ALGEBRA LINEAL

TRABAJOS A REALIZAR

 UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS Y REALES

O 1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

O 1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS

O 1.3 POTENCIAS DE I, MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

O 1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

O 1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS

O 1.6 ECUACIONES POLINÓMICAS

 UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES

O 2.1.- DEFINICIÓN DE MATRIZ

O 2.2.- OPERACIONES CON MATRICES

O 2.3.- CLASIFICACIÓN DE MATRICES

O 2.4.- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN

O 2.5.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

O 2.6.- DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

O 2.7.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

O 2.8.- INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA

O 2.9.- APLICACIONES DE MATRICES Y DETERMINANTES

 UNIDAD 3: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

O 3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

O 3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS S.E.L. Y TIPOS DE SOLUCIÓN

O 3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES

O 3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

O 3.5 APLICACIONES

 UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES

O 4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

O 4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

O 4.3 COMBINACIÓN LINEAL

O 4.3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

O 4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

O 4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO

O 4.6 BASE ORTONORMAL

 UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES

O 5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

O 5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

O 5.3 REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

O 5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

O HOME

 SITEMAP
1.1 Definición y Origen de los números complejos

Definición:

“El sistema de números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de
números reales con dos operaciones binarias, adición +, y multiplicación *, definidas como:

(x, y) + (u,v) = (x +u, y+v )

(x, y) · (u, v) = (xu – yv, xv + yu)

Dos números complejos (x,y) y (u,v) son iguales, si y solo si, x= u y y= v”[1].

“Un número complejos es una expresión de la forma:

z= x + iy

donde x y y son números reales, x se denomina la parte real de z, y la parte imaginaria, e i =-1, el
cual tiene la propiedad que i2 = -1. ”[2].

Representación geométrica de los números complejos:

Origen:

“La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del
trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como
resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el
Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de
grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

“Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las regl
formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

5)      ”[1].

Conjugado:

El conjugado  de un número complejo z = x + iy, está dado por = x – iy.

Ejemplo:

Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es   = 3 – (-2i) = 3 + 2i

Suma y resta :

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplos:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

Multiplicación con números  complejos:

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos
llegamos a un resultado donde encontramos i 2, donde i2 = -1.

Ejemplos:

División de números complejos:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo:

  lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.
 1.3 Potencias de i, módulo de un número complejo.

Potencias de i:

"El símbolo i =  -1 tiene la propiedad de que i2 = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i3 = i2i = (-1)i = -i

i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1

i5 = i4i = (1)i = i

i6 = i5i = (i)(i) = -1

Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2].

Módulo de un número complejo:

“Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo
de z es

”[3].

Ejemplo:

Z = 3 – 4i
 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo

Forma polar:

            “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy.  Como x =
r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles,
incluyendo valores negativos”[1].

r cosθ = x

                                                                                                                                           r senθ = y

Para convertir de forma polar o rectangular:

z = 5 – 5i

Forma exponencial:
            “La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como
fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ”[1].

Expresión rectangular: Z = x + yi

Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).

“Convertir de rectangular a polar:

Z = 5 - 5i

1. Se saca el modulo de |z| = r

2. Después de tener el módulo se obtiene teta.

(El resultado de la operación es -45 pero el punto (5,-5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que
a 360 se le restara el valor de teta.)
1.5 Teorema de Moivre, Potencias y raíces de números
complejos
            “Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquie
z = rn(cosnθ + isennθ).

”[3].

            “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima "

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-é

Así como la raíz cuadrada es lo que se

multiplica dos veces para tener el valor
original...

... y la raiz cubica es lo que se

multiplica tres veces para tener el valor
original...

... la raíz n-ésima es lo que se

multiplica n veces para tener el valor original.
Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta:

 , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación).

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en á lgebra, y también algunos cá lculos:

Ejemplo:

También funciona con la divisió n:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)
Ejemplo:

Suma y restas

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

“[1].

Ejercicio:

Encontrar las raíces cuartas de.

Z=1               n=4

Primero sacamos el modulo

Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre.

En esta fórmula solo vamos a sustituir valores.

Para K=0, K=1, K=2, K=3.

K=0

Entonces nuestras raíces serian: 1, i, -1, -i

1.6 Ecuaciones polinómicas

“Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinó
de tipo.

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que perm
reescribir el polinomio de la siguiente forma:

IMAGEN 1.2

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, q
teóricamente vendría dada por:

IMAGEN 1.3

Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativ

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la un
imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que
x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice q
cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes,
parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.

Con los nú meros complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo
cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La divisió n es un poco má s sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del d

 nominador de la fracció n:

IMAGEN 1.4

Numero de soluciones de una ecuació n polinó minal.

1er grado X-2=0      X=2

2do grado       X2 -6X+9=0        (X-3)   (X-3)=        X=3     X=3

3er grado        X3+4X=0           X(X+2)(X-2)=0          X=0    X=-2i   X=2i

4to grado        X4-1=0         (X-1)     (X+1)    (X-1)    (X+i)=0

                        X=1     X=-1     X=1      X=-i

Encontrar los valores de x :

X4- X2- 20= 0

(X2- 5)    (X2+4)=0

IMAGEN 1.5          ”[2].

 UNIDAD 2: Matrices y Determinantes

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de
datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados
básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el
irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

2.1.- Definición de Matriz

Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Las líneas horizontales
reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El numero de filas puede s
menor, igual o mayor que el numero de las columnas.

-          Las filas se numeran de arriba hacia abajo y las columnas  de izquierda a derecha. En el ejemplo a): La primera
fila de la matriz es   la segunda fila es , la primera columna es  y la segunda columna es .

2.2.- Operaciones con matrices

Se considera un álgebra de matrices, en la que definimos sobre ellas operaciones con sus respectivas propiedades.

Las operaciones más comunes son:

        Operaciones de transposición: la transpuesta de una matriz A =   de orden (m,n) es una matriz de orden
(n,m), que se obtiene intercambiando filas por columna (o l que es igual, columnas por filas).

        Suma: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B =  se definen la suma como otra matriz C=  de igual
orden.

        Diferencia: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B = [ ] se definen la  diferencia  como otra
matriz C=[ ] de igual orden.

        Producto por un numero: Dada una matriz  y un numero , el producto B =   que se obtiene multiplicando
por  cada uno de los elementos de la matriz A.

        Combinación lineal: Dadas las matrices A =   , todas del mismo orden y los números , se dice que la
matriz   A +  = N, es combinación lineal.

2.3.- Clasificación de matrices

Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Las líneas horizontales
reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El numero de filas
puede ser menor, igual o mayor que el numero de las columnas.

Y las podemos clasificar de la siguiente manera:

        matriz cuadrada.

        Esta es un matriz diagonal.

        matriz nula.

        matriz cuadrada.

        matriz asimétrica

        Matriz escalar.

        Matriz identidad.

        Matriz transpuesta.

2.4.- Transformaciones elementales por renglón

Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de
transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las
filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬. Un punto digno de notar es que
esta operación no es de naturaleza singular. De hecho se ha demostrado, que todas las matrices no singulares son e
resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que
para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz inversa, la cual tampoco es singular y es también
el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz
identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

2.5.- Cálculo de la matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A,
y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica 

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos
es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila
diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
Método de Gauss-Jordán para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss - Jordán para calcular la matriz inversa
de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la
inversa.

2.6.- Definición de determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello,
definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular
determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los
paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve
para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

• El determinante de una matriz es un número.

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la
pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos
de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.
2.7.- Propiedades de los determinantes
Los determinantes tienen muchas propiedades que pueden facilitar los cálculos. Empezaremos a describir estas
propiedades estableciendo un teorema, del cual deduciremos lo demás. La demostración de este teorema es difíci
se pospondrá para la próxima sección:
 2.8.- Inversa de una matriz cuadrada a través
de la adjunta
Definición:  Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal
son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero.  La
matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).

Definición:  Sea A una matriz cuadrada n x n.  Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface  A ∙ B = I 
y  B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

La inversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles.  entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz
identidad del mismo orden que la matriz A.   Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que
la matriz A se transforme en la matriz identidad I.  Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha
de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.
2.9.- Aplicaciones de matrices y determinantes
Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadra
n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22
ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y c
cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad).

Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si tod
entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices.

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales:Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag
d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT =

es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.
UNIDAD 3: Sistema de Ecuaciones Lineales

Link del site de Algebra: https://sites.google.com/site/algebralinealesl/

Sistemas De Ecuaciones Lineales
 Recordemos que la ecuación general de la recta  en   es de la forma:
ax +by=c

y que la ecuación general en el plano en   es de la forma:

ax+by+cz=d
las ecuaciones de esta forma se denominan ecuaciones lineales.

 las siguientes son ecuaciones lineales:

3x-2y=1
2x+5y+4z=24

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales

DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Es un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variables

Por ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales

en tres incógnitas se escribe así:

Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede abreviar escribiendo únicamente
el arreglo rectangular de números:

Esto se conoce como Matriz Aumentada del sistema.

(El término matriz se emplea en matemáticas para denotar

un arreglo rectangular de números, las matrices aparecen

en varios contextos).

 Coeficientes:  aij  para i = 1, 2, ....., m   j = 1, 2, .....  n

 Términos independientes:  bi  para i = 1, 2, ....., m
  Incógnitas del sistema: x1, x2,.... xn
Diremos que un conjunto de n números ordenados( ) es una solución del sistema si satisfacen

todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes.

Definición

Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

(Observese que no necesariamente han de tener el mismo número de ecuaciones.)

Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales.

Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:

·         Incompatibles: si no tienen solución.

·         Compatibles: si tienen al menos una solución.

·         A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican,

en función del número de soluciones, en:

o    Determinados: si tienen una única solución.

o    Indeterminados: si tienen más de una, en cuyo caso tendrán infinitas soluciones.

Notemos que los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, la solución (0, 0,… ,0)

que recibe el nombre de solución trivial, por ello siempre son compatibles.

 El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en reemplazar el sistema dado

por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver.

Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en una serie de etapas,

aplicando los siguientes tres tipos de operaciones.

Pasos para resolver la matriz:

1. Multiplicar una ecuación (o renglón) por una constante diferente de cero.

2. Intercambiar dos ecuaciones (renglones).

3. Sumar un múltiplo de una ecuación (renglón) a otra.

4. Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada

corresponden a las ecuaciones del sistema asociado,

estas tres operaciones equivalen a las operaciones con renglones

 de la matriz aumentada.

3.2. Clasificación de los S.E.L. y tipos de solución

 Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de

soluciones que pueden presentar.

 Pueden presentar los siguientes casos:

1. Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.

2. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede
distinguirse entre:

o Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de

 soluciones.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.

Teniendo así la clasificación:

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a
uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como
rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual
a 1 y no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo.

Para proceder a la resolución se debe:

 Eliminar paréntesis.
 Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:
 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

b) Ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones

algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:

c) Ecuaciones literales:
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en
el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones

Los finitos pares ordenados (x; y) que satisfagan a la ecuación lineal a.x + b - y +

c=0 corresponden a los infinitos puntos de una recta del plano. Por tanto, el
problema de resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas es
el problema de estudiar la posición de sendas rectas.

1. Sistema incompatible (carece de solución) rectas paralelas.

2. Sistema compatible y determinado (solución única) rectas secantes.

3. Sistema compatible e indeterminado (infinitas soluciones) rectas

coincidentes.

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades

para su solución. Estas son:

1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de

ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el
sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo
punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de
ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente
independiente.
Gráficamente se representa:

2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución

cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que
sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto
sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con
este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y
que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones
lineales inconsistente independiente.

Gráficamente podemos representarlo como:

3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se

encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas.
Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este
escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de
intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de
ecuaciones lineales consistente dependiente.

Gráficamente podemos representarlo como:

Con la ayuda de un ejemplo, vamos a entender las diversas soluciones posibles.

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales dado como:

y = 3x – 2 y = -x – 6

La representación gráfica de las ecuaciones puede darse como:

Ya sabemos que en el caso de una sola recta, todos los puntos que intersecten con
esa recta son llamados solución de la ecuación, sin embargo al tratar con un sistema
 de ecuaciones, la situación es diferente. En tal situación para que un punto sea la
solución del sistema de ecuación dado, necesita estar sobre cada recta definida en el
sistema de ecuación dado. Por lo tanto, si nos fijamos en el diagrama siguiente:

El punto resaltado con color rojo no puede considerarse como una solución, ya que no
se encuentra en ninguna de las rectas definidas en el sistema de ecuaciones.

Tampoco podemos considerar el punto resaltado en color azul como la solución, ya

que se encuentra en una sola recta y no en la otra, por lo tanto, puede considerarse
como la solución para la recta y =-x - 6, pero no la del sistema dado.

Finalmente, el punto destacado en el color púrpura es la solución del sistema de

ecuación, ya que está en ambas rectas definidas para el sistema dado. También ésta
es la solución única del sistema dado, porque ambas líneas no se intersectan en algún
otro punto. Por tanto, llamamos a este sistema un sistema de ecuaciones lineales
consistente independiente.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales:

1. Gauss.
2. Gauss Jordán.
3. Determinantes o Regla de Cramer.
4. Adjunta de una matriz.
5. Sustitución.
 Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de Gauss:

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que se
resolver el sistema de ecuaciones a simple vista.

  

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5
Paso 6

Matriz Triangular Inferior (Matriz aumentada)

En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de

X = -23.8, Y = 32.6, Z = -7.8 para el sistema original de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X + 2Y + 3Z = 18                       Y + 2Z = 17                    Z = -7.8

 Sustituimos las ecuaciones y la solución  Z = -7.8, Y = 32.6, X = -23.8

se hace obvia examinando la raíz aumentada.

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De Gauss-Jordán:

 Se definió un poco la forma de solución de  un sistema de ecuaciones lineales una vez que su matriz au
se dará un procedimiento esquemático
conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser empleado para llevar cualquier matriz
a la forma escalonada reducida.
      

Paso 1

 Paso 2

Paso 3

Matriz Identidad

El sistema de ecuaciones correspondientes es:

 X = -23.8                       Y = 32.6                    Z = -7.8

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de determinantes o regla

de cramer:

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes

1. Representar las ecuaciones en matrices

                2. Calcular la determinante de la matriz A

                3. Crear las matrices Δ1, Δ2 y Δ3 y calcular sus determinantes 

                4. Calculamos X, Y y Z

X = |Δ1|/|A| = -238/10 = -23.8

Y = |Δ2|/|A| = 326/10 = 32.6

Z = |Δ3|/|A| = -78/10 = -7.8

 Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Metodo De La Inversa

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible

resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer
(es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas
y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).

  

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa

son los siguientes:
                1. Calcular la inversa de la matriz A:
2.- Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B

X = 18(-31/10) + 20(17/10) + 10(-1/5) = -23.8

Y = 18(37/10) + 20(-19/10) + 10(2/5) = 32.6
Z = 18(-11/10) + 20(7/10) + 10(-1/5) = -7.8

Método por sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita,

preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra
ecuación por su valor.

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita ´y´ por ser la de menor coeficiente y que

posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente
ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita ´y´ en la otra ecuación,
para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la  ´x´.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por

su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema
queda ya resuelto.

Matriz Inversa:

Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene
la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado  n x n matriz, es otro n x n matriz
denotado por A-1  :

Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de
identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero
entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular.
Sólo no singular matrices tienen inversas.

Fórmula para Inversa nxn matriz inverza:

Se puede encontrar la inversa de una matriz nxn general utilizando la siguiente

ecuación
 3.5 Aplicaciones

Aplicaciones con relación a los sistemas de ecuaciones

Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática.

La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo
elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como
un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para
recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa
donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos
para las respectivas entradas.

En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan
ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener
expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas
aproximadas.

Ejemplos de la aplicación de un método de solución de sistemas de ecuaciones:

1.- En una empresa se fabrica un producto que tiene costo variable de $5 por unidad y costo fijo
de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $12. Determine el número de unidades que
deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $60,000.

Solución:   Costo = 5u + 80,000.             Venta = 12.      Utilidades = 60,000.

Entonces:     C = 5u + 80,000.          V = 12u.                       U = 60,000.

U = V - C        60,000 = 12u  - (5U+80000)     60,000 = 12u - 5u - 80,000 

60,000 + 80,000 = 7u     140,000 = 7u       140,000/7 = u         20,000 = u
Al obtener nuestro coeficiente pasamos a sustituirlo:
C = 5(20,000) + 80,000 = 180,000.

V = 12(20,000) = 240,000.

U = 240,000 - 180,000 = 60,000.

Al terminar nos damos cuenta que por este método de sustitución e igualación se puede llegar al
resultado.

2.- La empresa “Organicomputer”, fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, 

clon, y lenta_pero_segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de
ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere
10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una 
lenta_pero_segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas.
 Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas
para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

Solución

En nuestro caso las incógnitas es el número de cada tipo de computadora a producir:

 x = número de computadoras cañón

 y = número de computadoras clon
 z = número de computadoras lenta_pero_segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado pruebas, e instalación
de programas.

Nuestras matrices serán:

En esta ocasión se resolverá por Cramer, pero se puede utilizar cualquiera de los métodos
(Gauss, Gauss Jordán, Usando la inversa), el resultado debe ser el mismo.

 X = |Δ1|/|A| = -51/-1.5 = 34

 Y = |Δ2|/|A| = -6/-1.5 = 4
 Z = |Δ3|/|A| = -27/-1.5 = 18

Al resolver este sistema obtenemos:

X = 34, Y = 4, Z = 18

34 computadoras Cañón.
4 computadoras Clones.
18 computadoras lentas pero seguras.
 UNIDAD 4: Espacios Vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias
llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse
dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3  al manejar un espacio
vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios
(en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real.
La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un
espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente
a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.
[1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

 5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y es un escalar, entonces x pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y es un ecalar, entonces x+y)=x +y

8-     Si X pertenece a V y y son escalares, entoncesxx+y.

9-     Si X pertenece a V y  y  son escalares, entonces (x) = ()x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus

propiedades
DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de
suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente
sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para
demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones
de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se
cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y
multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
 x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

      H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H.

4.3 Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos
vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan
distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la

forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn
donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como

i = (1,0,0); 
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)
 V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

4.3 Dependencia e Independencia lineal

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus
componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si

existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2+…+ckvk=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los
vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales
(solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>n
Los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo
escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están
en un mismo plano.
Teoremas

1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente
dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5. Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
 Unidad 4.4 esta aparte en otro archivo
4.5 Espacio vectorial con producto interno
Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de
vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con
cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se
tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros
posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores:

1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto

interno.
 5.1 Introducción a las transformaciones
lineales.
Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son
compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La
restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las
operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las
definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas
de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por

                        
es lineal.

                  

Entonces :
  

Por otro lado, para todo escalar c,

          

Como se cumplen las dos condiciones:      

   
T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una
transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de
una base cualquiera de su dominio.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene
sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad,
suryectividad y biyectividad.

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres
particulares:
Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se
dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.
2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.
3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en s ́ı

mismo:
Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un endomorfismo de
V . Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un
automorfismo.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

Transformaciones lineales: núcleo e imagen.

Teorema  1

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,

v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:

i. T(0) = 0

ii. T(u - v) = Tu - Tv

iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la

derecha es el vector cero en W.

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,

w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V

en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈

V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.

Ejemplo

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para
cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo,
observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De

hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.

Teorema 4

Si T:V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracion

i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y
T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se                     encuentra en el núcleo.
En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T:R3 R3 definida por

T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x  = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el  plano xy. Observe
que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2      Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R ´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im
A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una
transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

5.3 Representacion Matricial de una

Transformación Lineal
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales.
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación
Rm.◊Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen
ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de
resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn
Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de
lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfi ca de la multiplicación
matriz-vector.
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este
es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto
puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se
realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos
dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2
es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado
hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el
nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al
eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede
realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de
puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3).
El primer paso para esto es determinar los vectores base.
.
Por lo tanto, podemos afirmar que,R2
es una transformación lineal, entonces podemos escribir que,◊Dado que y
pertenece a R2. Imagina que A: R2
La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es
determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2).
El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬
para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos
escribir que,
Esto produce,
De manera similar, la imagen del vector base resulta.