Taller Ondas-1

TALLER 1.
PUNTO 13
INTEGRANTES:
- CASTRO PEREZ STEBAN JOSE – 1193530985
- CLAVIJO RANGEL KEVIN ALEJANDRO - 1096958850
- PEÑALOZA GAMBA NICOLAS – 1007398299
- RODRIGUEZ NARVAEZ WALBERTO ENRIQUE - 1002375281
- ROZO GUERRERO JIMMY DADNOVER - 1053347453
DOCENTE:
EDILSON ALFONSO REYES ROJAS
OSCILACIONES Y ONDAS
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
INGENIERIA DE SISTEMAS
2020-2
13. Considere un oscilador forzado con una fuerza externa periódica 𝐹0 cos(𝑤𝑡) y no amortiguado,
Γ = 0.
a) Demuestre que la ecuación
𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑤) sin(𝑤𝑡 − 𝛿) 𝐸𝑐. 1

Es una solución de la ecuación de movimiento de oscilador:
𝐹0
𝑥̈ (𝑡) + Γ𝑥̇ (𝑡) + 𝑤 2 0 𝑥(𝑡) = cos(𝑤𝑡) 𝐸𝑐. 2
𝑚
Con una amplitud 𝐴(𝑤) dada por la ecuación:
𝐹0 /𝑚
𝐴(𝑤) =
|𝑤 2− 𝑤 2 0|
b) Realice una gráfica de la amplitud, A, en función de la frecuencia externa w. Indique el

punto donde el oscilador se encuentra en resonancia. ¿Cómo es la amplitud en ese punto?
 Solución:
a.
 Para dar solución, vamos a entrar en el plano complejo, es decir 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑦), por
lo tanto la Ec.1 y Ec.2 la convertiremos en la forma compleja, por lo tanto:
𝑧(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 3

𝐹0 𝑖𝑤𝑡
𝑧̈ (𝑡) + Γ𝑧̇ (𝑡) + 𝑤 2 0 𝑧(𝑡) = 𝑒 𝐸𝑐. 4
𝑚
 Ahora derivando la Ec.3, tenemos que:
𝑧(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿)
 Por regla de la cadena tenemos que:
𝑧̇ (𝑡) = 𝐴𝑖𝑤𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 5
 Haciendo la segunda derivada, usando también la regla de la cadena, tenemos que:
𝑧̈ (𝑡) = 𝐴𝑖 2 𝑤 2 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿)
 Por propiedad de los complejos, sabemos que: 𝑖 2 = −1, por lo tanto:
𝑧̈ (𝑡) = −𝐴𝑤 2 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 6

 Ahora sustituimos la Ec.5 y Ec.6 en nuestra Ec.4, por lo tanto , tenemos que:
𝐹0 𝑖𝑤𝑡
−𝐴𝑤 2 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) + Γ(𝐴𝑖𝑤𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) ) + 𝑤 2 0 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) = 𝑒
𝑚
 Ahora tomamos a 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) como un factor común, por lo tanto tenemos que:
𝐹0 𝑖𝑤𝑡
𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) (−𝐴𝑤 2 + 𝐴𝑤 2 0 + 𝑖Γ𝑤𝐴) = 𝑒
𝑚
 Ahora pasando el exponente del lado izquierdo a dividir, tenemos que:
𝐹0 𝑒 𝑖𝑤𝑡
(−𝐴𝑤 2 + 𝐴𝑤 2 0 ) =
𝑚 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿)
𝑥𝑎
 Por la ley de los exponentes = 𝑥 𝑎−𝑏 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:
𝑥𝑏
𝐹0 𝑖𝑤𝑡−𝑖(𝑤𝑡−𝛿)
(−𝐴𝑤 2 + 𝐴𝑤 2 0 + 𝑖Γ𝑤𝐴) = 𝑒
𝑚
𝐹0 𝑖𝛿
(−𝐴𝑤 2 + 𝐴𝑤 2 0 + 𝑖Γ𝑤𝐴) = 𝑒
𝑚
𝐹0
(−𝐴𝑤 2 + 𝐴𝑤 2 0 + 𝑖Γ𝑤𝐴) = (cos 𝛿 + 𝑖 sin 𝛿)
𝑚
 Tomando a 𝐴 como factor común, tenemos que:
𝐹0
𝐴(𝑤 2 0 − 𝑤 2 ) + 𝑖Γ𝑤𝐴 = (cos 𝛿 + 𝑖 sin 𝛿)
𝑚
 Por lo tanto nos quedara dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la parte
imaginaria, estas son:
𝐹0
𝐴(𝑤 2 0 − 𝑤 2 ) = cos 𝛿 𝐸𝑐. 7
𝑚
𝐹0
𝑖Γ𝑤𝐴 = 𝑖 sin 𝛿 𝐸𝑐. 8
𝑚
 Ahora observamos que en la Ec.8 ambas partes tienen cantidades de i, por lo tanto:
𝑖Γ𝑤𝐴 𝐹0
= sin 𝛿
𝑖 𝑚
 Simplificando, tenemos que:
𝐹0
Γ𝑤𝐴 = sin 𝛿 𝐸𝑐. 9
𝑚
 Si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y haciendo su suma, tenemos que:
2 (𝑤 2 2 )2 2 (Γ𝑤)2
𝐹0 2
𝐴 0 −𝑤 +A = ( ) (cos2 𝛿 + sin2 𝛿)
𝑚
 Por propiedad sabemos que cos2 𝛿 + sin2 𝛿 = 1, por ende podemos obtener una expresión
para la amplitud en función de la frecuencia externa, esto será:
𝐹0 2
𝐴2 (𝑤 2 0 − 𝑤 2 )2 + A2 (Γ𝑤)2 = ( ) (1)
𝑚
𝐹 2
( 𝑚0 )
𝐴2 = 2
(𝑤 − 𝑤 2 0 )2 + (Γ𝑤)2
 Ahora sacando raíz cuadra en ambos lados, tenemos que:

2
√(𝐹0 )
𝑚
𝐴(𝑤) =
√(𝑤 − 𝑤 0 )2 + (Γ𝑤)2
2 2
 Por definición dada por el ejercicio tenemos que Γ = 0. Por lo tanto:

2
√(𝐹0 )
𝑚
𝐴(𝑤) =
√(𝑤 − 𝑤 0 )2 + ((0)𝑤)2
2 2
2
√(𝐹0 )
𝑚
𝐴(𝑤) =
√(𝑤 − 𝑤 2 0 )2
2
 Por definición sabemos que todo numero √𝑎2 = 𝑎, por lo tanto

𝐹0
𝐴(𝑤) = 2 𝑚 2
|𝑤 − 𝑤 0 |
→ 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
b. Tabla
𝑘
Teniendo en cuenta que: 𝐹0 = 70 𝑁 ; 𝑀 = 5𝑘𝑔; 𝑤0 = 4,47 → 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑤0 = √𝑚
Por lo tanto para que el sistema se encuentre en resonancia cuando la frecuencia externa
coincida con la frecuencia natural (𝑤0 ), por lo cual en este caso w=4,5 y A tiende al
infinito. Por lo cual la amplitud en este punto se comportaría hacia el infinito, debido a que
hay resonancia
w A(w)
0 3,11
0,5 3,50
𝐹0
1 4,00
1,5 4,67 𝐴 𝑤 = 2 𝑚 2
|𝑤 − 𝑤 0 |
2 5,60 30,00
2,5 7,00
3 9,33 25,00
3,5 14,00
4 28,00 20,00
4,5 #¡DIV/0!
5 28,00 15,00
5,5 14,00
6 9,33 10,00
6,5 7,00
7 5,60
5,00
7,5 4,67
8 4,00
0,00
8,5 3,50 0 2 4 6 8 10 12
9 3,11
9,5 2,80
10 2,55

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TALLER 1.

a) Demuestre que la ecuación

𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑤) sin(𝑤𝑡 − 𝛿) 𝐸𝑐. 1

b) Realice una gráfica de la amplitud, A, en función de la frecuencia externa w. Indique el

𝑧(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 3

 Por regla de la cadena tenemos que:

𝑧̇ (𝑡) = 𝐴𝑖𝑤𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 5

 Haciendo la segunda derivada, usando también la regla de la cadena, tenemos que:

 Por propiedad de los complejos, sabemos que: 𝑖 2 = −1, por lo tanto:

𝑧̈ (𝑡) = −𝐴𝑤 2 𝑒 𝑖(𝑤𝑡−𝛿) 𝐸𝑐. 6

 Ahora sacando raíz cuadra en ambos lados, tenemos que:

 Por definición dada por el ejercicio tenemos que Γ = 0. Por lo tanto:

 Por definición sabemos que todo numero √𝑎2 = 𝑎, por lo tanto

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