Capı́tulo 1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de

Primer Orden

1. Caracterı́sticas Básicas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden.

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

dy y
 
3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas de la forma: =f .
dx x
!
dy ax + by + c
4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de la forma: =f .
dx a1 x + b1 y + c1
5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden.

6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Bernoulli.

7. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Exactas.

8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden con Factor Integrante.

9. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Clairaut.

10. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Riccati.

11. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden.

7
 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

1.1. Caracterı́sticas Básicas de Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden.
Una ecuación diferencial ordinaria de n-orden es toda aquella ecuación, en la cual
se tiene una relación entre la variable independiente, la variable dependiente y las
derivadas hasta n-orden, se lo escribe:

F(x, y, y , , y ,, , · · · , y n ) = 0

Por lo tanto, una ecuación diferencial de primer orden, se lo representa:

F(x, y, y , ) = 0

Donde: F es una función definida y continua de las tres variables x,y,y , en un dominio
dado V de tres variables. Además, y , es el elemento que debe estar en la ecuación dife-
rencial, los otros dos elementos x e y pueden estar como no, en la ecuación diferencial
de primer orden.
Toda función y = ϕ(x), que cumpla con la ecuación diferencial, se denomina so-
lución especifica de la ecuación diferencial, también se la puede denominar como la
integral especifica de la ecuación diferencial.
Si la función esta definida en la forma y = ϕ(x,C) se la conoce como, la solución
general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y debe cumplir con:

1. Para todo valor definido de C, que pertenece a un dominio V , cumple con la

ecuación diferencial.

2. Todo gráfico de y=(x,C), donde: a ≤ x ≤ b pertenece al dominio V .

Para todo par (x,y) del plano cartesiano OXY, que sea parte de la solución de la
ecuación diferencial, se lo denomina gráfico integral de la ecuación diferencial.
La solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, también
se la puede representar en la forma:

Θ(x, y, C) = 0

que en ese caso, se lo denomina como la solución general de una ecuación diferencial
de primer orden en su forma implı́cita.
El paso de la forma Θ(x, y, C) = 0 a la forma Θ(x, y, ) = 0, que es pasar de la solución
general a la solución especifica de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden,
se requiere de la condición de frontera, un punto, (x0 , y0 ) o también conocidas, como
condiciones iniciales del proceso que se investiga.
Para estar seguros, que la solución de una ecuación diferencial de primer orden,
pase por el punto (x0 , y0 ) se aplica el teorema de existencia de una solución de Cuachy,
el cual indica:
Si el lado derecho de y , = f (x, y), es función continua en un dominio V y además,
∂f(x,y)
tiene en este dominio su derivada parcial , por cada punto (x0 , y0 ) en este do-
∂y
minio, pasa exactamente un solo gráfico integral de la ecuación diferencial de primer
orden.

8 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

1.2. Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

La ecuación diferencial de variables separables son aquellas ecuaciones que tienen
la forma:
dy
= f (x) · g(y)
dx
Donde: la función f(x) y g(y) son definidas y continuas en los intervalos a < x < b y
c < y < d. respectivamente.
Las ecuaciones diferenciales de variables separables, se las resuelve separando las
variables, para que, cada variable este por un lado de la igualdad; es decir:
dy
= f (x) · dx
g(y)
La última igualdad se la integra en función de cada una de las variables, que aparece,
con la condición de que, g(y) , 0. Por lo tanto:
Z Z
dy
= f (x) · dx + C
g(y)

Donde: C es la constante de integración.

Las ecuaciones diferenciales de variables separables se pueden presentar de dife-
rente forma, como:

dy f (x) R R
= , −→ g(y) · dy = f (x) · dx −→ g(y) · dy = f (x) · dx + C
dx g(y)
dy g(y) dy dx R dy R dx
= , −→ = ; g(y) , 0; f (x) , 0 −→ = +C
dx f (x) g(y) f (x) g(y) f (x)
Las funciones son definidas y continuas en sus respectivos intervalos. En la practica
también, en muchas ocasiones, aparece en la forma:

f (x) · g1 (y) · dx + g(y) · f1 · dy = 0

En estos casos, se multiplica a ambos lados de la igual por el elemento:

1
u(x, y) =
f1 (x)g1 (y)
Con lo cual se obtiene la ecuación diferencial:
f (x) g(y)
dx + dy = 0
f1 (x) g1 (y)
La ultima expresión ya es una ecuación diferencial de variables separables.

1.2.1. Ejercicios Resueltos de Ecuaciones diferenciales de Variables

Separables.
dy
1. Resolver la ecuación diferencial: x2 +y = 0
dx

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 9

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

Como se puede observar, es una ecuación diferencial de primer orden de varia-

bles separables; ya que, fácilmente se logra separar las variables y en ese caso se
obtiene:
dy dy dx
x2 = −y −→ =− 2
dx y x
Se integral a ambos lados de la ecuación:
1
ln(y) = +C
x
Donde: C, es una constante cualquiera; por lo que, también, se lo puede escribir:
1 1 1 y 1
 
ln(y) = + C −→ ln(y) = + ln(C) −→ ln(y) − ln(C) = −→ ln =
x x x C x
Al aplicar la definición de una función logarı́tmica, se obtiene:
y 1 1
= ex −→ y = C · e x
C
Donde: C es la constante de integración. La solución representa la solución gene-
ral del ejercicio.

2. Resolver la ecuación diferencial: (xy 2 + y 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0

La ecuación a simple vista, no permite definir que tipo de ecuación diferencial
es, por lo que, se realiza transformaciones:

(xy 2 + y 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0 −→ y 2 (x + 1)dx + x2 (1 − y)dy = 0

1
Se multiplica a la identidad por: u(x, y) = con lo que, se obtiene:
x2 y 2

y 2 (x + 1) x2 (1 − y)
y 2 (x + 1)dx + x2 (1 − y)dy = 0 −→ dx + dy
x2 y 2 x2 y 2

(x + 1) (1 − y)
2
dx + dy = 0
x y2
Integrando a ambos lados de la identidad se obtiene:
Z Z
(x + 1) (1 − y)
2
dx + dy = C
x y2
Z Z Z Z
(x) dx (1) ydy
2
dx + 2
+ 2
dy − =C
x x y y2

1 1
ln(x) − − − ln(y) = C
x y
!
x x+y
ln − =C
y xy

Donde : C es la constante de la integración. La solución obtenida es la solución

general de la ecuación diferencial de variables separables.

10 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

dy x − 1
3. Resolver la ecuación diferencial: = ; donde: y , 0
dx y
Se observa que los elementos de la ecuación, se los puede separar; por lo tanto, es
una ecuación diferencial de variables separables.
Z Z
dy x − 1 2 2
= 2 −→ y dy = (x − 1)dx −→ y dy = (x − 1)dx
dx y

y 3 (x − 1)2
= + C −→ 2y 3 − 3(x − 1)2 = 6C
3 2
Donde: C es la constante de integración. La solución obtenida es la solución ge-
neral implı́cita de la ecuación diferencial.
dy 2
4. Resolver la ecuación diferencial: (x + 1) = y − 3
dx
Se observa que los elementos de la ecuación se los puede separar; por lo tanto, es
una ecuación diferencial de variables separables:
dy dx
= 2 Donde : y , 3
y −3 x +1
Z Z
dy dx
= 2
y −3 x +1
ln(y − 3) = arctan(x) + C
ln(y − 3) = arctan(x) + ln(C)
ln(y − 3) − ln(C) = arctan(x)
y −3
 
ln = arctan(x)
C
y −3
= earctan(x)
C
y − 3 = Cearctan(x)
y = 3 + Cearctan(x)
Donde: C es la constante de integración. La solución obtenida es la solución ge-
neral de la ecuación diferencial. Esta solución esta en la forma explicita.
dy
5. Resolver la ecuación diferencial: = e2x+y si y(0) = 0
dx
Primero se encuentre la solución general de la ecuación diferencial, además se
observa que, se puede separar sus variables:
dy
= e2x+y −→ dy = e2x+y dx
dx
y
dy = e2x ey dx −→ = e2x dx
ey
Integrando ambos lados de la ecuación:
Z Z
1
e dy = e2x dx −→ −e−y = e2x + C
−y
2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 11

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

Se ha obtenido la solución general de la ecuación diferencial, en este momento se

puede reemplazar la condición inicial, y(x = 0)= 0.
1 1
−e−y = e2x + C −→ −e−0 = e20 + C
2 2
1 1
−e−0 = e20 + C −→ −1 = + C
2 2
3
C=−
2
Se reemplaza el valor de C en la solución general de la ecuación diferencial.

1 1 3 3 1 2x
−e−y = e2x + C −→ −e−y = e2x − −→ e−y = − e
2 2 2 2 2
3 − e2x 3 − e2x
!
e−y = −→ −y = ln
2 2
3 − e2x
!
y = −ln
2
La ha obtenido la solución especifica de la ecuación diferencial.
dy
6. Resolver la ecuación diferencial: + y 2 = 0; Si y(0)= 1
dx
Primero se encuentre la solución general de la ecuación diferencial, se puede
observa que, se puede separar sus variables:

dy
− = dx; Donde : y , 0
y2

Se integra a ambos lados de la igualdad:

Z Z
dy 1 1
− 2 = dx −→ = x+C −→ y=
y y x+C

Se ha obtenido la solución general de la ecuación diferencial, en este momento se

puede reemplazar la condición inicial, y(x = 0)= 1.
1 1
y= −→ 1 = −→ C = 1
x+C 0+C
Se reemplaza el valor de C en la solución general de la ecuación diferencial, con
lo cual se obtiene:
1
y=
x+1
que es la solución especifica de la ecuación diferencial.

12 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

1.2.2. Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Diferenciales de Varia-

bles separables
1. Resolver las ecuaciones diferenciales:
a) (2y - 1)dx + dy = 0
dy x
b) =
dx y dy
1. 1 + = ey
dy dx
c) = xy
dx dy
2. x3 = 2y
d) ydx − (x2 − 1)dy = 0 dx
dy
e) (1 + y 2 )dx + (1 + x2 )dy = 0 3. = ex+y
dx
dy dy
f ) (1 + x)y + x(1 + y) = 0 4. x + y(1 − y) = 0
dx dx
g) sin(x) sin(y)dy + cos(x) cos(y)dy = 0 dy
5. (x2 + x) = 2y + 1
dy dx
h) xy(1 + x2 ) = 1 + y2
dx dy ex y
6. + =0
i) (x4 − y 2 )dx + xydy = 0 dx 1 + ex
dy
dy 1 7. xy + (1 + y 2 ) = 0
j) = dx
dx 2x + y
√ dy
8. = y tan(x)
k) xydx + 1 − x2 dy = 0 dx
dy x sin(x)
l) + =0
dx y cos(y)
2. Encontrar la integral general y la integral especifica de las ecuaciones diferencia-
les si la condición inicial es dada:
dy π 1. y dy = x − 1; y(1) = 0
a) cos(y) + 2x sin(y) = 0; y(0) = dx
dx 2
dy √
b) (1 + y 2 )dx − xydy = 0; y(2) = 1 2. = 2 y; y(0) = 1
dx
dy √
c) = 2 yln(x); y(e) = 1 dy 1 + y 2
dx 3. = ; y(0) = 1
dx 1 + x2
dy yex
d) = ; y(0) = 2 dy
dx 1 + ex 4. = (y − 1)(y − 2); y(0) = 0
dx
dy
e) p = dx; y(0) = 0 x y dy
dx 4 + y 2 5. − = 0; y(1) = 1
1 + y 1 + x dx
dy π
 
f ) sin(x) = yln(y); y =e p √ dy
dx 2 6. x 1 + y 2 + y 1 + x2 = 0; y(0) = 1
dx
dy dy
g) + ytan(x) = 0; y(π) = 2 7.
p
= 2 y 3; y(0) = 1
dx dx

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 13

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

3. Encuentre la integral general:

dy
a) 3ex tan(y)dx + (2 − ey ) sec2 (y) = 0 1. 2x2 =y
dx
b) y 0 sin(x) = yln(y) dy
2. x3 +y −a = 0
c) yln(dx) + xdy = 0 dx
dy
d) (1 + y 2 )dx + xydy = 0 3. xy = (a + x)(b + y)
dx
e) (1 + y 2 )(e2xdx − ey dy) − (1 + y)dy = 0 dy
4. x − y 2 + 2xy =0
dx
f ) (1 + y 2 )dx = xdy
dy dy
dy 5. x + 1 = x3 −
g) (1 + ey )y = ex dx dx
dx
dy
h) 1 + y 0 = ey 6. = xy + ax + by + ab
p
dx
i) (1 + y 2 )dx + (1 + x2 )dy = 0
!2
2 dy
√ 7. x + =1
p dx
j) x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0
 !2 
k) y 0 = ax+y (a > 0, a , 1)  dy 
8. x 1 +  = 1
p √ dx 
l) x 1 − y 2 dx + y 1 − x2 dy = 0
dy dy
√ dy 9. − x = 1 − x2
m) ey 1 + x2 +1 = 0 dx dx
dx
dy
dy 10. (1 + x)y + (1 − y)x =0
dx
p
n) = y 1 − y2
dx
11. ye2x dx − (1 + e2x )dy = 0
ñ) xdy = (y 3 + y)dx
12. (xy 2 + x)dy + (x2 y − y)dx = 0
dy
o) = cos(x + y) dy
dx 13. tan(x) = y
dx
dy √
p) 1 − x2 = 1 + y 2 dy
dx 14. = ex+2y
dx
(1 + ex )
q) 2ex tan(y)dx + dy = 0 dy
cos2 (y) 15. x2 +y +a = 0
dx
dy y
r) = √ dy 2x2 y
dx x 1 + x2 16. = 2
dx x + x − 12
dy 2x
s) = 2 dy 1 + ex
dx x + 5x + 6 17. =
dx 1 − e2x
dy 2xy
t) = 2 y2 + 1 √
dx x + 5x + 6 18. y 0 = 1 + x2
x
dy 1 + ex
u) = dy
dx 1 − ex 19. sin(x) = y
dx

14 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

dy x 1 + x √ dy
a) = · 1. ey 1 + x2 +1 = 0
dx y 1 + y dx
√ dy
dy tan(y) 2. 2x ax − x2 = a2 + y 2
b) = dx
dx x
dy dy
c) = cos(y) 3. 1 − x2 − xy =0
dx dx

dy dy
d) = sin(y) 4. 1 + y 2 + xy =0
dx dx
!
dy dy
e) sin(x) sin(y) = cos(x) cos(y) 5. x2 + y 2 = a(xy − 1)
dx dx
dy √ dy p
f ) sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) 6. (y − x) 1 + x2 = (1 + y 2 )3
dx dx
dy dy
g) x(1 + ey ) − ey =0 7. y 2 + xy 2 + (x2 yx2 ) =0
dx dx
dy p 2 dy 1 1 1
h) = a + y2 8. = 1+ − 2 − 2
dx dx x y + 2 x(y + 2)
dy p
dy
i) = y 1 − y2 9. x(1 + y 2 ) + y(1 + x2 ) =0
dx dx
dy √ dy
j) y 2 = x +y
p
dx 10. (2 + y) 1 + x2 = 1 + y 2
dx
dy dy dy √
k) y(x2 − 1) + x(y 2 − 1) = 0
p
dx 11. x −y = 1 + x2 + 1 + y 2
dx dx
dy y 1 + x2 y 2 √ dy p
l) + = 12. 1 − x2 + 1 − y2 = 0
dx x 2 dx
dy 1 y 2 dy
m) y = − 13. xy(1 + x2 ) = 1 + y2
dx 2 x dx
1 dy dy
n) e− x y 3 + x2 y 2 =0 14. tan(x) sin2 (y) + cos2 (x) cot(y) =0
dx dx
dy dy dy
ñ) y − x = 1 + x2 15. = cos(x)
dx dx dx
dy dy
o) (1 − x2 ) + 1 − y2 = 0 16. = sin(x)
dx dx
dy dy dy
p) − x = 1 − x2 17. = cot(x)
dx dx dx
dy dy 1 − y 2
q) 1 − x2 − xy =0 18. =
dx dx 1 − x2
r) xy 2 dx + (y − x2 y)dy = 0 19. tan(x)dy = yln(y)dx

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 15

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

dy y
 
1.3. Ecuaciones diferenciales Homogéneas de Forma =f
dx x
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas que se las llama a las ecua-
ciones del tipo:
dy y
 
=f Donde: x , 0
dx x
y
 
La función f es una función continua en un intervalo dado y depende de la relación
x
y
.
x
A la ecuación diferencial homogénea, se la resuelve introduciendo una variable de
y
la forma = u(x), esta variable permite transformar la ecuación diferencial homogénea
x
a una ecuación diferencial de variables separables, la cual el lector ya esta en capacidad
de resolver.
y
= u(x) −→ y = x · u(x)
x
La expresión obtenida nos indica, que se tiene el producto de dos elementos en función
de x. A esta expresión se la deriva con respecto a x; por lo tanto:
dy du
= u(x) + x ·
dx dx
Esta ultima expresión se la reemplaza en la ecuación diferencial homogénea:
du
u(x) + x ·= f (u)
dx
Lo cual permite obtener una ecuación diferencia de variables separables:
du
x· = f (u) − u(x)
dx
du f (u) − u(x)
=
dx x
du dx
= Donde: f (u) − u(x) , 0
f (u) − u(x) x
Al integrar la ultima identidad, se obtiene la solución general de la ecuación dife-
rencial de variables separables con respecto a u(x), lo cual se puede escribir:
θ(x, u(x), C) = 0
y
Al reemplazar u(x) = se obtiene:
x
y
θ(x, , C) = 0
x
La expresión obtenida representa la solución general de la ecuación diferencial ho-
dy y
 
mogénea de la forma: =f
dx x
En el caso de que: f (u) − u(x) = 0 la ecuación diferencial toma la forma :
dy y
=
dx x

16 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

dy
1.3.1. Ejercicios Resueltos de Ecuaciones diferenciales de Forma =
dx
y
 
f .
x
dy x2 + y 2
1. Resuelva la ecuación diferencial: =
dx xy
El lado derecho de la ecuación diferencial dada se la multiplica y divide para x2
x2 + y 2 y2
 2
y
dy dy 1 + dy 1 +
= xyx2 −→ = yx
2
−→ =
x
dx dx dx y
x2 x x
y
Se reemplaza: = u −→ y = x · u
x
Se debe tener en mente que, u esta en función de x, y al derivar con respecto a x
se obtiene:
dy du
y = x·u −→ = u +x
dx dx
Se reemplaza en la ecuación diferencial en función de u:
 2
y
1 +
dy x du 1 + u 2 du 1 + u 2
= y −→ u + x = −→ x = −u
dx dx u dx u
x
du 1 + u 2 du 1 dx
x = − u −→ x = −→ u · du =
dx u dx u x
Se integra a ambos lados de la identidad:
u2
Z Z
dx dx
u · du = −→ udu = −→ = ln(x) + C
x x 2

Se regresa a las variables de iniciales:

u2 y2
= ln(x) + C −→ = ln(x) + C −→ y 2 = 2x2 (ln(x) + C)
2 2x2
La expresión obtenida representa la solución general de la ecuación diferencial
homogénea.
dy x+y
2. Resuelva la ecuación diferencial: =
dx 3x − y
El lado derecho de la ecuación diferencial dada, se la multiplica y divide para x:
x+y y
dy x+y dy dy 1+
= −→ = x −→ = x
dx 3x − y dx 3x − y dx 3 − y
x x
y
Se reemplaza: = u −→ y = x · u
x
Se debe tener en mente que, u esta en función de x, y al derivar con respecto a x
se obtiene:

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 17

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

dy du
y = x·u −→ = u +x
dx dx
Se reemplaza en la ecuación diferencial, para que la ecuación diferencial este en
función de u:
y
dy 1 +
= x −→ u + x du = 1 + u −→ x du = 1 + u − u
dx 3 − y dx 3 − u dx 3 − u
x
du 1 + u − u(3 − u) du 1 + u − 3u + u 2
x = −→ x =
dx 3−u dx 3−u
du 1 − 2u + u 2 du (u − 1) 2 (3 − u)du dx
x = −→ x = −→ = u,1
dx 3−u dx 3−u (u − 1)2 x
Se integra a ambos lados de la identidad:
Z Z Z Z Z
(3 − u)du dx 2du du dx
= −→ + =
(u − 1)2 x (u − 1)2 u −1 x

2
− ln(u − 1) = ln(x) + C
u−1
Reemplazando u, se tiene:

2x
− ln(y − x) = C Donde: x , y
y −x

La expresión obtenida representa la solución general de la ecuación diferencial

homogénea.
dy y
  
1
3. Resuelva la ecuación diferencial: x = y 1 + ln Si y(1) = e− 2 .
dx x
Se transforma la ecuación diferencial dada, en una ecuación diferencial homogénea,
y además, se debe encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
dy y dy y y
     
x = y 1 + ln −→ = 1 + ln
dx x dx x x
y
Se reemplaza: = u −→ y = x · u
x
Se debe tener en mente que, u esta en función de x, y al derivar con respecto a x
se obtiene:
dy du
y = x·u −→ = u +x
dx dx
Se reemplaza en la ecuación diferencial, para que la ecuación diferencial este en
función de u:

dy y y du du
  
= 1 + ln −→ u + x = u(1 + ln(u)) −→ x = u(1 + ln(u)) − u −→
dx x x dx dx
du du du dx
x = u + uln(u) − u −→ x = uln(u) −→ =
dx dx uln(u) x

18 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

Se integra a ambos lados de la igualdad:

Z Z
du dx
= −→ ln(ln(u)) = ln(x) + C −→ ln(ln(u)) = ln(x) + ln(C)
uln(u) x

Aplicando propiedades de una función logarı́tmica se obtiene:

ln(ln(u)) = ln(x) + ln(C) −→ ln(ln(u)) = ln(xC) −→ ln(u) = Cx −→ u = eCx
Se regresa a las variables iniciales:
y
u = eCx −→ = eCx −→ y = xeCx
x
La expresión obtenida representa la solución general de la ecuación diferencial
homogénea. En este momento se reemplaza la condición inicial( o de frontera)
del ejercicio, para obtener el valor de C:
1 1
y = xeCx −→ e− 2 = 1eC·1 −→ C = −
2
Se remplaza el valor de C, en la solución general de la ecuación diferencial ho-
mogénea:
1
y = xeCx −→ y = xe− 2 x
La expresión obtenida representa la solución especifica de la ecuación diferencial
homogénea.
dy √
4. Resolver la ecuación diferencial: 2xy = y 2 − x2 si: y(1) = 3
dx
Primero se encuentra la solución general de la ecuación diferencial; por lo tanto,
se realiza transformaciones en la ecuación para obtener una ecuación diferencial
homogénea:
dy 1 y 2 − x2
! !
dy 2 2 dy 1 y x
2xy = y − x −→ = −→ = −
dx dx 2 xy dx 2 x y
Donde: x , 0, y , 0
y
Se reemplaza: = u −→ y = x · u
x
Se debe tener en mente que, u esta en función de x, y al derivar con respecto a x
se obtiene:

dy du
y = x·u −→ = u +x
dx dx

Se reemplaza en la ecuación diferencial, para que la ecuación diferencial este en

función de u:
du 1 u 2 − 1 du u 2 − 1
!
du 1 1
 
u +x = u− −→ x = − u −→ x = −u
dx 2 u dx 2 u dx 2u
du u 2 − 1 − 2u 2 du −1 − u 2 2udu dx
x = −→ x = −→ 2
=−
dx 2u dx 2u u +1 x
Z Z
2udu dx
2
=− −→ ln(u 2 +1) = −ln(x)+C −→ ln(u 2 +1)+ln(x) = ln(C)
u +1 x

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 19

 CAPITULO 1. Ecuaciones Difrenciales

h i
ln (u 2 + 1)x = ln(C) −→ (u 2 + 1)x = C
Se regresa a las variables iniciales:
y 2 + x2
"  2 #
y
+ 1 x = C −→ x=C −→ y 2 + x2 = Cx
x x2
La expresión obtenida representa la solución general de la ecuación diferencial
homogénea. En este momento, se reemplaza la condición inicial( o de frontera)
del ejercicio, para obtener el valor de C:
√
y 2 + x2 = Cx −→ ( 3)2 + (1)2 = C(1) −→ 3 + 1 = C −→ C = 4
Se remplaza el valor de C, en la solución general de la ecuación diferencial ho-
mogénea:
x2 + y 2 = 4x
La expresión obtenida representa la solución especifica de la ecuación diferencial
homogénea.

1.3.2. Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Diferenciales de Forma

dy y
 
=
dx x
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
dy x2 + y 2 dy
a) = 1. y = 2y − x
dx 2x2 dx
dy y
 
y y
  dy y y
b) cos = cos −1 2. = ex +
dx x x x dx x
p
x2 + y 2
!
dy x dy y
c) x = yln 3. = +
dx y dx x x
dy y dy x+y
d) = +1 4. =−
dx x dx x

dy y(x − y) dy y
e) = 5. = √
dx x2 dx x − 2 xy

dy x + y
" #
dy y x − y
f) = 6. =
dx x x − 2y dx x − y

dy y dy y2
g) = (ln(y) − ln(x) + 1) 7. =
dx x dx x(y − x)
dy x2 + 3xy + y 2 dy y x
h) =− 2 8. = +
dx 4y + 3xy + x2 dx x y

dy y 2 − x2 dy y y
 
i) = 9. = + tan
dx 2xy dx x x

dy x2 + xy + y 2 dy x2 − y 2
j) = 10. =
dx x2 dx xy

20 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Difrenciales CAPITULO 1.

2. Encontrar la soluci
! ónde la ecuacion diferencial si se conoce su condición inicial:
dy y y
a) − arctan = 1 y(1) = 0 dy 2xy
dx x x 1. = 2 y(1) = 2
dx 3x − y 2
dy x y √ √
b) = + y(1) = 2 2. y 3 dy + (3xy 2 + 2x3 )dx = 0; y(1) = 3
dx y x
dy dy
dy x + y 3. x2 + y 2 = xy y(3) = 4
c) = y(1) = 1 dx dx
dx x
dy y y y π
   
dy y y 4. cos = cos −1 y(1) =
   
d) = ln +1 y(1) = e dx x x x 2
dx x x

3. Resolver la ecuacion diferencial dada:

dy dy y y
 
a) x = x+y 1. = + tan
dx dx x x
dy dy y
 
b) x + y + x =0 2. x − y = x tan
dx dx x
dy dy y
 
c) (y − 2x) = 2y + x 3. x = yln
dx dx x
dy dy
d) 8y + 10x + (5y + 7x) =0 4. (x2 − y 2 ) − 2xy = 0
dx dx
dy dy
e) (x + y) +y = 0 5. (3x2 − y 2 ) − 2xy = 0
dx dx
dy dy
f ) (x + y) −y = 0 6. (x2 − xy) + y2 = 0
dx dx
dy dy
g) (x + y) − 2y = 0 7. (x2 + 2xy) = y2
dx dx
dy dy
h) (x + y) +x−y = 0 8. xy + x2 + y 2 = 0
dx dx
dy p dy dy
i) x = y + x2 + y 2 9. y 2 + x2 = xy
dx dx dx
dy p dy
j) x = y + x2 − y 2 10. y 3 + 3xy 2 + 2x3 = 0
dx dx
√ dy x x dy
k) 2 xy − y + x =0 11. xye y + y 2 − x2 e y =0
dx dx
√ dy dy y
l) y + (2 xy − x) =0 12. xy = y 2 + (x + y)2 e− x
dx dx
√ √ dy dy
m) x − xy − y + xy =0 13. xy + y 2 − (2x2 + xy) =0
dx dx
dy 2y 2 − xy y
 
y dy
 
n) = 14. x − y cos + x cos · =0
dx x2 − xy + y 2 x x dx

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 21