y
verticales deben ser iguales, de
modo que se pueda calcular la
superficie real de las zonas a
partir de las dimensiones pasadas
a escala.

8. En este caso es especialmente

conveniente utilizar papel
milimetrado cuadriculado. Es
posible utilizar las páginas
incluidas al final de este manual,
colocadas bajo una hoja de calcar
transparente.

9. Dibuje un eje vertical

(LL) que representa el eje de la
sección transversal. La recta LL
debe coincidir con uno de los
trazos gruesos del papel
milimetrado.
10. A ambos lados del eje, se
dibuja el perfil del suelo EFD a
partir de los datos recogidos
durante el levantamiento
topográfico, usando la escala
horizontal para las distancias y la
escala vertical para las alturas.
    
11. A partir de los datos del perfil  
longitudinal, se ubica el
emplazamiento del punto A
sobre la recta LL. En este
ejemplo, corresponde a la altura
del fondo del canal medido en esa
determinada estación de
nivelación (ver Sección 9.5, punto
17).

12. Pasando por el punto A se

traza la recta horizontal BAC
que representa el fondo del canal.
Asegúrese que AB = AC, y que
cada uno de estos segmentos sea
igual a la mitad del ancho del
fondo del canal.

 
    
13. En los puntos B y C se trazan
las rectas BE y CD que
corresponden a los costados
del canal (por ejemplo con una
pendiente de 1,5 :1). Estas dos
rectas cruzan la superficie del
suelo en los puntos E y D.

14. La sección transversal

EBACDFE representa un corte
vertical del terreno a partir del
cual es fácil calcular su
superficie (ver por ejemplo
Sección 10.3). Y a partir de ese
valor, se puede estimar el
volumen de tierra que se debe
quitar a lo largo del eje del canal.
V

*del mapa topográfico.

*la escala cartográfica.

*perfil topográfico
*la elaboración de un perfil a partir de un mapa topográfica.
Plano Topografico

TOPOGRAFÍA:
La topografía es una ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar
las posiciones relativas de los puntos sobre la superficie de la tierra y debajo de la
misma, mediante la combinación de las medidas según los tres elementos del espacio:
distancia, elevación y dirección. La topografía explica los procedimientos y operaciones
del trabajo de campo, los métodos de cálculo o procesamiento de datos y la
representación del terreno en un plano o dibujo topográfico a escala.
El conjunto de operaciones necesarias para determinar las posiciones de puntos en la
superficie de la tierra, tanto en planta como en altura, los cálculos correspondientes y la
representación en un plano (trabajo de campo + trabajo de oficina) es lo que
comúnmente se llama "Levantamiento Topográfico". La topografía como ciencia que se
encarga de las mediciones de la superficie de la tierra, se divide en tres ramas
principales que son la geodesia, la fotogrametría y la topografía plana.
Elemento de un plano topografico
En los planos topográficos se debe indicar la escala, la dirección del Norte geográfico
ymagnético, referencias GPS, símbolos, relación con otros planos, el organismo autor y
el año de su elaboración

Escala:   Es la relación entre la dimensión del objeto representado y su dimensión real.

Expresado de otra forma podemos decir que escala es la relación matemática que existe
entre la realidad y el dibujo que de ella se hace sobre un plano.
La escala en la que se dibuja un mapa representa la relación entre la distancia de dos
puntos que se corresponden con ellos en el mapa.  

Las tres opciones de escala más comunes son:      

•   Fraccionaria
• Gráfica  
• Numérica

• Escala Fraccionaria: La región representada en un mapa es lógicamente mucho

menor que la región real.   Se llama escala de   un mapa a la relación que existe entre la
distancia que separa dos puntos de un mapa y la distancia que realmente existe en el
terreno
Teoría de errores

1. Objetivos.
2. Introducción. Valor estimado y error asociado en medidas directas.
3. Notación: cifras significativas.
4. Error absoluto y relativo.
5. Errores Accidentales.
   5.1. Desviación típica.
   5.2. Error debido al aparato.
6. Errores sistemáticos.
   6.1. Curva de calibrado.
7. Medidas indirectas.
8. Errores asociados a constantes físicas y números irracionales.
9. Ejercicios.

Muchas de las decisiones tomadas en ingeniería se basan en

resultados de medidas experimentales, por lo tanto es muy importante
expresar dichos resultados con claridad y precisión. Los conceptos de
magnitud física, unidades y medida se han estudiado en la primera
lección de Fundamentos Físicos de la Informática y, como
complemento, en este capítulo se pretende aprender a estimar los
posibles errores en las medidas, así como la propagación de estos
errores a través de los cálculos a los resultados, a expresar los
resultados y a analizarlos. Dado que los contenidos de esta asignatura
son fundamentalmente electricidad y magnetismo, en este curso
haremos más hincapié en las medidas de magnitudes eléctricas.

Hay otros parámetros para cuantificar errores y expresar resultados de

las medidas, basados en conceptos estadísticos, que no se tratarán
en esta asignatura, pero que son igualmente importantes.

1. Objetivos.
 Conocer el concepto de error asociado a una medida.
 Aprender a estimar el error accidental.
 Conocer el concepto de error sistemático y su corrección
mediante curvas de calibrado.
 Saber cuantificar los errores cometidos en las medidas
indirectas.
  Conocer la notación correcta de los resultados de las
magnitudes medidas.

2. Introducción. Valor estimado y error asociado

en medidas directas.
Medir es comparar con un patrón. Por ejemplo, si medimos la anchura
del laboratorio poniendo un pie delante de otro, podemos decir que la
anchura del laboratorio es 18 pies, siendo nuestro patrón un pie.
Ahora bien, una medida nunca puede ser exacta, es decir, siempre
cometemos un error, por lo que nuestra medida no será completa sin
la estimación del error cometido. Unas veces ese error será debido a
los instrumentos de medida, otras a nuestra propia percepción, etc.
Los errores al medir son inevitables.

En función de la naturaleza del error podemos definir dos tipos de

error:

 Errores sistemáticos: Son debidos a problemas en el

funcionamiento de los aparatos de medida o al hecho de que al
introducir el aparato de medida en el sistema, éste se altera y se
modifica, por lo tanto, la magnitud que deseamos medir cambia
su valor. Normalmente actúan en el mismo sentido.
 Errores accidentales: Son debidos a causas imponderables
que alteran aleatoriamente las medidas. Al producirse
aleatoriamente las medidas se distribuyen alrededor del valor
real, por lo que un tratamiento estadístico permite estimar su
valor.

Debido a la existencia de errores es imposible conocer el valor real de

la magnitud a medir. Si somos cuidadosos podemos controlar los
errores sistemáticos, en cuanto a los errores accidentales podemos
reducirlos si tomamos un conjunto de medidas y calculamos su valor
medio. Tomaremos como valor estimado de la medida el valor medio
de las distintas medidas realizadas.

Supongamos que se pretende medir la longitud L de una barra y se

obtienen dos conjuntos de medidas:

Grupo a : 146 cm, 146 cm, 146 cm

Grupo b : 140 cm, 152 cm, 146 cm
En ambos casos el valor estimado es el mismo (146 cm). Sin
embargo, la precisión de las medidas no es la misma. ¿Cómo
podemos diferenciar la precisión de dos medidas? Mediante el
concepto de error o incertidumbre que definiremos más adelante.

A la hora de expresar una medida siempre se ha de indicar el valor

observado junto con su error y la/s unidad/es correspondiente/s.
Podemos decir que el valor verdadero de la medida se encuentra con
una alta probabilidad en un intervalo cuyos límites son la estimación
de la medida más/menos el error estimado.

Medida = Valor observado ± Error       Unidad

En el ejemplo anterior, una vez estimado el error se escribiría: L = 146

± 4 cm

3. Notación: cifras significativas.

A la hora de expresar el resultado de una medida junto con su error
asociado se han de observar ciertas consideraciones:

1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. Dado que

su valor es aproximado, no tiene sentido dar más allá de una cifra
significativa excepto en el caso en que al quitar la segunda cifra
significativa se modifique de forma considerable su valor. Por ello se
establece la norma en que el error se expresa con una cifra
significativa, excepto cuando esa cifra sea un 1 o cuando sea un 2
seguida de un número menor que 5, en este caso se puede expresar
con dos cifras significativas.

Error de V Error de V Error de L

BIEN 0,12 V 0,08 V 30 cm

MAL 0,1203 V 0,078 V 35 cm

2.En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la

medida. Tampoco tiene sentido que la precisión del valor medido sea
mayor que la precisión de su error. El orden decimal de la última cifra
significativa de la medida y de la última cifra significativa del error
deben coincidir. Para ello se redondea el valor de la medida, si hace
falta.

  Medida de V Medida de V Medida de L

BIEN 48,72 ± 0,12 V 4,678 ± 0,012 V 560 ± 10 cm

MAL 48,721 ± 0,12 V 4,6 ± 0,012 V 563 ± 10 cm

También hay que tener en cuenta cuando se trabaja con número

grandes o pequeños utilizando la notación científica de potencias de
10, que conviene escribir valor y error acompañados de la misma
potencia de 10.

BIEN 8,72·10-4 ± 0,12·10-4  N (4,678 ± 0,012) ·10-8 A

MAL 872·10-6 ± 0,12·10-4  N 4,678·10-8 ± 1,2·10-10 A

4. Error absoluto y relativo.

El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y el valor
obtenido por la medida. El error absoluto no puede ser conocido con
exactitud ya que desconocemos el valor exacto de la medida. Por eso,
utilizaremos una estimación del intervalo en el que se puede encontrar
el error absoluto. A esta estimación se la denomina error o
incertidumbre, y en este libro la llamaremos simplemente error y se
denotará mediante el símbolo ε.

Por ejemplo, tenemos una regla y medimos la anchura de un papel, la

medida es 22,5 cm. ¿Cuál es el error absoluto cometido? Hay que
estimarlo. Si la regla está dividida en intervalos de un milímetro, ésta
puede ser una cota superior aceptable del error absoluto. De esta
forma, el valor real debería estar comprendido en un intervalo entre
22,4 y 22,6 cm. La medida se denota entonces como 22,5 ± 0,1 cm,
donde 0,1 cm es el error de la medida.

El error relativo εr es el cociente entre el error y el valor medido. Se

suele expresar en tanto por ciento. Esta forma de expresar el error es
útil a la hora de comparar la calidad de dos medidas.

Por ejemplo, medimos la distancia que separa Valencia de Castellón y

el resultado es 75 ± 2 Km. Después, medimos la longitud del aula
resultando 8 ± 2 m. ¿Qué medida es mejor? El error relativo de la
primera es εr1 = 2/75*100 = 2,7 % y el de la segunda es ε r2  = 2/8*100 =
25 %. Por lo tanto, la primera medida es mejor, a pesar de que el error
de la segunda medida es menor.

5. Errores Accidentales.
Como se ha dicho, estos errores son debidos a causas imponderables
que alteran aleatoriamente las medidas, tanto al alza como a la baja.
Son de difícil evaluación, ésta se consigue a partir de las
características del sistema de medida y realizando medidas repetitivas
junto con un posterior tratamiento estadístico. De esta forma, a partir
de las medidas repetitivas se debe calcular la desviación típica s, y a
partir de las características del aparato de medida se evaluará el error
debido al aparato, D. El error de la medida se tomará como el máximo
de estas dos cantidades

ε = máx{s, D}

Cuando la repetición de las medidas da prácticamente el mismo

resultado, como ocurre normalmente con los aparatos de medida
utilizados en el laboratorio de FFI, sólo se evaluará el error D debido al
aparato, pues es despreciable frente a D.

5.1. Desviación típica.

Para obtener un buen resultado de una medida, minimizando el efecto

de los errores accidentales, es conveniente repetir la medida varias
veces. El valor medio será el que tomaremos como resultado de la
medida, ya que probablemente se acerque más al valor real. Cuantas
más repeticiones de la medida se efectúen, mejor será en general el
valor medio obtenido, pero más tiempo y esfuerzo se habrá dedicado
a la medida. Normalmente a partir de un cierto número de repeticiones
no vale la pena continuar. ¿Cuál es el número óptimo de repeticiones?
Para decidirlo hay que realizar tres medidas iniciales. A partir de estas
medidas se calcula la dispersión D. La dispersión de una medida es la
diferencia entre el valor máximo y el mínimo obtenidos, dividido entre
el valor medio, expresado en tanto por cien:

Si el valor de la dispersión es mayor del 2% es necesario realizar más

medidas, según la tabla siguiente

D<2% con tres medidas es suficiente

2%<D<8% realizar un total de seis medidas

8 % < D < 12 % realizar un total de quince medidas

D > 12 % mínimo 50 medidas y tratamiento

estadístico

 Si se ha repetido la medida N veces calcularemos la desviación típica

mediante la expresión:

Donde es el valor medio, xi es el valor de cada medida y N es el

numero de medidas.

5.2. Error debido al aparato.

Existen diferencias entre la forma de evaluar los errores debidos a los

aparatos. Se ha de distinguir entre aparatos analógicos y digitales.
Pueden estimarse estos errores a partir de las características técnicas
de los aparatos, como se verá a continuación. Estas características
aparecen en las hojas de especificaciones del aparato, o vienen
indicadas en el propio aparato. En la página siguiente se muestra
como ejemplo la hoja de especificaciones del multímetro digital
Demestres 3801A.
Aparatos digitales.
El error accidental que se comete en un aparato digital es la suma del
error de precisión y el error de lectura.

Error de precisión: Es un porcentaje del valor leído en pantalla.

Ejemplo:

Error de precisión: 1%
Medida: 4,56 V
Error de precisión: 4,56 * 1/100 = 0,05 V

Error de lectura: La salida en pantalla se realiza con un número

limitado de dígitos por lo que, aunque el aparato pueda medir con
mayor precisión, sólo nos podrá mostrar una medida limitada al
número de dígitos de que dispone. El error de lectura equivale a N
unidades del último dígito. Ejemplo:
Error de lectura: 3d (tres unidades)
Medida: 4,56 V
Error de lectura: 0,01 · 3 = 0,03 V

El error debido al aparato será la suma D = 0,05 + 0,03 =  0,08 V

Un ejemplo: Al medir una tensión en un circuito de corriente continua
con un multímetro cuyas características aparecen en la figura inferior,
podríamos observar que el error de precisión es el 0,5% de la medida
en cualquier escala y el error de lectura es de un dígito, lo que
equivale a 0,01V si estamos en la escala de 20V y por tanto en la
pantalla aparecen dos decimales.

Aparatos analógicos.
El error debido a un aparato analógico es la suma del error de clase y
el error de lectura. El error de clase viene indicado en las
especificaciones del aparato, normalmente mediante la palabra
CLASE o el vocablo inglés CLASS.

Error de clase: Es un porcentaje del fondo de escala. El fondo de

escala es el máximo valor medible del aparato. Ejemplo:

Error de clase: 2,5

Medida: 3 V
Fondo de escala: 15 V
Error de clase: 15·2,5/100 =  0,375 V

Observa que el error de clase es independiente del valor obtenido en

la medida.

Error de lectura: Es el error cometido en la lectura de las divisiones

de la escala. Lo evalúa el operador. Esa cantidad varía según la
persona que realice la medida y se expresa como la porción de la
división mínima que el operador es capaz de diferenciar. Ejemplo:
Error de lectura: 1/2 división
Voltios/división: 0,5 V
Error de lectura: 0,5·1/2 = 0,25 V

El error debido al aparato será la suma D = 0,375 + 0,25 =  0,6 V 

donde se ha efectuado ya el redondeo correcto.
Otros casos.
En ocasiones se trabaja con aparatos de medida sencillos, como un
reloj (digital o analógico) o una regla, y no se dispone de sus
especificaciones técnicas. En ese caso se evaluará solamente el error
de lectura, tomando 1 dígito para los aparatos digitales y la porción de
la división mínima que el operador es capaz de diferenciar para los
analógicos.

Ejemplo:
Valor observado = 5,2
Error de lectura =  0,2
Unidad = cm
Resultado L = 5,2 ± 0,2 cm

6. Errores sistemáticos.
Los errores sistemáticos son debidos a defectos en los aparatos de
medida o al método de trabajo. Normalmente actúan en el mismo
sentido, no son aleatorios, siguiendo unas leyes físicas determinadas,
de tal forma que en ocasiones se podrán calcular y compensar
matemáticamente tras la medida. Un ejemplo podría ser el de una
regla graduada pero dilatada por el calor, esa regla daría como
resultado longitudes siempre menores que las reales. Otro ejemplo
sería la medida de la corriente eléctrica que circula por un conductor
mediante un amperímetro. Al introducir el amperímetro en el circuito
éste se modifica, de manera que la corriente medida no es
exactamente igual a la corriente que circulaba antes de colocar el
amperímetro. En este ejemplo el propio aparato de medida modifica el
resultado.
Los métodos para corregir estos errores sistemáticos son variados. En
el caso de la regla dilatada habría que confeccionar una curva de
calibrado, tal y como se describe en el próximo apartado. En el
segundo caso bastaría con averiguar la resistencia del amperímetro y
calcular con ella el error sistemático producido mediante el análisis del
circuito.

6.1. Curva de calibrado.

Una forma de corregir los errores sistemáticos es realizando una curva

de calibrado, que es una gráfica que relaciona los valores medidos
con los valores reales. Para ello hay que disponer de algún patrón o
magnitud cuyo valor es conocido. En el ejemplo de la regla dilatada
bastaría con medir con ella uno o más patrones de longitudes
conocidas para trazar una recta (o curva) de calibrado.

Una vez se dispone de la curva de calibrado, cualquier medida

realizada con el sistema se puede transformar en un resultado libre del
error sistemático sin más que consultar la curva de calibrado que
relaciona los valores medidos con los reales.

Ejemplo: Durante un largo viaje de vacaciones se observa que las

medidas del cuentakilómetros de nuestro coche no coinciden
exactamente con las señales kilométricas de las carreteras. Parece
que el cuentakilómetros siempre marca una distancia mayor,
existiendo un error sistemático en las medidas. Confiando en la
exactitud de la señalización de la carretera, se decide realizar una
calibración del cuentakilómetros, anotando su lectura cada vez que se
alcanza una de las señales. El resultado aparece en la tabla siguiente.

Señalización Cuentakilómetros
(km) (km)

1,00 1,0
5,00 5,3
10,00 10,5
25,00 26,2
La curva de calibrado para nuestro cuentakilómetros se muestra en la
siguiente figura.

Cuando han transcurrido 20 km según nuestro cuentakilómetros,

puede comprobarse en la curva de calibrado que en realidad se han
recorrido 19 km. Éste valor es pues el resultado de la medida una vez
corregido el error sistemático del cuentakilómetros mediante la curva
de calibración.

7. Medidas indirectas.
En muchas ocasiones no podemos medir directamente una magnitud
y obtenemos su valor mediante un cálculo, después de haber medido
otras magnitudes relacionadas con aquella. Esto se hace por medio de
un expresión analítica o fórmula. Los valores obtenidos de las medidas
previas al cálculo están afectados por un error de medida y estos
errores se propagan en las operaciones de cálculo.

Supongamos que la magnitud F se calcula en función de las

magnitudes x, y, z que al medirlas vienen afectadas por errores Δx,
Δy, Δz. ¿Cómo se calcula el error de la medida indirecta F?

El error de una medida indirecta se calcula

Ejemplo: Medida del área de un rectángulo a partir de la medida de la
longitud de sus lados a y b

a = 5,3 ± 0,1 cm      b = 4,0 ± 0,1 cm

S= a b = 21,2 cm2

S = 21,2 ± 0,9 cm2

8. Errores asociados a constantes físicas y

números irracionales.
Cuando al realizar una medida indirecta incluimos una constante física
o un numero irracional, sólo utilizamos un número finito de decimales.
Esto introduce un error que puede ser importante a la hora de calcular
el error de la medida indirecta. Así pues, hay que asignar un error a
las distintas constantes físicas o números irracionales que aparezcan
en las leyes físicas. El error asociado será de una unidad de la última
cifra decimal utilizada.

Por ejemplo, al utilizar el valor de p con distintos número de cifras, los

errores asociados son

3,14 ± 0,01
3,1416 ± 0,0001
3,1 ± 0,1

Al aplicar la expresión del cálculo de errores de magnitudes indirectas

hay que considerar los números irracionales como variables respecto
de las cuales hay que derivar la magnitud en cuestión.
Ejemplo: ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de la tierra?

Datos: El tiempo que tarda en dar una revolución es T = 1440 ± 1 min

Solución: La velocidad angular es ω= dφ/dt = 2π / T

Tomando π = 3,14   entoces ω = 2·3,14 / 1440 = 4,361*10 -3 rad/min

En unidades del SI ω = (4,361*10-3) / 60 = 7,268*10-5 rad/s
El error asociado a esta medida es:

En unidades del SI Δω = 1,68* 10-5 / 60 = 0,028*10-5 rad/s

El resultado es ω = 7,27*10-5 ± 0,03*10-5 rad/s

Sin embargo, si se utilizan los valores de las constantes y números

irracionales suministrados por una calculadora u ordenador,
normalmente tienen tantas cifras decimales que el error que
introducen es despreciable.

9. Ejercicios.
1. Calcula la superficie de una moneda de 1€.

Para ello mide el diámetro de la moneda y anota el resultado.

Comparte tu resultado con los resultados de otros compañeros y
completa la tabla siguiente:

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Completa las tablas siguientes:

Diámetro de la
moneda (media)

Dispersión
 Desviación
típica

Valor de π

Superficie

Error de la
superficie

Expresión correcta de la
superficie

2. ¿Están correctamente expresadas las siguientes medidas? Razona

tu respuesta.

48,3 ± 0,2874 V
3460 ± 26,67 V
48,3245 ± 0,3 V
3455,656 ± 30 V
48,3 ± 0,3 V

3. Deduce el error absoluto de la densidad (ρ =M/V) en función de los

errores de la masa y el volumen.

4. Deduce el error absoluto de la magnitud Z = X-Y, si X e Y vienen

afectados por sendos errores ΔX y ΔY.

5. Por una resistencia de valor 110±11 Ω circula una intensidad de

corriente I, que medida con un amperímetro digital, tiene un valor de
1,78 A. Las especificaciones del amperímetro señalan que su
precisión es (1 % + 1d). Calcula la potencia disipada por la resistencia,
con su error (P=R I2).
6. La capacidad de un condensador es C = 6,2 ± 0,2 μF. Este
condensador se carga con una cierta carga Q. Se mide la d.d.p. entre
placas con un voltímetro digital y la lectura es la que se muestra en la
figura. La precisión del voltímetro es 2% y 1 dígito ¿Cuál es el valor de
la carga Q, con su error Δ Q ? ( Q=C V)

INTRODUCCIÓN

El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las
limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medición, así
como también, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para tener una idea
correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites
entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría de errores establece
estos límites.

TIPOS DE ERRORES

Error de escala :
Todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad. El error de escala corresponde al
mínimo valor que puede discriminar el instrumento de medida.
Error sistemático :
Se caracteriza por su reproducibilidad cuando la medición se realiza bajo condiciones iguales,
es decir siempre actúa en el mismo sentido y tiene el mismo valor. El error sistemático se
puede eliminar si se conoce su causa.
Error accidental o aleatorio :
Se caracteriza por ser de carácter variable, es decir que al repetir un experimento en
condiciones idénticas, los resultados obtenidos no son iguales en todos los casos. Las
diferencias en los resultados de las mediciones no siguen ningún patrón definido y son
producto de la acción conjunta de una serie de factores que no siempre están identificados.
Este tipo de error se trabaja estadísticamente. El error accidental se puede minimizar
aumentando el número de mediciones.
El error total es igual a la suma de estos tres tipos de errores. Aún cuando el error total se
pueda minimizar, es imposible eliminarlo del todo debido a que el error de escala siempre está
presente. Por lo tanto, el error total no tiende a cero sino a cierto valor constante.

A la par con los mencionados existen otros tipos de errores como son por ejemplo los errores
estáticos y los errores dinámicos. Los errores estáticos se originan debido a las limitaciones de
los instrumentos de medida o por las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. En un
micrómetro se introduce un error estático cuando se aplica al eje una fuerza excesiva. Los
errores dinámicos se originan debido a que el instrumento de medida no responde lo
suficientemente rápido para seguir los cambios de la variable medida. Pero cualquier tipo
adicional de error se puede clasificar en uno de los grupos mencionados anteriormente.

PROCESO
Para llevar a cabo el trabajo, lo primero que vamos a estudiar es como expresar las medidas,
para luego poder calcular los distintos tipos de errores y ver la manera de expresarlos. Se
realizarán 2 ejercicios para calcular el error sistemático, 2 ejercicios de calcular el error
accidental en medidas directas, 2 de calcular el error accidental en medidas indirectas, una
interpolación en tablas y la construcción de una gráfica.

EVALUACIÓN

Para la evaluación del trabajo, se valorarán, entre otros aspectos, la asistencia a clase y la
buena ejecución de los ejercicios, así como su comprensión.

CONCLUSIÓN

De acuerdo con lo que hemos observado, y los datos obtenidos en los ejercicios, tenemos que
cada vez que se efectúe el conjunto de operaciones requeridas para medir una determinada
magnitud, se obtendrá un número que solamente en forma aproximada representa la medida
buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medición está afectado por un cierto error.

TEORÍA DE ERRORES

Objetivos
El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error
en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de
forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta
(medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador
Vernier).

Además es muy importante en esta práctica que el alumno se familiarice y posea un

adecuado manejo de los equipos de medición de laboratorio.

Fundamentación teórica
2.1. Introducción

Las magnitudes físicas son determinadas experimentalmente por medidas o

combinación de medidas. Estas medidas obtenidas por algún equipo de laboratorio
generan una incertidumbre debido a muchos factores. Debido a esta inseguridad es que
se desarrolla la Teoría de Errores.

2.2. Error de medida

Es la diferencia entre el valor obtenido, al utilizar un equipo, y el valor verdadero de la

magnitud medida.

2.3. Valor verdadero

2.4. Valor Medio o Valor promedio

Como su nombre indica es un promedio aritmético, o media aritmética, de un conjunto

de medidas realizadas a una determinada magnitud física.

2.5. Desviación estándar o Error cuántico medio

2.6 Error sistemático

Es el error que posee todo instrumento, debido a que tiene una lectura mínima.
2.7. Error estadístico

Este error es el que se genera al realizar dos o más mediciones de una magnitud física.
El Error estadístico se puede calcular al igual que la desviación estándar.

2.8. Combinación de errores sistemático y estadístico o Error efectivo

Este error representa una combinación de los errores principales de medición, el

sistemático y estadístico.

2.9. Error relativo

Este error resulta del cociente entre el error efectivo y el valor medio.

2.10. Error relativo porcentual

Este error es definido para otorgar un mejor significado al error relativo. Por tal motivo
es el error relativo expresado en porcentaje.

2.11. Propagación de errores

Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son
medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden
las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que
medir el diámetro. Para un caso general, supongamos que V es una función de los
parámetros, x, y, z, etc.
Materiales e instrumentos
 Un calibrador Vernier
 Un micrómetro
 Una balanza
 Una regla patrón (graduada)
 Una pieza cilíndrica
 Un paralelepípedo
 Una Placa metálica

Procedimiento
 Hallar el Error sistemático de un cronómetro y una probeta.
 Realizar en cada caso cinco mediciones.

 a) El espesor de una placa (instrumento: micrómetro).

 b) Las dimensiones de un paralelepípedo (instrumento: vernier y regla patrón).
 c) Las dimensiones de un cilindro (instrumento: vernier).

 Medir la masa del cilindro.

 En cada caso halle el valor verdadero de.

 a) El espesor de la placa.

 b) Volumen del paralelepípedo.
 c) Densidad del cilindro.

Datos experimentales
Resultados
c)
En el caso del paralelepípedo, el error porcentual medido con la regla patrón es mayor al
del error del Calibrador Vernier.

De aquí se concluye que aquel instrumento que posea menor error sistemático (lectura
mínima) posee, el error es menor.

Cuestionario
 Identificar las diferentes fuentes de error en las medidas.

 A. Errores Sistemáticos

 Errores en la calibración de instrumentos.

 Errores del observador, como por ejemplo, el error de paralaje.
 Errores debidos a la influencia de ciertos factores que no se toman en cuenta.
Por ejemplo, un instrumento usado a una temperatura diferente a la temperatura
en la que se hizo la calibración.

 B. Errores accidentales
  Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la tracción de la
menor división de una escala.
 Errores debido a condiciones que actúan, como por ejemplo, variaciones en la
red de energía eléctrica.
 Errores debidos a la naturaleza de la magnitud que se mide, como, por ejemplo,
variaciones observadas en la longitud de un objeto debido a la falta de
pulimiento o paralelismo de las caras

 C. Errores Burdos

 Equivocaciones, por ejemplo, en la lectura de medidores o en la cuenta del

número de oscilaciones de un péndulo.
 Errores en la computación debidos a la falta de precisión, como por ejemplo, en
el uso de una regla de cálculo para procesar datos con cuatro cifras
significativas.

 Diferencie precisión y exactitud en una medida.

La exactitud se refiere a cuán cercana está una medición del valor real de la cantidad
medida.

La precisión se refiere en cuánto concuerdan dos o más mediciones de una misma

cantidad.

Estudiante A Estudiante B Estudiante C

1.964 g 1.972 g 2.000 g

1.978 g 1.968 g 2.002 g

Valor promedio 1.971 g 1.970 g 2.001 g

En la tabla, se muestra medición, que realizaron tres estudiantes, de la masa de una

pieza de alambre. La masa real del alambre es 2.000 g. Por consiguiente los resultados
del estudiante B son más precisos, pero ninguno de estos conjuntos de resultados es
exacto.

 Explique a qué se denomina sensibilidad de un instrumento.

Es la respuesta del instrumento al cambio de la entrada o parámetro medido. Es decir, se

determina por la intensidad de "I" necesaria para producir una desviación completa de la
aguja indicadora a través de la escala.

 Explique a que se denomina cifras significativas.

Las cifras significativas son los dígitos significativos en una cantidad medida. Cuando
se utiliza cifras significativas se sobreentiende que el último dígito es incierto.

Observaciones y conclusiones
En conclusión no se puede obtener valores exactos. Además existen herramientas con
menor error que otras.

Además se concluye que aquel instrumento que posea menor error sistemático (lectura
mínima) posee, el error es menor.

También es bueno detallar que se debe tener un adecuado manejo de los instrumentos.

Bibliografía
J. GOLDEMBERG. Física General y Experimental Volumen 1.

SKIRES. Física Experimental

RAYMOND CHANG. Química Experimental.

B. L. WORSNOP Y H. T. FLINT, EUDEBA. Curso superior de física práctica.

HUAAN FAN. Theory of Errors and LSQ.