ACTIVIDAD 1

Determinar los espacios muestrales de los siguientes sucesos

Ejercicio 1
Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y
otra negra. Escribir el espacio
muestral cuando:
1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
B= { BB , BR , BV , BN , RB , RR , RV , RN ,VB , VR ,VV , VN , NB , NR , NV , NN }
2. La primera bola no se devuelve.
E={ BR , BV , BN , RB , RV , RN ,VB , VR ,VN , NB , , NR , NV }
Ejercicio 2

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el
espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
1. Con reemplazamiento.
La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos independientes,
puesto que la extracción de la primera bola no tiene ningún efecto sobre la
segunda
3 3
∗3 ∗7
10 9 10 21
P ( RR )= = P ( RB )= =
10 100 10 100
7 7
∗3 ∗7
10 21 10 49
P ( BR )= = P ( BB )= =
10 100 10 100
2. Sin reemplazamiento.
La extracción de dos bolas sin reemplazamiento son sucesos dependientes,
puesto que la extracción de la primera bola afecta a la segunda, cambiando el
número de casos favorables (3 – 1 = 2) y también al de los casos posibles (10 –
1 = 9)
3 3
∗2 ∗7
10 6 10 21
P ( RR )= = P ( RB )= =
9 90 9 90
7 7
∗3 ∗6
10 21 10 42
P ( BR ) = = P ( BB )= =
9 90 9 90
E={ RR , RB , BR , BB }
Ejercicio 3

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,
a. ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?
 4 5
P ( R )= ; P ( B )=
15 15
P ( R ∪ B )=P ( R ) + P ( B )
4 5 9
¿ + = =0.6 →60 %
15 15 15

b. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

5
P ( B )= ; P ( B́ ) =1−P ( B )
15
5 10
P ( B́ )=1− = =0.666 … → 66.6 %
15 15

Ejercicio 4:

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10

morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un
alumno:
1. Sea hombre.
15
P ( H )= =0.333 … . → P ( H )=33.3 %
45
2. Sea mujer morena.
20
P ( Mm )= =0.444 …→ P ( Mm )=44.4 %
45
3. Sea hombre o mujer.
15 30 45
P ( H ∪ M )= + = =1→ 100 %
45 45 45
OBSERVA Y RESUELVA
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1. La probabilidad de que salga el 7.
6 1
P ( 7 )= = =0.1666 … → 16.6 %
36 6
2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.
18 1
P ( par ) = = =0.5=50 %
36 2
3. En el experimento "Lanzar un dado dos veces consecutivas y anotar cada
resultado obtenido en su cara superior". ¿Cuál es la probabilidad de que el
resultado del 1er. lanzamiento sea la mitad del resultado del 2do. lanzamiento?

Primero determinaremos el espacio muestral y luego aplicaremos las fórmulas.

 n=36 n ( A )= { (1,2 ) , ( 2,4 ) , ( 3,6 ) } → n ( A )=3
3 1
P ( A )= = =0.083=8.3
36 12
La probabilidad de que el resultado del 1 lanzamiento sea la mitad del resultado
del 2 lanzamiento es 8.3%

4. De una Urna como la que se muestra abajo se extrae una bola al azar. Cuál es la
probabilidad de que la bola extraída sea:

Sean A={ conjuntos de bolasamarillas }

R={ conjuntos de bolas rojas } , Z={ el conjunto de bolas azules }
P= { conjunto de numeros pares } , I ={ conjuntos numeros impares }
n=15
a. ¿De color rojo, número impar?
Ri={ bola roja e impar }
n ( Ri ) =15
5
P ( Ri )= =0.333 …=33.3 %
15
b. ¿De cualquier color, número par?
Ap= {bola amarilla y par }
n ( Ap )=3
3
P ( Ap ) = =0.2=20 %
15
 Rp= { bola roja y par }
n ( Rp )=1
1
P ( Rp )= =0.067=6.7 %
15
Zp= {bola azul y par }
n ( Zp )=2
2
P ( Zp ) = =0.1333 …=13.3 %
15
c. ¿De color amarillo o azul, número impar?
Ai={ bola amarilla e impar }
n ( Ai )=2
2
P ( Ai )= =0.1333 …=13.3%
15

5. Gilmer giró 50 veces la flecha de una ruleta que tiene cuatro colores: Verde,
Rojo, Azul y Gris, y anotó los resultados siguientes:
Verde (V): 10
Rojo (R): 12
Azul (A): 20
Gris (G): 8
a. ¿Cuál es el espacio muestral?
n=numeros de giros=50
b. ¿Cuál es la probabilidad experimental de obtener azul, obtener rojo, obtener
verde y obtener gris?
Hallemos la probabilidad de obtener azul (P(A)), la probabilidad de obtener
verde (P(V)), la probabilidad de obtener rojo (P(R)) y la probabilidad de obtener
gris (P(G))
20 2
P ( A )= = =0.4=40 %
50 5
10 1
P ( V )= = =0.2=20 %
50 5
12 6
P ( R )= = =0.24=24 %
50 25
8 4
P ( G )= = =0.16=16 %
50 25
c. ¿Cuál es la probabilidad matemática de obtener cada color?
La probabilidad matemática de obtener cada color es ¼ o 25% y resultó
diferente de la probabilidad experimental de obtener cada color

6. En una encuesta realizada a 30 empresarios que asistieron a un foro

internacional sobre nuevas tecnologías, se encontró que 15 de ellos hablaban
español, 18 hablaban inglés, 8 hablaban inglés y español y el resto no hablaba
ninguno de los dos idiomas Todas las encuestas fueron ubicadas en una bolsa y
 será seleccionada una de ellas la persona que haya diligenciado la encuesta
elegida, recibirá una beca, para un curso de actualización en el manejo de la
tecnología
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable español?
15 1
P ( E )= = =0.5=50 %
30 2
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable sólo inglés?
8 4
P ( I ) = = =0.2666 …=26.6 %
30 15
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable español o inglés?
1 4 23
P ( E∪ I )= + = =0.7666 …=76.6 %
2 15 30
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada NO hable inglés?
12 4
P ( ¿ )= = =0.4=40 %
30 10

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Si X es una variable aleatoria de una distribución N ( μ , σ ), hallar.

P( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ )
En este caso, se esta trabajando con una distribución normal estandar, para
resolverlo utilizaremos la formula siguiente:
X−μ
Z=
σ
( μ−3 σ )−μ ( μ+3 σ )−μ
P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ )=P( σ
≤ Z≤
σ )
¿ P (−3 ≤ Z ≤ 3 )
¿ P ( Z ≤3 ) −P(Z ≤−3)
Ahora, tenemos que localizar en nuestra tabla de distribución normal, localizamos el
valor cuando P( z ≥3) ¿ 0.0013, pero necesitamos el valor para cuando P( z ≤3),
entonces se utiliza P( z ≤3)=1−P( z ≥ 3) entonces obtenemos que
P ( z ≤ 3 )=1−0.0013=0.9987 . Además, como la distribución normal es simétrica,
tenemos que P ( z ≤−3 )=P ( z ≥ 3 )=0.0013
P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ )=P ( Z ≤3 )−P ( Z ≤−3 )
¿ 0.9987−0.0013=0.9974
Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres
desviaciones típicas de la media

2. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a

para que:
P ( 4−a ≤ x ≤ 4 +a ) =0.5934
 X−μ
Utilizando la formula Z= , vamos a sustituir el valor de la media ( μ), y la
σ
desviación típica (σ ).

P ( 4−a ≤ x ≤ 4 +a ) =P ( ( 4−a2) −4 ≤ Z ≤ ( 4 +a2) −4 )=0.5934

P ( −a2 ≤ Z ≤ a2 )=P (Z ≤ a2 )−P ( Z ≤− a2 )
a a
¿ P ( Z ≤ )−P ( Z ≥ )
2 2
a a
2 ( 2 )
¿ P ( Z ≤ )− 1−P ( Z ≤− ) =¿

a
¿ 2 ∙ P ( Z ≤ ) −1
2
¿ 0.5934
Donde

( a2 )−1=0.5934 ⟹ P ( Z ≤ a2 )= 1.5934
2∙P Z ≤
2
=0.7967
Se localiza en la tabla el valor de 0.7967 que es
P ( Z ≤0.83 )
a
=0.83 ⟹ a=1.66
2

3. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del
mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

P ( 21≤ X ≤ 27 )=P ( 21−23

5
≤Z≤
27−23
5 )
¿ P ( 0.4 ≤ X ≤−0.8 )
¿ P ( Z ≤0.8 )−P ( Z ≥−0.4 )
¿ P ( Z ≤0.8 )−¿
P ( Z ≤0.8 )=0.7881 y P ( Z ≤ 0.4 ) =0.6554
21−23 27−23
30 ∙ P ( 21 ≤ X ≤ 27 ) =30∙ P( 5
≤Z≤
5 )
¿ 30 ( 0.7881 )−1 ( 0.6554 )
¿ 30 ( 0.4435 )=13
Esto quiere decir, que en todo el mes, solo 13 días alcanzarán temperaturas entre 21 y 27
grados.

4. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
a. Entre 60 kg y 65 kg.
 P ( 60 ≤ X ≤ )=P ( 60−70
3
≤ Z≤
75−70
3 )
¿ P (−3.33≤ X ≤ 1.67 )
¿ P ( Z ≤1.67 )−P ( Z ≥−3.33 )
¿ P ( Z ≤1.67 )−¿
P ( Z ≤1.67 )=0. 9525 y P ( Z ≤ 3.33 )=0. 9996
60−70 75−70
(
500 ∙ P ( 60 ≤ X ≤ )=500 ∙ P
3
≤Z ≤
3 )
¿ 500 ( 0.9525 )−( 1−0.9996 )=476
De los 500 estudiantes 476 se encuentran entre los 60 y 75 kilogramos de peso

b. Más de 90 kg.
90−70
(
P ( X >90 )=P Z>
3 )
¿ P ( Z <6.66 )
¿ 1−P ( Z ≤ 6.66 )
¿ 1−1=0
500 P ( X >90 ) =500 ( 0 )=0
Es imposible hallar a un solo estudiante por encima de los 90 kilogramos.

c. Menos de 64 kg.
64−70
(
P ( X <64 )=P z <
3 )
¿ P ( Z ←2 )
¿ 1−P ( Z <2 )
¿ 1−0.9772=0.0228
500 P ( X <64 )=500 ( 0.0228 )=11.4
Hay 11 estudiantes que pesan menos de 64 kilogramos

d. 64 kg.
Cuando la distribución es continua, la probabilidad de que la variable tenga un valor
exacto siempre es nula (0). Por lo tanto
P ( X=64 )=0
e. 64 kg o menos.
Dados los resultados anteriores:
Existen cero estudiantes que pesan 64 kilogramos exactos y hay 11 estudiantes que
pesan menos de 64 kilogramos, entonces, existen 11 estudiantes que pesan 64
kilogramos o menos.
500 P ( X <64 )=500 P ( X ≤ 64 )=11

5. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y
varianza Se pide:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una
calificación superior a 72?

b. Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo

menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-
Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las
puntuaciones más bajas).
c. Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad
de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?
6. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una
distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres
grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura
general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y
un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un
grupo al otro?
7. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con
media 100 y desviación típica 15.
a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y
110.

b. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan
un coeficiente superior a 125?
8. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90
familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan
teléfono.
9. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene
una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110
respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de
aprobar el examen.
10. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al
menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.
Se pide:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan
cuando menos dos televisores?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos
televisores?
11. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.

12. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una
persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de
que, transcurridos 30 años, vivan:
a. Las cinco personas.
b. Al menos tres personas.

c. Exactamente dos personas.

13. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

14. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se
anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la
media y la desviación típica.
15. Consultar Coeficiente de correlación lineal y Coeficiente de correlación por rangos
de Spearman
 El coeficiente de correlación es la medida específica que cuantifica la intensidad
de la relación lineal entre dos variables en un análisis de correlación. En los
informes de correlación, este coeficiente se simboliza con la r.
 El coeficiente de correlación de Spearman es una medida no paramétrica de la
correlación de rango (dependencia estadística del ranking entre dos variables).
Se utiliza principalmente para el análisis de datos. Mide la fuerza y la dirección
de la asociación entre dos variables clasificadas.