Repaso de Radicales
Repaso de Radicales
Repaso de Radicales
Hemos ido conociendo los diferentes tipos de números, empezando por los
números naturales ( ), que son los primeros que surgen de manera natural, de ahí su
nombre, para contar las cosas. Podemos imaginar al hombre prehistórico utilizando los
números naturales, a su manera, para contar cuantos hijos tenía, cuanta fruta había
recolectado, cuanta caza, etc,… Existen estudios que demuestran que hay pájaros
capaces de contar hasta cinco, y así saber cuantas crías tienen y cuanta comida tienen
que llevar a los nidos.
Los números naturales son, por tanto el 0, 1, 2, 3,…. Hay infinitos naturales, es decir,
podemos encontrar un natural tan grande como queramos.
Los números naturales se pueden representar en una recta, pero no completan la recta,
quedando huecos que no son números naturales:
Después conocimos los números enteros ( ), que añadían a los naturales, los
negativos, es decir, los opuestos de los naturales. Son el resultado de restar a un natural,
otro natural mayor que él. Si queremos restar al natural 5 el natural 25, ¿El resultado
será otro natural?
La respuesta es que no, solo podemos restar hasta 5, los que tenemos, para que el
resultado sea natural, si restamos más, entramos en otro conjunto de números, el de los
enteros, obteniendo -20 como resultado.
Los enteros son por tanto los números …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Que también se
pueden representar en la recta, pero sin conseguir completar la recta:
1
numerador y denominador enteros. Estos números también se representan en la recta,
pero siguen quedando huecos en ella. Así, hay números que se pueden representar en la
recta que no son racionales.
4 1 13
Ejemplo: = 0'8; = 0'3; = 0'72 .
5 3 18
Pero, ¿qué pasa con los huecos? Los huecos que quedan en la recta son aquellos
números que no pueden expresarse de manera exacta o periódica con números
decimales. Por ejemplo, ¿has probado a calcular la raíz cuadrada de 2? Si hacemos esta
raíz cuadrada, que no es exacta, podemos pasarnos la vida entera calculando más y más
decimales, que no encontraremos nunca una pauta, un periodo que se repita en su
expresión decimal como ocurre con los dos ejemplos anteriores ( 0'3 y 0'72 ). Así,
pues, según lo dicho anteriormente, este número, el resultado de hacer la raíz cuadrada
de 2, no es un número racional, no lo podemos expresar como resultado de una
división, no es una fracción con numerador y denominador enteros, y, sin embargo, si se
puede representar en la recta:
De esta manera, introducimos los números Irracionales, que son aquellos que no son
racionales, es decir, aquellos que no se pueden expresar como fracción con numerador y
denominador enteros, pero que si se pueden representar en la recta. Como hemos visto,
2
los números Irracionales no tienen expresión decimal exacta ni periódica. Es decir,
siempre que se expresen con números decimales, se estará dando una aproximación.
La unión de los Iracionales y los Racionales se llama conjunto de los números Reales,
que son todos los números que se pueden expresar como puntos de la recta. Así, queda
completada la recta, y cualquier punto de ella es un número Real. Pudiéndo ser éste
Racional o Irracional.
a) En primer lugar se definió la potencia con exponente natural distinto de cero. an,
donde n era un número natural distinto de cero. Esta definición era muy sencilla,
pues consistía en reiterar la multiplicación ‘a’ por ‘a’ por ‘a’, tantas veces como
indica el número natural n.
Así, por ejemplo, 134 consiste en multiplicar 13·13·13·13 siendo el resultado el
número28561.
Definición de Radical:
Se llama radical de índice el número positivo n y radicando el número A, al Número
Real que al elevarlo a la potencia positiva n, da como resultado el número real A.
Ejemplo:·El radical de índice 3 y radicando 30 será el número real (K) que al elevarlo al
índice (3) da como resultado el número 30. Es decir K tiene que ser tal que al
multiplicarlo por sí mismo 3 veces obtengamos el número 30.(K3=30)
Así pues, lo primero que tenemos que observar es que un radical es siempre un número
real. No es una cosa rara, es un número. Y como tal, podremos operar con el, sumarlos,
restarlo, multiplicarlo, dividirlo por otros números.
n
A , donde n es el índice, y A es el radicando.
3
Observación: De la propia definición observamos que si elevamos un radical al índice,
n
el resultado será el radicando: n A = A . ( )
Podemos ya dar la definición de potencia con exponente una fracción.
Una potencia con exponente una fracción de numerador entero m y denominador n,
consiste en el radical de índice el denominador n, y radicando la potencia con exponente
el numerador m:
a n = n am .
Observación:
• Un Radical es un número real por tanto o es Racional o es Irracional.
m
• Sea un radical, n
a m , donde el radicando es una potencia; n
a m
= a ; En caso
n
m m
de que n
sea entero, el número real n
a m será racional y en caso de que n
no
sea entero, el número real n a m será Irracional.
• Cuando un radical es Irracional, no se calcula la expresión decimal (ya que no
será exacta sino aproximada). Se deja en forma de radical.
Ejemplos:
6 6
64 = 2 = 2 , como 3 es entero, es igual a 2, entonces el radical 64 es
3 6 3
3 3
Como hemos dicho los radicales son números, pero su expresión es algo compleja,
además un mismo número se puede expresar de varias formas como radical, veámoslo:
4 8
3
16 = 3 2 4 = 2 3 = 2 6 = 6 2 8
4 1 1 1
1+
3
16 = 2 = 2 = 2
3 4 3 3
= 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 21 = 2 ⋅ 3 2
1 3 3
4 1 1 1 3
1+
3
16 = 3 2 4 = 2 3 = 2 3 = 21 ⋅ 2 3 = 2 ⋅ 2 3 = 2 ⋅ 2 9 = 2 ⋅ 9 2 3
Hemos obtenido cuatro expresiones distintas 3 16 , 6 2 8 , 2 ⋅ 3 2 y 2 ⋅ 9 2 3 del mismo
número real utilizando las propiedades de las potencias y de las fracciones.
Esto puede ser un lío, si cada uno le gusta expresar los radicales de una manera, sería
imposible ponernos de acuerdo para operar con estos números tan complicados. Así que
vamos a definir una forma única de representar todos los radicales, de manera que
4
siempre que un radical no esté de esa forma, seamos capaces de ponerlo de esa forma.
Se llamará forma típica.
Pues bien, en esto va a consistir una parte muy importante de la teoría de radicales, en
ser capaz de poner un radical en forma típica. Para ello, se siguen las siguientes pautas:
1º) Descomponer en factores el radicando.
2º) Reducir índice.
3º) Sacar factores fuera del radical.
Ejercicio 1.
Pasar a forma típica los siguientes radicales:
a) 3 459
1º) 459 = 33·17 3 459 = 3 33 ·17 . A partir de ahora, con las bases (3 y 17) ya no
se operará, únicamente hay que fijarse en el índice (3) y en los exponentes ( 3 y
1)
2º) NO se puede reducir índice, ya que el índice y los exponentes, 3, 3 y 1
tienen por M.C.D. 1. Es decir, no se pueden dividir a la vez más que por 1.
3º) Para sacar factores fuera comparamos los exponentes con el índice, si es
mayor o igual se podrá sacar fuera el factor correspondiente( el 3), si es menor
no se podrá sacar.
El 1er exponente, 3, es igual al índice,3. Es decir, se podrá sacar fuera. ¿cómo se
saca? Dividiendo el exponente entre el índice. El cociente es el exponente que
sale fuera y el resto es el exponente que queda dentro. FIJATE QUE
HABLAMOS SIEMPRE DE EXPONENTE. CON LAS BASES NO
OPERAMOS. Así, como 3:3 da 1 y el resto es cero, el exponente que sale es 1 y
dentro no queda nada. Desaparece de dentro el factor.
El 2º Exponente, 1 es menor que el índice,3. Por tanto no sale el factor
correspondiente (17). Así:
3
33 ·17 = 3·3 17
Rta: La forma típica de 3
459 es 33 17
b) 3 675
1º) 675 = 33·53 3 675 = 3 33 ·5 3 .
2º) SI se puede reducir índice, ya que el índice y los exponentes, 3, 3 y 3tienen
por M.C.D. 3. Es decir, se pueden dividir a la vez por 3. Así:
3
33 ·5 3 = 3·5 =15
5
3º ha desparecido el radical, por lo tanto, ya ha salido todo del radicando.
Rta: La forma típica de 3 675 es 15
c) 4 123456
1º) 4 123456 = 4 2 6 ⋅ 3 ⋅ 643
2º) 4
2 6 ⋅ 3 ⋅ 643 NO puede reducirse índice M.C.D.(4,6,1,1)=1
3º) 6:4=1 y de Resto 2 4 2 6 ⋅ 3 ⋅ 643 = 21 ⋅ 4 2 2 ⋅ 3 ⋅ 643 = 24 2 2 ⋅ 3 ⋅ 643
Rta: La forma típica de 4 123456 es 24 2 2 ⋅ 3 ⋅ 643
d) 1212 32400
1º) 1212 32400 = 12·12 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2
2º) 12·12 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 SI puede reducirse índice M.C.D.(12,4,4,2)=2:
12·12 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 = 12·6 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 51
3º) NO puede sacarse ningún factor fuera.
Rta: La forma típica de 1212 32400 es 126 2 2 ⋅ 33 ⋅ 5
e) 34 648000
1º) 34 648000 = 3·4 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5 3
2º) 3·4 2 6 ⋅ 34 ⋅ 53 NO puede reducirse índice M.C.D.(4,6,4,3)=1:
g) 3 686 Solución: 73 2
h) 54 96 Solución:10 4 6
i) 2 7623 Solución: 66 7
j) 2 3 4 a 3 c 2 (Si en lugar de factores primos, los factores son letras, pues hacemos lo
mismo. Total, con las bases no se opera, así que es igual que sean números primos o que
sean letras)
Solución: 18ac a
6
k) 3
64 x 4 y 3 z 2 Solución: 4 xy 3 xz 2
l) 15
32 x 5 y 5 z 15 Solución: z 3 2xy
m) 5
320 x 5 y 5 c 10 Solución: 2xyc 2 5 10
270( a + b ) c 10 Alguno de los factores puede ser una suma, como en este caso,
5
n) 3
270( a + b ) c 10 = 3 2 ⋅ 5 ⋅ 33 ( a + b ) c 10
5 5
1º) 3
Solución: 3·( a + b ) ·c 3 ⋅ 3 10 ⋅ ( a + b ) 2 c
8000( a + b ) (1 + a ) c 3
6 12
ñ) 5
Por tanto, para sumar radicales, lo primero será poner todos los radicales que
aparecen en forma típica. Lo cual no es un problema si hemos realizado el ejercicio
1 tantas veces como haya sido necesario para hacerlo con soltura.
Ejercicios Resueltos (Hay que entenderlos, después intentarlos, después
corregirlos, volverlos a entender, volverlos a hacer,… hasta que salgan casi sin
pensar):
Ejercicio 2:
7
Realiza las siguientes sumas de radicales:
a) 2 11 − 7 11 + 5 11 − 3 11
1º) Se pasan a forma típica los radicales. En este caso ya están en
forma típica.
2º) Se agrupan aquellos que tienen idéntica parte radical:
( 2 − 7 + 5 − 3) 11 = −3 11
Rta: − 3 11
b) 6 − 2 24 + 3 54 − 5 12 + 27
1º) En forma típica:
6 − 4 6 + 9 6 − 10 3 + 3 3
2º) Se agrupan los semejantes:
(1 − 4 + 9) 6 + ( − 10 + 3) 3 = 6 6 + ( − 7 ) 3 = 6 6 − 7 3
Rta: 6 6 − 7 3
c) − 3 45 − 3 125 + 2 500 − 5 20
Solución: − 14 5
d) 4 + 3 27 + 4 16 − 3 8
Solución: 2 + 9 3
5
3 5 2
e) + 96 − 5 729
4 3
15 2·3 5 1
1º) 3 + 25 3 − 3 = 5 3 + 25 3 − 25 3
4 3 4
1 1 8 8 1
2º) + 2 − 2 5 3 = + − 5 3 = 5 3
4 4 4 4 4
1
Rta: 5 3
4
32a 4 ( a ⋅ b )
3
f)
5
a 2b 4 a 5
+ a5 − 243a 2b 3
5 b 9
32a 4 ( a ⋅ b )
3
1º)
5
a 2b 4 a 5
+ a5 − 243a 2 b 3 =
5 b 9
2a 5 2 3 a
a b + a5 a 2 b 3 − 5 a 2 b 3
5 3
2a a 16a 5 2 3 16a 5 2 3
2º) + a − 5 a 2 b 3 = a b Rta: ab
5 3 15 15
243 3 75
g) + 210 243 + 4 9 − 26 27 − 3+
6 2 5
Solución: 2 3
h) 15 − 2 375 + 3 60 − 5 8 + 72
8
Solución: − 3 15 − 4 2
i) 6 ( a + b ) 3 − ( a + b ) + 3 9( a + b ) − 5 b 3 + 36b
Solución: ( 6a + 6b + 8) ( a + b ) + ( − 5b + 6 ) b
Ejemplos:
5
45 ⋅ 3 2 . Como son dos radicales con índices distintos(5 y 3), tenemos que
reducir a común índice. El m.c.m (5,3)=15. por lo tanto el índice será 15. Vayamos
radical por radical:
5
45 = 5 3 2 ·5 = 15 ??? ; dividimos el m.c.m que es 15, entre el índice original, que
es 5, y obtenemos 3. Por tanto, hay que multiplicar los EXPONENTES (recordamos
que con las bases no operamos) por 3. Así, el nuevo exponente del factor 3 será 6 (2·3)
y el nuevo exponente del factor 5 será 3 (1·3) quedando:
5
3 2 ·5 = 15 36 ·5 3 . Así, el primer radical lo expresaremos de esta forma.
3
2 = 15 ??? . Dividimos 15 entre 3, obteniendo 5. Por tanto, el nuevo exponente
del factor 2 será 5 (1·5) quedando:
3
2 = 15 2 5 . Expresando de esta forma el segundo radical.
De esta forma, el producto inicial se puede expresar así:
5
45 ⋅ 3 2 = 15 3 6 ·5 3 ⋅ 15 2 5
Ahora, al tener el mismo índice, si se puede multiplicar reuniendo todos los
factores bajo el mismo radical:
15
3 6 ·5 3 ⋅ 15 2 5 = 15 3 6 ·5 3 ·2 5
Así pues, el producto de estos dos radicales es el radical 15
36 ·53 ·25 .
Ejercicio 3:
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:
a) 2 11 ⋅ 3 7 ⋅ 28 ⋅ 3 121 ⋅ 4 7 3
9
1º) Descomponemos en factores los radicandos:
2 11 ⋅ 3 7 ⋅ 28 ⋅ 3 121 ⋅ 4 7 3 = 2 11 ⋅ 3 7 ⋅ 2 2 ⋅ 7 ⋅ 3 112 ⋅ 4 7 3
2º) m.c.m.(2,3,2,3,4)=12
2 11 ⋅ 3 7 ⋅ 2 2 ⋅ 7 ⋅ 3 112 ⋅ 4 7 3 = 2 ⋅ 12 ??? ⋅ 12 ??? ⋅ 12 ???·12 ???·12 ??? =
Dividimos ahora 12:2=6; 12:3=4; 12:2=6; 12:3 = 4; 12:4=3. Estos
números hay que multiplicarlos por los respectivos exponentes,
quedando:
2 ⋅ 12 116 ⋅ 12 7 4 ⋅ 12 212 7 6 ·12 118 ·12 7 9
3º) Multiplicamos ahora todos los radicandos bajo un mismo radical de
índice 12:
2 ⋅ 12 116 7 4 212 7 6118 7 9 = 212 2121114 719
4º) Pasamos el resultado a forma típica:
212 2121114 719 = 2·2·11·712 112 7 7 = 2 2 ·7·11·12 112 7 7
b) 2 14 ⋅ 5 25 ⋅ 15 ⋅ 6 84
1º) 2 14 ⋅ 5 25 ⋅ 15 ⋅ 6 84 = 2 2·7 ⋅ 5 5 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7
2º) m.c.m.(2,5,2,6)=30
2 2·7 ⋅ 5 5 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 6 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 30 215 ⋅ 715 ⋅ 30 512 ⋅ 30 315 ⋅ 515 ⋅ 30 210 35 7 5
3º) 30
215 ⋅ 715 ⋅ 30 512 ⋅ 30 315 ⋅ 515 ⋅ 30 210 35 7 5 = 30 215 715 512 315 515 210 35 7 5 =
30
2 25 7 20 5 27 3 20
4º) Ya está en forma típica.
Rta: 2 14 ⋅ 5 25 ⋅ 15 ⋅ 6 84 = 30 2 25 7 20 5 27 3 20
2 14 ⋅ 6 4
c) 3
2
2 14 ⋅ 6 4 2 2·7 6 2 2
1º) 3 3
=
2 2
2º)m.c.m.(2,6,3)=2
2 2·7 6 2 2 212 2 6 7 6 12 2 4
3
=
2 12 4
2
212 2 6 7 6 12 2 4 2 6 ·7 6 ·2 4
3º) =2 12
4
= 212 2 6 ·7 6
12
24 2
4º) 212 26 ·7 6 = 2 2·7 = 2 14
2 14 ⋅ 6 4
Rta: 3
= 2 14
2
d) 3 15 ⋅ 43 9 Solución: 36 ⋅ 6 3·5 3
10
e) a·b ⋅ 7 9b 6 Solución: b ⋅ 6 a 7 b 5 3 4
f) a 2 ⋅ 2 a ⋅ a 3 2 ⋅ 2 3 a ⋅ a 6 2 ⋅ 2 6 a Solución:24 a4
4 6m 3 1 3n 3 5 2m 4 n 3 mn 2
g) ⋅ ⋅ Solución: m
5 2n 2 8m 6 4m 3 n 4
• Potencia de Radicales.
Ejemplo:
( 7
2 ⋅ 54 ) 6
(
= 7 2 ⋅ 54 ) 6
= 7 2 6 ⋅ 5 24 = 5 3 ·7 2 6 5 3
• Radicales de Radicales.
radicales, solo esta dentro del primero, el de índice 3, por tanto, hay que
introducirlo en el otro radical. Para ello, se multiplica su exponente (2) por
el índice del radical en el que entra (también 2) obteniendo el exponente con
el que entra en el radical (2·2=4): 3
7 2 325 = 3 7 4 3 2 5 . Ahora si estamos
en condiciones de multiplicar los índices: 6
7 4 32 5
Ejercicio 4:
Realiza las siguientes operaciones de radicales:
a) (5)
3 2
4
Solución: 5 2 ·3 5 2
b) ( 3a )
7
2 Solución: 33 a 7 · 3
c) 2
( 3) 3
Solución 4 33
11
1
d) 23 5 Solución 25 2 2
2
5.-Racionalizar Radicales:
Emplearemos dos métodos para racionalizar, según el tipo de radical que haya en el
denominador:
3 ⋅ 5 32 2 3 ⋅ 3 ·4 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2
4 5 2 20 8 20 5
320 38 ·2 5 320 38 ·2 5 320 38 ·2 5
⋅4 = = = = =
2 ⋅ 4 23 2 2 ⋅ 4 2 3 ·4 2 2 ⋅ 4 2 3 ·2 2·4 2 4 2·2 4
Como observamos, ha desaparecido el radical del denominador, como
buscábamos.
3 ⋅ 5 3 2 320 38 ·25
Rta: =
2 ⋅ 4 23 4
• Si en el denominador tenemos una suma o resta de dos números donde uno
o los dos son radicales de índice 2.
En este caso, es muy sencillo, simplemente hay que multiplicar por el
conjugado de la suma o resta que aparece en el denominador.
¿Qué es el conjugado de una suma? Es una resta con los mismos sumandos.
Ejemplo: Conjugado de 3+ 2 es 3- 2 .
12
¿qué es el conjugado de una resta? Es una suma con los mismos sumandos.
Ejemplo: Conjugado de 5 - 2 es 5 + 2 .
133 5 2
Ejemplo: Racionalizar
2 5− 7
Observamos que en el denominador NO hay un único radical, sino que
hay una resta de dos radicales de índice 2. Por lo tanto es de los que hay
que racionalizar multiplicando por el conjugado del denominador.
1º) ¿Quién es el conjugado del denominador?
Como el denominador es 2 5 − 7 , el conjugado es
2 5+ 7.
2º) multiplicamos el numerador y el denominador por ese conjugado (
2 5 + 7 ):
133 5 2 2 5+ 7
=
(
133 5 2 2 5 + 7 )
·
2 5− 7 2 5+ 7 (2 5− 7 2 5+ 7 )( ).
Para realizar la multiplicación en el denominador, observamos que
siempre será suma por diferencia, así que el resultado será la diferencia
de los cuadrados:
(
133 5 2 2 5 + 7 ) = 13 5 (2 5 + 7 ) = 13 5 (2 5 + 7 ) = 13 5 (2 5 + 7 )
3 2 3 2 3 2
(2 5 ) − ( 7 ) 2 ( 5 ) − ( 7 )
2 2 2 2
4 5 − 7 4·5 − 7
2 2 2
13 5 ( 2 5 + 7 )
= 5 ( 2 5 + 7 ) = 5 ⋅ 2 5 + 5 · 7 = 2· 5 ·5 + 5 7
3 2
= 3 2 3 2 3 2 6 4 3 6 4 3
=
13
26 5 7 + 6 5 4 7 3 = 2·56 5 + 6 5 4 7 3 = 106 5 + 6 5 4 7 3
Rta: 106 5 + 6 54 7 3
Ejercicio 5:
Racionaliza los siguientes números radicales:
33 45 33 3 2 5
a) 4
1º)
3 4
3
33 3 2 5 4
33 33 3 2 5 ⋅ 4 33 312 38 5 4 ⋅ 12 39
2º) 4
. = = =
3 4
33 4
3·4 33 4
3·33
312 38 5 4 39 312 38 5 4 39 12 17 4
= = 3 5 = 3·12 35 5 4
4
34 3
13
Rta: 3·12 3554
12
b) 5
Solución: 65 2 2
23
73 7 2
c) Solución: 65 2 2
4
98
33 5 2
d) Solución: 12
33 ·5 5
4
33 5
6 6 5 + 18 2
e) Solución: −
5 −3 2 13
63 3
f) 1º) Lo primero que observamos es que en el denominador
3 6 −3 2
se puede sacar factor común el 3, quedando 3 6 − 2 de ( )
2·33 3 23 3
=
esta forma podemos simplificar:
(
3 6− 2 ) 6− 2
El conjugado del denominador es 6+ 2
23 3 6+ 2
3
(
2 3 6+ 2 )=
2º)
6− 2
·
6+ 2
=
( 6) − ( 2)
2 2
(
23 3 6 + 2 ) = 2 3(3
6+ 2
=
)
23 3 6 + 2
=
( )
6 − 2
2 2 6−2 4
=
3 6+ 2
3
( =
3
)
3 2·3 + 3 3 2
2 2
6
3 2 6 2 3 33 + 6 3 2 6 2 3 6
35 2 3 + 6 35
= =
2 2
63 3
35 2 3 + 6 35 6
Rta: =
3 6 −3 2 2
5 30 5 − 5 14
g) Solución:
3 20 + 14 166
2− 3
h) Solución: - 5 + 2 6
2+ 3
2 6
i) Solución:
12 + 4 3 18
124 5 3 424 5 3 7 2 − 184 5 3
j) Solución:
73 − 3 137
14