Calculo Integral 1 Unidad

“Instituto Tecnológico de Comitancillo”
Asignatura: Cálculo Integral
Profesor: Ing. Roberto Guerrero Hinojosa
Alumno: Josué Nolasco Luis
Número de control: A18710142
Semestre: 3° Sistema Abierto
Carrera: Ingeniería en Agronomía
Agosto – Diciembre – 2019
07 de septiembre del 2019
1
ÍNDICE
Introducción.......................................................................................................................................3
Teorema fundamental del cálculo......................................................................................................4
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas....................................................................................4
1.2 Notación sumatoria......................................................................................................................5
1.3 Sumas de Riemann.......................................................................................................................5
1.4 Definición de integral definida.....................................................................................................7
1.5 Teorema de existencia.................................................................................................................8
1.6 Propiedades de la integral definida..............................................................................................9
1.7 Función primitiva..........................................................................................................................9
1.8 Teorema del valor intermedio......................................................................................................9
1.9 Teorema fundamental del cálculo..............................................................................................10
1.10 Cálculo de integrales definidas básicas....................................................................................11
Conclusiones....................................................................................................................................13
Bibliografía.......................................................................................................................................14
2
Introducción
El cálculo es un área de las Matemáticas más dinámica, se ocupa de los cambios
y el movimiento, estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades, es
decir, su idea clave es la del límite. El cual surgió bajo la necesidad de resolver
diversos problemas de la vida real, sus inicios se remontan a 2500 años con los
antiguos griegos, gracias a problemas clásicos como el cálculo de la pendiente de
una recta tangente a una curva, cálculo de velocidades y el cálculo de áreas.
El problema del cálculo de áreas consiste en encontrar el área de diversas figuras,

desde las poligonales, hasta las más complicadas como figuras amorfas. En el
caso de las poligonales optaron por dividirlas en triángulos, sacar el área de esos
triángulos para posteriormente sumar esas áreas y obtener el área total. En el
caso de las figuras amorfas decidieron aproximarlas mediante polígonos inscritos
y/o circunscritos, obteniendo sus áreas y posteriormente sumándolas, pero al
hacer esto tenían que estar formando polígonos cada vez más semejantes a la
figura original, lo cual les llevó a estar haciendo aproximaciones que
analíticamente se traduce en límites. Este problema del área es básicamente el
origen del cálculo integral pero inesperadamente este problema está relacionado
con el proceso inverso de la derivación, esta conexión entre el cálculo diferencial y
el cálculo integral se llama teorema fundamental del cálculo.
3
Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de
que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su
derivada es igual a ella misma. El teorema es fundamental porque hasta entonces
el cálculo aproximado de áreas - integrales- en el que se venía trabajando desde
Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al
cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y
Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas.
Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes,
hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse
que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo
diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación
gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera
intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva
entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se
podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x.
En resumen, el área sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el
área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la región. Nótese que la
aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de
h. Para aproximar el área de una figura amorfa, se divide la figura en una cierta
cantidad de pequeños rectángulos, para obtener el área de cada uno de ellos y
después sumarlos.
4
1.2 Notación sumatoria
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación
matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se
representa así:
Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta
n ".
i es el valor inicial, llamado límite inferior.
n es el valor final, llamado límite superior.
Pero necesariamente debe cumplirse que:
i≤n
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus
límites y su expresión se puede simplificar:
Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede

hacer de esta forma:
1.3 Sumas de Riemann

Una suma de Riemann es una aproximación del área bajo la curva, al dividirla en
varias formas simples (tales como rectángulos o trapecios).
En una suma de Riemann izquierda aproximamos el área con rectángulos
(normalmente de ancho igual), donde la altura de cada rectángulo es igual al valor
de la función en el extremo izquierdo de su base.
5
En una suma de Riemann derecha la altura de cada rectángulo es igual al valor de
la función en el extremo derecho de su base.
En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al

valor de la función en el punto medio de su base.
Podemos también usar trapecios para aproximar el área (esto se llama regla del
trapecio). En este caso, cada trapecio toca la curva en sus dos vértices superiores.
6
Para cada tipo de aproximación, mientras más formas usemos más cercana será
la aproximación al área real.
1.4 Definición de integral definida

Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x) >0
entonces el área bajo la curva f sobre el intervalo [a,b]
Las propiedades de la integral definida:
7
Ejemplos:
1.5 Teorema de existencia

En muchas circunstancias fallamos en obtener la salida para una ecuación
diferencial dada, entonces recurrimos a otros métodos tales como los métodos
geométricos, etc., pero es esencial que en tal situación antes de recurrir a otro
método averigüemos si existe alguna solución para la ecuación dada.
El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El
Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación
diferencial dada.
Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer
orden. También es esencial que la ecuación satisfaga las cláusulas iniciales
establecidas con ella.
Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada
f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del
plano x-y,
Sea un punto (x0, y0) en esta área limitada entonces >0 es real y existe una
función en la que tenemos x0 - < x < x0 + para la cual tenemos una solución del
valor inicial de la expresión.
Aquí hemos mencionado un punto de “Exista un > 0”. Esto significa que la variable
dada puede tener algún valor positivo para que la declaración dada sea verdadera.
Sin embargo, no existe un límite superior para esta variable.
8
1.6 Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone
como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
1.7 Función primitiva

Función primitiva o antiderivada de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya
derivada es la función dada.
F'(x) = f(x)
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas
ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
1.8 Teorema del valor intermedio

Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de
signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b)
con f(c) = 0. El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma
que como mínimo existe uno.
9
1.9 Teorema fundamental del cálculo
Sea f una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:
I) F es continua en [a, b]
II) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable
en dicho punto, y F'(c) = f(c).
El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es
precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.

Si calculamos la derivada de esa función:

10

Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente
diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la
tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras
que la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo
una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el
uno del otro.
1.10 Cálculo de integrales definidas básicas

Teorema fundamental de cálculo I.
si f es una funcion continua en [a,b] y F es una antederivada de f, entonces:
Teorema fundamental de cálculo II.
sea f continuo en [a,b] y x f [a,b]. Entonces es continua

[a,b] y diferenciable en [a,b] y
Ejemplos:
No. 1
se deriva
se evalúa con la formula [b-a]
se restara y quedara el resultado final

11
No. 2
a es -1
se deriva a es -1
Conclusiones
El cálculo integral se emplea para calcular áreas, pero a la vez se han encontrado
muchas otras aplicaciones como como lo son en el cálculo de volúmenes,
longitudes de arco, trabajo, y en el caso especial de electromecánica cumple una
12
función muy importante para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y
descarga de corriente, entre otras.
Fundamentalmente el cálculo de integrales es utilizado en circuitos RLC para

analizar su comportamiento dentro del mismo, por ejemplo, para calcular el flujo
de electrones por un conductor a través del tiempo, el cual se calcula realizando la
integral de la corriente eléctrica, también se utiliza para calcular la energía que
posee un circuito y esto se hace con la integral de la función que representa la
potencia del circuito.
Otro caso es para averiguar el voltaje de un condensador y para ello se integra la

función que representa la corriente del condensador, estos son sólo algunos
ejemplos que demuestran la importancia y la utilización del cálculo integral en la
ingeniería.
Bibliografía
Aguilar, L. (s.f.). Calculo_integral [mensaje en un blog]. Recuperado de
https://sites.google.com/ site/calculointegralaguilarlaura/home
13
Khan Academy (s.f). Repaso de sumas de Riemann. s.f. Khan Academy.
Recuperado de https://es .khanacademy.org/math/integral-calculus/ic-
integration/ic-riemann-sums/a/riemann-sums-review#targetText=%C2%BFQu
%C3%A9%20son %20las%20sumas%20de,tales%20como%20rect
%C3%A1ngulos%20o%20trapecios).
Ramos, J. (15 de diciembre de 2015). Resumen de la unidad 1 calculo integral. s.f.
Slide Share. Recuperado de https://es.slideshare.net/wilian_ramos_perez/unidad1-
calculo
14

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El problema del cálculo de áreas consiste en encontrar el área de diversas figuras,

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede

1.3 Sumas de Riemann

En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al

1.4 Definición de integral definida

Las propiedades de la integral definida:

1.5 Teorema de existencia

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

1.7 Función primitiva

1.8 Teorema del valor intermedio

1.10 Cálculo de integrales definidas básicas

Teorema fundamental de cálculo II.

sea f continuo en [a,b] y x f [a,b]. Entonces es continua

se evalúa con la formula [b-a]

se restara y quedara el resultado final

Fundamentalmente el cálculo de integrales es utilizado en circuitos RLC para

Otro caso es para averiguar el voltaje de un condensador y para ello se integra la

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