Mathematics">
3.2 Ecuaciones, Funciones e Inecuaciones Racionales Enteras y Fraccionarias (Mayo 07)
3.2 Ecuaciones, Funciones e Inecuaciones Racionales Enteras y Fraccionarias (Mayo 07)
3.2 Ecuaciones, Funciones e Inecuaciones Racionales Enteras y Fraccionarias (Mayo 07)
Las ecuaciones algebraicas en una variable real son aquellas en que solo
se realizan con la variable operaciones racionales de adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación 1. Estas operaciones se llaman
racionales porque son siempre posibles en el dominio de los números
racionales.
Por ejemplo:
1 1
x3 +2x– 5 =0 y 4
x2 x
son ecuaciones algebraicas.
Dentro de las ecuaciones algebraicas diferenciamos las ecuaciones
racionales enteras, que reciben este nombre porque con la variable solo se
realizan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y
potenciación (con exponente natural):
a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a 0 0 con an 0 , n N, x R, ai R (i 1,...,n)
1
Se exçcluye por supuesto la posiblidad de que el divisor sea cero.
1
1 –6 4 24 –32
2 2 –8 –8 32
1 –4 –4 +16 0
Ejemplo 2
Con una pieza de cinc de forma rectangular 20 cm de largo y 24 cm de
ancho se quiere construir una caja de 700 cm 3 de capacidad cortando un
cuadrado de iguales dimensiones de cada esquina y doblando los bordes.
¿Cuáles es la medida del lado de los cuadrados que se deben recortar de
cada esquina?
Resolución:
Sea x la medida del lado de los cuadrados de las esquinas. Entonces un
lado tendría la longitud 24-2x y el otro, 20-2x. Observa que los valores de x
están en el intervalo 0≤x≤10, dado que las longitudes de los lados son
cantidades positivas.
20-2x
24-2x
x x
2
x3 –22x2+120x–175 = (x–5)(x2–17x +35)
Una solución es x1=5 cm. Observa que el discriminante del trinomio x 2–17x
+35 es mayor que 0, por lo que al igualarlo a cero se obtienen dos raíces (x 2
2,5, x314,6), pero una de ellas no satisface la condición de estar en el
intervalo 0≤x≤10. Luego los valores de la longitud del lado del cuadrado
son x1=5 cm o x2 2,5 cm. ♦
Fracciones algebraicas
Son fracciones algebraicas aquellas fracciones que contienen variables en
3
5 3,5a 2
el denominador, como por ejemplo: , 4 , 2ab(b+5)-3
m(x 1) a 5ka 2
Escribe otros ejemplos de fracciones algebraicas.
El dominio de definición de una fracción algebraica son los valores
admisibles del dominio de definición de las variables.
Signos de una fracción algebraica
En una fracción algebraica deben considerarse tres signos: El signo de la
fracción, el signo del numerador y el signo del denominador.
Luego, para realizar cambios de signo, estos deben ser pares para no
alterar el signo de la fracción.
Si el numerador y el denominador son polinomios, para cambiar el signo del
denominador (numerador) hay que cambiarle el signo a cada término del
polinomio.
4x 4x 4x 4x 4x
Así, en la fracción , se obtiene: =– = =–
1 x 1 x 1 x x 1 x 1
(x 1)(x 2)
En la fracción , donde el numerador y el denominador están
(x 3)(x 5)
formados por factores, tenemos por ejemplo:
(x 1)(x 2) (1 x)(x 2) 1 x 2 x x 1 2 x (1 x)(2 x)
= = = =
(x 3)(x 5) (3 x)(x 5) x 3 x 5 3 x x 5 (3 x)(X 5)
Simplificación de fracciones
El trabajo algebraico se facilita extraordinariamente cuando es posible simplificar
los factores comunes que aparecen en el numerador y en el denominador de las
fracciones algebraicas. Simplificar una fracción algebraica consiste en dividir el
numerador y el denominador por un mismo factor que sea común a ambos. Para
poder simplificar el numerador y el denominador deben estar expresados como
productos.
Se debe tener en cuenta que si estos factores contienen variables se anulan
para determinados valores de ella (s) y que por tanto, después de simplificar,
la nueva fracción resultante no tiene el mismo dominio de definición que la
original.
3
Ejemplo 1
Dadas las siguientes fracciones algebraicas, indica restricciones que deben
cumplirse parar que estén definidas - suponiendo que el dominio de
definición de las variables es R- y simplifícalas:
2 a 2b 5 2a 2 x 2 8x 16
a) b) c)
8ab 3 4a 2 4ab 4x
a 3 b3 4 x2 y 2
d) e)
a 3 a 2b ab 2 y2 4x2
Resolución:
a) En este primer ejemplo se aprecia que la fracción dada está definida
para todos los valores reales excepto para el caso en que a y/o b toman el
valor cero, luego hay que imponer las restricciones a≠0, b≠0.
Para simplificarla se divide numerador y denominador por 2 y se aplican
las propiedades de las potencias, lo que equivale a dividir por 2 a b –3 :
2 a 2b 5 ab8
= ,
8ab 3 4
b) Apreciemos que a diferencia del ejemplo anterior, el denominador de la
fracción contiene un binomio. Para determinar los valores reales para los
cuales la fracción no está definida conviene descomponer en factores el
denominador:
2a 2 2a 2
=
4a 2 4ab 4a ( a b)
c) A simple vista se aprecia que la fracción está definida para todos los
valores reales excepto para x = 4. Luego debe exigirse x≠4. Para simplificar
esta fracción se necesita descomponerla en factores y cambiar el signo:
x 2 8x 16 x 4 2 4 x 2
= = =4–x
4x 4 x 4 x
d) De igual forma se debe descomponer en factores para determinar los
valores inadmisibles:
a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2
=
a 3 a 2b ab 2 a (a 2 ab b 2 )
4
4 x2 y 2 ( 2 x y )(2 x y )
2 2 = ( y 2 x)( y 2 x )
y 4x
4 x2 y 2 ( 2 x y )(2 x y ) ( y 2 x)(2 x y )
2 2 = ( y 2 x)( y 2 x ) = _ ( y 2 x)( y 2 x ) = –-1
y 4x
Para dividir una fracción algebraica por otra se efectúa el producto del
dividendo por el recíproco del divisor.
Ejemplo 1.
Calcula considerando que el dominio de definición de las variables son los
valores reales que no indefinen las respectivas fracciones algebraicas:
2x2 2x x2 3x
a) .
2 x2 x2 2x 3
( x y) x2 x 1
3
b) .
x3 1 ( y x) 2
x 4 x3 3 x 2 x 4 x2 x 4
c) ) :
x2 4 x 3 x2 9
Resolución:
2x2 2x x2 3x 2 x ( x 1) x ( x 3)
a) 2
.
2
= 2 . ( x 3)( x 1) =1
2x x 2x 3 2x
5
x 4 x3 3x 2 x 4 x2 x 4
c) :
x2 4 x 3 x2 9
Como estamos en presencia de una división, lo primero que debes hacer es
expresarlo como multiplicación, o sea
x 4 x3 3x 2 x 4 x2 9
·
x2 4 x 3 x2 x 4
Ahora vamos a factorizar, en el numerador de la primera fracción aplicamos
el método de Ruffini, entonces
1 1 3 -1 -4
x4 + x3 + 3x2 – x – 4 = 1 1 2 5 4
1 2 5 4 0
x 4 x3 3x 2 x 4 x2 9 x 1 (x 1) x2 x 4 x 3 x 3
. = . 2
x2 4 x 3 x2 x 4 x 3 x 1 x x4
= (x + 1)(x + 3) ♦
Ejemplo 1
2 3
.Efectúa la siguiente suma + 2 2 .
a b a b
Resolución:
2 3
+ 2 2
a b a b
6
2 3
= +
ab a b a b
2 a b 3 2a 2b 3
=
a b a b a b a b ♦
=
Ejemplo 2
Efectúa:
a2 1
a)
a 1 2 a 1
x4 2 1
b)
3 3 y x x xy y 2
2
x y
c 2 16 3c 4
c) 2 2
c 4c c 7c 2 c 1
2
x4 2 1 x4 2 1
x yx
b) =
3 3 y x x 2 xy y 2 2 2 x y x xy y 2
2
x y xy y
Como habrás observado fue necesario realizar un cambio de signo en la
segunda fracción ante de seleccionar el denominador común.
x 4 2 x 2 xy y 2 x y x 4 2 x 2 2 xy 2 y 2 x y y 4 2 x 2 2 xy 2 y 2
x y x 2 xy y 2 x y x 2 xy y 2
= =
( x y )( x 2 xy y 2 )
c 2 16 3c 4 c 4 c 4 3c
4
c) 2 2 2 =
c 4c c 7c 12 c 1 c c 4 c 4 c 3 c 1 c 1
3
4
3 c 2 1 4 c 3 3c 2 3 4c 12 3c 2 4c 15
=
c 3 c 1 c 1
=
c 3 c 2 1
=
c 3 c 2 1
=
c 3 c 2 1
7
Las ecuaciones fraccionarias en una variable son aquellas en que
aparecen fracciones algebraicas. Son ejemplos de ecuaciones fraccionarias
las siguientes:
2 5 7 3 2 1 5x 7
1) 1 2) (5x 2)( x x ) 2
3 x x 10 2 x x 1
1 1 1
3) (fórmula para las lentes)
f d1 d 2
Ejemplo 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
5x 2 x7 4 1 5x 6 3x 1 x 4 x 1
a) b) 2 c)
4x 6 2x 3 x2 x2 x 4 x 5x 6 x 3 x 2
2
Resolución:
5x 2 x7
a)
4x 6 2x 3
8
5x 2 x7 3
Dom: x R : x ;
2(2 x 3) 2 x 3 2
Como el m.c.m de los denominadores es 2( 2x+3) se multiplica toda la
ecuación por este, obteniendo:
5x 2 x7
│ .2( 2x+3)
2(2 x 3) 2 x 3
5x + 2 = 2 (x + 7)
5x+ 2 = 2x + 14
3x= 12
x=4
Comprobación:
5x 2 5.4 2 22
MI: 1
4x 6 4.4 6 22
x7 47 11
MD: 1 como MI = MD
2 x 3 2.7 3 11
La solución es : x = 4
4 1 5x 6
b) 2
x2 x2 x 4
4 1 5x 6
2 Dom :{x x≠±2}
x2 x2 x 4
4 1 5x 6
│.( x + 2)(x-2)
x 2 x 2 ( x 2)( x 2)
4( x – 2 )+ ( x + 2 ) = 5x – 6
4x– 8 + x +2 = 5x – 6
5x – 6 = 5x – 6
Como 4( x – 2 )+ ( x + 2 ) = 5x – 6 es una identidad la ecuación original
tiene solución para x R\ {–2;2}
3x 1 x 4 x 1
c)
x 5x 6 x 3 x 2
2
3x 1 x 4 x 1
Dom: {x : x ≠ – 3 y x ≠ – 2}
( x 3)( x 2) x 3 x 2
3x 1 x 4 x 1
│.(x+3)(x+2)
( x 3)( x 2) x 3 x 2
3x + 1 – x2 –6x – 8 = x2 + 4x + 3
2x2 + 7x + 10 = 0
Analizando el discriminante, resulta D = 7 2 – 4(2)(10) = 49 – 80 = – 31 0,
por lo que la ecuación no tiene solución en el dominio de los números reales.
♦
9
Ejemplo 2
Halla el conjunto solución de la siguiente ecuación:
x2 x 1 x2 2
+ 0
x x 2 x 2 2x
Resolución:
x2 x 1 x2 2
+ 0
x x 2 x 2 2x
x2 x 1 x2 2
+ 0 Dom: x R : x 2 y x 0
x x 2 x ( x 2)
x2 x 1 x2 2
+ 0 │ . x(x––2)
x x 2 x ( x 2)
10
Funciones potenciales de exponente par positivo
2
y=x y=x4
Fig. 1
y=x3
Fig. 2
11
y=x-1
Fig. 3
Precisamente la función y = x–1 es la función de proporcionalidad inversa.
Investiga con ayuda de un asistente para la graficación de funciones,
como el simulador de funciones de Eureka, el comportamiento de las
funciones potenciales de exponente par negativo.
Ejemplo 1
Analiza las propiedades de la función f definida por f(x) = 2x 3 a partir de su
representación gráfica con ayuda de una sistente matemático. Resolución:
Resolución:
Nosotros hemos realizado la representación gráfica con ayuda del simulador
de funciones de Eureka. A los efectos de poder establecer una comparación
se ha realizado también la gráfica de la función g definida por g(x) = x 3.
y=2x3
y=x3
12
El dominio de definición y la imagen de la función f es el dominio de los
números reales, tiene un cero en x0=0, no tiene valores máximos ni mínimos
y es monotona creciente en todo su dominio. Es positiva para las x >0 y
negativa para las x<0.
Podemos apreciar que la gráfica de y = 2x 3 se obtiene de la de y = x 3 a
través de una dilatación respecto al eje x.
Como se explicó ya en 2.4 una función f se dice par (impar) si los
argumentos opuestos tienen la misma imagen (tienen imágenes opuestas),
bajo el supuesto de que dichos argumentos opuestos pertenecen al dominio
de la función.
Retomando el ejemplo 1 tenemos que f(x)=2x 3 es una función impar, ya que
para todo x se cumple que
f(-x)=2(-x)3=-2x3=-f(x)
Su gráfica es por eso simétrica respecto al origen de coordenadas.
Analiza la paridad de las funciones siguientes:
a) f(x)= 5x4
b) g(x)= -7x3
1 –3
c) h(x)= x
2
d) l(x)= 3x–4
Las funciones racionales enteras son aquellas cuya ecuación funcional es
de la forma:
y= a n x n a n 1x n 1 ... a1x a 0
con an 0 , n N, x R, ai R (i 1,...,n)
13
Es decir las funciones racionales enteras son aquellas que se pueden
obtener efectuando sobre la variable independiente solamente las
operaciones de adición, sustracción y multiplicación, un número finito de
veces, con coeficientes numéricos cualesquiera. Por ejemplo: f(x) x 2
Ejemplo 2
Analiza cómo se puede obtener la gráfica de la función f definida por
x3
f(x) a partir de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa.
x 1
Resolución:
x3
La función f dada por y es una función racional fraccionaria cuyo
x 1
dominio de definición es \{1}. Para representarla gráficamente se efectúa
la división del numerador por el denominador y se analizan qué
transformaciones son necesarisa para obtenerla a partir de la gráfica de
1 x3 4
y . En este caso se tendría y 1 , cuyo análisis nos lleva a
x x 1 x 1
observar que las transformaciones realizadas son las siguientes:
1
dilatación de y (a través del número 4 en el numerador)
x
traslación en la dirección del eje x una unidad a la derecha
traslación en la dirección del eje y una unidad hacia arriba
2
La clase de las funciones racionales enteras y fraccionarias forma parte de la clase de las
funciones algebraicas, pero no toda función algebraica es una función racional. Sobre esto
puede profundizar en cualquier libro de Análisis Matemático.
14
Fig. 4
OJO GRAFICA
P(x)
Los polos de una función racional fraccionaria f(x) = son los
Q(x)
valores de la variable x que anulan a Q(x) y no son ceros de la función.
La función anterior tiene un polo en x0=1♦
Analizar todas las propiedades estudiadas de las siguientes funciones:
x5
a y
x2
2x 1
b y
3x 2
4 x
c) y
7x 5
Para la graficación de las funciones puede ser utilizado también el asistente
matemático Derive, del cual se brinda a continuación información sobre
cómo utilizarlo.
La utilización del Derive en el trabajo con las funciones
Para la utilización del Derive en el trabajo con las funciones se deben
introducir, al menos, los siguientes elementos del asistente:
Definir Función se utiliza para definir una función. En el cuadro de diálogo
se invita a introducir el nombre de la función y sus argumentos (por
ejemplo, f(x)) y su definición, es decir, las operaciones que realiza la
función usando esos argumentos y las funciones y constantes del programa
(por ejemplo (3x+1)/(x-4)). 3
3
Note que se trata de una división
15
Simplificar Sustituir Variables, sirve para sustituir por valores o
expresiones cada una de las variables de la expresión resaltada.
Para esto haga clic sobre
16
¿Cómo escribir las coordenadas de un punto en Derive? Una posibilidad es
la siguiente:
Vector se activa en el menú Editar o haciendo clic sobre:
Cuando haya terminado, haga clic sobre SÍ o pulse Intro. Haga clic sobre
Simplificar o pulse Alt+S para simplificar el vector en lugar de introducirlo
(se añadirá a la ventana sólo el resultado).
Para obtener directamente el gráfico de la función, una vez que ha sido
definida, se pasa a la ventana 2D, la cual se activa haciendo clic sobre:
17
Fig. 5
Para comparar los valores de varias gráficas o recorrer una gráfica, puede
activarse el modo de trazado. Cuando se activa el modo de trazado, el
cursor se muestra como un pequeño cuadrado sobre una de las gráficas.
Con el botón derecho del ratón o las teclas de Flecha Derecha o Flecha
Izquierda, se puede ir recorriendo esa gráfica.
Para trazar otra de las gráficas (en caso de que tenga representadas más
de una función en la misma ventana), haga:
- Flecha Arriba o clic en el botón derecho del ratón y elija Trazar la gráfica
previa
- Flecha Abajo o clic en el botón derecho del ratón y elija Trazar la gráfica
siguiente.
En el modo de trazado, el número de la expresión que se está trazando se
muestra en el título de la ventana. Así, cuando se representan varias
expresiones, el modo de trazado es adecuado para determinar la relación
entre la gráfica y su expresión. Una gráfica particular puede ser borrada
usando la orden Editar Borrar.
El modo de trazado resulta muy útil para el estudio de las propiedades de
las funciones:
Para el análisis del Domino de definición y la imagen de una función
Recorriendo la curva con el cursor se aprecia en la barra inferior de la
ventana como van variando los valores de x e y, pues se ofrecen las
coordenadas del punto en el cual se encuentra el cursor, si a esto se agrega
la posibilidad de ir ampliando la escala del eje que nos interesa (x o y), se
pueden realizar conjeturas acerca de estos conjuntos. Los estudiantes
pueden llegar a “descubrir” el dominio y la imagen utilizando este
procedimiento. Esto permite analizar también el comportamiento en el
infinito.
Como se puede apreciar en nuestro caso:
18
Dominio: \ {4} (Observa el comportamiento de la gráfica de la función en
la medida en que el cursor se acerca a x=4, tanto por la derecha como por
la izquierda, lo que confirma la existencia de un polo en este punto)
Imagen:
Para el análisis de la monotonía de la función:
Recorriendo la curva de izquierda a derecha, el cursor nos muestra como
van variando las coordenadas de los puntos, lo que permite realizar
suposiciones acerca de la monotonía de la función. Observe que de - a
x=4 las imágenes aumentan en la medida que recorremos este intervalo de
izquierda a derecha. El comportamiento es diferente en el intervalo (4, +).
¿Qué puede decir acerca de la monotonía de esta función?
Para determinar los ceros y los interceptos con el eje y puede utilizar
también el modo de trazado y luego realizar el cálculo a mano o utilizando el
Derive.
Si quiere regresar a la Ventana Álgebra haga clic en:
19
Si se hace clic sobre Sí se obtiene inmediatamente la respuesta:
20
b) –x4 – x3 +22x2 +16x –96 < 0
c) y6+2y4 – 3y2 0
Resolución:
a) x4 – 2x3 – 16x2 + 2x + 15 > 0
De forma análoga a como se procedió con las inecuaciones lineales y
cuadráticas, es necesario transponer todos los términos a un solo miembro
para comparar con cero.
Se observa que para x = 1 la suma de los coeficientes del polinomio P(x) que
se encuentra a la izquierda, es cero. De este modo podemos identificar que
x1=1 es una raíz del polinomio y que este es divisible por (x – 1). Aplicando
después la regla de Ruffini el polinomio quedaría factorizado de la siguiente
manera:
(x–1) (x+1)(x+3)(x–5) > 0
Se tiene entonces que hacer un análisis de los signos en los diferentes
intervalos que se determinan entre dos raíces del polinomio. Estas raíces son
en definitiva los ceros de la función polinomial correspondiente. Está claro que
entre dos ceros el signo de la función polinomial no varía.
Por eso si elegimos un valor arbitrario x 0 de estos intervalos y evaluamos el
polinomio para dicho valor, el signo de P(x 0) será el signo del polinomio en
todo este intervalo.
–3 –1 1 5
Se observa que para x = 2 la suma de los coeficientes del polinomio P(x) que
se encuentra a la izquierda, es cero. Luego x 1 = 2 es una raíz del polinomio y
21
este es divisible por (x–2). Aplicando la regla de Ruffini para factorizar el
polinomio se obtiene:
–(x–2)(x+4)(x–4)(x+3) < 0
Luego los ceros o raíces del polinomio son x1 = – 4, x2 = –3, x3 = 2, , x4 = 4.
Primera vía
De no multiplicar la inecuación por –1, podemos hacer de igual manera un
análisis de los signos en los diferentes intervalos que se determinan entre dos
raíces del polinomio. Como en el caso anterior, si elegimos un valor arbitrario
x0 de estos intervalos y evaluamos el polinomio para dicho valor, el signo de
P(x0) será el signo del polinomio en todo este intervalo.
–4 –3 2 4
5
22
Luego las raíces reales del polinomio son y 1,2=0, y3=1, y4 = –1. Existen otras
dos raíces, pero no son reales. Obsérvese que (y 2+3) es positivo para
cualquier valor real de la variable y, por ende, no afecta el signo del polinomio.
Debe notarse también que y1,2=0 es una raíz doble de este polinomio. Por
tanto, como hay un número par de cambios de signo, no se afecta el signo del
polinomio en un entorno de esta raíz.
Hagamos un análisis de los signos en los diferentes intervalos que se
determinan entre dos raíces del polinomio a partir de la representación gráfica
de los intervalos:
+ – – +
-1 0 1
Resolución:
x 1
a). 0.
x 1
Se deben determinar los valores de la variable para los cuales el cociente es
mayor (estricto) que cero. Para esto es conveniente hallar los ceros del
numerador y el denominador para poder analizar el signo de la fracción en los
intervalos que ellos determinan. Téngase en cuenta que para cualquier valor
de estos intervalos el signo de la fracción no varía.
Ceros del numerador: x + 1 = 0 ; Ceros del denominador: x – 1 = 0
x=–1 x=1
Análisis gráfico: __
+ __ +
_
-1 1
luego el conjunto solución es: S= (- ; -1) ( 1; ). = { x : x – 1 ó x 1}
23
x2
b). x (x 3) 0. En este caso se trata de analizar cuáles son los valores de la
variable para los cuales el cociente es no positivo.
Ceros del numerador: x = – 2,
Ceros del denominador: x = 0 , x = 3 – + – +
Gráficamente obtenemos:
Entonces el conjunto solución es: –2 0 3
+ – +
-
–4 9
Entonces los valores que hacen al cociente negativo son: x (–4, 9).
( x 5) 2
d). 0
( x 3)(1 x)
+ - + +
–3 1 5
24
4x 1
.Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 1.
2x 3
Para resolver la inecuación es necesario transponer el 1 para el miembro
izquierdo, es decir, restar 1 en cada miembro, luego
4x 1
1 0
2x 3
Ahora hay que buscar el denominador común:
4x 1 2x 3
0
2x 3
Se reduce términos semejantes y se obtiene
2x 2
0
2x 3
Para realizar el análisis de los signos se deben factorizar las expresiones si
es posible
2( x 1)
0
2x 3
Ejemplo 4.
Determina para qué valores reales de la variable no están definidas las
siguientes expresiones:
1 x2 4x 3
a) 2
b)
x x
Resolución:
a) A partir de la definición de radicación se conoce que la operación de
radicación de índice par está definida en el conjunto de los números reales si
y solo si el radicando es mayor o igual a cero, y no está definida, por
supuesto, si este es menor que cero, luego:
1 x2
Sea entonces 0
x2
Se procede a descomponer en factores el numerador y el donominador para
realizar el análisis de los signos:
(1 x )( x 1)
0
x2
El signo del denominador siempre es positivo, no hay cambio de signo a la
derecha ni a la izquierda del cero del denominador. Por tanto el análisis de los
signos resulta como sigue:
25
Entonces la expresión no está definida para x ( – ;–1) 1;
4x 3
b).
x
Analicemos separadamente el numerador y el denominador .
En el numerador, la raíz no está definida cuando 4x –3 0, o sea para
3
x < . Además para x = 0 se indefine la fracción.
4
3
Luego no está definida para x : x
4
Ejemplo 5
(FARMACOLOGIA).- Para que un medicamento tenga efectos favorables en
una persona, su concentración en la sangre t horas después de haberlo
ingerido debe ser mayor que la concentración terapéutica mínima. Si la
20t
concentración de un medicamento está dada por la ecuación C = 2 y la
t 4
concentración terapéutica mínima es de 4 mg / L ,determina cuándo la
concentración en sangre rebasa la concentración terapéutica mínima.
Resolución:
Si la concentración terapéutica mínima es de 4 mg / L debe determinarse
20t
cuando la expresión C es mayor que 4, es decir C = 2 >4
t 4
20t
2 -4>0 Se transpone el término 4 para comparar con cero
t 4
20t 4t 2 16
0 Hallando el denominador común
t2 4
4t 2 20t 16
0 Como el termino cuadrático es negativo se puede
t2 4
multiplicar por menos uno (–1),
4t 2 20t 16
0 por lo que cambia el sentido de la desigualdad
t2 4
4(t 2 5t 4)
0 Se extrae factor común y se factoriza
t2 4
4 t 1 t 4
0 la expresión del denominador siempre es positiva .luego sólo
t2 4
es necesario analizar el signo del numerador, para lo cual vamos a determinar
los ceros t = 1 y t = 4
+ _- +
26
1 4
b )P(b) b3 b 2 1 8 b 2 1
c )P(m) m4 m 3m3 3
d)P(u) 2u2 u3 u 5u u3 u 12u u2 1
3. Determina el término constante de la ecuación
3 2
6x 7x 16x m 0 , si se conoce que una de sus raíces es
igual a 2. Halla las restantes raíces.
4. Sea P(x) = x3 – x2 - 22x + 40, ¿cuál es el valor de la suma de las
raíces de dicho polinomio?
27
2p2 10p
a) para p 2 2
p2 8p 15
t3 t 4t 2 6
b) para t = 2–3
t2 t 2
2x3 4x2 8x 16
c) para x = 0,5
2x5 32x
z3 64
d) para z 3
z2 16
y 2 2by 3y 6b
e) para y = –0,3
3y 6b
3ab 2a 15b 10
f) para a = 3,4 y b= 0,6
3b2 b 2
10 x 2 13x 14 49 100 x 2
6. Dados A= y B= .
x y 7 x 10 x 2 7 y 10 xy
Verifica que A : B = x–2
x 4 27 x 3x 2 2
7. Dados: M(x) = y N(x) =
x 3 3x 2 x 3 x2
a) La expresión M(x) se anula para:
___x = 0 y x=3 ____ x = 3
___ x = 0 ____ x =1; x = -1 y x = 3
b) Los valores inadmisibles de M(x)son:
____ x = 3 ____ x =3 y x = ± 1
____ x = ± 1 ____ ninguno
c) Calcula y simplifica
x 2 3x 9
M : x 1
d) Calcula el valor numérico de:
N( 2) + 4 4
x2 x2 4
9. Sean N = y M= 3 .
2 x 10 x 4 x 2 11x 30
28
a) ¿Para qué valores reales de x están definidas las expresiones
N y M?
b) Calcula y simplifica P = (x - 3)M:N .
x 2 9 x 22 mx 11m r 6 r 5
10. Prueba que : 2
r 36
2
r 11r 30 3x 6 3m
4a 2 9 8a 2 32a a4
11. Halla P si P = : 2 .
2a 11a 12 a 2a 8 a 8a 16
2 2
x3
12. Verifica que A:B:C = , si:
2a
xa 2 2a 2 x 2 a3 a 4x 8
A= ; B= y C= .
3a 6 6a 12 x3
9a 2 4b 2 6a 3 17a 2 b 14ab 2
13. Sea M = :
a 2 10ab 25b 2 2a 2 3ab 35b 2
a) Simplifica M.
b) Halla el valor de la expresión para a = 3,5 y b = -1.
M
14. Si M = 3x3 – 9x2 – 30x, N = 2x3 – 5x2 – 23x – 10 y P = .
N
a) Determina el dominio de P.
b) Simplifica P.
15. Sean M = y3 - 3y2 + 4 y N = y3 - 2y2 - 4y + 8.
M
a) Calcula P = .
N
P y 2 8y 7
b) Demuestra que si R = 18 y : 3 , entonces R es un
3 y 27 y 2 42 y
número real para todos los valores admisibles de la variable y.
29
17. Calcula y simplifica:
c d c 2 d2
a)
c d c d 2
2 y y 6
b)
y 2 3y 40 y 2 4y 5 y 3 4y 2 37y 40
m2 4m m2 25
c)
m2 m 20 5m2 25m
3a2 16a 12 a2 8a 16 a3 28a 48
d) :
27a3 8 a2 4a 9a2 6a 4
t 5 2t 1 5t 2 29t 6
e) :
t 3 2
t 2t 15 t5
2 5
a 3 5a 2 2a 8 a3 a2 a
18. Efectúa y simplifica: ∙ 9 a 2
1 3 3 .
3a 2 11a 4
6a 12 2a
3x 3 x 3 7x 6 x 1
19. Sean: h(x) = ; f(x) = ; g(x) = 2 .
1 x x 27
3
x 3x 9
Comprueba que p(x) = x + 1, siendo p(x) = f(x):g(x) + h(x).
16 9a 2 3a 2 3
20. Sean las expresiones f(a) = ; h(a) = y
3a 2 11a 20 a2 9
a 2 2a 15 5
q(a) = . Prueba que f(a):q(a) - h(a) = .
25 a 2
a3
c 2c 1 a4 a3
22. Sean P = 2 y Q= 2 2
c 1 c c 2 a 6a 9 a a 12
a) Simplifica P y Q
b) Si se calcula P para c = 1 y Q, para a = 0, ¿qué valor numérico es mayor?
x2 9 x 3 4 x 2 3x 12
23. Si Q = yP=
4x 2 2x 2 7 x 4
7 x 15 1
a). Halla en la forma más simple posible T = P .
1 2x Q
b). Calcula el valor numérico de T para x = - 1,5.
30
24. Sea F = 5b3 - 24b2 + 25b + 6.
16b 32 5 1
a) Comprueba que .
F 5b 1 b 3
b) Determina los valores de b que no están en el dominio de definición de la
variable en el miembro izquierdo del inciso anterior.
3( x 3) 2( x 4) 21
2
2 __________________________________
x x 12 x x 12
_
3(x+3)–2(x–4)=21________________________________________
3x+9-2x+8= 21______________________________________________
x = 4 ___________________________________________________
Luego S= φ ___________________________________________________
3(x 1) 4x 1
a)
x 1 x 1
x2 2x 1 2
b)
2x2 5x 3 2x 1
1 1 x 15
c)
x 3 3x 2 6x 2 18x
5 3 27
d)
x 2 x 7 x 2 5x 14
x7 x3 4
e)
3x 3 x 1 3
2x2 7x 3 2x 1 3x
f)
4x 2 1 2x 4x 2 2x
x2 x3 1
g)
x 3 x 2 6 5x x 2
x 1 x 1
h) 1
3x 6 2x 4
c )4 x 4 a 2 x 2 4a 2 x 2
d) z 2 3z 2 2z2 3z 8
31
5
e ) 2v 2 v 2 4 2 v 2 v 3 f )4a2 3a
2
4a 3a
6 0
E
28. Dada la fórmula i , despeja R y calcula su valor cuando
rR
i = 4, E = 60 y r = 8.
2
b y 2x 2 1 h y 0,3 x 2 n y x 3 2
3
c y 3 x 2 4 i y 2 x 3 ñ y x 4
d y 3 x 2 j y x 1 o y x 5
2 3
e y x 2 k y x 2 p y x 1 2
2 3 4
f y 3 x 1 4 l y x 2 3 q y x 1 1
2 3 5
32
a) Simplifica la expresión A.
b) ¿Para qué valores reales se indefinen A y B?
c) Analiza el dominio de B .
4
34. Sea A
x 4x3
a) Halla el conjunto de valores admisibles de la variable en
7
la expresión .
A
2 2 x 3 x 2 5x 2
b) Calcula y simplifica: A.
x x2
1 x x3 1 1
35. Sean A(x) =
2 2x
, B (x) = , C (x) =
x
.
2
a) El dominio de la expresión A son las x tales que :
___ x= 1 ___ x ≠ 1
___ x = -1 ___ x ≠ -1 ___ ninguno de estos
b) La expresión B es no positiva si:
___ x ≤ 1 ___ x ≤- 1 ____ x ≥ 1 ___ ninguno de los anteriores.
c) ¿Para qué valores de x A(x) toma valores negativos?
3 1
d) Calcula y simplifica 27 2 + C( 3 2)
x2 x 72
a) 0
x9
x3 4x 2 4x
b) 0
x
5x 25
c) 0
x2 3x 10
33
8x x2
d) 0
x2
36x 180
e)x 10
x2 3x 10
f)
x 3 2 x2 8x 3 0
x2 36
x 5x 2
38. Sea la inecuación 0 , cuyo conjunto solución es
x 3 9 x2
S = (a,b] [c,d). Determina los números reales a, b, c y d.
39. Resuelve:
4x 2 9
2
a) 2x x 3 4 x
2x 3
x3 1
x 1 9 ( x 3)3 1
40. b)
x2 x2 x2 4
41. Dada la función h, definida en el conjunto R\{1} por
5
h( x ) 1 x
x 1
¿Para qué valores reales de x se cumple que h( x ) 6 ?
42. Sean f(x) = 2x+1 y g(x) = x 2. Determina para qué valores reales
de t se verifica que:
f 9t 17,5
f (t) 0
g( t ) 4
34
m3 4m2 5m 3 3m2
A y B
m3 125 m3 4m2 20m 25
a) Prueba , que para todos los valores admisibles de la
A m
variable se verifica que .
B 3
b) Halla todos los valores reales negativos de la variable m,
para los cuales se cumple que:
A 1 2
m m 1
B 3 3
x 4 x3 2 x 2
46. Sea la función definida por f ( x )
x 3 7 x 2 16 x 12
¿Para qué valores de x, x R , la función f no está definida?
3x3 2 x 2 10 x 8
47. Sea la función h de ecuación y
8 125x 3
Determina los valores de x, x R , para los cuales (x; h(x))
son puntos del cuarto cuadrante.
35
53. Una nómina de un centro de trabajo se puede elaborar en dos
computadoras simultáneamente, en cuatro horas. Una de las
computadoras es de un modelo nuevo y la otra, es más antigua.
¿Cuántas horas serán necesarias para que cada computadora
termine sola, si el modelo viejo tarda tres horas más que el
nuevo?
54. Demuestra que para a>b>0 se cumple:
3 (a – b) b2 < a3–b3 < 3 (a – b) a2
55. Una droga es inyectada en el flujo sanguíneo del brazo derecho
de una paciente. La concentración (en mg/mL) de la droga en el
flujo sanguíneo del brazo izquierdo t horas después de la
inyección, está dada aproximadamente por:
0,12t
C
t2 2
¿Cuándo la concentración de la droga en el brazo izquierdo será de
0, 04 mg/mL o mayor?
36