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    EstructurasReticuladas 02

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    de 3

    Universitat de Lleida Estructuras reticuladas

    Escola Politècnica Superior

    Calcular todos los momentos en los extremos de las barras de la estructura de la figura. Todas las barras
    horizontales y verticales son de 1m y las barras inclinadas son de √ 2 m y forman 45º con la horizontal.
    Datos: E·I = 100 kN·m2

    5
    1m

    4 6
    1m

    3
    1kN
    2
    1m

    1m 1m
    Universitat de Lleida Estructuras reticuladas
    Escola Politècnica Superior

    La estructura es traslacional de grado 1. El dibujo de la deformada


    se puede comprobar en la figura adjunta, con los valores de los 5’

    desplazamientos perpendiculares a cada barra. En el caso de la barra 3- 6’

    6 no sería necesario dibujar su deformación ya que al ser biarticulada √2 Δ


    Δ
    con un apoyo móvil en un extremo, y no estar cargada, todos los axiles, Δ
    cortantes y momentos serán nulos en la misma. Por lo tanto se puede Δ
    Δ √2 Δ
    trabajar sobre la estructura como si esa barra no existiese. 4’

    Método analítico.
    Δ
    La ecuaciones de los momentos en los extremos de las barras son: 2’ Δ
    3’

    M d = M̄ d + K d (θ d +βd θ f ) + Δ K d ( 1+βd )
    L
    Δ
    M f = M̄ f + K f (θ f +βf θ d ) + K f ( 1+βf )
    L
    3E I 3EI
    K 12=K 32=K 34=K 54 =K 36=K 63=0 ; K 21 =K 23= K 45= ; K 43=
    1 √2
    β12=β21 =β23=β32=β34=β43=β45=β54 =β36=β63=0

    3E I 3E I
    M 21= θ2 + Δ =3 E I θ 2+ 3 E I Δ
    1 1 1
    M 23=3 E I θ 2
    M 43=
    3E I
    θ 4−
    √2 Δ 3 E I = 3 E I θ − 3 E I Δ
    4
    √2 √2 √2 √2 √2
    M 45=3 E I θ 4

    El resto de momentos son nulos.


    Las ecuaciones adicionales de sumatorio de momentos en los nudos 2 y 4 quedan:

    1
    M 21+ M 23=0 ⇒6 E I θ 2+ 3 E I Δ=0 ⇒ θ2=− Δ
    2
    M 43+ M 45=0 ⇒3 1+( 1
    √2 )
    E I θ 4−
    3
    √2
    E I Δ=0⇒ θ 4=
    1
    √ 2+1
    Δ=( √ 2−1 ) Δ

    2
    Universitat de Lleida Estructuras reticuladas
    Escola Politècnica Superior

    Para aplicar la segunda ecuación adicional, se usa la estructura


    completa sin cortar y se aplica la ecuación de la estática de sumatorio Q54
    5
    de momentos con respecto al punto ‘0’.

    1m
    −Q 54 · 1+1· 1−Q 12 · 2− N 12 ·1=0
    R4x
    4 0 6
    El axil de la ecuación se puede relacionar con
    Q23 los cortantes realizando el equilibrio de fuerzas

    1m
    1 kN 2 verticales en el nudo 2.
    N23 3
    1kN
    De esta forma N12 = Q23 2
    Q21
    Y la ecuación de corte queda:

    1m
    R3y
    N12
    −Q 54 · 1+ 1· 1−Q 12 · 2−Q 23 · 1=0 1

    Q12 1m 1m

    N12

    Para calcular los cortantes de la ecuación adicional, se realiza el equilibrio en las barras 1-2, 2-3 y 4-5.
    M21
    Sustituyendo los valores de los cortantes, la ecuación queda:
    1 2

    −M 45+1−2 · M 21− M 23=0


    1m

    Por último sustituyendo los momentos por sus valores a partir de las
    Q12= M21 / 1m Q21
    ecuaciones iniciales, la segunda ecuación adicional queda:
    M23
    3 E I θ4 +9 E I θ 2+ 6 E I Δ=1 2 3

    Sustituyendo el valor de los giros de las dos primeras ecuaciones 1m


    adicionales en la ecuación anterior, queda:

    [ 9
    EI Δ · 3 ( √ 2−1 ) − +6 =1 ⇒
    2 ] Q23= M23 / 1m Q32
    M45

    1 4
    ⇒ Δ= =3,646 ·10−3 m=3,646 mm 5

    ( 1
    3 √ 2− · 100
    2 ) 1m

    Q54= M45 / 1m Q45


    Y por lo tanto los giros son:
    1 −3
    θ 2=− Δ=−1,82 ·10 rad
    2
    θ 4=( √ 2−1 ) Δ=1,51 · 10−3 rad

    Y los momentos no nulos en los extremos de las barras valen:


    M 21 =0,547 m· kN
    M 23=−0,547 m· kN
    M 43=−0,453 m· kN
    M 45 =0,453 m· kN

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