Flujo Eléctrico

 Ley de Gauss
 Aplicaciones de la ley de Gauss

1
 Flujo Eléctrico
El flujo eléctrico, FE, a través de una superficie es definida como el
producto escalar de E y A, FE = EA. A es un vector perpendicular
a la superficie con una magnitud igual a el área superficial. Esto es
cierto para un campo eléctrico uniforme.
Área A
Normal

θ
E E
A´ = A cos θ

A = A cosθ así FE = EA = EA cosθ

FE = EA
2
¿Qué pasa cuando el campo eléctrico no es uniforme y la superficie
no es plana?
Entonces dividimos la superficie en pequeños elementos y
sumamos el flujo a través de cada elemento.

E F E =  Ei  d Ai   E  d A
i

Unidades: N.m2 C-1

E dAi El flujo eléctrico da el número de
E líneas que cruzan una superficie.

3
 Flujo Eléctrico para una superficie cerrada.
Una superficie
cerrada encierra un
volumen. El flujo
1
eléctrico es la
3
cantidad de lineas
de campo que
atraviesan la
2 superficie. Así el
flujo saliendo del
volumen encerrado
es positivo y el
ΔAi
flujo que entra es
θi negativo.
ΔAi θi E
θi
E E
 
2
1
F E =  E  dA
3 ΔAi
S
4
 Ejemplo 1
Calcule el flujo eléctrico a través de un cilindro con un eje paralelo a
la dirección del campo eléctrico.
E A

1. La superficie curvada tiene flujo cero a través de él entonces E

es perpendicular a dA ahí.
2. Para las tapas, las superficies son perpendiculares a E, y E y A
son paralelos. Así el flujo a través de la tapa izquierda (en el
cilindro) es –EA, mientras el flujo a través de la tapa derecha
(fuera de el cilindro) es +EA. Por lo tanto el flujo neto a través
del cilindro es cero.
5
 Ley de Gauss
Relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada
Con la carga dentro Qin dentro de tal superficie.

  Qin
F E =  E  dA =
S 0
La ley de Gauss es usada para obtener el campo eléctrico.
Solamente útil para situaciones donde la distribución de carga es
simple o posee alto grado de simetría.

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 Haciendo uso de la Ley de Gauss
 Seleccione una superficie Gaussiana con la simetría
que se adapte a la distribución de carga

 Dibujar la superficie Gaussiana tal que el campo

eléctrico es constante o cero en todos los puntos de la
superficie Gaussiana

 Usar la simetría para determinar la dirección de E

sobre la superficie Gaussiana

 Evaluar la integral de superficie (flujo eléctrico)

 Determine la carga dentro de la superficie Gaussiana

 Encuentre E
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 Ejemplo 2
Use la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una
carga puntual aislada q.
Elegimos una superficie Gaussiana que es
una esfera de radio r centrada sobre la
carga puntual. Si la carga es positiva el
E campo apunta radialmente hacia afuera
r q
dA por simetría y en todas partes es
perpendicular a la superficie Gaussiana
  Qin q
E  dA = E dA SE  dA = SEdA =  = 
0 0

La simetría nos dice que el campo es constante sobre la

superficie Gaussiana. La ley de gauss da:
q 1 q q
SEdA = ESdA = E(4r ) = 0 : Hence E = 4 0 r 2 = k e r 2
2

8
 Ejemplo 3
Ulna esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ
y una carga total Q positiva. Calcule el campo eléctrico fuera de la
esfera. • La distribución de carga es
esféricamente simétrica así seleccionamos
una superficie Gaussiana esférica de radio
r > a centrada sobre la esfera cargada.
E r • La esfera cargada positivamente
dA a
significa que el campo esta dirigido
Q radialmente hacia afuera.
•Sobre la esfera Gaussiana E es siempre
paralelo a dA, y es constante.

1.- Para el lado izquierdo :  S

E  dA=  EdA=E  dA=E(4 r 2 )
S

Qin Q Q 1 Q Q
2.  Lado derecho: = 3.- E(4 r 2 )= o E= = k
0 0 0 4 0 r 2
e 2
r
9
 Ejemplo 3 continuación
Encontrar el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera
• Seleccionamos una superficie esférica Gaussiana con
radio r < a.
• La simetría de la distribución de carga significa que
podemos simplemente evaluar el lado izquierdo de la ley
r
a de Gauss justo como antes.
1..Lado izquierdo :  E  dA =  EdA = E  dA =E (4 r 2 )
Q S S S

Pero la carga dentro de la esfera Gaussiana no es mas grande que Q.

Si llamamos el volumen de la esfera Gaussiana V’ entonces

 3
2.- Lado derecho: Qin =  V  =   r 3.- E  4 r 2  = in =
4 3 Q 4 r
3 0 3 0
4  r 3  Q 1 Q Q
E= = r pero  = asi E = r = ke 3 r

3 0 4 r 2
3 0 4
 a3 4 0 a 3
a
3
10
 Ejemplo 3 continuación

hayamos que para r  a

a
Q
E = ke 2
r Q
y para r  a E
ke Q
E= 3 r
a
a r

11
 Ejemplo 4
Encontrar el campo eléctrico a una distancia r de un alambre
infinitamente largo con una carga positiva por unidad de longitud λ.
λ No hay La simetría aquí sugiere elegir una
++++++++++++++

flujo en superficie Gaussiana cilíndrica que

r
las tapas! es coaxial con la línea de carga. La
l simetría también dicta que el campo
E es perpendicular a la línea de carga y
esta dirigida hacia afuera.
Qin l
1.- Lado derecho: =
0 0

2.  Lado izquierdo :  E  dA =  EdA = E  dA =E (2 rl )

S sup cilind sup cilind

l 
E  2 rl  = o E=
0 2 0 r 12
 Ejemplo 5
Anteriormente establecimos que cualquier carga sobre un conductor debe
residir sobre su superficie, y que el campo eléctrico fuera justamente fuera del
conductor cargado es perpendicular a su superficie ( y tiene una magnitud σ/ε0).
Use la ley de Gauss para demostrar esto.
Para un conductor de forma arbitraria
podemos dibujar una superficie Gaussiana
dentro del conductor. Entonces hemos
mostrado que el campo eléctrico dentro de un
conductor aislado es cero, el campo en todo
punto sobre la superficie Gaussiana debe ser
cero.
  Qin Superficie
SE  dA = 0 Gaussiana

De la ley de Gauss podemos concluir que la carga neta dentro de la superficie

Gaussiana es cero. Entonces la superficie Gaussiana puede hacerse
arbitrariamente cercana a la superficie del conductor, cualquier carga neta
debe residir sobre la superficie del conductor.
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 Ejemplo 5 continuación
Podemos también usar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico justo
fuera de la superficie de un conductor cargado. Suponemos que la densidad de
carga es σ.
Entonces el campo dentro del conductor es cero
no hay flujo a través de la cara del cilindro
dentro del conductor. Si E tuviera una
componente tangencial a el cilindro entonces
las cargas libres deberian moverse bajo la
acción del campo creando corrientes
superficiales. Así E es perpendicular a la
superficie del conductor, y el flujo a través de
la superficie cilíndrica debe ser cero.
Consecuentemente el flujo neto a través del
cilindro es EA y la ley de Gauss da:

A
Qin 
F E = EA = = o E=
0 0 0
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 Ejemplo 6
Ulna cáscara esférica conductora de radio interno a y radio externo b con una
carga neta -Q esta centrada sobre una carga puntual +2Q. Use la ley de Gauss
para encontrar el campo eléctrico en todo punto, y determine la distribución de
carga sobre la cáscara esférica.

-Q Primero encontrar el campo para 0 < r < a

Esto es lo mismo como en el ejemplo 2 y es el
a campo debido a una carga puntual con carga +2Q.

2Q
+2Q E = ke 2
b
r

Encontrar el campo para a < r < b

El campo debe ser cero dentro del conductor en equilibrio.
Así de la ley de Gauss Qin es cero. Hay una + 2Q de la carga puntual asi
debemos tener Qa = -2Q sobre la superficie interna de la cáscara esférica.
Entonces la carga neta sobre la cáscara es -Q podemos obtener la carga sobre
la superficie externa de Qnet = Qa + Qb. Qb= Qnet - Qa = -Q - (-2Q) = + Q.
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 Ejemplo 6 continuación
-Q Encontrar el campo para r > b
La simetría del problema significa que
el campo en esta región es radial y en
a todo punto perpendicular a la superficie
+2Q gaussiana esférica. Además, el campo
tiene el mismo valor en todo punto
b
sobre la superficie Gaussiana, entonces
la solución procede exactamente como
en el ejemplo 2, pero Qin=2Q-Q.
 
 E  dA =  EdA = E dA =E(4r )
2
S S S
La Ley de Gauss ahora da:
2Q  Q

E 4 r 2
= Qin
=
0
=
Q
0
or E =
1 Q
4 0 r 2
Q
= ke 2
r
0
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 Resumen
 Dos métodos para calcular el campo
eléctrico Ley de Coulomb y Ley de
Gauss.
 Ley de Gauss: Fácil, método elegante
para distribuciones de carga simetricas.
 Ley de Coulomb: Otros casos.
 Ley de Gauss y Ley de Coulomb son
equivalentes para campos eléctricos
producidos por cargas estáticas

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