Geometry">
Conteo de Figuras 1 7
Conteo de Figuras 1 7
Conteo de Figuras 1 7
1 2
23
Total de triángulos 3=
II. − CONTEOPOR INDUCCIÓN 2
CONTEODESEGMENTOS
1 2 3
1 2
34
23 Total de triángulos 6=
Total de segmentos 3= 2
1 2 3 2
1 2 3 4
Colegio Adventista Americana ceprej@upeu.edu.pe
UNIVERSIDAD PERUANA UNION
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
Total de triángulos 10 =
45 CONTEODEÁNGULOS
2
En General 1
2
Dada la figura: 3
n(n+1)
Total de ángulos
2
1 2 3 4 n
EJEMPLO03
n(n+1) ¿Cuántos ángulos agudos hay en total?
Total de triángulos
2
a) 12
EJEMPLO02 b) 13
¿Cuántos triángulos hay en total? c) 14
a) 19 d) 15
b) 16 e) 16
c) 18
d) 20
e) 22
Resolución
Resolución De la figura:
1 2 3 4
total de ángulos agudos : 10 + 4 = 14
4 5 = 10
2
CONTEODECUADRILÁTEROS
Considerando las figuras:
n(n +1)
1 2 3 n total de =
cuadriláteros 2
3
1 2
34 = 6 1 2 3 n
2 2
3
m
total de n(n +1) m(m +1)
cuadriláteros = 2
1
2
3 2
3
total =10 +6 + 3 =19s
Colegio Adventista Americana ceprej@upeu.edu.pe
UNIVERSIDAD PERUANA UNION
CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
EJEMPLO04 EJEMPLO05
¿Cuántos cuadriláteros se cuentan en la siguiente ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?
figura? a) 15
b) 16
c) 18
d) 17
e) 19
Resolución
2 3
1 2 3 → 2 =3
a) 93 b) 84 c) 86 1 2 3 4
d) 94 e) 88 → 45 = 10
2
Resolución
Contando por separado: total = 6 +10 +1 = 17
2 3
2 → 2 =3
el grande
1
2
3 Observación
Considerando la figura:
4 1 2 3 n −1 n
→ 45 = 10
2
2 3
total = 310 = 30
m−1
67 m
1 2 3 4 5 6 → 2 = 21
Si cada cuadrilátero simple es un cuadrado entonces:
2 total de = mn+ m−1 n−1 + m−2 n−2 +
cuadrados
( )( ) ( )( )
2 3 = 3 Hasta que por lo menos uno de los factores sea 1.
2
EJEMPLO06
total = 321 = 63 Calcule el total de cuadrados en la siguiente
figura (cada cuadrilátero simple es un cuadrado).
Como hay una cantidad de cuadriláteros que
estamos repitiendo hay que considerarlos.
2 3 = 3
2
1 2 a) 40 b) 42 c) 55
2 d) 58 e) 50
Resolución
1 2 3 4 5 6
2 3 = 3
2
total = 332= 9
3
total = 30 + 63 −9 = 84
4
Total de = 46 + 35 +24 +13 = 50
cuadrados
Colegio Adventista Americana ceprej@upeu.edu.pe
UNIVERSIDAD PERUANA UNION
EJEMPLO07 CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
La figura muestra un rectángulo dividido en 2. Número de Paralelepípedos
cuadraditos. ¿Cuántos cuadriláteros no son
cuadrados?
4=p m
. . .
3 3
n= 6 5 4 3 2 2
21 1
a) 120 b) 150 c) 140
d) 110 e) 100
Nº paralelepipedos = n(n+1) m(m+1) p(p +1)
Resolución 2 2 2
Contemos el total de cuadriláteros en la figura:
56 = 15 3. Número de Pirámides
1 2 3 4 5→
2
2
6=p
3
4 5
m= 4
4
3
45 = 10 3
2
2 2
1 2
3 n= 4 1
total de cuadrilateros = 1510 = 150
Nº pirám=nm+(n−1)(m−1) +(n−2)(m−2) +...p
Ahora contemos los que son cuadrados 4. Número de cuadrados en un rectángulo
1 2 3 4 5 Los puntos suspensivos indican que continúan
2 apareciendo más sumandos hasta que uno de
3 ellos presente como factor a la unidad.
4 m ...
m−1
.. ..
Total de = 4x5 + 3x4 + 2x3+1x2 = 40 . .
cuadrados 3
El número de cuadriláteros que no 2
son cuadrados es : 150 −40 =110 1 2 3 4 ... n−1 n
Nº cuad. = nm+(n−1)(m−1) +(n− 2)(m− 2) +...
m
4 3
2 3
...
3 5=n n ... 2
2 34 3 2 1 1
n= 5 4 3
2 1 12
Nº cubos = nmp+(n−1)(m−1)(p−1) +
Nº cubos = n(n+1)
2
+ (n−2)(m−2)(p −2) +...
2
A) 29 762 1 2 3 .. . 30
1
B) 29 760 2
3
C) 29 880
.. .
A) 40 B) 42 C) 43 D) 30 330
D) 45 E) 46 30
E) 28 200
A) 48 B) 50 C) 52
D) 49 E) 53
A) 44 B) 45 C) 46
D) 48 E) 50
a) 316
b) 320
c) 310
d) 315
a) 16 e) 318
b) 15
c) 12 6. ¿Cuántos cuadrados hay en?
d) 13
e) 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
4
2. Hallar el número total de triángulos en la 5
figura. 6
7
8
9
10
a) 100
a) 7 b) 93
b) 8 c) 81
c) 10 d) 125
d) 6 e) 64
e) 11
a) 120
b) 150 a) 20
c) 250 b) 60
d) 320 c) 125
e) 20 d) 900
e) 2750
a) 12
b) 18
c) 24
d) 32
e) 42
Colegio Adventista Americana ceprej@upeu.edu.pe