PLANOS ACOTADOS

1. Características del Sistema

Este sistema, tiene un cierto parecido con el Sistema diédrico, la proyección

horizontal de este se corresponde con la proyección acotada del Sistema de Planos
acotados. La cotas de los puntos sustituyen a la proyección vertical del Sistema Diédrico.

Este sistema de representación es utilizado en el dibujo topográfico, para la

representación de terrenos, trazados de caminos, calculo y representación de terraplenes,
distribución de líneas eléctricas, etcétera. Así como para representar las vertientes de las
cubiertas de los edificios. http://fresno.pntic.mec.es/raguila/lineas.pdf ).

2. Representación del Punto

2.1. Nomenclatura

Para la representación del punto utilizaremos, al igual que en el resto de los

sistemas de representación, una letra mayúscula, principalmente las primeras del
abecedario. Para la proyección horizontal utilizaremos la misma letra acompañada de
una comilla y dentro de un paréntesis el valor de la cota. Para la representación del
plano de proyección utilizaremos letras griegas. Para una mayor comodidad
utilizaremos como unidades el centímetro. En topografía esta unidad es el metro.

2.2. Representación del punto

Este sistema de representación utiliza un solo plano de proyección, el plano

horizontal, que recibe el nombre de plano de proyección, plano del cuadro o plano de
referencia.

Los puntos pueden situarse en el

plano horizontal, por encima o por
debajo. Sea por ejemplo el punto
C ( figura 1), que se encuentra a 4
unidades por encima del plano
horizontal. Este quedará definido
de la forma siguiente C’(4), que
indica que se encuentra a 4 cm.
por encima del plano horizontal.

El punto B, se encuentra por

debajo del plano del cuadro, por
tanto su cota será negativa B’ (-3).
Hay que tener en cuenta que el
plano de comparación o plano de
cota cero se considera el nivel del
mar a la altura de la playa del Postiguet en Alicante, en nuestro ejemplo el punto A’
(0).

Las cotas positivas de llaman altitudes y la negativas profundidades.

Se denomina desnivel de dos puntos o la diferencia algebraica existente entre

ellos.

1
 Por ejemplo el desnivel entre el punto A y C, será de 4 cm. El desnivel entre C y
B será 4 - ( - 3) = 7 cm.

3. Representación de la Recta
3.1. Nomenclatura.

Para la representación de la recta utilizaremos letras minúsculas,

principalmente, r, s o t. La proyección horizontal se representará por la misma letra
acompañada de una comilla. Por ejemplo r’.

3.2. Proyecciones de la Recta.

Una recta quedará definida cuando se conozcan dos de sus proyecciones. En la

figura 2, los puntos A’(1) y G’(6), nos definirán la recta.

Se denomina traza de una recta a la intersección de esta con el plano del

cuadro. En la recta s, figura 2, la traza la representaremos por el punto T, este será un
punto doble y por tanto coincidiera con su proyección T’, su cota será por tanto 0.
El triángulo TAA’=ABB’=CDD’

Si consideramos que AA’ = Bp.... = 1 cm, y aplicando el teorema de Thales,

tendremos que TA/T’A’= AB/p=CD/Cq

El segmento Ap = Cq = i ( intervalo o modulo), que como puede apreciarse es la

proyección de los segmentos
AB, cuyo desnivel es la
unidad.

De la figura deducimos que

la Tg α =AA’/A’T = 1/A’T =
1/i = P, siendo P La
pendiente de la recta.

Por tanto la pendiente de una

recta será la inversa del
intervalo.

Es decir la pendiente de una

recta será la tangente que
esta forme con el plano del cuadro. Siendo el desnivel de dos puntos la diferencia de
sus cotas. En la figura 1, el desnivel entre el punto B’(2) y el D’(4) será de 2 unidades.

Esta pendiente puede venir expresada en tanto por ciento.

Si consideramos un tramo de carretera cuya pendiente sea del 10%, la

proyección horizontal serán 100 metros mientas que la diferencia de alturas será de 10
metros. Aplicando la formula anterior Tg α =AA’/A’T =10/100

2
 Si consideramos el
triángulo por TAA’,
tendremos que TA’ = A’A
cos α Por tanto la
pendiente de la recta será
el valor de la tangente que
forma la recta con el plano
de cuadro.
El desnivel d entre dos
puntos será la diferencia
de cotas.
Si batimos la recta s sobre el plano del cuadro ( figura 3), tendremos la
verdadera posición de la recta.

Graduar una recta, por

ejemplo s’, es dividirla en
tantas partes iguales como
diferencia haya entre sus
cotas. En la figura 4 tenemos
una recta dada por los puntos
B’(2) y D’(4), la diferencia de
cotas es 1, por los tanto ese será el intervalo i. Con
ese valor tomaremos en la recta distintas divisiones con lo que esta quedará
graduada, figura 2ª.

Si queremos obtener el ángulo que la recta forma con el plano de proyección,

bastará con abatir la recta s’, para ello levantaremos una
perpendicular por una de las divisiones, por ejemplo la nº
4, llevando sobre ella la unidad que hemos utilizado de
medida, 4 centímetros. Uniendo el punto D con la traza
del Plano T, tendremos la verdadera posición de la recta,
así como el ángulo α que forma con el cuadro. Figura 5.

3.3. Alfabeto de la Recta

La recta puede ocupar en el espacio tres posiciones

a) Oblicua, recta que hemos visto anteriormente.
b) Paralela al plano de proyección.
c) Perpendicular al plano de proyección..

Como se ha visto con anterioridad la recta

oblicua nos viene definida por dos puntos
cualquiera de ella, p.e D’(4) y A’(1) . La paralela
tendrá todas sus cotas iguales, por lo que se
definirá por el valor de la cota p.e s’(4) y la
perpendicular se definirá por su traza p.e. s’ .
Figura 6.

3
 Si dos rectas se cortan en el espacio, el punto
de intersección 3 debe de tener la misma cota y las
rectas que unen puntos de la misma cota deben de
ser paralelas ya que todas ellas pertenecen al plano
formado por ellas. Figura 7.

4. Alfabeto del Plano

4.1. Plano oblicuo cualquiera.

Se denomina traza de un plano α a la intersección de este con el plano del

proyección i п ho.

Recta horizontal de plano será aquella que es paralela al plano del cuadro, h1, h2, h3,
...

Se llama línea de máxima pendiente,

que la representaremos por ( l.m.p.)
de un plano, al igual que en el
sistema diédrico, a aquella que es
perpendicular a la traza del plano.

Como puede apreciarse en la

figura en la figura 8, hemos
considerado un plano en el espacio
α, la intersección de dicho plano con
el de proyección п vendrá dada por
la recta ho. La recta perpendicular a
esta traza, será la línea de máxima
pendiente l.m.p.

Consideremos en el plano α, dos puntos cualquiera de cota entera, por ejemplo

Ao y Bo, tranzamos por dichos puntos dos horizontales de plano, h1 y h2.
Seguidamente proyectemos todo el conjunto sobre el plano del cuadro, obteniendo
los puntos A’(1) y B’ (2), Las horizontales de plano h’1 y h’2, serán paralelas a la
traza αo y pasarán por dichos puntos. La l.m.p. r’ se obtendrá uniendo los puntos A’
y B’ y será perpendicular a la traza del plano.

En la figura 9 puede apreciarse la representación de un plano en proyección con la

l.m.p. graduada.

Para obtener el ángulo que forma un plano

cualquiera con el plano de proyección, llevaríamos
sobre unas perpendiculares la l.m.p, en los puntos
A’(1) 1 cm y C’(3) 3 cm., obteniendo dichos puntos
en verdadera proyección Ao y Co, que unidos,
cortará a ho en el punto O, obteniendo el ángulo α.
Figura 9.

De todo los anterior se deduce que un plano queda definido por:

4
 a) Por tres puntos no alineados.
b) Por su recta de máxima pendiente graduada.
c) Por dos horizontales de plano cualquiera acotadas.

En este segundo caso bastará con trazar una perpendicular a dichas rectas para
obtener su l.m.p.

4.2. Plano paralelo al de proyección o plano horizontal.

Se representa por:
a) Tres puntos de igual cota
b) Dos rectas horizontales que se corten.
c) Dos rectas paralelas que se corten.

Este plano será horizontal, por tanto no tendrá traza y su cota será la misma en
cualquier punto del plano. Figura 10.

4.3. Plano Perpendicular

al de proyección, plano
vertical.
Este plano se llama también
plano proyectante, viene
reprensado por su traza αo, Su
l.m.p. es una recta de punta A’
(5). Su intervalo será 0. Figura
11.

5. Pertenencias
Un punto pertenece a una recta si su
cota coincide con la de la recta y su
proyección está sobre ella. El punto D’ (4),
pertenece a la recta. El punto B’ (5), (
figura 12) no pertenece a la recta, ya que su
numeración no coincide con la recta,
aunque su proyección esté sobre ella. Dicho
punto estará encima de la recta.

Un punto estará contenido en un

plano cuando pertenezca a una recta cualquiera del
plano. Sea un plano dado por su línea de máxima
pendiente graduada. Figura 13. Tracemos por los puntos
1, 2....horizontales de plano. El punto A’ (1) pertenecerá
al plano ya que se encuentra sobre una horizontal de la
misma cota. El punto Q’ ( 5) , está por encima del plano.

5
 Para situar una recta
sobre un plano bastará
con que los puntos de
la recta estén sobre las
horizontales del plano.
Figura 14.

Ejemplo: Definir un plano dado por los puntos C’(3), H’ (5) y G’(7). Figura 15.
Unimos dos puntos cualquiera, por
ejemplo el C’(3) y G’(7). Ahora
tendremos un punto y una recta r’.
Graduamos la recta r’y unimos el punto
C’(3) con el H’(5) obteniendo la recta s’,
que graduamos. Unimos los puntos de
la misma cota de ambas rectas
obteniendo las horizontales de plano.
Una perpendicular a ellas nos dará la
l.m.p. del plano buscado.

6. Ejercicios Resueltos.
6.1. Dado un punto B’ (4) de la recta s’ cuya pendiente es de 0,5, situar en la misma un
punto cuya cota sea de 2. Figura 16.

Teniendo en cuenta que la pendiente P = 1/i =

1/0,5 = 2 cm.
Graduamos la recta s’ a partir de punto 4, en
cualquiera de los sentidos la recta en partes
iguales de 2 cm.

6.2. Dada la recta r’ por dos pares de puntos D’(2) y C’(4), graduarla y hallar la traza de
la misma y el ángulo que forma con el plano del cuadro. Figura 17.

Levantamos dos perpendiculares a la recta r’

en los puntos B’ y D’, y sobre ella llevamos 1
cm y 4 cm respectivamente. Unimos los
puntos Do y Ao por una recta que cortará a
la r’ en el punto T’(0), traza de la recta con el
plano del cuadro.

6
 6.3. Dada la recta r’ por los puntos A’(1,3) y B’(-0,5), graduarla y hallar la traza de la
misma. Figura 18.

Levantamos por los puntos A’ y B’ dos rectas

perpendiculares y llevamos sobre ellas, 1,3
cm. en un sentido y el en otro 0,5 cm,
obteniendo los puntos Ao y Bo, que unidos
obtenemos la recta ro en verdadera posición.
La traza de la recta será el punto de
intersección de ro con r’. Trazamos una
paralela a la recta r’ con el valor de 1 cm,
obteniendo el punto 1. El intervalo de la recta
será T1.

6.4. Dado un plano por tres puntos no alineados, determinar sus elementos: Traza,
Línea de máxima pendiente y su Graduación. Figura 19.

Sean los puntos A’(1), B’(2) y D’(4). Unimos los tres puntos por tres rectas, triángulo
A’B’D’. Graduamos dos de ellas, obteniendo los puntos 0 y 0’, traza de las rectas. Uniendo
los dos puntos tendremos la traza del plano αo y la dirección de las horizontales de plano.

7. Paralelismo
7.1. Planos paralelos.

Para que dos planos sean paralelos las l. m. p. tendrán

que ser paralelas y estar graduadas en mismo sentido y tener
el mismo intervalo. Figura 20.

7
 7.2. Rectas paralelas
Para que dos rectas sean paralelas en el espacio,
sus proyecciones sobre el cuadro deberán de
cumplir las siguientes condiciones: Figura 21.

a) Sus proyecciones r’ y s’ serán

paralelas.
b) Deben de tener el mismo intervalo.
c) Deben estar graduadas en el mismo
sentido.

Ejercicio: Trazar por el punto Q (2) una recta s

paralela a la dada r. Figura____.
Bastará con trazar por el punto Q’ una recta
paralela r’ y a continuación graduarla en el mismo
sentido y con el mismo intervalo.

7.3. Paralelismo entre recta y plano

Una recta s es paralela a un

plano β si lo es una recta cualquiera r
contenida en dicho plano. Figura 23.

Ejercicio: Trazar por el punto P’(2)

una recta paralela al plano dado por su
l.m.p. graduada t’. Figura 23a.

Situamos en el plano una recta

cualquiera r’, por el punto P’(2) trazamos
una recta s’ paralela a la anterior.

Finalizamos graduando la
recta s’ con el mismo
intervalo y en el mismo
sentido.

8. Intersección de planos
8.1. Intersección de dos planos oblicuos cualquiera.

8
 La intersección de dos planos α y β es
una recta i , definida por dos puntos. Esta recta puede ser propia o impropia en el
caso de que los planos sean paralelos entre si.

Consideremos en el espacio dos planos oblicuos α y β, dados por su línea de

máxima pendiente, r’ y s’. Figura 24. La intersección del plano α con el plano del
cuadro п será la traza α1. La intersección del plano β con el plano п será la traza β1.
El punto 0, pertenecerá a los tres planos y por tanto será un punto de la intersección
que se busca. Otro punto cualquiera se halla trazando dos horizontales de plano
cualquiera.

Si los planos tienen la misma pendiente, el intervalo será el mismo. En este

caso la intersección de los plano será la bisectriz del ángulo formado por las trazas del
plano.
Para hallar la intersección en el plano, bastará con unir los puntos de
intersección de dos de las horizontales de planos de la misma cota. En la Figura 25 será
la recta i’ que une los puntos de cota 5 y 3.

8.2. Intersección de dos planos

cuyas trazas son paralelas.
Planos paralelos.
La línea de máxima pendiente será
paralela en proyección. En la figura 26,
tenemos los planos α y β en el espacio.

Al abatirlos sobre el cuadro las l.m.p. q’

y p’ quedaran paralelas, su intersección también será paralela a las horizontales
de plano. Por lo tanto conociendo un solo punto es suficiente para obtener la
intersección de dos planos.

Para obtener el punto de intersección en el plano, basta con unir dos

parejas de puntos homólogos, (igual cota). Por el punto de intersección de
ambas rectas pasara la intersección de los planos P’ (2,71). Punto que como
puede observarse pertenece a ambos planos. Figura 27.

9
 Este ejercicio se puede resolver, por medio del abatimiento de los planos.
Se cortan ambos planos
por otro γo
perpendicular a las
trazas. Seguidamente
abatimos ambos planos
Q’Po y T’Po. Hallamos
los ángulos que forman
con el cuadro α y β, el
punto de intersección de
las l.m.p. abatidas Po,
nos dará la cota de la
intersección, 2,71 cm.
Figura 28.

Los planos pueden formar, aristas o goteras. Cuando forman arista, la graduación
de la l.m.p, aumenta. Si forma gotera, disminuye. Figura 29.

8.3. Rectas perpendiculares.

El teorema de las tres

perpendiculares dice: Si dos rectas r y s
son perpendiculares entre si y una de
ellas s es paralela al plano de
proyección, sus proyecciones
ortogonales serán perpendiculares.
Figura 30.

Ejercicio: Trazar por el punto P’(4), una recta perpendicular

a la s’(2).
Bastará con trazar por el punto P’(4) una recta
perpendicular a s’(2). El punto de corte Q’ tendrá de cota 2.
Finalizamos graduando el resto de la recta. Figura 31.

8.4. Recta perpendicular a un plano.

10
 Una recta r es perpendicular a un plano, α cuando lo es a una recta s
cualquiera contenida en dicho plano. Figura 32.

Para que la recta sea perpendicular al plano ha de cumplirse que:

a) La proyección de la recta ha de ser perpendicular a la traza del plano
b) Las pendientes han de ser inversas, ir x iα = 1.
c) Deben de estar graduadas en sentido opuesto.

Ejercicio: Trazar por el punto A’(6), una

recta que sea perpendicular al plano α.

El primer paso será hallar el intervalo

de la recta. Para ello, levantamos por un
punto cualquiera P, una perpendicular a
la l.m.p. del plano α, llevando sobre ella
1 cm. punto P’. La recta P’4, por dará la
inclinación del plano α. Trazamos una
perpendicular a la recta anterior,
obteniendo el punto a. La distancia Pa,
será en intervalo ir de la recta que
buscamos. Figura 33.

Trazamos por el punto A’(6) una

paralela a la l.m.p. del plano α y con el
intervalo calculado ir, graduamos la recta
en sentido inverso.

8.5. Perpendicularidad entre planos

Para que dos planos α y β sean

perpendiculares, bastará con uno de ellos
por ejemplo el β contenga una recta r que
sea perpendicular al plano α. Figura 34

Ejemplo: trazar por el punto P una

plano perpendicular al plano α. Este ejercicio
tendrá infinitas soluciones, ya que por un
punto pueden pasar infinitos planos
perpendiculares.

Trazaremos por el punto P una recta

perpendicular al plano α, ejercicio visto
anteriormente). Cualquier plano que pase por este punto cumplirá con lo pedido.
Figura 35.

11
9. Distancia entre dos puntos.

Sean los puntos A(1) y B(2), en el

espacio y proyectemos estos puntos
sobre el plano del cuadro obteniendo A’
(1) y B’(2), la distancia d, será la
proyección sobre el cuadro del segmento
AB = d. Figura 36.

Si por el punto A(1) trazamos una

paralela al cuadro obtendremos d’. La
distancia a B(2) será la diferencia de cotas de los puntos A y B. De ello se deduce que
las distancia entre dos puntos cualquiera del espacio A y B, será la hipotenusa del
triángulo rectángulo formado por la proyección de la recta sobre el cuadro d’ y la
diferencia de cotas a.

En el plano, operaríamos de ña forma siguiente: trazamos

por los puntos A’(1) y B’(2), dos perpendiculares a la recta que
une ambos puntos r’, llevando sobre ellas 1 y 2 cm
respectivamente, obteniendo los puntos Ao y Bo. La hipotenusa d
del triángulo formado por d’ y la diferencia de cotas a-b, será la
distancia en verdadera magnitud entre los puntos A y B. Figura
37.

9.1. Distancia de un punto a una recta

Veremos un esquema en el espacio, al igual que ya se hizo con el sistema

diédrico. Figura 38.

Sea el punto A contenido en el plano α y la recta r, trazamos por A un plano

perpendicular α a la recta r, seguidamente hacemos contener a dicha recta en un
plano cualquiera β. Hallamos la intersección de los planos α y β, dicha intersección
nos determina el punto I. La distancia que separa el punto A de la resta r será la recta
AI.

Trabajando en el plano, tendremos el punto A’ (5) y una recta r’ graduada. Por

dicho punto, trazaremos un plano p’ perpendicular a la recta r. Hallando previamente
el intervalo del plano iα, como se ha visto con anterioridad.
12
 Seguidamente hacemos pasar por la recta r’ un plano cualquiera de l.m.p q’,
hallando a continuación la intersección de ambos planos recta i’, Esta corta a la recta
r’ en el punto I’(4,37). La unión de I’ y A’, nos dará la distancia entre el punto y el
plano.

Para hallar la verdadera magnitud de d’. levantaremos por A’ (5) una

perpendicular a d’ y llevando sobre ella la diferencia cotas 5-4,37 = 0,63cm, La
distancia en verdadera magnitud, será la hipotenusa del triángulo rectángulo formado.

9.2. Distancia de un punto a un plano

Realizaremos el ejercicio en el espacio. Por el punto A trazamos una recta

perpendicular al plano α. Hacemos contener a la recta en un plano cualquiera β.
Hallamos la intersección del plano α y β, recta i α β, que cortara a r en el punto I. La
distancia AI, será la que buscamos.

Trabajemos ahora en el plano.

Sea el punto A’(6) y el plano dado por su l.m.p. p’. Por el punto A, trazamos
una recta r’ paralela a p’,hallando previamente el intervalo de la recta ir. Con el
intervalo hallado graduamos en sentido contrario. Figura 39.

Seguidamente hacemos contener a la recta r en un plano cualquiera q’,

hallando, a continuación la intersección i’ de ambos planos, dicha intersección
cortará a r en el punto I’(8,55). La distancia en proyección será la recta A’(6)-I’(8,55)

Para hallar la verdadera magnitud levantamos por A’(6) y recta una

perpendicular y llevamos sobre ella la diferencia de cotas 8,88-6 = 2,55. La unión de
Ao con I’ será la verdadera magnitud de la distancia d que separa el punto A del
plano α,

9.3. Distancia entre dos planos paralelos

Sean los planos paralelos α y β. Elegimos un punto cualquiera P del plano β,

trazamos por el una recta r perpendicular a ambos planos. Seguidamente hacemos
pasar por la recta r un plano cualquiera δ, hallando a continuación la intersección con
13
 el plano α, recta iαβ, obteniendo en la recta r, el punto I, La distancia PI, será la que
separa el punto del plano.
Para trabajar en el plano seguiremos los mismos pasos.

Sean los planos paralelos α y β, cuyas l.m.p. son p’ y q’. Elegimos en el plano
β el punto P’(7), trazando por el una recta perpendicular, calculando previamente el
intervalo de la recta ir. Figura 40.

Hacemos contener a la recta r en un plano cualquiera por ejemplo el plano δ,

de l.m.p. t’.
Hallamos la intersección con el
plano de l.m.p. p’. La recta
J’H’ cortará a r’ en el punto
I’(8,84). La distancia en
proyección será la recta P’(7)-
I’(8,84)

Para hallar la verdadera

magnitud, construimos un
triángulo rectángulo en el que
un cateto sea la distancia P’I’ y
otro cateto la diferencias de
cotas 1,84 cm. Su hipotenusa
d será la distancia buscada.

9.4. Distancia entre dos rectas paralelas.

Sean las rectas r y s en el espacio, elegimos un punto cualquiera J de la recta

s y trazamos un plano α perpendicular a ambas rectas. Hacemos pasar por r un
plano cualquiera β, hallando su intersección con el plano α. La distancia JI, será la
buscada.

En el plano operamos de la misma forma. Sean las rectas graduadas r’ y s’.

Por un punto cualquiera de la recta s’, por ejemplo J’(4), trazamos un plano α de
l.m.p. p’. Previamente hallaremos el intervalo del plano iα.

Seguidamente hacemos contener a la recta r’ en un plano l.m.p. q’.

Hallamos la intersección del

plano p’ y q’, recta i’. Esta recta corta
ala r’ en el punto I’ (5,28).
El resto es similar al ejercicio anterior.
Figura 41.

10. Ejercicios de aplicación

La utilización practica de las

intersecciones de planos es la
resolución de las cubiertas de un
edificio, partiendo del plano de la
última planta del mismo. Deberemos
14
 de conocer la pendiente de cada uno de los planos inclinados. Su resolución se
realizara hallando la intersección de todos los planos que se formen con los lados del
polígono.

10.1. Dada la poligonal de aleros de la figura y las pendientes indicadas, para cada uno
de los faldones. Dibujar las proyecciones de la cubierta, siendo el tejado de la zona
ABCD a dos aguas.

1) Partimos de la poligonal A, B, C, D, E, F, G, H. Teniendo en cuenta que la

pendiente P = 1/i, Los aleros con pendiente 1, trazaremos las horizontales de plano a
1 cm. Los aleros con pendiente 2, las horizontales de plano estarán a 0,5 cm. Figura
42.

2) Una vez trazadas las l.m.p. y las horizontales de plano, pasaremos a trazar
las rectas intersección de los distintos planos. La zona ABCD, que es a dos aguas las
l.m.p. son paralelas, para hallar la intersección, utilizaremos unos de los métodos visto
anteriormente

3) Uniremos la horizontal 1
del plano CD con la 1 del plano BC
y la 2 del plano CD con la 2 del
plano AB. La arista a debe pasar
por el punto Q de intersección de
ambas rectas y ser paralelo al
alero.
La zona DFGH, tendrá varias
intersecciones.

4) Comenzaremos por los faldones

DE y EG. Al tener la misma
pendiente, su intersección será la
bisectriz del ángulo formado por
ambas rectas. También se puede
hallar uniendo el punto de
intersección de las horizontales de
valor 1 y las de valor 2. De esta forma obtendríamos la recta d y f.

5) Seguidamente debemos comprobar si existen otras intersecciones. Unimos la

horizontal de valor 0 del plano DE con la 0 del plano AG, que nos determina la recta h.
Por el mismo procedimiento hallamos el resto de las intersecciones.

10.2. Dada la cubierta de un edificio de forma pentagonal con un patio de luces

interiores. Representar la cubierta del tejado, teniendo en cuenta que las pendientes
exteriores tienen 2/3 y las del patio de luces de ½. Figura 43.

1) El primer paso será calcular los intervalos de la cubierta que serán el

inverso de la pendiente.

Pendientes exteriores 3/2 = 1.5 cm.

Pendientes interiores 2/1 = 2 cm.

2) Seguidamente trazamos las líneas de máxima pendiente y con el calculo

anterior las horizontales de plano.

15
 3) Pasamos a continuación a hallar las intersecciones de los distintos plano.

4) Las intersecciones de los planos A, B, C , D, F, serán las bisectrices de los

ángulos, o bien la unión de las horizontales de plano de cota 0 y las de cota 1. Recta
Qbc.

5) Seguidamente hallamos la intersección de los plano paralelos AF y GJ,

determinando el punto P. La intersección será paralela a las horizontales de plano.
Determinando los puntos a y j.
El resto de los puntos se hallan de forma similar a lo anteriores.

10.3. Construir la cubierta del tejado cuya planta es la de la figura, teniendo presente
que todos los intervalos valen 0,5 cm. Figura 44.

1) El primer paso será dibujar las líneas de máxima pendiente que sean
necesarias, trazando posteriormente las horizontales de plano.
El resto del ejercicio es similar al visto con anterioridad.

16
11. Abatimientos

Los abatimientos son utilizados en la geometría descriptiva para obtener verdaderas

magnitudes. Trabajaremos primero en el espacio.

Decimos que abatimos un plano sobre otro, cuando hacemos superponer el primero
sobre el segundo, haciendo girar alrededor de un eje, llamado charnela, que es la
intersección de ambos. Con los abatimientos se pretende obtener verdaderas magnitudes de
rectas o figuras planas.

En este capítulo se habrá de abatir puntos y rectas, pero realmente los que haremos
será abatir el plano que las contiene

11.1. Mecanismo de los abatimientos.

Adoptaremos un punto P, situado en el plano α , abatimos dicho plano α que contiene
al punto P, utilizando como charnela ch la intersección de los planos α y δ. Figura 45.

La mínima distancia del punto a la charnela MP, será el radio de giro ρ, el cual se halla
como hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son P’ M ( distancia del punto a la
charnela) y P’ (P) ( cota del punto con respecto al plano de abatimiento).

En lugar de operar en el espacio lo haremos sobre el plano de proyección. Abatimos el

triángulo MPP’, sobre el plano de proyección MP(P). La circunferencia de centro M y radio
M(P) = ρ cortará a la perpendicular a la charnela en los puntos (P)o y (P’)o, puntos abatidos.

17
 Como puede observarse en la
figura, en el triángulo MP’(P), se cumple
que:
d) Que el radio de giro ρ,
se ha hallado trazando
una perpendicular a la
charnela ab.
e) Que P’M es
perpendicular a la
a charnela ch, en el punto
ρ M.
f) Que P’(P), es paralela
a la charnela, y cuya
P'
magnitud es la cota del
punto con respecto al
plano de abatimiento y
ch coincide con la
b horizontal de plano de
la misma cota.

Ahora trabajaremos en el sistema de planos acotados. Figura 46.

Consideremos un plano α dado por su l.m.p. graduada n’. Utilizaremos como
charnela la traza del plano αo. Por un punto cualquiera, por ejemplo P’(1) se traza la
perpendicular a la charnela y una paralela que en este caso coincide con la horizontal
de plano 1. Sobre la paralela se toma un
segmento igual a la cota P’(1) N. El radio de
ρ giro será la distancia de MN. Con centro
en N trazamos un arco que cortará a la
perpendicular a la charnela en los puntos
Po y P’o.

11.2. Abatimiento de un plano

Un plano cualquiera se puede abatir

sobre un plano horizontal cualquiera, solo
hay que tener encuentra que sobre la recta
paralela a la charnela debemos de tomar la
diferencia de cotas entre el punto y el plano
que pase por la charnela. Figura 47.

En la figura se ha tomado como plano de

abatimiento el horizontal de cota h’(3). Si
tomamos el punto A’(1), trazamos una
perpendicular a la charnela y sobre la horizontal
de plano h’(1), llevamos la diferencia de cotas
con la charnela es decir 2 cm. Haciendo centro
en N, trazamos un arco que corte a la
perpendicular a la charnela en el punto Ao, que
será el punto abatido del plano. Lo mismo
repetiremos con el punto B’(5). Como puede
apreciarse para abatir el plano lo que hemos
18
 realizado es el abatimiento de la figura o punto contenido en el plano.

11.3. Abatimiento de una recta

Para abatir una recta, bastará con abatir dos puntos de la misma.

Sea el plano dado por su l.m.p. n’, una recta r’ contenida en el mismo.
Elegimos un punto cualquiera de la recta, por ejemplo el punto P’(10) y lo
abatimos utilizando con charnela la horizontal de plano de cota 8. Figura 48.

Por el punto P’(10) trazamos una perpendicular a la charnela P’ M y una

paralela que coincide con la horizontal de plano de cota 10. Llevamos a partir
de P’ la diferencia de cotas 10-8 = 2 cm. Trazamos un arco de radio de giro ρ
=MN. Este cortará a la perpendicular P’M en Po, punto abatido. El punto Q se
obtiene de forma directa ya
que por estar en la charnela
es un punto doble y su
abatimiento coincidirá con el
punto. La unión de ambos
puntos nos da la recta
abatida ro.

11.4. Abatimiento de
una figura plana

Entre la proyección de una figura plana contenida en un plano α, la proyección

ortogonal sobre el plano del cuadro y la figura abatida sobre dicho plano existe una
relación de afinidad en la que se cumple que:

g) Eje de afinidad Ea: Será la traza del plano o charnela.

h) Dirección de afinidad Da: Rectas perpendiculares a la charnela
i) Dos rectas afines
se cortan en el
mismo punto del
eje de afinidad.

Sea la figura plana dada por los

puntos en proyección A’, B’, C’,
D’, E’, situada en un plano α dado
por su l.m.p. n’. Figura 49.

1) El primer paso será abatir el

punto D’. Para ello trazaremos por
D’ una perpendicular a la charnela
ch y sobre la horizontal de plano 3
y a partir de D’ llevaremos tres
unidades. Con centro en c y radio
de giro ρ, trazamos un arco hasta
que corte a la perpendicular p,
obteniendo el punto Do.
1)
2) Seguidamente prolongaremos la
19
 recta s, obteniendo el punto b y por afinidad obtenemos Do.
Continuando con restas afines hallamos el resto de los puntos.

11.5. Elevación de una figura plana

Este ejercicio es inverso al anterior. Partiremos de una figura en verdadera

magnitud y hallaremos su proyección sobre una plano en el que se conoce
un vértice de la figura y su traza αo.

Sea la figura Ao, Bo, Co, Do, dada en

verdadera magnitud situada en el plano
cuya traza es αo, que se conoce, así
como el punto B’ de cota 2. Se pide
hallar la proyección de dicha figura 50.

1) El primer paso será hallar el plano

que contiene a la figura.

2) Para ello trazamos por Bo una

perpendicular c a la charnela, llevando,
a continuación sobre ella 2 cm.

3) Haciendo centro en el punto d

intersección de la perpendicular con la
charnela, trazamos un arco que corte a
la recta AB’ en el punto de cota 2,
horizontal del plano que buscamos.

2) Los puntos Ao y Do, por estar en la charnela son puntos dobles.

3) Prolongando la recta ro hasta que corte a la charnela punto a. La recta r’

será afín de ro y nos determinará el punto C

11.6. Proyecciones de una

circunferencia.

Dado un plano por su l.m.p.

graduada, situar una
circunferencia de diámetro 25
mm., cuyo centro tiene de cota
3,5 cm. Figura 51.

1) Trazamos la horizontal de
plano de cota 3,5 cm.
2) En un punto cualquiera de
ella situamos el centro O’(3,5)

3) Por el punto 0 de la l.m.p.

trazamos αo que será la
charnela ch.

20
 4) A partir de O’ llevamos 3,5 cm, uniendo el punto a con c.

5) Con el radio de giro ρ trazamos un arco que corte a la perpendicular a la

charnela por O’ en el punto Oo,
centro de la circunferencia de
diámetro 25 mm.

6) Dividimos la circunferencia
en un número de partes, por
ejemplo 8.

7)Trazamos la recta so y su afín

r’, obteniendo sobre la
perpendicular a la charnela que
pasa por DoBo, los puntos
B’D’.

8)El resto de los puntos de

obtienen de forma análoga.

11.7. Ejercicio.
Resolución de una
cubierta y abatimiento
de una de sus
vertientes.
Sea la cubierta dada por los
puntos D, E, F, G, H, que tiene
un patio de luces I, J, K, L. El intervalo para todas sus vertientes será 0,5
cm. Se pide.

A) Resolver la cubierta.
B) Hallar la superficie del alero A’, B’, C’, E, D.

1) Trazamos todas las horizontales de plano con intervalo 0,5 cm. Figura 52.
Las intersecciones de los planos que concurren en los vértices de la cubierta se hallan
trazando las bisectrices de sus ángulos, o bien uniendo las horizontal de cota 0 y la de
cota 1.

2) Seguidamente hallamos la intersección del plano de traza GH con el plano

de traza JK.
El resto de las intersecciones son semejantes.

3) Para hallar la verdadera magnitud del alero A’, B’,C’, E, D, trazamos la línea
de máxima pendiente de este plano y la graduamos, obteniendo las cotas de los
vértices A’(2,8), B’(2,3) y C’(1,8).

4) Seguidamente por un punto cualquiera, por ejemplo el B’(2,3), trazamos un

perpendicular a la charnela que cortará a esta en el punto c. Llevamos 2,3 cm. sobre
la horizontal de plano a B’. Haciendo centro en c con el radio de giro ρ, trazamos un
arco que corte a la perpendicular cB’, en el punto B. El resto del ejercicio se resuelve
por afinidad.

21
 Para hallar la superficie, bastará con resolver un pequeño ejercicio de geometría.

12. Ángulos
12.1. Ángulos de dos rectas.

Bastará con abatir el plano β que contiene a las rectas. Las rectas abatidas nos
determinarán el ángulo α. Figura 53.

Sean las rectas ro y so en el

espacio que se cortan en el punto
Po situadas en el plano β. Por el
punto Po, trazaremos una
perpendicular al plano del cuadro
п, punto P’, por donde trazamos
una perpendicular a la charnela,
traza βo del plano, obteniendo el
punto c. Haciendo centro en c y
radio ρ, describimos un arco que
cortará a la perpendicular en el
punto P’1. Los puntos A y B son
puntos dobles, por tanto estarán
abatidos en si mismo. La unión de
A y B con P’1, nos darán las rectas r’ y s’ y con ellas el ángulo que forman. Hemos
utilizado como charnela la traza βo del plano.

En el plano seguiremos el mismo procedimiento. Sean las rectas r’ y s’, que se

cortan en el punto P’(3), y situadas en el plano cuya l.m.p. es la recta p’. Utilizaremos
como charnela la traza βo del plano.

Los puntos A y B, dos puntos dobles

por encontrase en la charnela.

Par abatir el punto P’, trazamos una

perpendicular a la charnela por dicho
punto, cortando a esta en c.

Sobre la horizontal de plano de cota

3, llevamos 3 cm, punto a, que unimos con
c. Haciendo centro en c y con radio de giro
ρ, trazamos un arco hasta que corte a la
perpendicular en Po. La unión de Po con
A y B nos determina el ángulo.

12.2. Angulo que forma una recta

con un plano.

Podemos observar en el espacio los

pasos que se van a seguir. Se pide hallar el ángulo que forma la recta r con el plano
п. Como puede comprobarse, el ángulo que forma la r recta con el plano п es el
mismo que forma dicha recta con su proyección i.

Para resolver el problema seguiremos los pasos siguientes: Figura 55.

22
 1) Tomaremos un punto cualquiera en la recta r, por ejemplo P’(6), y por el
trazaremos una perpendicular al plano, hallando previamente el intervalo de la recta
is.

2) A continuación haremos contener a la recta r’ y a s’, en un plano de l.m.p. n’.

3) Hallaremos la intersección del plano n’ con p’, recta i’., que cortará a s’ en el
punto I’(5,4).

4) Abatiremos la recta i’ y la recta r’, tomando como charnela la horizontal de

plano de cota 7. Los puntos A’ y B’, por estar en la charnela son puntos dobles
estando abatidos en si mismo.

5) Sobre el punto I’, llevamos la diferencia de cotas entre la chanela y 7 - 5,4=

1,6 cm. Con el radio de giro ρ, y haciendo centro en M, trazamos un arco que nos
determina el punto Io, que unido con Ao y Bo, nos dará el ángulo buscado α.

12.3. Angulo que forman dos planos.

Para su resolución se pueden emplear dos métodos:

a) Trazar un plano perpendicular a la arista de intersección de ambos plano.
b) Trazar por un punto cualquiera rectas perpendiculares a los dos planos .

Primer procedimiento: Figura 56. Consideremos dos plano en el espacio α y β.

Hallamos la recta r intersección de ambos. Seguidamente trazamos por un punto
cualquiera por ejemplo P, un plano δ perpendicular a r, cortando a los planos α y
β según t y v. Por abatimiento de estas rectas obtendremos el ángulo que forma
con los planos.

23
 Resolvamos el problema en el plano.
1) Sean los planos α y β, dados por su l. m. p. p’ y q’, respectivamente.

2) Hallamos la intersección de ambos planos, recta r’.

3) Por un punto cualquiera de la recta r’ por ejemplo P’(3), trazamos un

plano perpendicular a ella, previamente hallaremos el intervalo del
plano iδ, plano de l. m. p. n’.

4) Seguidamente hallamos la intersección de este plano n’ con los planos

q’ y p’, rectas t’ y v’.

5) Elegimos como charnela la horizontal de plano n’ de cota 4. Los puntos

Ao y Co por estar en la charnela son puntos dobles y están abatidos en
si mismo. El resto del ejercicio es similar al anterior.

Segundo procedimiento: Figura 57.

1) Elegimos un punto cualquiera del espacio, por ejemplo P’(3).

2) Por dicho punto trazamos dos rectas perpendiculares a ambos planos, t y v,

hallando previamente los intervalos de ambas rectas.

3) Hacemos contener a las rectas t’ y v’ en un plano de l. m. p. n’.

4) Utilizando como charnela la horizontal de plano de cota 4, abatimos las

rectas, obteniendo to y vo.

24
13. Representación de cuerpos.

Para la representación de cuerpos, se hará preciso conseguir las proyecciones horizontal

y vertical de todos sus vértices, ya que a partir de ellos quedarán delimitados las
proyecciones de las aristas, y por consiguiente sus caras.

Un cuerpo podrá ocupar en el espacio diversas posiciones, pero teniendo en cuenta que
el estudio se realiza con miras prácticos, los situaremos en posiciones convenientes.
Es de vital importancia en la presentación de cuerpos, la determinación de las aristas
visibles y ocultas. Para ello tendremos en cuanta las consideraciones siguientes.

a) Se llama contorno apararen te de una proyección, a la forma poligonal o curva de la

silueta. Estos resultan siempre visibles.

b) Serán visibles en proyección horizontal, las aristas y vértices que estén más alejados
de la charnela en proyección vertical. Resultan ocultas en proyección horizontal, las
aristas y vértices que en el vertical estén más próximas a la charnela.

c) Serán visibles verticalmente aquellas aristas y vértices, que horizontalmente resulten

las alejadas de la charnela y por tanto más próximas al observador.

13.1. Hallar la proyección de un prisma triangular dado por su base Mo, No, Po,
apoyada en un plano dado por su traza αo. Sabiendo que el vértice P, tienen una cota
de 4 cm. Siendo la altura del prisma 5 cm. Figura 58.

1) Trazamos por el punto Po, una perpendicular a la traza αo que utilizamos como
charnela.

2) En un punto cualquiera de la charnela trazamos la perpendicular h.

25
 3) Haciendo centro en c, y con la distancia cPo, trazamos un arco que corte a h
en el punto 4.

4) Graduamos dicha recta, obteniendo la graduación del plano q’.

5) Por el punto P’(4), trazamos un recta r’ perpendicular al plano, hallando

previamente el intervalo de la recta ir.

6) Abatimos el plano proyectante de r’, recta P’ Qo,

7) A partir de P’(4) y sobre ro, llevamos en verdadera magnitud la altura del

prisma 5 cm. Obteniendo el punto Qo

8) Deshacemos el abatimiento punto Q’ (2,12), y obtenemos la altura del prima en

proyección.

9) Llevamos la altura en proyección sobre los vértices M’ y N’, que uniendo nos
determina el prisma buscado.

13.2. Hallar la proyección de un cono apoyado en un plano oblicuo de traza αo y l.m.p.

q’. Conociendo su base y el centro de la misma Oo de cota 3,5 cm. Figura 59.

26
 1) Dividimos la
circunferencia
de la base en
un número de
partes iguales,
por ejemplo 8.

2) Trazamos una
perpendicular
a la charnela
αo por Oo,
que corta a
esta en el
punto c.

3) Trazamos una
perpendicular
a la charnela
en un punto
cualquiera de
ella, por
ejemplo en m.

4) Haciendo
centro en c, y
con radio cOo,
trazamos un
arco que corte
a la
perpendicular por m en punto P’(3,5).

5) Graduamos el plano. Para ello trazamos una perpendicular por P’, y sobre ella
llevados la cota de 3,5 cm, obteniendo el punto Q.

6) Unimos Q con m y trazando paralelas a la recta P’m, con valor de 3, 2 y 1 cm,,

obtenemos la graduación del plano.

7) Trazamos una recta r perpendicular al plano por O’, previamente hallamos el intervalo
de la recta ir. Graduamos la recta.

8) Abatimos el plano proyectante O’ 0. El resto del ejercicio es similar visto

anteriormente.

13.3. Hallar la proyección de un prisma regular de base Ao, Bo, Co, y 35 mm de altura,
apoyado en un plano αo de l.m.p. q’. Su centro se encuentra en la recta r’ y tiene una
cota de 2 cm. Seguidamente hallar la sección en proyección y verdadera magnitud
que produce el plano β de l.m.p. v’. Figura 60.

1) Utilizamos como charnela 1 la traza αo del plano de l.m.p. q’.

27
 2) Hallamos el
centro del
prisma Oo
en
O’(2).como
se ha visto
en los
ejercicios
anteriores.

3) Hallamos el
intervalo del
plano iα de
l.m.p. q’.

4) Por afinidad
hallamos la
proyección
A’, B’, C’,
calculando a
continuación
el valor de
sus cotas.

5) Abatimos el
plano
proyectante
O’(2)-O, que
pasa por la
recta r’ y
llevamos
sobre ro el
valor de la
altura del
prisma 3,5 cm. obteniendo el centro V’(0,2).

6) Sobre los vértices A’, B’, C’, llevamos la distancia O’V’. Completando el prisma.

7) A continuación vamos hallar la sección que produce el plano β de l.m.p v’ en el

prisma.

8) Como el prisma se encuentra apoyado en el plano de l.m.p. q’, hallaremos la

intersección de este con v’, recta i’.

9) Haremos contener a la arista D’ en un plano cualquiera σ de l.m.p. p’, hallando a

continuación su intersección con v’, recta t’.

10) La recta i’ corta a la arista A’D’ en R’, que unido con P’ y Q’, nos da la sección en
proyección.

28
11) Como la sección se encuentra en el plano v’, elegiremos como charnela una de sus
horizontales de plano, por ejemplo la h’(4). El resto del abatimiento se ha visto con
anterioridad.

29